21 (число)

← 20 21 22 →
← 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 → Список номеров ; Целые числа ; ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Кардинал	двадцать один
Порядковый номер	21 ул. ; (двадцать первый)
Факторизация	3 × 7
Делители	1, 3, 7, 21
Греческая цифра	ΚΑ´
Римская цифра	XXI
Двоичный	10101 2
тройной	210 3
Сенарий	33 6
Восьмеричный	25 8
Двенадцатеричный	19 12
Шестнадцатеричный	15 16

21 ( двадцать один ) — натуральное число, следующее за 20 и перед 22 .

Нынешний век — XXI век нашей эры по григорианскому календарю .

Математика [ править ]

Двадцать одно — пятое полупростое число , ^[1] и вторая форма $3\times q$ где $q$ является высшим простым числом. ^[2] Это повторение четверичного числа (111 ₄ ).

Свойства [ править ]

Как двупростое число с собственными делителями 1 , 3 и 7 , число двадцать один имеет аликвотную сумму простых чисел 11 в аликвотной последовательности, содержащей только одно составное число (21, 11 , 1 , 0 ); это второе составное число с аликвотной суммой 11 после 18 . 21 — первый член второго кластера последовательных дискретных полупростых чисел (21, 22 ), где следующий такой кластер — ( 33 , 34 , 35 ).

21 является первым целым числом Блюма , поскольку оно является полупростым числом, причем оба его простых фактора являются простыми числами Гаусса . ^[3]

Хотя 21 — шестое треугольное число , ^[4] это также сумма делителей первых пяти натуральных чисел :

{\begin{aligned}1&+2+3+4+5+6=21\\1&+(1+2)+(1+3)+(1+2+4)+(1+5)=21\\\end{aligned}}

21 также является первым нетривиальным восьмиугольным числом . ^[5] Это пятый номер Моцкина , ^[6] и семнадцатое число Падована (перед которым стоят числа 9 , 12 и 16 , где оно представляет собой сумму первых двух из них). ^[7]

В десятичной системе количество двузначных простых чисел равно двадцати одному (основание, в котором 21 — четырнадцатое число Харшада ). ^[8]^[9] Это наименьший нетривиальный пример числа Фибоначчи по основанию десять (где 21 — 8-й член как сумма предыдущих членов последовательности 8 и 13 ), чьи цифры ( 2 , 1 ) являются числами Фибоначчи и чья цифра сумма также является числом Фибоначчи ( 3 ). ^[10] Это также самое большое положительное целое число $n$ в десятичном виде, так что для любых натуральных чисел $a,b$ где $a+b=n$ , хотя бы один из ${\tfrac {a}{b}}$ и ${\tfrac {b}{a}}$ является конечной десятичной дробью; см. доказательство ниже:

Доказательство

For any $a$ coprime to $n$ and $n-a$ , the condition above holds when one of $a$ and $n-a$ only has factors $2$ and $5$ (for a representation in base ten).

Let $A(n)$ denote the quantity of the numbers smaller than $n$ that only have factor $2$ and $5$ and that are coprime to $n$ , we instantly have ${\frac {\varphi (n)}{2}}<A(n)$ .

We can easily see that for sufficiently large $n$ , $A(n)\sim {\frac {\log _{2}(n)\log _{5}(n)}{2}}={\frac {\ln ^{2}(n)}{2\ln(2)\ln(5)}}.$

However, $\varphi (n)\sim {\frac {n}{e^{\gamma }\;\ln \ln n}}$ where $A(n)=o(\varphi (n))$ as $n$ approaches infinity; thus ${\frac {\varphi (n)}{2}}<A(n)$ fails to hold for sufficiently large $n$ .

In fact, for every $n>2$ , we have

A(n)<1+\log _{2}(n)+{\frac {3\log _{5}(n)}{2}}+{\frac {\log _{2}(n)\log _{5}(n)}{2}}{\text{ }}

and

\varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}.

So ${\frac {\varphi (n)}{2}}<A(n)$ fails to hold when $n>273$ (actually, when $n>33$ ).

