Правило делимости

Правило делимости — это сокращенный и полезный способ определить, ли данное целое число делится на фиксированный делитель без выполнения деления, обычно путем проверки его цифр. Хотя существуют тесты на делимость чисел в любом основании или основании, и все они разные, в этой статье представлены правила и примеры только для десятичных или десятичных чисел. Мартин Гарднер объяснил и популяризировал эти правила в своей колонке «Математические игры» в сентябре 1962 года в журнале Scientific American . ^[1]

Правила делимости чисел от 1 до 30 [ править ]

Приведенные ниже правила преобразуют данное число в вообще меньшее число, сохраняя при этом делимость на интересующий делитель. Поэтому, если не указано иное, полученное число следует оценить на делимость на тот же делитель. В некоторых случаях процесс можно повторять до тех пор, пока делимость не станет очевидной; для других (например, проверка последних n цифр) результат необходимо проверить другими способами.

Для делителей с несколькими правилами правила обычно упорядочиваются сначала для тех, которые подходят для чисел с большим количеством цифр, а затем для чисел с меньшим количеством цифр.

Чтобы проверить делимость числа на степень 2 или степень 5 (2 ^н или 5 ^н, в котором n — целое положительное число), нужно только посмотреть на последние n цифр этого числа.

Чтобы проверить делимость на любое число, выраженное как произведение простых множителей. $p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}$ , мы можем отдельно проверить делимость каждого простого числа до соответствующей степени. Например, проверка делимости на 24 (24 = 8×3 = 2 ³×3) эквивалентно проверке делимости на 8 (2 ³) и 3 одновременно, поэтому нам нужно показать делимость только на 8 и на 3, чтобы доказать делимость на 24.


