744 (число)

← 743 744 745 →
Список номеров ; Целые числа ; ← 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 →
Кардинал	семьсот сорок четыре
Порядковый номер	744-й ; (семьсот сорок четвертый)
Факторизация	2 3 × 3 × 31
Делители	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 31, 62, 93, 124, 186, 248, 372, 744
Греческая цифра	ΨΜΔ´
Римская цифра	DCCCXLIV
Двоичный	1011101000 2
тройной	1000120 3
Сенарий	3240 6
Восьмеричный	1350 8
Двенадцатеричный	520 12
Шестнадцатеричный	2Э8 16

744 ( семьсот [и] сорок четыре ) — натуральное число , следующее за 743 и перед 745 .

Число 744 играет важную роль в теории спорадических групп , в контексте классификации конечных простых групп .

Теория чисел [ править ]

744 — девятнадцатое число формы $pqr^{3}$ где $r$ , $p$ и $q$ представляют собой отдельные простые числа ( 2 , 3 и 31 ; соответственно). ^[1]

Его можно представить как сумму непоследовательных факториалов. $k!$ , ^[2] как сумма четырех последовательных простых чисел $p$ , ^[3] и как произведение сумм делителей $\sigma (n)$ последовательных целых чисел $n$ ; ^[4] соответственно:

{\begin{aligned}744&=4!+6!\\744&=179+181+191+193\\744&=\sigma (15)\times \sigma (16)=24\times 31\\\end{aligned}}

744 равно сумме 41-го и 44-го индексированных простых чисел включительно. Индексы 15 и 16 σ ( n ) умножаются на 240, что соответствует значению общего Эйлера 744, ^[5] которого не и прибавьте к 31, которое является самым большим простым числом, общая сумма равна 744 (меньше).
Сумма от 24 до 31 дает десятое треугольное число 55 , где одиннадцатое треугольное число равно 66 . ^[6] 121 — это сумма этих двух треугольных чисел, которая эквивалентна квадрату 11. Простой индекс числа 31 и его перестановочное простое число в десятичной системе счисления (13) ^[7] образуют третью пару простых чисел-близнецов $(11, 13)$ , ^[8] сумма которых равна 24, с соответствующими простыми индексами 5 и 6. ^[9] это добавляется к 11.

Число 744 содержит шестнадцать общих делителей — четырнадцать, не считая самого большого и наименьшего унитарных делителей , — все из которых в совокупности образуют число арифметическое среднее $120=5!$ ^[10]^[11] это также первое число формы $pqr^{3}.$ ^[1]^[я]

Число разбиений квадрата 744 семи , ( 49 ) на простые части равно ^[17] как и количество разделов, равное 48, не более чем на четыре отдельные части. ^[18]^[ii]

744 – это многочисленное число , ^[23] с численностью 432 . ^[24]^[iii] Оно полусовершенное , поскольку равно сумме подмножества своих делителей (например, 1 + 2 + 4 + 24 + 62 + 93 + 124 + 186 + 248). ^[33]^[iv]

Это также практическое число , ^[50] и первое число должно быть суммой девяти кубов восемью или более способами, ^[51] а также количество шестизначных совершенных степеней в десятичной системе счисления . ^[52]

Между тем, в семеричном числе 744 является палиндромным (2112 ₇ ), ^[53] в то время как в двоичном формате это пагубное число , поскольку его цифровое представление (1011101000 ₂ ) содержит простое число (5) единиц. ^[54]^[мы]

Тотиенты [ править ]

744 имеет двести сорок целых чисел, которые являются относительно простыми или взаимно простыми с самим собой и с самим собой, что эквивалентно его элементу Эйлера . ^[5]^[VII]

Эта сумма 744 является регулярной , как и сумма ее делителей , где 744 устанавливает двадцать девятый рекорд для $\sigma (n),$ года 1920 . ^[66]^[viii] Значения общего и суммы делителей 744 содержат один и тот же набор различных простых делителей ( 2 , 3 и 5 ), ^[68] в то время как функция Кармайкла или сокращенный тотент (которая подсчитывает наименьшее общее кратное элементов порядка в мультипликативной группе целых чисел по модулю $n$ ) в семьсот сорок четыре равно $\lambda (744)=30=2\times 3\times 5$ . ^[26]^[ix] 744 также является числом Цумкеллера , делители которого можно разделить на два непересекающихся множества с одинаковой суммой ( 960 ). ^[80]^[х]

Из этих 240 тотативов 110 являются строго составными тотативами, которые почти соответствуют последовательности составных чисел до 744 конгруэнтных , $\pm {1}{\bmod {6}}$ , что является тем же сравнением, что и все простые числа больше 3 . ^[88]^[кси] Только семь чисел, присутствующих в этой последовательности, не являются суммой 744 (меньше чем); их 713, 589, 527, 403, 341, 217 и 155; все они делятся на одиннадцатое простое число 31 . ^[xii]^[xiii]^[xiv]Остальные 130 тотативов равны 1 и всем простым числам от 5 до 743, за исключением 31 (все простые числа меньше 744, которые не являются частью его простой факторизации ), где его наибольшая простая сумматив равна 743. ^[xv] имеет простой индекс 132 (наименьшее число повторной сборки в десятичном формате). ^[127]^[xvi] С другой стороны, только три числа содержат сумму 744; это 1119 , 1492 и 2238. ^[5]^[XVII]

744 — шестое число $n$ общее значение которого имеет сумму делителей, равную $n$ : $\sigma (\varphi (744))=744$ . ^[131] В противном случае аликвотная сумма 744, которая представляет собой сумму всех делителей числа 744, кроме себя, равна 1176. ^[14] это сорок восьмое треугольное число , ^[6] и биномиальный коэффициент $\operatorname {C(49,2)}$ присутствует внутри сорок девятой строки треугольника Паскаля . ^[132]^{[восемнадцатый]} Всего лишь семь чисел имеют суммы делителей, равные 744; их: 240 , ^[xix] 350, 366, 368, 575, 671 и 743. ^[32]^[хх] Если учитывать только четырнадцать собственных делителей числа 744, то сумма, полученная ими, равна 1175 , шесть делителей которого содержат среднее арифметическое значение 248, ^[11]^[xxi] третий (или четырнадцатый) наибольший делитель числа 744. Только одно число имеет кратную сумму, равную 744, то есть 456 . ^[14]^[xxii]

Теория графов [ править ]

Количество эйлеровых обходов (или эйлеровых циклов ) полного неориентированного . графа $K_{6}$ по шести вершинам и пятнадцати ребрам — 744. ^[164] В семи вершинах имеется 129 976 320 туров Эйлера. Их можно генерировать только на полных графах, имеющих как минимум три вершины; количество обходов для трёх, четырёх и пяти вершин соответственно 2, 2 и 264 (последнее — второе число пересборки по десятичной системе). ^[127] С другой стороны, число эйлеровых обходов полного орграфа , или ориентированного графа , по четырем вершинам равно 256 , а по пяти вершинам — 972 000 (и 247 669 456 896 по шести вершинам), по теореме БЕСТА . ^[165]

Что касается наибольшего простого числа 744, то существуют (кроме множеств, которые представляют собой объединение всех таких решений),

743 независимых набора вершин 4 на 4 тора в графе сетки , ^[166]
743 независимых набора вершин в четырехмерном графе гиперкуба с 16 вершинами , ^[167] и
743 связных кубических графа с 16 вершинами и обхватом 4. ^[168]^[169] (где сумма всех предыдущих индексов до седьмого равна 130, общее количество простых чисел 744, включая 1). ^[170]

Трижды 743 будет 2229 , ^[xxiii] среднее число делителей которого равно 744 (как и в случае с любым простым числом трижды). $3p$ , среднее значение делителей будет $p+1$ ). ^[10]^[11]^[xxiv] Это значение представляет собой разницу 1110 от 3339 , которое представляет собой сумму семисот сорока двух ( 742 ). ^[ххв] повторяющиеся цифры обратного числа 743, как сорок восьмое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления ^[25] (наименьшее число, имеющее эйлерову долю 744, равно 1119 ). ^[5]

Для открытых цепочек длиной восемь и девять, начинающихся и заканчивающихся в фиксированных различных вершинах полного неориентированного графа с пятью помеченными вершинами, это число равно 132 (простой индекс 743, половина 264), ^[195] это также представляет собой количество неприводимых деревьев с пятнадцатью вершинами. ^[196]^[xxvi] В то время как для полного неориентированного графа $K_{5}$ существует 264 направленных эйлеровых контура, ^[201]^[202] более конкретно, это количество контуров длины десять в полном неориентированном графе с пятью помеченными вершинами, и как таковой это двадцать пятый элемент в треугольнике. $T(n,k)$ длины $k$ на $n$ помеченные вершины. ^[203]

В противном случае 745 — это количество несвязных простых помеченных графов, охватывающих шесть вершин, где наиболее симметричный из этих графов имеет три пары различных вершин, каждая из которых покрыта только одним ребром, и все три ребра пересекаются ; это дает несвязный граф покрытия $\{\{1,4\},\{2,5\},\{3,6\}\}$ на вершинах, помеченных $1$ через $6$ в шестиугольном расположении, а остальные 744 графика представляют все остальные возможные конформации. ^[204]

456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) — это количество непомеченных несовпадающих графов с семью вершинами (где спаривание или $M$ граф — это граф, в котором никакие две вершины не имеют одинаковый набор соседей ), что эквивалентно количеству непомеченных графов с семью вершинами и хотя бы одной конечной точкой; ^[205] а также количество клик в 7- треугольном графе , где каждое подмножество двух различных вершин клики смежно . ^[206] Число четных графов с семью вершинами, где граф нечетен , если существует ориентация его ребер и автоморфизм, обращающий смысл нечетного числа его ребер, и даже в противном случае, равно 456. ^[207]^[208]^[xxvii]

В частности, 456 — это аликвотная сумма 264, единственное число, имеющее это значение для $s(n).$ ^[14]^[xxviii]

чисел Фибоначчи Свертка

744 — это двенадцатая самосвертка чисел Фибоначчи , что эквивалентно количеству элементов во всех подмножествах числа Фибоначчи . $\{1,2,3,...,11\}$ без последовательных целых чисел. ^[225]^[226]^[227]

Абстрактная алгебра [ править ]

j -инвариант [ править ]

имеет j -инвариант место в виде в ряд Фурье $q$ -разложения ,

j(\tau )=q^{-1}+744+196\,884q+21\,493\,760q^{2}+864\,299\,970q^{3}+\cdots

где $q=e^{2\pi i\tau }$ и $\tau$ полупериода отношение эллиптической функции . ^[228]

- инвариант $j$ можно вычислить с помощью ряда Эйзенштейна. $E_{4}(\tau )$ и $E_{6}(\tau )$ , такой, что:

j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}},

где конкретно эти ряды Эйзенштейна равны

E_{4}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}

и

E_{6}(\tau )=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}

с

q={\text{exp}}(2\pi i\tau )

.