Just check a few numbers to see that the complete sequence of numbers having this property is $\{2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,15,21\}.$

21 — наименьшее натуральное число, не близкое к степени двойки. $(2^{n})$ , где дальность близости равна $\pm {n}.$

Возведение квадрата в квадрат [ править ]

Двадцать один — это наименьшее количество квадратов разного размера, необходимое для возведения квадрата в квадрат . ^[11]

Длины сторон этих квадратов равны $\{2,4,6,7,8,9,11,15,16,17,18,19,24,25,27,29,33,35,37,42,50\}$ которые генерируют сумму 427 при исключении квадрата с длиной стороны $7$ ; ^[а] эта сумма представляет собой наибольшее целое число без квадратов в квадратичном поле второго класса, где 163 — наибольшее такое ( Хегнеровское ) число первого класса. ^[12] Число 427 также является первым числом, которое содержит сумму делителей, эквивалентную третьему совершенному числу и тридцать первому треугольному числу ( 496 ), ^[13]^[14]^[15] где это также пятидесятое число, которое нужно вернуть $0$ в функции Мертенса . ^[16]

Квадратичные матрицы по Z [ править ]

В то время как двадцать первое простое число 73 является крупнейшим членом определенной квадратичной 17- целочисленной матрицы Бхаргавы. $\Phi _{s}(P)$ представитель всех простых чисел, ^[17]

\Phi _{s}(P)=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,67,{\mathbf {73}}\},

двадцать первое составное число 33 является наибольшим членом аналогичной определенной квадратичной 7-целой матрицы. ^[18]

\Phi _{s}(2\mathbb {Z} _{\geq 0}+1)=\{1,3,5,7,11,15,{\mathbf {33}}\}

представитель всех нечетных чисел. ^[19]^[б]

В науке [ править ]

Атомный номер скандия .
Очень часто это день солнцестояния как в июне, так и в декабре, хотя точная дата варьируется в зависимости от года.

Возраст 21 [ править ]

В тринадцати странах 21 год является возрастом совершеннолетия . См. также: Достижение совершеннолетия .
В восьми странах минимальный возраст для покупки табачных изделий — 21 год .
В семнадцати странах возраст употребления алкоголя — 21 год .
В девяти странах это возрастной ценз для голосования .
В Соединенных Штатах:
- 21 год — это минимальный возраст , с которого человек может играть в азартные игры или посещать казино в большинстве штатов (поскольку алкоголь обычно предоставляется).
- 21 год — это минимальный возраст для покупки пистолета или боеприпасов к нему в соответствии с федеральным законом.
- В некоторых штатах минимальный возраст для сопровождения начинающего водителя составляет 21 год при условии, что лицо, осуществляющее надзор за учеником, имеет полные водительские права в течение определенного периода времени. См. также: Список минимального возраста вождения .

В спорте [ править ]

Двадцать один — разновидность уличного баскетбола , в которой каждый игрок, которого может быть любое количество, играет только за себя (т.е. не является частью команды); название происходит от необходимого количества корзин.
В баскетбольных играх «три на три», проводимых по правилам ФИБА и обозначенных как 3х3 , игра заканчивается по правилу, как только любая из команд набирает 21 очко.
В бадминтоне и настольном теннисе (до 2001 года) для победы в игре необходимо набрать 21 очко.
В женской АФЛ , высшей лиге женского австралийского футбола по правилам , каждой команде разрешен состав из 21 игрока (16 на поле и пять обменов).
В NASCAR использовался компаниями Wood Brothers Racing и Ford 21 десятилетиями . Команда выиграла 99 гонок серии NASCAR Cup Series , большинство из которых - 21, и 5 гонок Daytona 500. Их нынешний водитель - Харрисон Бертон .

В других областях [ править ]

Здание под названием «21» в Злине , Чехия.

21 это:

Двадцать первая поправка отменила Восемнадцатую поправку , тем самым положив конец Сухому закону .
Количество пятен на стандартном кубическом (шестигранном) кубике (1+2+3+4+5+6)
Количество выстрелов при салюте из 21 орудия в честь членов королевской семьи или лидеров стран.
«Twenty One» — песня ирландской рок-группы The Cranberry 1994 года.
« 21 Guns » — песня панк-рок-группы Green Day, вышедшая в 2009 году.
Twenty One Pilots — американский музыкальный дуэт.
21 козырь В колоде Таро , если не считать «Дурака» подходящим козырем.
Стандартный TCP/IP номер порта для FTP- соединения.
Двадцать одно требование представляло собой набор требований, которые были направлены китайскому правительству японским правительством Окума Сигэнобу в 1915 году.
21 Требования МКС привели к созданию « Солидарности» в Польше.
В Израиле номер связан с профилем 21 (обозначение военного профиля, дающее освобождение от военной службы).
Дункан МакДугалл , вес души составляет 21 грамм (0,74 унции) сообщил, что, согласно эксперименту .
Номер французского департамента Кот-д'Ор
Двадцать один — древняя карточная игра, в которой ключевое значение и наибольшее количество выигрышных очков равно 21.
- Блэкджек , современная версия Twenty-One, в которую играют в казино.
Количество шиллингов в одной гинее
Количество солнечных лучей на флаге Курдистана
Twenty-One , американское игровое шоу, которое стало центром скандалов викторин 1950-х годов, когда было показано, что оно было сфальсифицировано.
Число на логотипе американского телевикторины Catch 21.
Двадцать один — британско-американский драматический фильм 1991 года режиссёра Дона Бойда с Пэтси Кенсит в главной роли.
Кино XXI (21), франшиза кинотеатра в Индонезии.