Делитель	Условие делимости	Примеры
1	Никаких конкретных условий. Любое целое число делится на 1.	2 делится на 1.
2	Последняя цифра четная (0, 2, 4, 6 или 8). ^[2]^[3]	1294:4 четно.
3	Сумма цифр должна делиться на 3. (Работает, поскольку 9 делится на 3). ^[2]^[4]^[5]	405 → 4 + 0 + 5 = 9 и 636 → 6 + 3 + 6 = 15, которые оба явно делятся на 3. 16 499 205 854 376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6 в сумме дают 69 → 6 + 9 = 15, которое делится на 3.
	Вычтите количество цифр 2, 5 и 8 в числе из количества цифр 1, 4 и 7 в числе. Результат должен делиться на 3.	Используя приведенный выше пример: 16 499 205 854 376 содержит четыре цифры 1, 4 и 7 и четыре цифры 2, 5 и 8; Поскольку 4 - 4 = 0 кратно 3, число 16 499 205 854 376 делится на 3.
	Вычитание 2 раз последней цифры из остальных дает кратное 3. (Работает, потому что 21 делится на 3)	405: 40 – 5 х 2 = 40 – 10 = 30 = 3 х 10
4	Последние две цифры образуют число, которое делится на 4. ^[2]^[3]	40 832: 32 делится на 4.
	Если цифра десятков четная, цифра единиц должна быть 0, 4 или 8. Если цифра десятков нечетная, цифра единиц должна быть 2 или 6.	40 832: 3 — нечетно, а последняя цифра — 2.
	Сумма цифр единиц и удвоенной цифры десятков делится на 4.	40 832: 2 × 3 + 2 = 8, которое делится на 4.
5	Последняя цифра — 0 или 5. ^[2]^[3]	495: последняя цифра — 5.
6	Оно делится на 2 и на 3. ^[6]	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, поэтому оно делится на 3, а последняя цифра четная, следовательно, число делится на 6.
6	Суммируйте цифры единиц, 4 раза цифру 10, 4 раза цифру 100, 4 раза цифру 1000 и т. д. Если результат делится на 6, то и исходное число делится также. (Работает, потому что $10^{n}=4{\pmod {6}}$ для $n>1$ .)	1,458: (4 × 1) + (4 × 4) + (4 × 5) + 8 = 4 + 16 + 20 + 8 = 48
7	Формирование попеременной суммы блоков по три справа налево дает число, кратное 7. ^[5]^[7]	1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	Прибавление последней цифры к остальным 5 раз дает число, кратное 7. (Работает, поскольку 49 делится на 7.)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	Вычитание 2 раз последней цифры из остальных дает кратное 7. (Работает, потому что 21 делится на 7.)	483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	Вычитание 9 раз последней цифры из остальных дает кратное 7. (Работает, потому что 91 делится на 7.)	483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	Прибавив 3 раза первую цифру к следующей, а затем записав остальные, получим число, кратное 7. (Это работает, потому что 10 a + b − 7 a = 3 a + b ; последнее число имеет тот же остаток, что и 10 a + b . )	483: 4 × 3 + 8 = 20, 203: 2 × 3 + 0 = 6, 63: 6 × 3 + 3 = 21.
	Прибавление последних двух цифр к остальным вдвое дает число, кратное 7. (Работает, поскольку 98 делится на 7.)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	Умножьте каждую цифру (справа налево) на цифру в соответствующей позиции в этом шаблоне (слева направо): 1, 3, 2, -1, -3, -2 (повторяется для цифр за пределами ста тысяч). ). Сложение результатов дает число, кратное 7.	483,595: (4 × (−2)) + (8 × (−3)) + (3 × (−1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	Вычислите остаток каждой пары цифр (справа налево) при делении на 7. Умножьте самый правый остаток на 1, следующий слева на 2 и следующий на 4, повторяя шаблон для пар цифр за пределами сотен тысяч. . Сложение результатов дает число, кратное 7.	194 536: 19\|45\|36; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, поэтому оно не делится на 7. 204 540: 20\|45\|40 ; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, поэтому делится на 7.
8	Если цифра сотен четная, то число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 8.	624: 24.
	Если цифра сотен нечетная, то число, полученное с помощью двух последних цифр, должно быть в 4 раза больше нечетного числа.	352:52 = 4 х 13.
	Прибавьте последнюю цифру к удвоенному оставшемуся. Результат должен делиться на 8.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	Последние три цифры делятся на 8. ^[2]^[3]	34 152: Изучите делимость всего лишь 152: 19 × 8.
	Сумма единиц, удвоенной цифры десятков и четырехкратной цифры сотен делится на 8.	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	Сумма цифр должна делиться на 9. ^[2]^[4]^[5]	2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
9	Вычитание 8 раз последней цифры из остальных дает кратное 9. (Работает, потому что 81 делится на 9)	2880: 288 – 0 х 8 = 288 – 0 = 288 = 9 х 32
10	Последняя цифра — 0. ^[3]	130: цифра 0.
10	Оно делится на 2 и на 5.	130: делится на 2 и на 5
11	Сформируйте попеременную сумму цифр или, что то же самое, сумму(нечет) - сумму(чет). Результат должен делиться на 11. ^[2]^[5]	918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11.
	Сложите цифры блоками по два справа налево. Результат должен делиться на 11. ^[2]	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	Вычтите последнюю цифру из остальных. Результат должен делиться на 11.	627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
	К остальным прибавьте 10 раз последнюю цифру. Результат должен делиться на 11. (Работает, поскольку 99 делится на 11).	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	Если количество цифр четное, прибавьте первую и вычтите последнюю цифру из остальных. Результат должен делиться на 11.	918 082: количество цифр четное (6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11
	Если количество цифр нечетное, вычтите из остальных первую и последнюю цифры. Результат должен делиться на 11.	14 179: количество цифр нечетное (5) → 417 − 1 − 9 = 407 = 37 × 11
12	Оно делится на 3 и на 4. ^[6]	324: делится на 3 и на 4.
12	Вычтите последнюю цифру из удвоенных остальных. Результат должен делиться на 12.	324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
13	Сформируйте попеременную сумму блоков по три справа налево. Результат должен делиться на 13. ^[7]	2,911,272: 272 − 911 + 2 = −637
	К остальным прибавьте 4 раза последнюю цифру. Результат должен делиться на 13. (Работает, поскольку 39 делится на 13).	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	Вычтите последние две цифры из четырехкратного остатка. Результат должен делиться на 13.	923: 9 × 4 − 23 = 13.
	Вычтите 9 раз последнюю цифру из остальных. Результат должен делиться на 13. (Работает, поскольку 91 делится на 13).	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	Оно делится на 2 и на 7. ^[6]	224: делится на 2 и на 7.
14	Прибавьте две последние цифры к удвоенному остальному. Результат должен делиться на 14.	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1,764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	Оно делится на 3 и на 5. ^[6]	390: делится на 3 и на 5.
16	Если цифра тысяч четная, число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на 16.	254,176: 176.
	Если цифра тысяч нечетная, число, образованное тремя последними цифрами, должно быть в 8 раз больше нечетного числа.	3408:408 = 8 х 51.
	Прибавьте последние две цифры к остатку, умноженному на четыре. Результат должен делиться на 16.	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1,168: 11 × 4 + 68 = 112.
	Последние четыре цифры должны делиться на 16. ^[2]^[3]	157,648: 7,648 = 478 × 16.
	Сумма единиц, удвоенной цифры десятков, четырехкратной цифры сотен и восьмикратной цифры тысяч делится на 16.	157,648: 7 × 8 + 6 × 4 + 4 × 2 + 8 = 96
17	Вычтите 5 раз последнюю цифру из остальных. (Работает, потому что 51 делится на 17.)	221: 22 − 1 × 5 = 17.
	К остальным прибавьте 12 раз последнюю цифру. (Работает, потому что 119 делится на 17).	221: 22 + 1 х 12 = 22 + 12 = 34 = 17 х 2
	Вычтите две последние цифры из двух оставшихся цифр. (Работает, потому что 102 делится на 17.)	4,675: 46 × 2 − 75 = 17.
	Прибавьте 2 раза последнюю цифру к 3 раза остальным. Отбросьте конечные нули. (Работает, потому что (10 a + b ) × 2 − 17 a = 3 a + 2 b ; поскольку 17 — простое число, а 2 взаимно просто с 17, 3 a + 2 b делится на 17 тогда и только тогда, когда 10 a + b является.)	4,675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1,411; 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85.
18	Оно делится на 2 и на 9. ^[6]	342: делится на 2 и на 9.
19	К остальным прибавьте дважды последнюю цифру. (Работает, потому что (10 a + b ) × 2 − 19 a = a + 2 b ; поскольку 19 — простое число, а 2 взаимно просто с 19, a + 2 b делится на 19 тогда и только тогда, когда 10 a + b делится. )	437: 43 + 7 × 2 = 57.
19	К остальным прибавьте 4 раза последние две цифры. (Работает, потому что 399 делится на 19.)	6,935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	Оно делится на 10, а цифра десятков четная.	360: делится на 10, а 6 четно.
	Последние две цифры: 00, 20, 40, 60 или 80. ^[3]	480: 80
	Оно делится на 4 и 5.	480: делится на 4 и 5.
21	Вычитание дважды последней цифры из остальных дает число, кратное 21. (Работает, потому что (10 a + b ) × 2 − 21 a = − a + 2 b ; последнее число имеет тот же остаток, что и 10 a + b .)	168: 16 − 8 × 2 = 0.
	Если суммировать 19 раз последнюю цифру с остальными, получится кратное 21. (Работает, потому что 189 делится на 21).	168: 16 + 8 х 19 = 16 + 152 = 168 = 21 х 8
	Оно делится на 3 и на 7. ^[6]	231: делится на 3 и на 7.
22	Оно делится на 2 и на 11. ^[6]	352: делится на 2 и на 11.
23	К остальным прибавьте 7 раз последнюю цифру. (Работает, потому что 69 делится на 23.)	3,128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
	К остальным прибавьте 3 раза последние две цифры. (Работает, потому что 299 делится на 23.)	1,725: 17 + 25 × 3 = 92.
	Вычтите 16 раз последнюю цифру из остальных. (Работает, потому что 161 делится на 23).	1012: 101 – 2 х 16 = 101 – 32 = 69 = 23 х 3
	Вычтите дважды последние три цифры из остальных. (Работает, потому что 2001 делится на 23.)	2,068,965: 2,068 − 965 × 2 = 138.
24	Оно делится на 3 и на 8. ^[6]	552: делится на 3 и на 8.
25	Последние две цифры: 00, 25, 50 или 75.	134 250: 50 делится на 25.
26	Оно делится на 2 и на 13. ^[6]	156: делится на 2 и на 13.
26	Вычитание последней цифры 5 раз из остального числа, умноженного на 2, дает кратное 26. (Работает, потому что 52 делится на 26.)	1,248 : (124 ×2) - (8×5) = 208 = 26 × 8
27	Сложите цифры блоками по три справа налево. (Работает, потому что 999 делится на 27.)	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918.
	Вычтите 8 раз последнюю цифру из остальных. (Работает, потому что 81 делится на 27.)	621: 62 − 1 × 8 = 54.
	Суммируйте 19 раз последнюю цифру остальных. (Работает, потому что 189 делится на 27).	1026: 102 + 6 х 19 = 102 + 114 = 216 = 27 х 8
	Вычтите две последние цифры из 8 умноженных на остальные. (Работает, потому что 108 делится на 27.)	6,507: 65 × 8 − 7 = 520 − 7 = 513 = 27 × 19.
28	Оно делится на 4 и на 7. ^[6]	140: делится на 4 и на 7.
29	К остальным прибавьте три раза последнюю цифру. (Работает, потому что (10 a + b ) × 3 − 29 a = a + 3 b ; последнее число имеет тот же остаток, что и 10 a + b .)	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	К остальным прибавьте 9 раз последние две цифры. (Работает, потому что 899 делится на 29.)	5,510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
	Вычтите 26 раз последнюю цифру из остальных. (Работает, потому что 261 делится на 29).	1015: 101 – 5 х 26 = 101 – 130 = -29 = 29 х -1
	Вычтите дважды последние три цифры из остальных. (Работает, потому что 2001 делится на 29.)	2,086,956: 2,086 − 956 × 2 = 174.
30	Оно делится на 3 и на 10. ^[6]	270: делится на 3 и на 10.
	Оно делится на 2, на 3 и на 5.	270: делится на 2, на 3 и на 5.
	Оно делится на 2 и на 15.	270: делится на 2 и на 15.
	Оно делится на 5 и на 6.	270: делится на 5 и на 6.