Соответствующие $q$ -разложения этих двух рядов Эйзенштейна имеют коэффициенты, числовые значения которых пропорциональны 240 и - 504 соответственно; ^[229]^[230] где, в частности, сумма и разница между абсолютными значениями этих двух чисел равна $240 + 504 = 744$ и $504 - 240 = 264$ . Более того, если рассматривать единственную меньшую четную (в данном случае немодульную ) серию $E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}},$ сумма между абсолютным значением его постоянного мультипликативного члена (24) и абсолютным значением $E_{2}(\tau )$ равно 264 (240) также . 16-й коэффициент в разложении $E_{2}(\tau )$ равно -744, как и его 25-й коэффициент. ^[231]

Альтернативно, j -инвариант можно вычислить с помощью секстического полинома как: $j(\tau )=256\cdot {\frac {{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}=256\cdot {\frac {\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}$ где $\lambda$ представляет модульную функцию с $256 = 2 8$ . ^[232]

Почти целые числа [ править ]

Кроме того, почти целое число ^[233]

e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,250\,072\,59\approx 640\,320^{3}+744.

Это число известно как константа Рамануджана , которая является трансцендентной . ^[234] Марк Ронан и другие выдающиеся математики отмечали, что появление $163$ это число имеет отношение к теории самогона , где сто шестьдесят три — это наибольшее из девяти чисел Хигнера , которые представляют собой положительные целые числа без квадратов. $d$ такая, что мнимое квадратичное поле ${\textstyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$ имеет класса номер $1$ (эквивалентно, кольцо целых чисел в одном и том же поле алгебраических чисел имеет уникальную факторизацию ). ^[235]^{: стр.227, 228} $\mathrm {F_{1}}$ имеет сто девяносто четыре ( 194 = 97 × 2 ) класса сопряженности , сгенерированные из его таблицы символов , которые в совокупности производят такое же количество эллиптических самогонных функций , которые не все линейно независимы ; только сто шестьдесят три полностью независимы друг от друга. ^[236] Линейный член ошибки $O$ поскольку константа Рамануджана приблизительно равна

{\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0.000\,000\,000\,000\,75,

где $196\,884$ — значение минимально точного комплексно-мерного представления Дружелюбного Гиганта. $\mathrm {F_{1}}$ , крупнейшая спорадическая группа . ^[237] $\mathrm {F_{1}}$ содержит бесконечно градуированное точное размерное представление, эквивалентное $q$ коэффициенты ряда q -разложения j -инварианта. В частности, все три общих простых фактора $(2,3,5)$ которые делят долю Эйлера, сумму делителей и приведенную долю $744$ являются наименьшими и единственными простыми числами, разделяющими порядки всех двадцати шести спорадических групп, в отличие от только шести групп. $(\mathrm {F_{1}} ,{\text{ }}\mathrm {B} ,{\text{ }}\mathrm {F_{3}} ,{\text{ }}\mathrm {Ly} ,{\text{ }}\mathrm {ON} ,{\text{ }}\mathrm {J_{4}} )$ чьи порядки можно разделить на наибольшее последовательное суперсингулярное простое число и наибольшее простое число семьсот сорок четыре, $31$ ; ^[235]^{: стр. 244–246.}^[а] трое из них принадлежат к небольшой семье из шести групп-изгоев , которые не субчастными являются $\mathrm {F_{1}} .$ ^[245] Наибольшее суперсингулярное простое число делящее порядок , $\mathrm {F_{1}}$ является $71,$ ^[246]^[247] что является восьмой самосверткой чисел Фибоначчи, где $744$ это двенадцатый. ^[226]^[б]

Три крупнейших числа Хигнера с $d>19$ также дают почти целые числа вида $e^{\pi {\sqrt {d}}}$ которые включают $744$ . В возрастающих приближения порядках ^[263]^{: стр. 20–23}^[с]

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}

Положительные целые числа без квадратов над отрицательным мнимым квадратичным полем с номером класса $2$ также производят почти целые числа для значений $d$ , где, например, есть $199\,148\,648^{2}-0.000\,97\ldots \approx e^{\pi {\sqrt {148}}}+(8\times 10^{3}+744).$ ^[266]^[267]^[д]^[э]

Д ₄ , Ф ₄ и Н ₄ [ редактировать ]

$744$ коэффициент ряда тета - $25$ четырехмерной кубической решетки $\mathbb {D} _{4}\cong \mathbb {(Z^{4})^{+}} .$ ^[280]^[281] С другой стороны, в тэта-ряде четырехмерной объемноцентрированной кубической решетки $\mathbb {F} _{4}$ — чья геометрия с $\mathbb {D} _{4}$ определяет кватернионы Гурвица четной и нечетной квадратичной нормы , как это реализовано в $24$ – сотовая ячейка , двойная по отношению к $16$ –ячеистые соты (и, как объединение двух самодвойственных тессерактических $8$ –сотовые соты ) — шестнадцатый $144=12^{2}$ коэффициент – семьсот сорок четвертый коэффициент в ряду; ^[282] с индексом коэффициента $144$ сорок девятая ненулевая норма. ^[283]

$\mathbb {D}$ ^{‍ ₊}
₄ ≅ $\mathbb {Z} ^{4}$ решетка - это объединение двух $\mathbb {D} _{4}$ решетки, ^[281] где соответствующий тета-ряд $\mathbb {Z} ^{4}$ имеет 744 в качестве 50 -го индексированного коэффициента (как и в случае с тета-рядом $\mathbb {D} _{4}$ ), ^[284]^[280] и где его двадцать пятый коэффициент равен 248 , что является самым важным делителем числа 744. Кроме того, в этом тэта-ряде $\mathbb {Z} ^{4}$ , предыдущий 49-й коэффициент равен 456 , единственное число, которое содержит аликвотную сумму 744, ^[14] где $744 - 456 = 288$ , значение, которое представляет собой количество ячеек в дисфеноидальной 288-ячейке , 48 вершин которой в совокупности представляют двадцать четыре единичных кватерниона Гурвица с нормы квадратом 1 , объединенных с двадцатью четырьмя вершинами двойных 24 -ячейка с нормой в квадрате 2 . Для тета-серии $\mathbb {D} _{4}$ , то есть реализовано в 16 -ячеечных сотах , все $25 \times 2 м$ индексированные коэффициенты (т.е. 25, 50 , 100, 200, 400, ...) равны 744. ^[284] Для обоих тета-рядов $\mathbb {D} _{4}$ и $\mathbb {Z} ^{4}$ , 456-й коэффициент равен 1920 , сумма делителей 744. ^[32]

Для тета-ряда четырехмерного $\mathbb {F} _{4}$ решетка, индекс коэффициента 288 – 97-я ненулевая норма, коэфф. индекс 456 153-го (индекс, представляющий семнадцатое треугольное число ) и коэф. индекс 744 250 -й; ^[283] последний представляет собой индекс коэффициента, который является наибольшим из четырех чисел, соответствующих Эйлера коэффициенту 100 : 101, 125, 202 и 250. ^[5] — наименьшее из них — двадцать шестое простое число, а наибольшее $250 = 2 \times 5. 3$ имеет сумму простых делителей, равную 17 , седьмому простому числу; ^[9] и где $202 = 49 + 153$ и $250 = 153 + 97$ , где $549 = 49 + 97 + 153 + 250$ , 447-е индексированное составное число. ^[28] Более глубоко, для тета-серии $\mathbb {F} _{4}$ 744 - это коэффициент с простым индексом по первым шести индексам менее $10. 4$ (соответственно 458-й, 526-й, 742-й, 799-й, 842-й и 1141-й простые индексы, с суммой 4058; последний в эквиваленте $1141 = 7 \times 163$ ). ^[282] Первый составной коэффициент. индекс в ряду с коэффициентом 744 является его седьмым индексом $9251 = 11\times29 2$ , сумма простых делителей которого, включая 1, равна 70 (что имеет алгебраическое значение с точки зрения построения двадцатичетырёхмерной решетки Лича ). 456 и 1176, аликвотная сумма 744, ^[14] также являются коэффициентами с простыми индексами по своим первым двум индексам коэффициентов (346-й, 364-й и 1098-й, 1159-й соответственно). ^[282]

В четырехмерном пространстве трехмерные ячеек грани трех крупнейших из шести обычных $4$ – многогранники ( октаплекс , додекаплекс и тетраплекс ) ^[285]^{: стр.292} коллективный номер $24+120+600=744.$ ^[г]

E ₈ решетка Лича и

Внутри конечных простых групп типа лиева исключительная алгебра Ли ${\mathfrak {e_{8}}}$ имеет минимальное точное представление в двухстах сорока восьми измерениях, где $248$ делит $744$ трижды больше. ^[286]^[287]^{: стр.4} Джон Маккей отметил пересечение между конечными простыми группами лиева типа и спорадическими группами, где симметрии узлов в диаграммах Дынкина комплексной алгебры Ли ${\mathfrak {e}}_{8}$ а также те из ${\mathfrak {e}}_{7}$ и ${\mathfrak {e}}_{6}$ соответственно совпадают с тремя крупнейшими классами сопряженности $\mathrm {F_{1}}$ ; где также соответствующий ряд Маккея–Томпсона $j(3\tau )^{1/3}$ спорадической группы Томпсона $\mathrm {Th}$ содержит коэффициенты, представляющие его точное размерное представление (также минимальное в $\operatorname {dim} 248$ ) ^[288]^[237] чьи ценности сами по себе включают в себя нередуцируемое представление ${\mathfrak {e_{8}}}$ . ^[289]^{: стр.6} В свою очередь, исключительная алгебра Ли ${\mathfrak {e_{8}}}$ показано, что он имеет градуированное измерение $j(q)^{1/3}$ ^[290] чей характер $\chi$ предоставляет взаймы прямую сумму , эквивалентную, ^[289]^{: стр.7, 9–11}

\chi _{e_{8}\oplus e_{8}\oplus e_{8}}(q)=J(q)+744=j(q),

где CFT вероятностная статистическая сумма для

\mathrm {F_{1}}

является

J(q)

характера

\chi _{F_{1}}.

