Сумма цифр

В математике сумма цифр в натурального числа данной системе счисления равна сумме всех его цифр . Например, сумма цифр десятичного числа. $9045$ было бы $9+0+4+5=18.$

Определение [ править ]

Позволять $n$ быть натуральным числом. Определим сумму цифр по основанию $b>1$ , $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ быть следующим:

F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k}d_{i}

где $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor$ на единицу меньше количества цифр в числе по основанию $b$ , и

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

— значение каждой цифры числа.

Например, в десятичной системе счисления сумма цифр 84001 равна $F_{10}(84001)=8+4+0+0+1=13.$

Для любых двух оснований $2\leq b_{1}<b_{2}$ и для достаточно больших натуральных чисел $n,$

\sum _{k=0}^{n}F_{b_{1}}(k)<\sum _{k=0}^{n}F_{b_{2}}(k).

^[1]

Сумма десятизначных цифр целых чисел 0, 1, 2, ... определяется OEIS : A007953 в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей . Борвейн и Борвейн (1992) используют производящую функцию этой целочисленной последовательности (и аналогичной последовательности для сумм двоичных цифр) для вывода нескольких быстро сходящихся рядов с рациональными и трансцендентными суммами. ^[2]

Расширение для отрицательных целых чисел [ править ]

Сумма цифр может быть расширена до отрицательных целых чисел, используя представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Свойства [ править ]

Количество n-значных чисел с суммой цифр q можно вычислить с помощью:

$f(n,q)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\f(n,9n-q+1)&{\text{if }}q>\lceil {\frac {9n}{2}}\rceil \\\sum _{i=\max(q-9,1)}^{q}f(n-1,i)&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Приложения [ править ]

Концепция суммы десятичных цифр тесно связана с цифровым корнем , но не совпадает с ним , который является результатом многократного применения операции суммы цифр до тех пор, пока оставшееся значение не станет единственной цифрой. Десятичный цифровой корень любого ненулевого целого числа будет числом в диапазоне от 1 до 9, тогда как сумма цифр может принимать любое значение. Суммы цифр и цифровые корни можно использовать для быстрого теста на делимость : натуральное число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда его цифровая сумма (или цифровой корень) делится на 3 или 9 соответственно. На делимость на 9 этот критерий называется правилом девяток и лежит в основе методики выбрасывания девяток для проверки вычислений.

Суммы цифр также являются распространенным компонентом алгоритмов контрольных сумм для проверки арифметических операций первых компьютеров. ^[3] Ранее, в эпоху ручных вычислений, Эджворт (1888) предложил использовать суммы 50 цифр, взятые из математических таблиц логарифмов , как форму генерации случайных чисел ; если предположить, что каждая цифра случайна, то по центральной предельной теореме эти суммы цифр будут иметь случайное распределение, близкое к распределению Гаусса . ^[4]

Сумма цифр двоичного представления числа известна как вес Хэмминга или количество населения; Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена как встроенная операция в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования . Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию , теорию кодирования и компьютерные шахматы .

Числа Харшада определяются с точки зрения делимости на их суммы цифр, а числа Смита определяются как равенство их цифровых сумм с цифровыми суммами их простых факторизаций .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Буш, Л.Е. (1940), «Асимптотическая формула для средней суммы цифр целых чисел», American Mathematical Monthly , 47 (3), Mathematical Association of America: 154–156, doi : 10.2307/2304217 , JSTOR 2304217 .
^ Борвейн, Дж. М. ; Борвейн, П.Б. (1992), «Странные серии и высокоточное мошенничество» (PDF) , American Mathematical Monthly , 99 (7): 622–640, doi : 10.2307/2324993 , hdl : 1959.13/1043650 , JSTOR 2324993 , заархивировано из оригинал (PDF) от 9 мая 2016 г. , получено 2 марта 2009 г.
^ Блох, Р.М.; Кэмпбелл, РВД; Эллис, М. (1948), «Логическое проектирование компьютера Raytheon», Математические таблицы и другие средства вычислений , 3 (24), Американское математическое общество: 286–295, номер документа : 10.2307/2002859 , JSTOR 2002859 .
^ Эджворт, финансовый год (1888), «Математическая теория банковского дела» (PDF) , Журнал Королевского статистического общества , 51 (1): 113–127, заархивировано из оригинала (PDF) 13 сентября 2006 г.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Сумма цифр» . Математический мир .
[1] Простое применение суммы цифр

[lebush-1] Буш, Л.Е. (1940), «Асимптотическая формула для средней суммы цифр целых чисел», American Mathematical Monthly , 47 (3), Mathematical Association of America: 154–156, doi : 10.2307/2304217 , JSTOR 2304217 .

[2] Борвейн, Дж. М. ; Борвейн, П.Б. (1992), «Странные серии и высокоточное мошенничество» (PDF) , American Mathematical Monthly , 99 (7): 622–640, doi : 10.2307/2324993 , hdl : 1959.13/1043650 , JSTOR 2324993 , заархивировано из оригинал (PDF) от 9 мая 2016 г. , получено 2 марта 2009 г.

[3] Блох, Р.М.; Кэмпбелл, РВД; Эллис, М. (1948), «Логическое проектирование компьютера Raytheon», Математические таблицы и другие средства вычислений , 3 (24), Американское математическое общество: 286–295, номер документа : 10.2307/2002859 , JSTOR 2002859 .

[4] Эджворт, финансовый год (1888), «Математическая теория банковского дела» (PDF) , Журнал Королевского статистического общества , 51 (1): 113–127, заархивировано из оригинала (PDF) 13 сентября 2006 г.

[1]

[2]

[3]

[4]