Пошаговые примеры [ править ]

Делимость на 2 [ править ]

Сначала возьмите любое число (в данном примере это будет 376) и запишите последнюю цифру этого числа, отбросив остальные цифры. Затем возьмите эту цифру (6), игнорируя остальную часть числа, и определите, делится ли она на 2. Если она делится на 2, то исходное число делится на 2.

Пример

376 (исходный номер)
37 6 (Возьмите последнюю цифру)
6 ÷ 2 = 3 (проверьте, делится ли последняя цифра на 2)
376 ÷ 2 = 188 (Если последняя цифра делится на 2, то и целое число делится на 2)

Делимость на 3 или 9 [ править ]

Сначала возьмите любое число (в данном примере это будет 492) и сложите каждую цифру числа (4 + 9 + 2 = 15). Затем возьмите эту сумму (15) и определите, делится ли она на 3. Исходное число делится на 3 (или 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (или 9).

Сложение цифр числа, а затем повторение процесса с результатом до тех пор, пока не останется только одна цифра, даст остаток исходного числа, если бы оно было разделено на девять (если только эта единственная цифра сама не равна девяти, и в этом случае число делится на девять, остаток равен нулю).

Это можно обобщить на любую стандартную позиционную систему , в которой рассматриваемый делитель становится на единицу меньше, чем основание системы счисления ; таким образом, в системе счисления по основанию двенадцать цифры будут составлять остаток исходного числа, если его разделить на одиннадцать, а числа делятся на одиннадцать, только если сумма цифр делится на одиннадцать.

Пример.

492 (исходный номер)
4 + 9 + 2 = 15 (Сложите каждую цифру вместе)
15 делится на 3, и на этом мы можем остановиться. В качестве альтернативы мы можем продолжить использовать тот же метод, если число все еще слишком велико:
1 + 5 = 6 (Сложите каждую цифру отдельно)
6 ÷ 3 = 2 (Проверьте, делится ли полученное число на 3)
492 ÷ 3 = 164 (Если полученное с помощью правила число делится на 3, то и целое число делится на 3)

Делимость на 4 [ править ]

Основное правило делимости на 4 состоит в том, что если число, образованное двумя последними цифрами числа, делится на 4, то исходное число делится на 4; ^[2]^[3] это потому, что 100 делится на 4, и поэтому добавление сотен, тысяч и т. д. — это просто добавление еще одного числа, которое делится на 4. Если какое-либо число заканчивается двузначным числом, которое, как вы знаете, делится на 4 (например, 24, 04, 08 и т. д.), то целое число будет делиться на 4 независимо от того, что стоит перед двумя последними цифрами.

Альтернативно, можно просто добавить половину последней цифры к предпоследней цифре (или оставшемуся числу). Если это число четное натуральное, то исходное число делится на 4.

Кроме того, можно просто разделить число на 2, а затем проверить результат, чтобы определить, делится ли оно на 2. Если да, то исходное число делится на 4. Кроме того, результат этого теста такой же, как и результат этого теста. исходное число, разделенное на 4.

Пример.
Главное правило

2092 (исходный номер)
20 92 (Возьмите последние две цифры числа, отбросив все остальные цифры)
92 ÷ 4 = 23 (проверьте, делится ли число на 4)
2092 ÷ 4 = 523 (Если полученное число делится на 4, то исходное число делится на 4)

Второй метод

6174 (исходный номер)
проверьте, чтобы последняя цифра была четной, иначе 6174 не делится на 4.
61 7 4 (Отделите две последние цифры от остальной части номера)
4 ÷ 2 = 2 (последняя цифра разделена на 2)
7 + 2 = 9 (прибавьте половину последней цифры к предпоследней цифре)
Поскольку 9 не четное, 6174 не делится на 4.

Третий метод

1720 (Исходное число)
1720 ÷ 2 = 860 (Исходное число разделите на 2)
860 ÷ 2 = 430 (проверьте, делится ли результат на 2)
1720 ÷ 4 = 430 (Если результат делится на 2, то исходное число делится на 4)

Делимость на 5 [ править ]

Делимость на 5 легко определить, проверив последнюю цифру числа (47 5 ) и проверив, является ли она 0 или 5. Если последнее число равно 0 или 5, все число делится на 5. ^[2]^[3]

Если последняя цифра в числе равна 0, то результатом будут оставшиеся цифры, умноженные на 2. Например, число 40 заканчивается нулем, поэтому возьмите оставшиеся цифры (4) и умножьте их на два (4 × 2 = 8). Результат такой же, как результат деления 40 на 5 (40/5 = 8).

Если последняя цифра числа равна 5, то результатом будут оставшиеся цифры, умноженные на два плюс один. Например, число 125 заканчивается на 5, поэтому возьмите оставшиеся цифры (12), умножьте их на два (12 × 2 = 24), затем добавьте единицу (24 + 1 = 25). Результат такой же, как результат деления 125 на 5 (125/5=25).

Пример.
Если последняя цифра 0

110 (исходное число)
11 0 (Возьмите последнюю цифру числа и проверьте, 0 это или 5)
11 0 (Если 0, возьмите оставшиеся цифры, отбросив последнюю)
11 × 2 = 22 (Умножьте результат на 2)
110 ÷ 5 = 22 (Результат тот же, что и исходное число, разделенное на 5)

Если последняя цифра 5

85 (исходный номер)
8 5 (Возьмите последнюю цифру числа и проверьте, 0 это или 5)
8 5 (Если 5, возьмите оставшиеся цифры, отбросив последнюю)
8 × 2 = 16 (Умножить результат на 2)
16 + 1 = 17 (к результату прибавьте 1)
85 ÷ 5 = 17 (Результат тот же, что и исходное число, разделенное на 5)

Делимость на 6 [ править ]

Делимость на 6 определяется путем проверки исходного числа на предмет того, является ли оно четным числом ( делящимся на 2 ) и делится ли оно на 3 . ^[6] Это лучший тест для использования.