^[291]

Двадцатьчетырехмерная решетка Лича $\Lambda _{24}$ в свою очередь, может быть построен с использованием трех копий ассоциированного $\mathbb {E_{8}}$ решетка ^[292]^[285]^{: стр. 233–235.}^[или] и с восьмимерными октонионами $\mathbb {O}$ (см. также «Магический квадрат Фрейденталя» ), ^[297] где автоморфизмов группа $\mathbb {O}$ — наименьшая исключительная алгебра Ли ${\mathfrak {g_{2}}}$ , который встраивается внутрь ${\mathfrak {e_{8}}}$ . В форме вершинной операторной алгебры решетка Лича VOA является первой, помимо $V_{1}$ (как $\mathbb {C} _{24}$ ) с центральной оплатой $c$ из $24$ , из семидесяти одной такой модулярной инвариантной теории поля голоморфных конформной ВОА веса один. ^[298] Эти алгебры, известные как список Шеллекенса , образуют глубокие дыры в $V_{\Lambda _{24}}$ соответствующие конструкции которого изоморфны модулю самогонному орбифолдные $V_{2}$ ^♮ который содержит $\mathrm {F_{1}}$ как его автоморфизм; ^[299] из них второй и третий по величине содержат аффинные структуры $E_{8,1}^{3}$ и $D_{16,1}E_{8,1}$ которые реализуются в $\operatorname {dim} 744$ . ^[я]^[304]^[305]

Другая недвижимость [ править ]

$744$ также является суммой последовательных пятиугольных чисел , ^[306]^[307]^[xxxiii]

P_{11}+P_{12}+P_{13}=210+247+287.

Это « селфи-номер », где $744=(7-4)!!+4!.$ ^[309]^[310]^[xxxiv]

$744$ — магическая константа размером шесть на шесть, магического квадрата состоящего из тридцати шести последовательных простых чисел, между $41$ и $223$ включительно. ^[311]^[хххв]

Это количество неконгруэнтных многоугольных областей в правильном $36$ – угольник со всеми нарисованными диагоналями. ^[319]^[xxxvi]

Существует семьсот сорок четыре способа, которыми четырнадцать квадратов разных размеров помещаются от края до края внутри большего прямоугольника . ^[321]^[xxxvii]

См. также [ править ]

Теория самогона - исследование связей между F ₁ и модулярными функциями , в частности j(τ).

Числа Хегнера — 1 , 2 , 3 , 7 , 11 , 19 , 43 , 67 и 163.
Суперсингулярные простые числа — 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 и 31 , а также 41 , 47 , 59 и 71 .
J -инвариант — 1728 = 12 ³ = j(i) , на единицу меньше первого номера такси 1729 (также известного как число Рамануджана-Харди )

Числа Осириса или повторной сборки цифр – равны сумме всех перестановок подмножеств собственных цифр (например, 132 в десятичной системе счисления по отношению к симметричной группе S ₆ )

Примечания [ править ]