Примечания [ править ]

^ Этот квадрат со стороной 7 примыкает как к «центральному квадрату» с длиной стороны 9, так и к наименьшему квадрату со стороной 2.
^ С другой стороны, наибольший член целочисленной квадратичной матрицы, представляющей все числа, равен 15, $\Phi _{s}(\mathbb {Z} _{\geq 0})=\{1,2,3,5,6,7,10,14,{\mathbf {15}}\}$ где аликвотная сумма 33 равна 15 , второе такое число, имеющее эту сумму после 16 ( A001065 ); см. также теоремы 15 и 290 . В этой последовательности сумма всех членов равна $63=3\times 21.$

Ссылки [ править ]

^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001358» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001748» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ «А016105 Слоана: Целые числа Блюма» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ «A000217 Слоана: Треугольные числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ «A000567 Слоана: Восьмиугольные числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ «А001006 Слоана: числа Моцкина» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ «A000931 Слоана: последовательность Падована» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ «А005349 Слоана: числа Нивена (или Харшада)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006879 (Количество простых чисел с n цифрами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ «А000045 Слоана: числа Фибоначчи» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.
^ CJ Bouwkamp и AJW Duijvestijn, «Каталог простых идеальных квадратов порядков от 21 до 25». Эйндховенский технологический университет, ноябрь 1992 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005847 (Мнимые квадратичные поля с номером класса 2 (конечная последовательность).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (Сумма делителей n. Также называется sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000217 (Треугольные числа: бином (n+1,2))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028442 (Числа k такие, что функция Мертенса M(k) (A002321) равна нулю.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A154363 (Числа из критериальной теоремы Бхаргавы о простом универсальности)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A116582 (Числа из теоремы Бхаргавы 33.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 октября 2023 г.
^ Коэн, Анри (2007). «Следствия теоремы Хассе – Минковского». Теория чисел, том I: Инструменты и диофантовые уравнения . Тексты для аспирантов по математике . Том. 239 (1-е изд.). Спрингер . стр. 312–314. дои : 10.1007/978-0-387-49923-9 . ISBN 978-0-387-49922-2 . OCLC 493636622 . Збл 1119.11001 .

[12] Этот квадрат со стороной 7 примыкает как к «центральному квадрату» с длиной стороны 9, так и к наименьшему квадрату со стороной 2.

[21] С другой стороны, наибольший член целочисленной квадратичной матрицы, представляющей все числа, равен 15, $\Phi _{s}(\mathbb {Z} _{\geq 0})=\{1,2,3,5,6,7,10,14,{\mathbf {15}}\}$ где аликвотная сумма 33 равна 15 , второе такое число, имеющее эту сумму после 16 ( A001065 ); см. также теоремы 15 и 290 . В этой последовательности сумма всех членов равна $63=3\times 21.$

[1] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001358» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[2] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001748» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[3] «А016105 Слоана: Целые числа Блюма» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[4] «A000217 Слоана: Треугольные числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[5] «A000567 Слоана: Восьмиугольные числа» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[6] «А001006 Слоана: числа Моцкина» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[7] «A000931 Слоана: последовательность Падована» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[8] «А005349 Слоана: числа Нивена (или Харшада)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[9] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006879 (Количество простых чисел с n цифрами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[10] «А000045 Слоана: числа Фибоначчи» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 мая 2016 г.

[11] CJ Bouwkamp и AJW Duijvestijn, «Каталог простых идеальных квадратов порядков от 21 до 25». Эйндховенский технологический университет, ноябрь 1992 г.

[13] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005847 (Мнимые квадратичные поля с номером класса 2 (конечная последовательность).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.

[14] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (Сумма делителей n. Также называется sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.

[15] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.

[16] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000217 (Треугольные числа: бином (n+1,2))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.

[17] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028442 (Числа k такие, что функция Мертенса M(k) (A002321) равна нулю.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 марта 2024 г.

[18] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A154363 (Числа из критериальной теоремы Бхаргавы о простом универсальности)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 октября 2023 г.

[19] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A116582 (Числа из теоремы Бхаргавы 33.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 октября 2023 г.

[20] Коэн, Анри (2007). «Следствия теоремы Хассе – Минковского». Теория чисел, том I: Инструменты и диофантовые уравнения . Тексты для аспирантов по математике . Том. 239 (1-е изд.). Спрингер . стр. 312–314. дои : 10.1007/978-0-387-49923-9 . ISBN 978-0-387-49922-2 . OCLC 493636622 . Збл 1119.11001 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[а]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[б]