Если число делится на шесть, возьмите исходное число (246) и разделите его на два (246 ÷ 2 = 123). Затем возьмите этот результат и разделите его на три (123 ÷ 3 = 41). Этот результат совпадает с исходным числом, разделенным на шесть (246 ÷ 6 = 41).

Пример.

Главное правило

324 (исходный номер)
324 ÷ 3 = 108 (проверьте, делится ли исходное число на 3)
Убедитесь, что последняя цифра исходного числа или результата деления на 3 делится на 2.
324 ÷ 6 = 54 (Если любой из тестов на последнем шаге верен, то исходное число делится на 6)

Нахождение остатка числа при делении на 6: (1, -2, -2, -2, -2 и -2 продолжаются до конца) Без периода. -- Минимальная последовательность магнитуд; (1, 4, 4, 4, 4 и 4 продолжаются до конца) -- Положительная последовательность; Умножьте самую правую цифру на самую левую цифру в последовательности, а затем умножьте вторую крайнюю правую цифру на вторую крайнюю левую цифру в последовательности и так далее.; Далее вычислите сумму всех значений и возьмите остаток от деления на 6.

Пример: каков остаток от деления 1036125837 на 6?

Умножение самой правой цифры = 1 × 7 = 7

Умножение второй крайней правой цифры = 3 × −2 = −6.

Третья правая цифра = −16.

Четвертая крайняя правая цифра = −10.

Пятая крайняя правая цифра = −4

Шестая крайняя правая цифра = −2

Седьмая крайняя правая цифра = −12.

Самая правая восьмая цифра = −6.

Девятая крайняя правая цифра = 0

Десятая крайняя правая цифра = −2

Сумма = −51

−51 ≡ 3 (по модулю 6)

Остаток = 3

Делимость на 7 [ править ]

Делимость на 7 можно проверить рекурсивным методом. Число вида 10 x + y делится на 7 тогда и только тогда, когда x − 2 y делится на 7. Другими словами, вычтите дважды последнюю цифру из числа, образованного остальными цифрами. Продолжайте делать это до тех пор, пока не будет получено число, для которого известно, делится ли оно на 7. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этой процедуры, делится на 7. Например, число 371: 37 – (2×1) = 37 – 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7; таким образом, поскольку −7 делится на 7, 371 делится на 7.

Аналогично число вида 10 x + y делится на 7 тогда и только тогда, когда x + 5 y делится на 7. ^[8] Так прибавьте пять раз последнюю цифру к числу, образованному остальными цифрами, и продолжайте делать это до тех пор, пока не получится число, для которого известно, делится ли оно на 7. ^[9]

Другой метод — умножение на 3. Число вида 10 x + y имеет тот же остаток при делении на 7, что и 3 x + y . Необходимо умножить крайнюю левую цифру исходного числа на 3, прибавить следующую цифру, взять остаток при делении на 7 и продолжить с начала: умножить на 3, прибавить следующую цифру и т. д. Например, число 371: 3×3 + 7 = 16, остаток 2 и 2×3 + 1 = 7. Этот метод можно использовать для нахождения остатка от деления на 7.

Более сложный алгоритм проверки делимости на 7 использует тот факт, что 10 ⁰ ≡ 1, 10 ¹ ≡ 3, 10 ² ≡ 2, 10 ³ ≡ 6, 10 ⁴ ≡ 4, 10 ⁵ ≡ 5, 10 ⁶≡ 1, ... (по модулю 7). Возьмите каждую цифру числа (371) в обратном порядке (173), умножив их последовательно на цифры 1 , 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , повторяя эту последовательность множителей столько, сколько необходимо (1, 3, 2 , 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...) и сложение произведений (1× 1 + 7× 3 + 3× 2 = 1 + 21 + 6 = 28). Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этой процедуры, делится на 7 (следовательно, 371 делится на 7, поскольку 28 делится). ^[10]

Этот метод можно упростить, устранив необходимость умножения. Все, что потребуется при таком упрощении, — это запомнить приведенную выше последовательность (132645...), а также складывать и вычитать, но всегда работая с однозначными числами.

Упрощение происходит следующим образом:

Возьмем, к примеру, число 371.
Измените все вхождения 7 , 8 или 9 на 0 , 1 и 2 соответственно. В этом примере мы получаем: 301 . Этот второй шаг можно пропустить, за исключением самой левой цифры, но его выполнение может облегчить дальнейшие вычисления.
Теперь преобразуем первую цифру (3) в следующую цифру последовательности 13264513. В нашем примере 3 становится 2 .
Добавьте результат предыдущего шага (2) ко второй цифре числа и замените полученным результатом обе цифры, оставив все оставшиеся цифры неизмененными: 2 + 0 = 2. Таким образом, 30 1 становится 2 1 .
Повторяйте процедуру до тех пор, пока у вас не будет распознаваемого числа, кратного 7, или, чтобы быть уверенным, числа от 0 до 6. Итак, начиная с 21 (которое является распознаваемым кратным 7), возьмите первую цифру (2) и преобразуйте ее в следующее в приведенной выше последовательности: 2 становится 6. Затем добавьте это ко второй цифре: 6 + 1 = 7 .
Если в какой-то момент первая цифра равна 8 или 9, они становятся 1 или 2 соответственно. Но если это 7, то оно должно стать 0, только если за ним не следуют другие цифры. В противном случае его следует просто отбросить. Это связано с тем, что 7 превратилось бы в 0, а числа, в которых перед десятичной точкой есть не менее двух цифр, не начинаются с 0, что бесполезно. В соответствии с этим наша 7 становится 0 .

Если с помощью этой процедуры вы получите 0 или любое распознаваемое число, кратное 7, то исходное число будет кратно 7. Если вы получите любое число от 1 до 6 , это будет указывать, сколько вам следует вычесть из исходного числа, чтобы получить кратно 7. Другими словами, вы найдете остаток от деления числа на 7. Для примера возьмем число 186 :

Сначала измените 8 на 1: 116 .
Теперь замените 1 на следующую цифру в последовательности (3), прибавьте ее ко второй цифре и запишите результат вместо обеих: 3 + 1 = 4 . Итак, 11 6 теперь становится 4 6 .
Повторите процедуру, так как число больше 7. Теперь 4 становится 5, которое нужно прибавить к 6. То есть 11 .
Повторите процедуру еще раз: 1 становится 3, которое прибавляется ко второй цифре (1): 3 + 1 = 4 .

Теперь у нас есть число меньше 7, и это число (4) является остатком от деления 186/7. Значит, 186 минус 4, то есть 182, должно быть кратно 7.