Высшая арифметика

^ 120 также равно сумме первых пятнадцати целых чисел или пятнадцатому треугольному числу $Σ. 15 п = 1 п$ , ^[6] хотя это также наименьшее число с шестнадцатью делителями, ^[12] 744 — тридцать первое такое число. ^[13] Это значение также равно сумме всех простых чисел меньше 31, не являющихся делителями 744, кроме 5, включая 1. Включительно 5 эта сумма равна $125 = 5. 3$ , что является вторым числом после 32, которого аликвотная сумма равна 31. ^[14]
Согласно гипотезе Коллатца , 744 и 120 требуют пятнадцати шагов, чтобы достичь 5 , прежде чем пройти через {16, 8, 4, 2, 1} за пять шагов. ^[15]^[16] В противном случае им обоим потребуется девятнадцать шагов, чтобы достичь 2 , который является средним узлом в элементарной траектории {1,4,2,1,4...} для 1 при циклическом возвращении к самому себе, или двадцать шагов, чтобы достичь 1 .
^ Радикал . $186 = 2 \times 3 \times 31$ из 744 ^[19] имеет среднее арифметическое делителей, равное 48, ^[11] где сумма трех различных простых делителей числа 744 равна $62 = 36$ . 186 невнимательный ^[20] и некокотентный , ^[21] равен количеству пентагексов , когда вращения считаются отдельными. ^[22]
^ 744 — 181-е обильное число. В частности, 432 (дважды , куб 6 ) 216 имеет аликвотную сумму 808 , ^[14] где 433 — тридцать первое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления , которое повторяет 432 цифры, что в совокупности дает 1944. ^[25] Менее 1000, шестидесятое и самое большое такое простое число - 983 , которое повторяет 982 цифры, которые в сумме дают 4419, двузначную двойную перестановку цифр 1944 года (и где $2475 = 4419 - 1944$ имеет уменьшенную долю 60). ^[26] 432 также является двадцать третьим промежуточным числом между простыми числами-близнецами . ^[27] и восьмое такое число, чьи соседние простые числа имеют простые индексы, которые добавляются к простому числу ( $167 = 83 + 84$ , тридцать девятое простое число); ^[9] 348 , сводный индекс 432, ^[28] само по себе является шестым промежуточным числом, чьи соседние простые числа имеют индексы, которые добавляются к простому числу ( $139 = 69 + 70$ , тридцать четвертое простое число). ^[9]
Важно, $432 = 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3$ ^[29] — число Ахиллеса , мощное число (тридцать четвёртое). ^[30] это само по себе не является идеальной степенью , как 864 (одиннадцатый индекс, который вдвое превышает его значение) и 288 (общая сумма 864), ^[5] а также 108 (четвертая из 432) и 1944 г. ^[31] (432 — шестой член, где шестое треугольное число — 21 , ^[6] сам индекс 1944 года в списке чисел Ахиллеса. Обратите внимание также, что $1944 = 1200 + 744$ , где $1200 = 456 + 744$ , или, другими словами, $σ (456)$ .) ^[32]
С другой стороны, 181 , индекс 744 как избыточного числа, является шестнадцатым полным повторяющимся простым числом по основанию десять, ^[25] и сводный индекс 232 , ^[28] это сумма первых пяти промежуточных чисел, которые лежат между простыми числами-близнецами с суммами простых чисел из соответствующих индексов (т. е. 138, 72, 12, 6, 4), как в случае с 432 и 348. ^[27] 109 — десятое полное повторяющееся простое число, повторяющее 108 цифр, сумма повторяющихся цифр которых равна 486 , четверти числа 1944 года, где 487 — тридцать третье полное повторяющееся простое число (а 811 — сорок девятое, на одну меньше суммы 180). повторяющиеся цифры 181 с $288 = 180 + 108$ ). ^[25]
^
744 — 183-е полусовершенное число, индексное значение, сумма делителей которого равна 248 , ^[32] и среднее арифметическое делителей, равное 62 = 31 × 2 , ^[10]^[11] оба из них являются делителями 744 (четырнадцатый и десятый по величине соответственно); в противном случае сумма двух его делителей, больших 1, равна 3 + 61 = 64 = 8. ². 183 также является восьмым совершенным числом . ^[34] и количество полупорядков на четырех меченых элементах. ^[35] Это наибольшее количество внутренних областей, образованных четырнадцатью пересекающимися кругами, что эквивалентно количеству точек на проективной плоскости над конечным полем. $\mathbb {Z} _{1}3$ $\mathbb {Z} _{1}3$ , с 13 ² + 13 + 1 = 183 . ^[36] Это количество зубочисток в последовательности зубочисток после восемнадцати этапов. ^[37] Далее 181, 183 стоит шестьдесят второе число Лёша формы x. ² + ху + у ², как произведение третьего и двадцать четвертого таких чисел ( 3 , 61 ), простых индексов два и восемнадцать. ^[38]^[9] Кроме того, наименьшее число, имеющее ровно четыре решения этого квадратичного многочлена , - это первый номер такси 1729 из ( a , b ) целочисленных пар (3, 40), (8, 37), (15, 32) и (23, 25) , ^[39]^[40] где эти четыре пары вместе генерируют сумму 183 . С другой стороны, наименьшее такое число, имеющее только два решения, равно 49 ; ^[41] где 1729 представляет собой 97-е такое число, выражаемое двумя или более способами. ^[42] Вероятность того, что любое нечетное число является числом Лёша, равна 0,75 , а вероятность того, что это четное число, составляет оставшиеся 0,25. ^[43]
Существует ровно 816 целых чисел (включительно, равных сумме делителей 737 , наибольшей составной суммы 744). ^[32] между полусовершенным индексом 744 и 1000, числом, которое, в свою очередь, имеет сумму делителей 2232 = 744 × 3 , ^[32] 24-е десятиугольное число , ^[44] а также 30-е число, которое можно выразить как разность квадратов последовательных простых чисел только одним отличным способом; ^[45] другие члены этой последовательности включают:
- 1920 ( 26 -й), сумма делителей 744, ^[32]
- 1728 (24-й), равный кубу 12 и на единицу меньше первого номера такси,
- 432 ( 8 -й), изобилие 744, ^[24]
- 288 (6-е), разница между 744 и 456 , единственное число, аликвотная сумма которого равна 744, ^[14]
- 240 ( 5 -й), число Эйлера 744. ^[5]
888 — 13 -й член, 26-я повторная цифра в десятичном формате. ^[46] равен сумме между 432 и 456 и между 144 и 744 (где 432 и 456 имеют общие значения 144); ^[5] и равен произведению двенадцатого простого числа 37 и 24. Первые четыре члена (5, 16, 24, 48) генерируют сумму 93 , что является одиннадцатым по величине делителем числа 744 после 62. ^[45] 93 представляет количество различных циклических перестановок Гилбрета на 11 элементах, ^[47] имеется девяносто три различных действительных периодических точки порядка 11 и, следовательно, на множестве Мандельброта . ^[48]В противном случае 1632 = 1176 + 456 , что эквивалентно аликвотной сумме 744 (1176). ^[14] и 456 — шестнадцатое число, которое можно выразить как разность квадратов простых чисел двумя разными способами, последовательными или иными (432, 1728, 1920 и 2232 также входят в эту последовательность). ^[49]
183 также является первым нетривиальным 62 - угольным числом .
^ Между тем, где 279 - это 58-е промежуточное число, лежащее между последовательными нечетными числами, которые не обязательно являются простыми числами-близнецами (здесь с разницей в четыре), 58-е палиндромное число в семеричном формате эквивалентно 456 в десятичном виде. ^[53] (это единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) ^[14] и представлен как 1221 ₇ , чьи цифры представляют собой двойную перестановку цифр 744 как 64 -й палиндром в системе счисления с основанием 7 ( 2112 ). ^[53]
Явно, каждое положительное целое число представляет собой не более суммы двухсот семидесяти девяти восьмых степеней ( проблема Уоринга ), которым предшествует максимальное количество ${1, 4, 9, 19, 37, 73, 143}$ $n$ -степеней; ^[60] где, как уже упоминалось, 279 — это десятичное представление дополнения до единиц 744 в двоичном формате. В этой последовательности первые шесть членов генерируют сумму, эквивалентную седьмому члену 143 , составному индексу 186. ^[28] это радикал 744, ^[19] а также равна сумме семи последовательных простых чисел, начиная с 11 и заканчивая одиннадцатым простым числом: $11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31$ . Это также произведение третьей простых чисел-близнецов пары $(11 \times 13)$ ; ^[8] пока прикидываю $34 + 4 4 + 5 4 + 6 4 = 7 4 - 143$ , что является вторым (или третьим) исключением в последовательности полиномов, начинающейся с $3. 2 + 4 2 = 5 2$ и $33 + 4 3 + 5 3 = 6 3$ , через $31 = 4 1 - 1$ (и $0 = 3 0 - 1$ ).
В то время как в начале последовательности полных повторяющихся простых чисел (с примитивным корнем 10) два наименьших таких числа — 7 и 17 , с повторяющимися цифрами обратного числа 7, добавляющими $27 = 3. 3$ это семнадцатое составное число, ^[28] есть еще $983+17=1000$ и $2\times279+432=7+983$ . Диапазон полных повторяющихся простых чисел от 17 до 983 состоит из пятидесяти девяти целых чисел, где 59 — семнадцатое простое число и седьмое суперпростое число . ^[9]^[61]
^ 744 — четыреста шестое индексированное губительное число, где 406 — двадцать восьмое треугольное число; ^[6] в его представлении с базой два позиции нулей соотношении находятся в соотношении $1: 1: 3$ или $3: 1: 1$ с позициями единиц, которые находятся в $1: 3: 1$ .
Его дополнение равно 100010111 ₂ , что эквивалентно $279 = 3. 2 \times 31$ в десятичном формате , что представляет собой сумму НОД частей во всех разделах $16 = 4. 2$ . ^[55] Это также количество разбиений $62 = 2\times31$ (делитель 744), а также 63 на факториальные части (без учета 0!), ^[56] и количество целочисленных разделов 44 , длина которых равна НОК всех частей ^[57] (с 63 — сорок четвёртым составным числом , ^[28] где 44 само по себе является числом нарушений 5, ^[58] и $63 + 44 = 107$ — двадцать восьмое простое число ). ^[9]
2112 ₁₀ — это количество повторяющихся десятичных цифр числа 2113 в виде полного повторяющегося простого числа в десятичной системе счисления . ^[25] где 2112 — 65-е промежуточное число , лежащее между последовательными простыми числами-близнецами, ^[27] в противном случае это 317 -й член между последовательными нечетными простыми числами, ^[59] где 317 — 66-е индексированное простое число (90 и 91 — 65-е и 66-е составные соответственно, где $181 = 90 + 91$ ). ^[9]^[28] 279 , с другой стороны, является 58-м числом, лежащим между последовательными нечетными простыми числами ( 277 , 281 ), ^[59] с $81 = 9 2$ пятьдесят восьмое составное число. ^[28]^[v] Точнее, восемьдесят один — это сумма повторяющихся цифр третьего полного повторяющегося простого числа в десятичной системе счисления, 19 . ^[25] где сумма этих цифр представляет собой магическую константу 18 $\times 18$ ненормального , но полного простого обратного магического квадрата , основанного на его обратном ( $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / 19$ ) . ^[62]^[63]^[64]
^ 744 — двадцать третье из тридцати одного такого числа, общая сумма которого равна 240, после 738 и перед 770 . Наименьшее число — 241 , пятьдесят третье простое число и шестнадцатое суперпростое число . ^[61] и самый большой — 1050 , что представляет собой количество частей во всех разделах из 29 на отдельные части. ^[65]
^ Значение этой сигма-функции представляет собой пятнадцатую сумму нетреугольных чисел между треугольными числами ; в данном случае это сумма, лежащая между пятнадцатым ( 120 ) и шестнадцатым ( 136 ) треугольными числами. ^[67] (т.е. сумма $121 + 122 + ... + 135$ ).
^ Тридцатое треугольное число равно $465 = 3 \times 5 \times 31$ , что равно разнице между 744 и 279 (эквивалентно 1011101000 ₂ и 100010111 ₂ , пары дополнений единиц соответственно). 30 — двенадцатое число $m$ такое, что $6 m + 1$ и $6 m — 1$ — простые числа-близнецы ( 181 , 179 ). ^[8]^[69] 465 также является биномом $(31,2)$ , равным количеству подмножеств размера 2 из ${0, 1, ..., 31}$ , которые не содержат последовательных целых чисел (в свете как треугольное число, отстающее от своей последовательности на один индекс ). ^[70]^[6] В последовательности Падована 465 — это двадцать восьмой индексированный член, равный количеству композиций из 28 на части, конгруэнтные 2 по $модулю 3$ , а также количеству композиций из 28 на части, которые нечетны и больше или равны 3, и количество максимальных клик в $(28 + 6)$ -путей графе дополнения (в частности, в $34$ -пути). ^[71]
30 — это наименьшее сфеническое число , которое является произведением трех различных простых чисел (2, 3 и 5) со следующими двумя такими числами $42 + 66 = 108$ . ^[72] Важно отметить, что 30 — это единственная точка в последовательности натуральных чисел. $\mathbb {N} ^{+}$ где отношение простых чисел к непростым (до) равно 1/2  ; при включении 0 в $\mathbb {N}$ как непростое число, это соотношение достигается при 29 , где соотношение половины снова достигается только (здесь исключительно как соотношение между простыми и составными числами) при 37 и 43 , которые являются соответственно двенадцатым и четырнадцатым простыми числами. (при включении 1 в качестве простой единицы тринадцатое простое число 41 будет еще одной точкой соотношения 1:1, без учета 0). ^[9] 1:1 В противном случае соотношение простых чисел к составным (до) происходит в двух точках: 11 и 13 , соответственно пятом и шестом простых числах. ^[9] — чьи индексы в сумме равны 11, простой индекс 31 — и в 7 , когда 0 и 1 включены как непростые числа в $\mathbb {N} _{0}$ или в 8 , если включает только 1, и в 9, если считать 0 непростым, а 1 — простой единицей). Тридцать также является первым составным значением с тремя или более различными простыми множителями, для которого функция Мёбиуса возвращает −1 , как и для всех чисел со строго нечетным количеством простых множителей, включая сами простые числа. Соответственно, 31 — это первое число (после 1 ), достигшее рекордной амплитуды между нулями в связанной функции Мертенса $M (n)$ , где следующее такое число — 114 , ^[73] среднее арифметическое делителей которого равно 30, ^[10]^[11] с суммой делителей 240. ^[32] С другой стороны, 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744), ^[14] 744 и 1176 (аликвотная сумма 744) все устанавливают значение -5 для $M (n)$ , ^[74] соответственно 20-е, 57-е и 86-е числа для этого (где 57 — сороковое составное, а 80 — пятьдесят седьмое), ^[28] при этом эти индексы образуют сумму $20 + 57 + 86 = 163$ , что эквивалентно наибольшему из девяти чисел Хегнера . (Кроме того, $20 + 57 = 77$ , сумма десятичных цифр в почти целочисленном приближении $e π \sqrt163$ до его десятичного расширения.)
Шестая пара чисел, создающая рекордный разрыв между простыми числами ( 14 ), — это 30-е и 31-е простые числа ( 113 , 127 ), ^[75]^[76]^[77]^[9] Предыдущие последовательные простые числа, создающие рекордные пробелы: (89, 97), (23, 29), (7, 11), (5, 3) и (3, 2); ^[78]^[79] меньшее из них вместе дает сумму 127, тридцать первое простое число.
^
Это 168 -е индексированное число Цумкеллера, где 168 = 6 × 28 представляет собой произведение первых двух совершенных чисел , ^[81] равно пятому числу Дедекинда , ^[82] где предыдущие четыре индексированных члена (2, 3, 6, 20) вместе дают 31 — с 496 тридцать первым треугольным числом, ^[6] и третье совершенное число. 168 — это также количество простых чисел меньше 1000 . ^[9]^[83] Два набора делителей числа 744 с равными суммами:
- (1, 2, 3, 4, 8, 12, 62, 124, 744)
- (6, 24, 31, 186, 93, 248, 372)
960 — это также тридцать первое число Жордана–Пойа , являющееся произведением факториалов 5! × (2!) ³, ^[84] равна сумме шести последовательных простых чисел 149 + 151 + 157 + 163 + 167 + 173 , между 35-м и 40-м простыми числами (это тридцать пятое такое число). ^[85] Пятнадцатое и шестнадцатое треугольные числа образуют сумму 120 + 136 = 256 = 2. ⁸ это общее значение 960, ^[5] и количество разделов 29 = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 2 ² + 3 ² + 4 ² на отдельные части и нечетные части. ^[86] Как и его простое число-близнец 31, 29 является первоначальным простым числом , которое вместе составляет третью и самую большую из трех известных пар простых чисел-близнецов (1-го, 2-го и 5-го), которые являются первоначальными простыми числами. ^[87] возможно, без больших пар. Между ними находится 30 .
^ Сложные тотативы
{ 25 , 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95, 115, 119, 121, 125, 133, 143, 145, 161, 169, 175, 185, 187, 203, 205, 209, 215, 221, 235, 245, 247, 253, 259, 265, 275, 287, 289, 295, 299, 301, 305, 319, 323, 325, 329, 335, 343, 355, 361, 365, 371, 377, 385, 391, 395, 407, 413 , 415 , 425, 427, 437, 445, 451, 455, 469, 473, 475, 481, 485, 493, 497, 505, 511, 515, 517, 529, 533, 535, 539, 545, 551, 553, 559, 565, 575, 581, 583, 595, 605, 611, 623, 625, 629, 635, 637, 649, 655, 665, 667, 671, 679, 685, 689, 695, 697, 703, 707, 715, 721, 725, 731, 737 }.
Его наименьшая составная сумма равна $5. 2 = 25$ , это единственное число, аликвотная сумма которого равна 6 , ^[14] и второе из двух чисел, сумма делителей которого равна 31 (наибольший простой делитель 744), после $16 = 4. 2$ . ^[32] В частности, двадцать пятое простое число 97 образуется из суммы 48 и 49. Девяносто семь — это девятое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления. ^[25] чьи 96 повторяющихся цифр образуют сумму 432 , равную количеству 744. ^[24] 97 также является первым нечетным простым числом, которое не является простым числом кластера. ^[89] (которое предшествует тридцать первому простому числу 127 в этой последовательности), где разрыв между простыми числами для простого числа кластера равен шести или меньше; ^[90] шестое и седьмое простые числа, не являющиеся простыми числами кластера, — это сорок восьмое и сорок девятое простые числа 223 и 227 .
97 — одиннадцатое простое число $p$ формы $6 m + 1$ для натурального числа $m$ . ^[91]
Между медианными составными тотативными значениями 744, т. е. ( 413, 415 ) , находится 414 — 333 -е составное число. ^[28] - с Эйлера коэффициентом 132 ^[5] это также простой индекс 743, ^[9] самое большое простое число равно 744. Кроме того, число 414 имеет сумму делителей 936, ^[32] 777 - е составное число, в свою очередь представляющее собой сумму делителей 639 (палиндром с 936), которое само по себе является составным индексом 777 (также палиндром). Где 414 — 43-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса, 333 — 26-е, ^[92] где 43 — четырнадцатое простое число. ^[9] Кроме того, двадцать пятая цифра в десятичном формате равна 777. ^[46]
Если 25 — наименьшая составная сумма 744, то наибольшая такая сумма равна 737 , аликвотная сумма которой равна 79 , ^[14] двадцать второе индексированное простое число, ^[9] это меньшее перестановочное простое число до 97 в десятичной системе счисления. ^[7]
^ 713 — произведение девятого и одиннадцатого простых чисел $23\times31$ , где двадцать третье простое число ( 83 ) — это одиннадцатое простое число вида $6 m - 1$ ; оно равно разнице между 744 и 31 с аликвотной суммой 55. ^[14] и общее значение 660 . ^[5]
∗ 589, равное $19 \times 31,$ представляет собой сумму трёх последовательных простых чисел (193 + 197 + 199). ^[93] Это также девятое центрированное тетраэдрическое число , где 5 и 15 — первые два таких числа ( $121 = 11 2$ является пятым). ^[94] Это четырнадцатая третья спица шестиугольной спирали. ^[95] и двадцатое квази- число Кармайкла ^[96] с уменьшенным значением 90 . ^[26] В функции spt 589 — это общее количество наименьших частей (считаемых с кратностью) во всех разделах, равных 15. ^[97]
∗ 527, равное $17 \times 31,$ — это количество разбиений 31 с равным количеством четных и нечетных частей. ^[98] Его аликвотная сумма равна 49. ^[14] среднее арифметическое делителей которого равно $122 = 144$ с суммой его простых множителей, равной 48. Это также максимальное количество частей, которое можно получить, разрезав кольцо 31 разрезом, ^[99] и эквивалентен сумме тридцати одного последовательных ненулевых целых чисел $2 + 3 + ... + 32$ ; вторая по величине такая сумма после третьего совершенного числа 496. ^[81]
^
* 403, равное 13×31, — это тридцать седьмое число, возвращающее 0 для функции Мертенса , ^[92] и значение суммы делителей 144 , первого числа, генерирующего это значение. ^[32] Это также первое число, общее число которого равно 360 , из двадцати пяти таких чисел; с 549 шестым (и 447-м составным числом, которое само по себе является 360-м составным числом) ^[28] и 693 = 144 + 549 десятый. ^[5] Кроме того, 403 — это 284-е арифметическое число , поскольку его четыре делителя содержат среднее арифметическое 112 = 7 × 4 × 4 , второе такое число, содержащее это значение. ^[10]^[11]
112-е простое число — 613 . ^[9] что представляет собой сумму последовательных составных индексов 382 и 384 (соответственно 306 и 307), ^[28] где 383 — 28 -е полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления; 613 также равно сумме простых индексов семи последовательных полных простых чисел (в десятичном формате): 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499 соответственно с простыми индексами 77, 81, 84, 89, 93, 94 и 95 ^[9] (и между 29-м и 35-м такими простыми числами) ^[25] — все следующие за 383, где следующее полное повторяющееся простое число после 499 — это 96-е простое число 503 . ^[9] 383 также является вторым числом после 19, которое генерирует полный простой обратный магический квадрат в десятичной дроби, строки и диагонали которого генерируют одну и ту же магическую константу (из повторяющихся цифр) 1719 . ^[62] В списке простых чисел 2017 и 2027 занимают соответственно 306-е и 307-е места. ^[9] где 1719-е составное число — это 2026. ^[28]
- Среднее арифметическое делителей числа 2022 года , которое находится посередине между только что отмеченным интервалом простых чисел из одиннадцати целых чисел (включительно), равно 507 , что равно сумме простых делителей числа $2012 года = 2. 2 \times 503$ (включая кратности), среднее арифметическое значение делителей которого, в свою очередь, равно 588 (половина 1176, аликвотная сумма 744) и второе такое число, имеющее это значение (588), после 1304. ^[10]^[11]
- 1685, с другой стороны, является третьим числом, среднее число делителей которого после 2022 года равно 507, а сумма делителей (1685) равна 2028 . ^[32] число, лежащее между 307-м и 308-м простыми числами, 2027 и 2029, 62 -я пара простых чисел-близнецов); ^[9]^[8] 2011 также является простым числом, 305-м простым числом, причем 305 имеет составной индекс 242 . ^[9]^[28]
- 1715, сводный индекс 2022 года, ^[28] является четвертым из тринадцати чисел, общая сумма которых равна $1176 = s (744)$ , ^[5] со средним арифметическим делителей, равным 300 , что является двадцать четвёртым треугольным числом. ^[6]
- Число 2023 , находящееся посередине между простыми числами 2017 и 2029, имеет аликвотную сумму 433 (или 432, численность 744 , если не считать 1), ^[14] и фактор Эйлера $1632 = 1176 + 456$ (аликвотная сумма 744 плюс единственное число, содержащее аликвотную сумму 744). ^[5]
Если 383 повторяет 382 цифры в десятичной системе счисления, то 382 также является арифметическим числом, а именно первым числом, среднее число делителей которого равно 144. ^[10]^[11] будучи седьмым числом, содержащим сумму делителей 576 = 24. ². ^[32] Кроме того, 613 + 744 = 1357 , а также 744 - 613 = 131 (оба с последовательными разностями в 2 между цифрами); последнее - это двенадцатое полное повторяющееся простое число в десятичной дроби, которое повторяет 130 цифр с суммой 585 = 8. ⁰ + 8 ¹ + 8 ² + 8 ³, где 48 -е полное повторяющееся простое число, с другой стороны, равно 743, наибольшему простому числу 744 (или 49 -му в почти идентичной последовательности длинных простых чисел , которая вместо этого начинается с 2, десятичное разложение которой 1 / p имеет период p − 1 ). ^[25]^[100]