Примечание. Причина, по которой это работает, заключается в том, что если у нас есть: a+b=c и b кратно любому заданному числу n , то a и c обязательно дадут одинаковый остаток при делении на n . Другими словами, в 2 + 7 = 9 7 делится на 7. Таким образом, 2 и 9 должны иметь одинаковый остаток при делении на 7. Остаток равен 2.

Следовательно, если число n кратно 7 (т. е. остаток от n /7 равен 0), то добавление (или вычитание) кратных 7 не может изменить это свойство.

Как объяснялось выше для большинства правил делимости, эта процедура просто вычитает понемногу числа, кратные 7, из исходного числа, пока не достигнет числа, достаточно малого, чтобы мы могли запомнить, кратно ли оно 7. Если 1 становится 3 в следующей десятичной позиции, это то же самое, что преобразовать 10×10 ^н в 3×10 ^н. И это на самом деле то же самое, что вычесть 7×10. ^н (явно кратное 7) от 10×10 ^н.

Аналогично, когда вы превращаете 3 в 2 в следующей десятичной позиции, вы превращаете 30×10. ^н на 2×10 ^н, что равносильно вычитанию 30×10 ^н−28×10 ^н, и это снова вычитание числа, кратного 7. Та же причина применима ко всем остальным преобразованиям:

20×10 ^н − 6×10 ^н= 14 ×10 ^н
60×10 ^н − 4×10 ^н= 56 ×10 ^н
40×10 ^н − 5×10 ^н= 35 ×10 ^н
50×10 ^н − 1×10 ^н= 49 ×10 ^н

Пример первого метода
1050 → 105 − 0 = 105 → 10 − 10 = 0. ОТВЕТ: 1050 делится на 7.

Пример второго метода
1050 → 0501 (обратный) → 0× 1 + 5× 3 + 0× 2 + 1× 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (умножить и сложить). ОТВЕТ: 1050 делится на 7.

Ведический метод деления путем соприкосновения
Делимость на семь можно проверить умножением на Экхадику . Преобразуйте делитель семь в семейство девяток, умножив на семь. 7×7=49. Добавьте единицу, отбросьте цифру единиц и возьмите 5, Экхадику , в качестве множителя. Начните справа. Умножьте на 5, прибавьте произведение к следующей цифре слева. Запишите этот результат в строке под этой цифрой. Повторите этот метод, умножив цифру единиц на пять и прибавив это произведение к числу десятков. Прибавьте результат к следующей цифре слева. Запишите этот результат под цифрой. Продолжайте до конца. Если результат равен нулю или кратен семи, то да, число делится на семь. В противном случае это не так. Это соответствует ведическому идеалу, однострочному обозначению. ^[11]^{[ ненадежный источник? ]}

Пример ведического метода:

Делится ли 438 722 025 на семь?  Множитель = 5.
  4 3 8 7 2 2 0 2 5
 42 37 46 37 6 40 37 27
 ДА

Метод Полмана – Массы делимости на 7
Метод Полмана – Масса обеспечивает быстрое решение, позволяющее за три шага или меньше определить, делятся ли большинство целых чисел на семь. Этот метод может быть полезен на соревнованиях по математике, таких как MATHCOUNTS, где время является фактором, позволяющим определить решение без калькулятора в спринтерском раунде.

Шаг А: Если целое число равно 1000 или меньше, вычтите дважды последнюю цифру из числа, образованного оставшимися цифрами. Если результат кратен семи, то и исходное число тоже (и наоборот). Например:

112 -> 11 — (2×2) = 11 — 4 = 7 ДА
 98 -> 9 – (8×2) = 9 – 16 = –7 ДА
 634 -> 63 — (4×2) = 63 — 8 = 55 НЕТ

Поскольку 1001 делится на семь, возникает интересная закономерность для повторяющихся наборов из 1, 2 или 3 цифр, которые образуют 6-значные числа (допускаются ведущие нули), поскольку все такие числа делятся на семь. Например:

001 001 = 1,001 / 7 = 143
010 010 = 10,010 / 7 = 1,430
011 011 = 11,011 / 7 = 1,573
100 100 = 100,100 / 7 = 14,300
101 101 = 101,101 / 7 = 14,443
110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443
10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873
222,222 / 7 = 31,746
999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

Во всех приведенных выше примерах вычитание первых трех цифр из трех последних дает число, кратное семи. Обратите внимание, что ведущие нули могут образовывать 6-значный шаблон.

Это явление лежит в основе шагов B и C.

Шаг Б: Если целое число находится в диапазоне от 1001 до одного миллиона, найдите повторяющийся шаблон из 1, 2 или 3 цифр, который образует 6-значное число, близкое к целому числу (допускаются ведущие нули, которые помогут вам визуализировать шаблон). Если положительная разница меньше 1000, примените шаг А. Это можно сделать, вычитая первые три цифры из последних трех цифр. Например:

341 355 – 341 341 = 14 -> 1 – (4×2) = 1 – 8 = –7 ДА
  67 326 – 067 067 = 259 -> 25 – (9×2) = 25 – 18 = 7 ДА

Тот факт, что 999 999 кратно семи, можно использовать для определения делимости целых чисел, превышающих один миллион, путем уменьшения целого числа до 6-значного числа, которое можно определить с помощью шага Б. Это можно легко сделать, сложив цифры слева от числа. от первых шести до последних шести и переходите к шагу А.

Шаг С: Если целое число превышает один миллион, вычтите ближайшее число, кратное 999 999, а затем примените шаг B. Для еще больших чисел используйте более крупные наборы, такие как 12-значные (999 999 999 999) и так далее. Затем разбейте целое число на меньшее число, которое можно решить с помощью шага Б. Например:

22 862 420 — (999 999 × 22) = 22 862 420 — 21 999 978 -> 862 420 + 22 = 862 442
    862 442 -> 862 — 442 (Шаг B) = 420 -> 42 — (0×2) (Шаг A) = 42 ДА

Это позволяет складывать и вычитать чередующиеся наборы трех цифр для определения делимости на семь. Понимание этих закономерностей позволит вам быстро вычислить делимость семи, как показано в следующих примерах:

Метод Полмана – Масса делимости на 7, примеры:

Делится ли 98 на семь?
 98 -> 9 – (8×2) = 9 – 16 = –7 ДА (Шаг A)

Делится ли 634 на семь?
 634 -> 63 — (4×2) = 63 — 8 = 55 НЕТ (Шаг А)

Делится ли 355 341 на семь?
 355 341 – 341 341 = 14 000 (Шаг B) -> 014 – 000 (Шаг B) -> 14 = 1 – (4×2) (Шаг A) = 1 – 8 = –7 ДА

Делится ли 42 341 530 на семь?
 42 341 530 -> 341 530 + 42 = 341 572 (Шаг C)
 341 572 − 341 341 = 231 (Шаг Б)
 231 -> 23 — (1×2) = 23 — 2 = 21 ДА (Шаг A)