Между тем, 112 (82-й составной) — это составной индекс 147 = 48 + 49 + 50. ^[28] с аликвотной суммой 81 = 9 ²^[14] и среднее делителей 38 . ^[10]^[11] 147 само по себе является составным индексом девятнадцатого треугольного числа 190 . ^[6] равен тотенту и приведенному тотенту 382. ^[5]^[26] 744 − 383 = 361 = 19 ², где 383 — это 76 = 2 ² × 19 индексированное простое число ^[9] (и 304, четырежды семьдесят шесть, простой индекс 2003 года , который является наименьшим простым числом, большим, чем 2000). ^[9]
* 341, равное 11 × 31, представляет собой сумму семи последовательных простых чисел (37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61) простых чисел с 12 по 18 . Это наименьшее псевдопростое число Ферма в двоичной системе . ^[101] и шестое центрированное число куба . ^[102] Это количество разделов, равное 31, такое, что каждая часть встречается с одинаковой кратностью, ^[103] а тридцать первое число в последовательности Мозера – де Брёйна представляет собой сумму различных степеней 4 ( 4 ⁴ + 4 ³ + 4 ² + 4 ¹ + 4 ⁰). ^[104]^[105] 341 — это также одиннадцатое восьмиугольное число , ^[106] равно числу узлов в правильном одиннадцатиугольнике, у которого проведены все диагонали. ^[107] с (341) = 43 , ^[14] со средним арифметическим делителей, равным 96 . ^[11] Это также десятое число Якобсталя , ^[108] и общее количество крупнейших частей (или, что эквивалентно, суммы наименьших частей) во всех разделах 16 . ^[109]
^ * 217, равное $7\times31,$ — девятое центрированное шестиугольное число , в которое также входят в качестве предыдущих членов {7, 19 , 37, 61, 91, 127 , 169} ^[110] где 127 — шестой член, который также является тридцать первым простым числом. 217 также является шестым нетривиальным двенадцатиугольным числом. ^[111] и третье нетривиальное центрированное 36-угольное число. ^[112] Это третье псевдопростое число Ферма пятеричного числа после 124 (делитель 744) и 4, ^[113] и пятнадцатое целое число Блюма , отдельные простые множители которого конгруэнтны $3 по модулю 4$ . ^[114]
✶ 155, равное $5 \times 31,$ имеет аликвотную сумму 37 ^[14] и среднее арифметическое делителей, равное 48. ^[5] Это третье число, равное сумме от наименьшего простого множителя до наибольшего. Единственные меньшие числа с таким же свойством - это 10 и 39. ^[115] которые генерируют сумму $49 = 7 2$ ; следующее такое число — 371 , на 1 меньше половины от 744. Всего существует сто пятьдесят пять примитивных групп перестановок $(G, X)$ степени $81$ разбиения на множестве $X$ с помощью $G ;$ , которые сохраняют только тривиальные ^[116] сумма числа всех групп перестановок младших степеней равна 666 , что является двоякотреугольным , ^[117] поскольку оно представляет собой сумму первых тридцати шести целых чисел, где 36 само по себе является восьмым треугольным числом. ^[6] 148 149 повторяющихся цифр тринадцатого полного повторяющегося простого числа в десятичном формате ( которое находится между 109 и 181 в этой последовательности). ^[25] сумма равна 666.
Сто пятьдесят пятое индексированное практическое число — 744. ^[50] где 155-е арифметическое число — это сорок восьмое простое число 223 : первое число, содержащее среднее арифметическое делителей 112, предшествующее 403 . ^[10]^[11]
^ 743 — двадцать шестое или двадцать седьмое счастливое число Эйлера формы $n. 2 + n + 41$ для получения последовательных простых чисел. ^[118]^[119] Это также двадцать шестое индексированное начало максимальной цепочки простых чисел вида $p (k), ..., p (k + r)$ для $r \geq 1$ . ^[120] Это сорок восьмое полное повторяющееся простое число в десятичной дроби с примитивным корнем 10 , ^[25] или, аналогично, сорок девятое простое число с длинным периодом, если включено 2 . в эту последовательность ^[100] Это сорок восьмой член десятичной системы счисления, в котором каждый суффикс является простым, при этом многократное удаление наиболее значимой цифры дает простое число на каждом этапе, пока не останется однозначное простое число. ^[121]
В частности, 743 — это общая сумма нечетных частей во всех разделах из 13, ^[122] и количество разделов 31 на номера разделов. ^[123] В частности, это количество способов разбить 7 помеченных элементов на наборы размером не менее 2 и упорядочить эти наборы, ^[124] и, кроме того, число строгих целочисленных разделов равно 37 , ни одна часть не делится ни на одну, ни на все остальные части. ^[125]
Если 743 — наибольшая сумма простых чисел 744, оно представляет собой сумму всех частей всех разделов всех положительных целых чисел, меньших или равных 25, на нечетное число равных частей или, что то же самое, последовательных частей ; ^[126] с двадцатью пятью наименьшей совокупной суммой 744.
^ Эти простые совокупные числа образуют сумму 44 647 (число простых чисел, 4641-е простое число, индекс, среднее арифметическое делителей которого равно 504 ) ^[11] в то время как составные тотативы вместе образуют сумму 44 632 (на единицу меньше простого числа, 4639-е простое число и 626-е суперпростое число , ^[61] последний - индекс, значение которого является четвертым и наибольшим числом, сумма аликвот которого равна 316 ); ^[14] эти суммы имеют разницу 15 или в противном случае в совокупности имеют диапазон 16 чисел между собой включительно.
С другой стороны, разности и суммы между шестью числами, совпадающими $\pm1 по модулю 6$ , которые не являются суммативными числами 744, сами по себе эквивалентны делителям числа 744, поскольку они являются двупростыми числами пропорционально 31 (например, $713 - 589 = 124$ и $713 - 527 = 186$ ), а также генерирует другие соответствующие равенства, такие как $713 - 217 = 496$ .
Наибольшая разница между наибольшим (713) и наименьшим (155) из этих тотативов составляет 558 , седьмое число такое, что сумма крупнейших простых делителей чисел от 1 до 558 делится на 558, предыдущее и шестое индексированное число равно 62. , ^[128] десятый по величине делитель числа 744, сумма делителей которого равна 96; ^[32] пятое число в этой последовательности — 32 (которое делит 96).
Разница между 558 и 62 также равна 496, что равно $713 - 155 - 62$ ; и что важно, 558 — это дважды 279, что является дополнением к единицам 744 в двоичном и десятичном представлении.
^ Разница между 2238 и 1492 составляет 746, где 2238 — это дважды 1119. В частности, $746 = 2 \times 373 = 1. 5 + 2 4 + 3 6 = 2! + 4! + 6!$ невнимательный , ^[20] и равен количеству ненормальных ортомагических квадратов с магической константой 6. ^[129]
Его полное значение 372 составляет половину от 744, ^[5] это также на 1 меньше, чем 373 , 74 -е индексированное простое число. ^[9] это наименьшая разница между числами, число которых равно 744 (т. е. $1119-1492$ ). 373 — одиннадцатое двустороннее усекаемое влево и вправо простое число в десятичной системе из пятнадцати таких простых чисел по основанию десять. ^[130] Хотя 373 — это наименьшая разница между числами, общая сумма которых равна 744, его цифровое представление в десятичном виде представляет собой зеркальную перестановку цифр 737 , наибольшей составной суммы 744.
Сумма этих трёх чисел, чьи доли равны 744, равна $1119 + 1492 + 2238 = 4849$ .
^ 1176 также является одним из двух средних членов двенадцатой строки числа. $\operatorname {(2,3)} -$ Треугольник Паскаля. ^[133] В треугольнике чисел Нараяны число 1176 появляется как сороковой и сорок второй члены восьмой строки. ^[134] в который также входит 336 (всего 1176) ^[5] и 36 ( квадрат 6). Внутри треугольника чисел Лаха вида $\textstyle {L(n,k)=\left\lfloor {n \atop k}\right\rfloor }$ , 1176 — это элемент с $n = 8$ и $k = 6$ . ^[135] Это число Фибоначчи ; пятьдесят первый индексированный член, где в его случае $F_{1176}$ делит $F_{F_{1176}}$ , ^[136] и сорок первая 6 — почти простое число , которое делится ровно на шесть простых чисел с кратностью . ^[137]
^
240 — тридцать первая четверть квадрата , где 49 — 14-я. ^[138] По теме: ^[138]
- Максимальное произведение двух целых чисел, сумма которых равна 31, равно 240.
- 240 — это сумма натуральных чисел меньше 31, имеющих четность, противоположную 31.
- 240 — это количество непустых подмножеств ${1, 2, ..., 31}$ , содержащих ровно одно нечетное и одно четное число.
- Существует 240 арифметических прогрессий трех слагаемых, любыми способами извлекаемых из набора первых тридцати одного натурального числа (начиная с 1).
Из исходной позиции в стандартных шахматах 240 — это минимальное количество взятий пешками одного цвета, чтобы разместить 31 из них на одной вертикали (столбце). 240 — это также максимальное количество ребер, которое может иметь граф без треугольников из 31 вершины. ^[138]
Важно отметить, что 240 — это степень полинома шестнадцатицикловой логистической карты r ₁₆ , ^[139]^[140]^[141] где 16 — наименьшее число, аликвотная сумма которого равна 31. ^[14]
^ Сумма всех этих семи целых чисел, сумма делителей которых эквивалентна 744, равна 3313 , 466-му простому числу. ^[9] и 31-е сбалансированное простое число , ^[142] как средний член 49-й тройки сексуальных простых чисел $(3307, 3313, 3319)$ ; ^[143] это соответственно 178 -е и 179-е такие простые числа $p$ , где $p - 6$ ^[144] и $р + 6$ ^[145] являются простыми — где 178 — 132-е составное число, ^[28] сам по себе является простым индексом наибольшего числа (743), содержащего сумму делителей 744. ^[9]^[32] 3313 также является 24-м центрированным двенадцатиугольным или звездным числом. ^[146] (и 15-е число является простым). ^[147] Разделенное на два числа, 3313 представляет собой сумму 1656 и 1657, причем последнее является 260 -м простым числом, индексным значением, которое, в свою очередь, является первым из пяти чисел, сумма делителей которого равна 588 . ^[32] что составляет половину от 1176 (аликвотная сумма 744); ^[14] его среднее арифметическое делителей (260), напротив, равно 49 . ^[10]^[11] Кроме того, 260 — это среднее значение делителей 2232 (четвертое по величине из пяти чисел, содержащих это значение), что в три раза равно 744.
^ 248 — это дважды 124 и половина 496 ; последнее, которое является третьим совершенным числом ^[81] — как 6 и 28 (дважды 14) — это тоже тридцать первое треугольное число , ^[6] с формой $2 р - 1 (2 п - 1)$ и $p = 5$ по теореме Евклида-Эйлера . Сумма 248 равна 120, ^[5] с восемью делителями, дающими среднее арифметическое целое число 60; ^[11] Число 496 имеет общее число 240, как и 744.
Где сумма между 744 и общей $256 = 2 8$ 960 ( половина Цумкеллера от 744) равна $1000 = 10. 3$ , их разница эквивалентна $488 = 240 + 248.$
248 также является суммой простых индексов семи последовательных полных повторяющихся простых чисел в десятичном формате: 109 , 113, 131, 149, 167, 173, 181 , ^[25] соответственно с 29, 30, 32, 35, 39, 40 и 42 простыми индексами; ^[9] где 248 — сто девяносто четвертое составное число, а 194 — 149 -е составное число, ^[28] средний член в этой последовательной последовательности из семи полных повторяющихся простых чисел. 149 само по себе является сильной конкатенацией $14 = 7 + 7$ и $49 = 7 \times 7$ , соединенных посередине цифрой 4 , где 7 — четвертое простое число. В списке последовательных простых и составных индексов 181, начиная с простого индекса 42 , сгенерированная сумма равна $109 = 42 + 28 + 18 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0$ ; с 109 сводный индекс 144 . ^[9]^[28]