Используя быстрые попеременные сложения и вычитания:
  42 341 530 -> 530 — 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 — (1×2) = 21 ДА

Умножение на 3, метод деления на 7, примеры:

Делится ли 98 на семь?
 98 -> остаток 9 2 -> 2×3 + 8 = 14 ДА

Делится ли 634 на семь?
 634 -> 6×3 + 3 = 21 -> остаток 0 -> 0×3 + 4 = 4 НЕТ

Делится ли 355 341 на семь?
 3×3 + 5 = 14 -> остаток 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> остаток 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> остаток 2 -> 2× 3 + 1 = 7 ДА

Найдите остаток от деления 1036125837 на 7.
 1×3 + 0 = 3
 3×3 + 3 = 12 остаток 5
 5×3 + 6 = 21, остаток 0
 0×3 + 1 = 1
 1×3 + 2 = 5
 5×3 + 5 = 20, остаток 6
 6×3 + 8 = 26, остаток 5
 5×3 + 3 = 18, остаток 4
 4×3 + 7 = 19, остаток 5
 Ответ: 5

Нахождение остатка числа при делении на 7

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, цикл повторяется для следующих шести цифр) Период: 6 цифр. Повторяющиеся числа: 1, 3, 2, −1, −3, −2.
Последовательность минимальной величины
(1, 3, 2, 6, 4, 5, цикл повторяется для следующих шести цифр) Период: 6 цифр. Повторяющиеся цифры: 1, 3, 2, 6, 4, 5.
Положительная последовательность

Умножьте самую правую цифру на самую левую цифру в последовательности и умножьте вторую крайнюю правую цифру на вторую крайнюю левую цифру в последовательности и так далее, и так далее. Затем вычислите сумму всех значений и возьмите модуль 7.
Пример: каков остаток от деления 1036125837 на 7?

Умножение самой правой цифры = 1 × 7 = 7

Умножение второй крайней правой цифры = 3 × 3 = 9

Третья крайняя правая цифра = 8 × 2 = 16.

Четвертая крайняя правая цифра = 5 × −1 = −5.

Пятая крайняя правая цифра = 2 × −3 = −6.

Шестая крайняя правая цифра = 1 × −2 = −2.

Седьмая крайняя правая цифра = 6 × 1 = 6

Самая правая восьмая цифра = 3 × 3 = 9

Девятая крайняя правая цифра = 0

Десятая крайняя правая цифра = 1 × −1 = −1

Сумма = 33

33 модуль 7 = 5

Остаток = 5

Парный метод деления на 7

Этот метод использует 1 , −3 , 2 шаблон для пар цифр . То есть делимость любого числа на семь можно проверить, сначала разделив число на пары цифр, а затем применив алгоритм к парам трех цифр (шести цифр). Если число меньше шести цифр, заполняйте нули справа, пока не останется шесть цифр. Когда число превышает шесть цифр, повторите цикл для следующей шестизначной группы, а затем сложите результаты. Повторяйте алгоритм до тех пор, пока результат не станет небольшим числом. Исходное число делится на семь тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этого алгоритма, делится на семь. Этот метод особенно подходит для больших чисел.

Пример 1:
Число для проверки — 157514. Сначала разделим число на три пары цифр: 15, 75 и 14.
Далее применяем алгоритм: 1 ×15 − 3 ×75 + 2 ×14 = 182.
Поскольку полученное число 182 содержит меньше шести цифр, мы добавляем нули в правую часть, пока оно не станет шестизначным.
Затем снова применим наш алгоритм: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42.
Результат −42 делится на семь, поэтому исходное число 157514 делится на семь.

Пример 2:
Номер для проверки: 15751537186.
( 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + ( 1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
Результат -77 делится на семь, таким образом, исходное число 15751537186 делится на семь.

Еще один парный метод деления на 7.

Метод

Это нерекурсивный метод нахождения остатка от числа при делении на 7:

Разделите число на пары цифр, начиная с единицы. При необходимости добавьте к числу 0, чтобы завершить последнюю пару.
Вычислите остаток от каждой пары цифр при делении на 7.
Умножьте остатки на соответствующий множитель из последовательности 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... : остаток от пары цифр, состоящей из единиц и десятков, следует умножить на 1, сотни и тысячи - на 2. , десять тысяч и сто тысяч на 4, миллион и еще раз десять миллионов на 1 и так далее.
Вычислите остаток, который останется от каждого произведения при делении на 7.
Добавьте эти остатки.
Остаток суммы при делении на 7 равен остатку данного числа при делении на 7.

Например:

Число 194 536 при делении на 7 оставляет в остатке 6.

Число 510 517 813 при делении на 7 оставляет в остатке 1.

Доказательство правильности метода

Метод основан на наблюдении, что 100 оставляет в остатке 2 при делении на 7. И поскольку мы разбиваем число на пары цифр, мы, по сути, имеем степени 100.

1 против 7 = 1

100 против 7 = 2

10 000 против 7 = 2^2 = 4

1 000 000 против 7 = 2^3 = 8; 8 против 7 = 1

100 000 000 против 7 = 2^4 = 16; 16 против 7 = 2

10 000 000 000 против 7 = 2^5 = 32; 32 против 7 = 4

И так далее.

Корректность метода тогда устанавливается следующей цепочкой равенств:

Пусть N — заданное число ${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}$ .

${\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7$

$[\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}$

$\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}$

$\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})$

Делимость на 13 [ править ]

Остаток теста 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, цикл продолжается.) Если вам не нравятся отрицательные числа, используйте эту последовательность. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

Умножьте крайнюю правую цифру числа на самое левое число в последовательности, показанной выше, а вторую крайнюю правую цифру на вторую крайнюю левую цифру числа в последовательности. Цикл продолжается.

Пример: каков остаток, если 321 разделить на 13?
Используя первую последовательность,
Ответ: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17.
Остаток = −17 против 13 = 9

Пример: каков остаток от деления 1234567 на 13?
Используя вторую последовательность,
Ответ: 7 ×1 + 6 ×10 + 5 ×9 + 4 ×12 + 3 ×3 + 2 ×4 + 1 ×1 = 178 по модулю 13 = 9.
Остаток = 9

Рекурсивный метод можно получить, используя тот факт, что $10=-3{\bmod {1}}3$ и это $10^{-1}=4{\bmod {1}}3$ . Это означает, что число делится на 13 тогда и только тогда, когда удаление первой цифры и вычитание этой цифры 3 раза из новой первой цифры дает число, делящееся на 13. У нас также есть правило, согласно которому 10 x + y делится тогда и только тогда, когда x + 4 y равно делится на 13. Например, чтобы проверить делимость 1761 на 13, мы можем свести это к делимости 461 по первому правилу. Используя второе правило, это сводится к делимости 50, а повторение этого действия дает 5. Итак, 1761 не делится на 13.