^
456 — шестое число икосаэдра , ^[148] на единицу меньше, чем 88 -е простое число 457 (который сам по себе является индексом, представляющим 64 -е составное число). ^[9]^[28] Список икосаэдрических чисел включает 124 в качестве четвертого индексированного члена, где это число также является третьим неунитарным числом стеллы-октангула после 51 и 14 . ^[149] и седьмое неприкосновенное число , после 120 и 96; ^[150] это одиннадцатый неединичный делитель числа 744, равный сумме всех простых чисел, которые не являются частью его простой факторизации, меньше 31 (т.е. 5 + 7 + ... + 29 ). Кроме того, это четвертое идеально разбитое число после 1, 2 и 3. ^[151] Если 1176 и 456 вместе имеют диапазон в семьсот двадцать одно целое число, разница между 721 и 1000 составляет 279 (десятичный эквивалент дополнения единиц 744 в двоичном формате); где также 1455 = 1176 + 279 содержит среднее арифметическое делителей, равное 294, ^[10]^[11] что составляет одну четверть 1176. Эта сумма также представляет количество групп перестановок степени 6 , ^[152] и количество разбиений 48 на отдельные части, так что число частей нечетное, ^[153] и число разбиений 48 на отдельные части, так что число частей четное. ^[154] 456 — это также, в частности, число разбиений двадцать девятого составного числа 44 на простые части (где, с другой стороны, 744 — количество разбиений числа 49 на простые части). ^[17]
Далее, относительно двадцати девяти:
- сумма первых десяти простых чисел до 29 дает 129 , ^[155] что представляет собой общее число простых чисел, равное 744 (при этом пятая такая сумма десяти последовательных простых чисел равна 264, или дважды 132). 129 также является 97-м индексированным составным числом. ^[28] где 97 — 25-е простое число, ^[9]
- двадцать девятое простое число, с другой стороны, равно 109 , ^[9] что представляет собой количество составных итогов 744, превышающих $25 = 5. 2$ , его наименьшая составная сумма;
- двадцать девятый рекорд суммы делителей числа $n$ установлен как $σ (744) = 1920$ . ^[66]
Количество простых и составных совокупных чисел 744, без учета 1, равно 239 , что является 52 -м индексированным простым числом. ^[9] Это также сумма пар простых чисел (23, 29) и (89, 97), которые соответственно генерируют последовательные рекордные пробелы между простыми числами 6 и 8 , которые предшествуют рекордному пробелу 14 (сумма двух предыдущих, которые также умножаются на 48 ) между тридцатым и тридцать первым простыми числами (113, 127), ^[75]^[76]^[77]^[78]^[79] сумма которых равна 240 , а сумма Эйлера равна 744. ^[5]
Следует отметить, что 239 - единственное сопутствующее число, для выражения которого требуется максимальное количество квадратов (четыре), максимальное количество кубиков (девять) и максимальное количество четвертых степеней (девятнадцать). ^[156] — единственное другое число, требующее девяти кубов, — это девятое простое число 23 , которое является индексом 744 в списке из тридцати одного целого числа, содержащего значение тотента Эйлера, равное 240; ^[5] 23 и 239 — это также третье и четвертое числа n (после 1, 2 и 5), которые обозначают количество разделов из 3 ^н, здесь 3 ³ и 3 ⁴ соответственно, в степени 3 . ^[157] Если 239 умножить на 628-е простое число (4649), ^[9] он дает седьмую десятичную единицу ( 1111111 ), ^[156] число, среднее арифметическое делителей которого равно 279000 = 279× 1000 . ^[10]^[11] 628 — 52-е неприкосновенное число, где 52 — третье, следующее за 2 и 5 . ^[150]
В то время как единственные два положительных числа квадратной октангулы - это 1 и 9653449 = 3107. ² = (13 × 239) ², ^[158] — индексов 1=1 ² и 169 = 13 ² в этой последовательности ^[149] — единственные решения y ² + 1 = 2 х ⁴ в положительных целых числах : ( x , y ) = (1, 1) и (13, 239) . ^[159] Фракция 239 / (13 ²) — седьмое приближение сходящейся цепной дроби для √2 , ^[160] где 16 арктан ( 1 / 5 ) − 4 арктанса ( 1/239 является π ) приближением $радиан$ . для ^[156]
5 × 239 = 1195 , четвертое число, среднее арифметическое которого делителей равно 360 , ^[10]^[11] где, в частности, 52 = 13 × 4 = 26 × 2 , простой индекс двести тридцать девять, является пятым числом Белла , которое подсчитывает количество способов разделить набор из пяти помеченных элементов. ^[161] Триста шестьдесят — наименьшее число с двадцатью четырьмя делителями. ^[12] и пятьдесят второе дружеское число (самое большое известное «маленькое» дружеское число — 372 , или половина 744), ^[162] является шестым из семи ( очень сложных ) чисел, так что ни одно число, меньшее чем в два раза, не имеет больше делителей. ^[163] Оно также делится на все целые числа, меньшие или равные десяти, за исключением семи, которые сами по себе представляют собой сумму целых чисел, которая дает 48 .
^
В семействе ориентированных мультиграфов , обогащенных видами разбиений множеств , количество таких мультиграфов с четырьмя помеченными направленными ребрами (или дугами) равно 2229. ^[171]^[172] С другой стороны,
- 2229 равно сумме шестнадцатого числа Люка и его аналога, не являющегося числом Люка, плюс $1$ : (2207, 22). ^[173]^[174]^[175]
- 2229 — это также количество разделов, равное 31, состоящее не более чем из 3 нечетных частей, ^[176] а количество разделов шестнадцатого составного числа 26 ^[28] которые содержат разное количество нечетных и четных частей. ^[177]
- Это также восьмой член $n$ полигексов 0 размера $6 n + 1 = 49,$ имеющих $6-$ кратную вращательную симметрию , предшествующий таким многогексам размеров (1, 1, 2, 4, 11, 37, 136, 540) для $\leq п < 8$ ; ^[178] для числа многоугольников размера 31 ( $n = 6$ ) их тридцать семь, а для числа многоугольников размера 37 ( $n = 5$ ) — 136, что является шестнадцатым треугольным числом . ^[6]
количество эндофункций класса 2229 — это также $[5]$ $[5]$ с различной длиной цикла . ^[179]
При группировке последовательных составных чисел так, что сумма $n$ $п$ –th группа кратна $n$ $п$ –-е простое число, 2229, эквивалентно двадцать пятой групповой сумме составных чисел, разделенной на двадцать пятое простое число, 97 . ^[180] Эта сумма возникает между 182 составными числами, охватывающими диапазон ( 1106, 1313 ) , без учета двадцати шести простых чисел между ними (начиная с 1109 и заканчивая 1307).
Первый составной член составной группы — 1106 , четырнадцатое 14- угольное число . ^[181]^[182] это также наименьшее k такое, что | М ( к )| = 14 (она же обратная функция Мертенса ). ^[183] Где 1106 — количество областей, на которые плоскость делится при рисовании двадцати четырех эллипсов , ^[184] количество неэквивалентных матриц Адамара порядка 24 равно 1106; явно вида 2 –(23, 11, 5) . ^[185]^[186] Кроме того, первое простое число в последовательности из двадцати пяти последовательных составных чисел, которые делятся на двадцать пятое простое число, — это 1109 , 186 -е простое число (индекс, представляющий тринадцатый по величине делитель числа 744). ^[9] это седьмое число, при котором функция Мертенса достигает нового рекорда амплитуды между нулями (отрицательных 15); ^[187] самое большое простое число в этой последовательности — 214-е простое число, 1307. ^[9] Число 1106 также имеет сумму делителей 1920. ^[32] а среднее арифметическое его делителей равно 240, ^[10]^[11] соответственно сумма делителей и целое 744. ^[5]
В списке последовательных составных индексов — A ( n + 1) = A ( n ) –я составная с A (1) = 47 (ср. A059408 ) — 1106 входит в последовательность (47, 66, 91, 122, 160, 207, 264 , 332, 413 , ..., 1106 , ...); последовательность, основанная на пятнадцатом простом числе, 47 . ^[9] Квадрат 196 13 равен 169, а квадрат 14 равен ; последний отстоит на 1 и 3 единицы от 197 и 199 , которые являются наименьшим k таким, что | М ( к )| = n для n из 7 и 8 (соответственно), ^[183] где сумма пятнадцатой пары простых чисел-близнецов ^[8] 197 + 199 = 396 — третье число десятичной дроби. ^[127] равен сумме первых двух (132, 264).
^ Другой подходящий пример - тридцатое простое число 113, ^[9] где тройное его значение равно 339 , среднее значение делителей которого равно 114 . ^[10]^[11] Три крупнейших из четырех чисел, сумма делителей которых равна 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744). ^[14] имеют средние арифметические значения 114 (это 222, 302, 339 и 407 ), ^[10]^[11] с 339 между соседними членами, которые в сумме дают 127-е простое число и 31-е суперпростое число , 709 . ^[61] В списке чисел, позволяющих достичь рекордных значений амплитуды между нулями в функции Мертенса, первые несколько членов: (1, 31, 114, 199 , 443, 665, 1109, ...); ^[187] четвертый член - 46-е простое число (199), ^[9] индекс, который сам по себе занимает 31-е место в списке композитов, ^[28] причем 443 имеет среднее арифметическое делителей 222 (поскольку оно простое). ^[10]^[11] После 1109 следующий член — 1637, что равно 665 ₁₆ в шестнадцатеричном формате ; 31 — это сумма делителей 16 , первого из двух чисел (второе — 25), ^[32] где 31 также является суммой простых делителей $665 = 5 \times 7 \times 19$ . ^[188] В противном случае разница $709-339 = 370$ представляет собой второе по величине нетривиальное число Армстронга, равное сумме кубов их цифр (только четырех в десятичном формате , кроме 0 и 1), ^[189]^[190] который следует за 153 , где 407 — самое большое; в противном случае 709 и 339 имеют диапазон из 371 целого числа, что является третьим по величине числом Армстронга, равным кубу его цифр.
153-е нетривиальное и унитарное арифметическое число после единицы равно 222, где ( 153, 154 ) образуют шестую пару Рут-Аарон . ^[191] с общей суммой различных простых делителей 20 ^[192] (одиннадцатый составной, где первая пара Руфь-Аарон находится между 5 и 6). Сумма составного индекса 20, наряду с двадцатым составным и простым числами, эквивалентна $11 + 32 + 71 = 114$ . Если трижды 20 равно 60 , половина 114 равна 57 , что представляет собой составной индекс 80 , где 57 — 40 -е составное число. ^[28] Десять — это сумма сумм различных простых делителей (5) первых двух пар Рут-Аарон, где вторая пара — ( 24, 25 ) , за которой следует ( 49, 50 ) . ^[191]
^ 742 — седьмое икосаэдрическое число , следующее за 456 . ^[148] Сумма всех неунитарных чисел икосаэдра до 742 эквивалентна $12 + 48 + 124 + 255 + 456 + 742 = 1637$ , что является восьмым числом, достигшим рекордной амплитуды между нулями в функции Мертенса (- 16 ). ^[73]^[183] 742 — это также тридцать восьмое центральное многоугольное число , ^[36] и число разбиений 30 на делители 30. ^[193] С другой стороны, 742 — восьмое число Кита после 197 . ^[194] это наименьшее число, достигающее амплитуды 7 для $M (n)$ . ^[183]
^ В $15\times 15$ тороидальная доска в задаче n – ферзей , 132 — количество неатакующих ферзей, ^[197] с показателем 19 соответствующим ^[198] и кратность 1444 = 38 ² ^[199] (где дважды девятнадцать — тридцать восемь). ^[200]
^
В других графиках 456 также:
- Количество полных однозначных деревьев размера 5 . ^[209] Эти деревья определяются как помеченные двоичные деревья. $T$ , где каждая левая (правая, дочерняя) метка появляется один раз и где левая (соответственно правая) метка $U$ предок $V$ помечен строго больше, чем $V$ . ^[210]^[211]
- Количество связных регулярных графов с 18 узлами и обхватом не менее 5. ^[212]
- Количество замкнутых обходов вершины полного графа на девяти узлах $K_{9}$ . ^[213]
- Число вершин степени $6$ в $3$ - губчатом графе Менгера . ^[214]