Проверка 871 таким образом сводит его к делимости 91 с использованием второго правила, а затем к 13 с использованием этого правила снова, поэтому мы видим, что 871 делится на 13.

За 30 [ править ]

Свойства делимости чисел можно определить двумя способами, в зависимости от типа делителя.

Составные делители [ править ]

Число делится на заданный делитель, если оно делится на высшую степень каждого из своих простых множителей. Например, чтобы определить делимость на 36, проверьте делимость на 4 и на 9. ^[6]Обратите внимание, что проверки 3 и 12 или 2 и 18 будет недостаточно. таблица простых коэффициентов Может оказаться полезной .

Составной делитель также может иметь правило , сформированное с использованием той же процедуры, что и для простого делителя, приведенной ниже, с оговоркой, что задействованные манипуляции не могут вводить какой-либо множитель, присутствующий в делителе. Например, нельзя составить правило для числа 14, которое предполагает умножение уравнения на 7. Это не проблема для простых делителей, поскольку у них нет меньших делителей.

Простые делители [ править ]

Цель состоит в том, чтобы найти обратное к 10 по модулю рассматриваемое простое число (не работает для 2 или 5) и использовать его в качестве множителя, чтобы делимость исходного числа на это простое число зависела от делимости нового (обычно меньшего числа). ) число, записанное одним и тем же простым числом. Используя 31 в качестве примера, поскольку 10 × (−3) = −30 = 1 mod 31, мы получаем правило использования y − 3 x в таблице ниже. Аналогично, поскольку 10 × (28) = 280 = 1 по модулю 31, мы получаем дополнительное правило y + 28 x того же типа — наш выбор сложения или вычитания продиктован арифметическим удобством меньшего значения. Фактически, это правило для простых делителей, кроме 2 и 5, на самом деле является правилом деления на любое целое число, относительно простое до 10 (включая 33 и 39; см. таблицу ниже). Вот почему последнее условие делимости в таблицах выше и ниже для любого числа, относительно простого с 10, имеет одинаковую форму (добавление или вычитание некоторого числа, кратного последней цифре, из остальной части числа).

Обобщенное правило делимости [ править ]

Чтобы проверить делимость на D , где D заканчивается на 1, 3, 7 или 9, можно использовать следующий метод. ^[12]Найдите любое число, кратное D , оканчивающееся на 9. (Если D заканчивается соответственно на 1, 3, 7 или 9, то умножьте на 9, 3, 7 или 1.) Затем прибавьте 1 и разделите на 10, обозначая результат как m. . Тогда число N = 10 t + q делится на D тогда и только тогда, когда mq + t делится на D . Если число слишком велико, вы также можете разбить его на несколько строк по e цифр в каждой, удовлетворяющих либо 10 ^Это = 1 или 10 ^Это= −1 (по модулю D ). Сумма (или альтернативная сумма) чисел имеет ту же делимость, что и исходная.

Например, чтобы определить, делится ли 913 = 10×91 + 3 на 11, найдите, что m = (11×9+1)÷10 = 10. Тогда mq+t = 10×3+91 = 121; оно делится на 11 (с частным 11), поэтому 913 также делится на 11. В качестве другого примера, чтобы определить, делится ли 689 = 10×68 + 9 на 53, найдите, что m = (53×3+1)÷. 10 = 16. Тогда mq+t = 16×9 + 68 = 212, которое делится на 53 (с коэффициентом 4); следовательно, 689 также делится на 53.

Альтернативно, любое число Q = 10c + d делится на n = 10a + b, так что gcd(n, 2, 5) = 1, если c + D(n)d = An для некоторого целого числа A, где: $D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+1}}\\3a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+3}}\\7a+5,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+7}}\\a+1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ = 10a+9}}\end{cases}}\$

Первые несколько членов последовательности, сгенерированной D(n), — это 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (последовательность A333448 в OEIS ).

Кусочная форма D(n) и порождаемая ею последовательность были впервые опубликованы болгарским математиком Иваном Стойковым в марте 2020 года. ^[13]

Доказательства [ править ]

Доказательство с использованием базовой алгебры [ править ]

Многие из более простых правил можно получить, используя только алгебраические манипуляции, создавая биномы и переставляя их. Записав число в виде суммы каждой цифры, умноженной на степень 10, степенью каждой цифры можно управлять индивидуально.

Случай, когда все цифры суммируются

Этот метод работает для делителей, которые кратны 10 - 1 = 9.

На примере 3: 3 делит 9 = 10 - 1. Это означает, что $10\equiv 1{\pmod {3}}$ (см. модульную арифметику ). То же самое для всех высших степеней числа 10: $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {3}}$ Все они конгруэнтны 1 по модулю 3. Поскольку две вещи, конгруэнтные по модулю 3, либо обе делятся на 3, либо обе не делятся на 3, мы можем поменять местами значения, конгруэнтные по модулю 3. Итак, в числе, подобном следующему, мы можем заменить все степени 10 на 1:

100\cdot a+10\cdot b+1\cdot c\equiv (1)a+(1)b+(1)c{\pmod {3}}

что в точности соответствует сумме цифр.

Случай, когда используется попеременная сумма цифр

Этот метод работает для делителей, которые кратны 10 + 1 = 11.

На примере числа 11: 11 делит 11 = 10 + 1. Это означает, что $10\equiv -1{\pmod {11}}$ . Для высших степеней 10 они соответствуют 1 для четных степеней и равны -1 для нечетных степеней:

10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv {\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\-1,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}{\pmod {11}}.

Как и в предыдущем случае, мы можем заменить степени 10 совпадающими значениями:

1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+1\cdot d\equiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)d{\pmod {11}}

что также является разницей между суммой цифр в нечетных позициях и суммой цифр в четных позициях.

Случай, когда имеют значение только последние цифры

Это относится к делителям, которые кратны степени 10. Это связано с тем, что достаточно высокие степени основания кратны делителю и могут быть исключены.

Например, в десятичной системе множители 10. ¹включают 2, 5 и 10. Следовательно, делимость на 2, 5 и 10 зависит только от того, делится ли последняя 1 цифра на эти делители. Факторы 10 ² включают 4 и 25, а делимость на них зависит только от двух последних цифр.

Случай, когда удаляются только последние цифры

Большинство чисел не делят 9 или 10 поровну, но делят 10 в более высокой степени. ^н или 10 ^н − 1. В этом случае число по-прежнему записывается в степени 10, но не полностью развернуто.

Например, 7 не делит 9 или 10, но делит 98, что близко к 100. Таким образом, исходите из

100\cdot a+b

где в данном случае a — любое целое число, а b может находиться в диапазоне от 0 до 99. Далее,

(98+2)\cdot a+b

и снова расширяемся

98\cdot a+2\cdot a+b,

и после исключения известного числа, кратного 7, результат будет

2\cdot a+b,

Это правило «удвоить число, состоящее из всех цифр, кроме двух последних, а затем добавить последние две цифры».

Случай, когда последняя цифра(ы) умножается на коэффициент

Представление числа также можно умножить на любое число, относительно простое с делителем, без изменения его делимости. Заметив, что 7 делит 21, мы можем выполнить следующее:

10\cdot a+b,

после умножения на 2 это становится

20\cdot a+2\cdot b,

а потом

(21-1)\cdot a+2\cdot b.

Устранение 21 дает

-1\cdot a+2\cdot b,

и умножение на -1 дает

a-2\cdot b.

Можно использовать любое из двух последних правил, в зависимости от того, какое из них легче выполнить. Они соответствуют правилу «вычесть из оставшихся дважды последнюю цифру».

Доказательство с использованием модульной арифметики [ править ]

В этом разделе будет проиллюстрирован основной метод; все правила могут быть получены с помощью одной и той же процедуры. Следующее требует базовых знаний модульной арифметики ; Для делимости, отличной от 2 и 5, доказательства основываются на том основном факте, что 10 по модулю m обратимо, если 10 и m взаимно просты.

Для двоих ^н или 5 ^н:

только последние n Необходимо проверить цифр.

10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}\equiv 0{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}

Представление x как $10^{n}\cdot y+z,$

x=10^{n}\cdot y+z\equiv z{\pmod {2^{n}\mathrm {\ or\ } 5^{n}}}

и делимость x такая же, как и делимость z .

Для 7:

Поскольку 10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (mod 7), мы можем сделать следующее:

Представление x как $10\cdot y+z,$

-2x\equiv y-2z{\pmod {7}},

поэтому x делится на 7 тогда и только тогда, когда y − 2 z делится на 7.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Гарднер, Мартин (сентябрь 1962 г.). «Математические игры: Тесты, которые показывают, можно ли большое число разделить на число от 2 до 12». Научный американец . 207 (3): 232–246. doi : 10.1038/scientificamerican0962-232 . JSTOR 24936675 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Это следует из критерия Паскаля. См. Кисачанин (1998), с. 100–101
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Число делится на 2 ^м, 5 ^м или 10 ^мтогда и только тогда, когда число, состоящее из последних m цифр, делится на это число. См. Richmond & Richmond (2009), с. 105
^ Перейти обратно: ^а ^б Апостол (1976), с. 108
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Richmond & Richmond (2009), раздел 3.4 (Признаки делимости), с. 102–108
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м Richmond & Richmond (2009), раздел 3.4 (Признаки делимости), теорема 3.4.3, с. 107
^ Перейти обратно: ^а ^б Кисачанин (1998), с. 101
^ Лой, Джим (1999), Тесты на делимость , заархивировано из оригинала 10 октября 2007 г. Умножьте самую правую цифру на 5 и прибавьте к остальным числам. Если эта сумма делится на 7, то исходное число делится на 7.
^ Уэллс, Дэвид (1997), Словарь любопытных и интересных чисел Penguin , стр. 51, ISBN 9780140261493
^ Су, Фрэнсис Э. « Делимость на семь» Забавные факты о грязной математике » . Архивировано из оригинала 13 июня 2019 г. Проверено 12 декабря 2006 г.
^ Страница 274, Ведическая математика: шестнадцать простых математических формул , Свами Шанкарачарья, опубликовано Мотилалом Банарсидасом, Варанаси, Индия, 1965, Дели, 1978. 367 страниц.
^ Данкелс, Андрейс, «Комментарии к примечанию 82.53 — обобщенный тест на делимость», Mathematical Gazette 84, март 2000 г., 79-81.
^ Стойков, Иван (март 2020 г.). «ОЭИС А333448» . Оеис А333448 .

Источники [ править ]

Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел . Тексты для бакалавриата по математике . Том. 1. Шпрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90163-3 .
Кисачанин, Бранислав (1998). Математические задачи и доказательства: комбинаторика, теория чисел и геометрия . Пленум Пресс. ISBN 978-0-306-45967-2 .
Ричмонд, Беттина ; Ричмонд, Томас (2009). Дискретный переход к высшей математике . Чистые и прикладные тексты для студентов. Том. 3. Американская математическая соц. ISBN 978-0-8218-4789-3 .

Внешние ссылки [ править ]

Критерии делимости при развязывании узла
Глупые трюки с делимостью. Правила делимости на 2–100.

[1] Гарднер, Мартин (сентябрь 1962 г.). «Математические игры: Тесты, которые показывают, можно ли большое число разделить на число от 2 до 12». Научный американец . 207 (3): 232–246. doi : 10.1038/scientificamerican0962-232 . JSTOR 24936675 .

[Pascal's-criterion-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Это следует из критерия Паскаля. См. Кисачанин (1998), с. 100–101

[last-m-digits-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Число делится на 2 ^м, 5 ^м или 10 ^мтогда и только тогда, когда число, состоящее из последних m цифр, делится на это число. См. Richmond & Richmond (2009), с. 105

[apostol-1976-4] Перейти обратно: ^а ^б Апостол (1976), с. 108

[Richmond-Richmond-2009-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Richmond & Richmond (2009), раздел 3.4 (Признаки делимости), с. 102–108

[product-of-coprimes-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м Richmond & Richmond (2009), раздел 3.4 (Признаки делимости), теорема 3.4.3, с. 107

[alternating-sum-of-blocks-of-three-7] Перейти обратно: ^а ^б Кисачанин (1998), с. 101

[8] Лой, Джим (1999), Тесты на делимость , заархивировано из оригинала 10 октября 2007 г. Умножьте самую правую цифру на 5 и прибавьте к остальным числам. Если эта сумма делится на 7, то исходное число делится на 7.

[9] Уэллс, Дэвид (1997), Словарь любопытных и интересных чисел Penguin , стр. 51, ISBN 9780140261493

[7Divis1-10] Су, Фрэнсис Э. « Делимость на семь» Забавные факты о грязной математике » . Архивировано из оригинала 13 июня 2019 г. Проверено 12 декабря 2006 г.

[11] Страница 274, Ведическая математика: шестнадцать простых математических формул , Свами Шанкарачарья, опубликовано Мотилалом Банарсидасом, Варанаси, Индия, 1965, Дели, 1978. 367 страниц.

[12] Данкелс, Андрейс, «Комментарии к примечанию 82.53 — обобщенный тест на делимость», Mathematical Gazette 84, март 2000 г., 79-81.

[auto-13] Стойков, Иван (март 2020 г.). «ОЭИС А333448» . Оеис А333448 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]