- Количество различных композиций лестничного графа $L_{4}$ . ^[215] Это также количество (направленных) гамильтоновых путей в $6$ - лестничном графе Мёбиуса , ^[216] и число направленных гамильтоновых путей на $6$ - призменном графе . ^[217]
В противном случае в $T$ $Т$ последовательность зубочисток в двадцать втором поколении. ^[218]
Где 114 — это среднее значение делителей трех из четырех чисел (302, 339 и 407), чтобы получить сумму делителей 456, 114 также является полиномиальной степенью семицикловой логистической карты r ₇ . ^[219]^[139]
^ 264 — среднее арифметическое шестнадцати делителей, принадлежащих четвертому основному псевдосовершенному числу 1806 (наибольшему из шести чисел, имеющих это значение), ^[220]^[10]^[11] это также произведение первых четырех членов (2, 3, 7, 43) в последовательности чисел Сильвестра, обратные значения которых быстрее всего сходятся к 1 (только первые четыре основных псевдосовершенных числа до 1806 года являются произведениями последовательных членов последовательности Сильвестра ). С другой стороны, аликвотная сумма 1806 равна 2418. ^[14] это седьмое число после 744, где $σ(φ(n))$ равно $n$ ; ^[131] кроме того, сумма делителей 264 равна 720, где сумма делителей 720 равна 2418. ^[32] Третье по величине первичное псевдосовершенное число — 42 . ^[220] второе по величине сфеническое число после 30, ^[221] чьей аликвотной сумме она равна; 42 — это, в частности, уменьшенное общее значение 1806 (с другой стороны, значение 744 равно 30), ^[26] и составной индекс 60 , наименьшего числа с двенадцатью делителями (12 — это также среднее арифметическое делителей 42 и его полное значение). ^[10]^[11]^[5] Пятое простое число Мерсенна после 3, 7, 31 и 127 — это 8191 , которое является 1028 -м простым числом, индексным значением, сумма делителей которого равна 1806, с общим числом $512 = 8. 3$ ^[5] и приведенная сумма $256 = 2 8$ . ^[26]
372 (половина от 744) — количество разбиений числа 42 на простые части, где 124 — количество таких разбиений числа 32 , а 52 (простой индекс 239, количество тотативов 744, которые являются либо простыми, либо составными) ^[5] из 25. ^[17] Кроме того, 372 — это тридцатое неприкосновенное число (за ним следует 406, индекс 744 как пагубного числа), где 248 — шестнадцатое (а 124 — седьмое), а 52 — третье. ^[150]
1806 также является единственным числом Бернулли $B n,$ у которого его знаменатель также равен $n$ , ^[222] где первые четыре знаменателя дробей, отличных от $1/1, у которых числители равны 1 ,$ — это 2, 6, 30, 42, 30 (пять чисел с $5/66 следующее число$ Бернулли, ^[223] где 66 — третье сфеническое число ); в этой последовательности 6 также является первым совершенным числом ^[81] и унитарное совершенное число (например, 60, что вдвое больше 30), ^[224] где 2 представляет первое первичное псевдосовершенное число перед 6 .
^
71 — двадцатое простое число, а 31 — одиннадцатое. В свою очередь, 20 — одиннадцатое составное число. ^[28] это также шестая самосвертка чисел Фибоначчи до 38, что является простым индексом 163.
71 также является частью самой большой пары чисел Брауна (71, 7) из трёх таких пар; где в его случае 7 ² − 1 = 5040 . ^[248]^[249] Следовательно, и 5040, и 5041 можно представить как суммы непоследовательных факториалов , следующих за 746, 745 и 744; ^[2] где 5040 + 5041 = 10081 содержит аликвотную сумму 611 , что является составным индексом 744. ^[28]
5040 — девятнадцатое сверхизбыточное число . ^[250] это также самый большой факториал, который представляет собой весьма составное число , ^[251] и наибольшее из двадцати семи чисел n , для которых выполнено неравенство σ( n ) ≥ e ^свыполняется n loglog n , где γ — константа Эйлера–Машерони ; Показано, что это неравенство неверно для всех больших чисел тогда и только тогда, когда Римана гипотеза верна (известная как теорема Робина ). ^[242] 5040 генерирует сумму делителей 19344 = 13 × 31 × 48 , которая сама содержит четыре делителя, пропорциональные 744 (и, следовательно, делители также пропорциональны 248); что делает его одним из двух чисел из этих двадцати семи целых чисел n в теореме Робина, которые содержат σ( n ), такое что 744 m | σ( n ) для любого подмножества делителей m числа n ; единственное другое такое число - 240: ^[252]
- $19344 \div 26 = 744$
- $9672 \div 13 = 744$
- $1488 \div 2 = 744$
Где также 19344 ÷ 78 = 248 , где 248 и 744 соответственно являются 24-м и 30-м по величине делителями (где между ними находится 403 = 13 × 31 , что является средним индексированным составным числом, конгруэнтным ±1 по модулю 6 меньше, чем 744, что не является часть его составной суммы); 2418, 35-е по величине, — это седьмое число n после 744, такое что σ ( φ ( n )) равно n . ^[131] Более того, в этой последовательности целых чисел в теореме Робина между 240 и 5040 лежат четыре числа, причем сумма первых трех из этих 360 + 720 + 840 = 1920 эквивалентна σ (744). Первое число, которое делится на все положительные ненулевые целые числа меньше 11, — это предпоследнее число в этой последовательности 2520 , где 2520 — 840 — 720 = 960 представляет собой половину Цумкеллера из набора делителей 744, ^[80] с σ(720) = 2418 ^[14] (и при этом 720+24=744=6!+24 , где 720 — наименьшее число с тридцатью делителями, ^[12] равно 1176 - 456 , разнице между суммой аликвот 744 и единственным числом, сумма аликвот которого равна 744; где 720 также эквивалентно σ(264) = 456 + 264 ). ^[14]^[32] 5040 = 7! = 10 × 9 × 8 × 7 делится на первые двенадцать ненулевых целых чисел, кроме 11.
^ 163 также является суммой простых индексов ( 81 , 82 ) , принадлежащих числам, соседним с двадцать вторым промежуточным числом $420 = 101 + 103 + 107 + 109$ , двадцать шестым числом, которое представляет собой сумму четырех последовательных простых чисел. ^[253] это также 45-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса. ^[92] Это шестое такое промежуточное число, в котором простые значения получаются из сумм простых индексов соседних чисел после (138, 72, 12, 6, 4) и перед 432, т. е. изобилия 744. ^[24] 420, с коэффициентом Эйлера 96, ^[5] половина числа 840 , наименьшего числа, имеющего ровно тридцать два делителя, ^[12] и дважды 210 , четвертый первоначальный код $(2 \times 3 \times 5 \times 7)$ , где сумма предыдущих трех первоначальных чисел равна $2 + 6 + 30 = 38$ , ^[254] что эквивалентно простому индексу 163. ^[9] Кроме того, 163 - е составное число равно 210, ^[28] где 210 — это трижды 70 . Семьдесят — пятое пентатопное число , ^[255] которая представляет собой сумму простых факторов (включая кратности) в так называемой наименее взаимосвязанной спорадической группе, группе Янко $J 3$ , по сравнению со всеми другими спорадическими группами (включая группы-изгои) и их соответствующими алгебраическими структурами. . 70 в основном используется при построении решетки Лича в двадцати четырех измерениях, которая включает в себя единственное нетривиальное решение (т. е. 1 ) задачи о пушечном ядре , равное сумме квадратов первых двадцати четырех целых чисел; 70 также равно числу конформных теорий поля в виде алгебр вершинных операторов с центральным зарядом 24 $и$ весом $1$ (и помимо $V 0$ , см. § E8 и решетку Лича ), которые основаны на решетке Лича, из которых два крупнейших существуют в измерении семьсот сорок четыре. 210, кроме того, является первым нетривиальным 71 - угольным числом вида $P (s, n) = (с - 2) п 2 - (s - 4) n / 2$ (для $n-$ го многоугольного числа с $s$ сторонами), предшествующего 418 , суммы целых чисел от 13 до 31 включительно. Важно отметить, что 210 — это наибольшее число $n$ , где количество различных представлений $n$ в виде суммы двух простых чисел не превышает количества простых чисел в интервале $(п / 2, п - 2)$ . ^[256]
420 , что является одиннадцатой самосверткой чисел Фибоначчи, ^[226] предшествующее 744, является общим значением 473 , первого нетривиального числа, содержащего это значение (после 421). Дважды 744 — это 1488 , которое лежит между 50 -й парой простых чисел-близнецов ( 1487, 1489 ), ^[8] чьи последовательные простые индексы (236, 237) в сумме дают 473. 1488 — это 235 -е среднее число последовательных нечетных простых чисел, ^[59] где 235 — шестая самосвертка чисел Фибоначчи, предшествующая 420, ^[226] причем 298 — 235-й составной, где 372 (половина 744) — 298-й (235 — также 183 -й составной). ^[28] С другой стороны, пятидесятое составное число — 70 . ^[28]
^ Стоит отметить, что 126 — это сумма простых индексов первого класса трехзначных перестановочных простых чисел в десятичной системе счисления $(113, 131, 311)$ , ^[264] соответственно тридцатое, тридцать второе и шестьдесят четвертое простые числа. ^[9] (где 64 — это дважды 32 , а 45-я составная, а сама 45 — 30-я составная); ^[28] и эта сумма простых чисел эквивалентна 555 . Более того, 126 — это седьмой последовательный составной индекс, начинающийся с 13 (т.е. 13, 22 , 34, 50, 70, 95, 126 ). ^[265]
126 равно сумме составного индекса 22 ( 13 ) и двадцать второго составного и простого чисел $(34, 79)$ , сумма которых, полученная между двумя последними, равна 113 . 13 и 79 также являются первыми членами соответствующих парных перестановочных простых чисел по основанию десять $(13, 31)$ и $(79, 97)$ , соответственно наименьших и наибольших двузначных пар, где 11 — единственное двузначное перестановочное простое число без отдельная двойственная пара с разными перестановочными цифрами. ^[7]
Где 555 генерируется из первого класса трехзначных перестановочных простых чисел в десятичном формате, а простые и составные индексы, связанные с 22 , 131 и 126, в сумме дают 257 , что является 55 -м индексированным простым числом. ^[9] и десятое простое число, не являющееся простым числом кластера ^[89] (и где 131 ₁₀ имеет цифр сумму 5 ).
Кроме того, $126 + 125 = 351$ , значение, эквивалентное двадцать шестому треугольному числу, ^[6] с куб 5 125 .
^ Что касается 992 , то цифры 336 (общая сумма 1176, ^[5] которое является суммой делителей 744), 496 (31-е треугольное число и третье совершенное число), ^[6]^[81] и 525 — сумма всех простых чисел, разделяющих порядки двадцати шести (или двадцати семи) спорадических групп, ^[272] равна сумме размерностей всех пяти исключительных алгебр Ли ^[273] — первые три из четырех составных чисел, сумма делителей которых равна 992. ^[32] Кроме того, пятое такое число — 775, чей составной индекс — 637 , равный сумме всех простых множителей ( включая кратности ) в порядке наибольшей спорадической группы, $\mathbb {F}$ $\times 23 \times 29 \times 31 \times 41 \times 47 \times 59 \times 71$ . ^[235]^{: стр. 244–246.} В функции Чоулы (которая подсчитывает сумму делителей $n,$ за исключением 1 и $n)$ , 525 содержит значение 466. ^[274] это простой индекс 3313 , ^[9] равен сумме всех семи чисел (240, 350, 366, 368, 575, 671 и 743), чтобы получить сумму делителей 744; ^[32] с 240 также всего 525 (13-е из 31 числа, содержащее это значение). ^[5]
^ Если наименьшее неунитарное пятиугольное пирамидальное число равно 6 , то одиннадцатое — 726 = 6! +6, а двадцать четвёртый — 7200 , ^[308] это число с общим значением Эйлера 1920, ^[5] и уменьшенное значение 120. ^[26]
^ Так что его можно выразить, используя только цифры (которые используются только один раз и слева направо) вместе с операторами $+, -, \times, \div, a б, \sqrt, !$ (с возможностью конкатенации).
Это по подобию $144 = (1 + 4)! + 4!$ , это эйлеровский коэффициент 456. ^[5] Если сумма 744 равна 240, то сумма 456 равна 144. ^[5] 187 — составной индекс 240, где 187 — 144-е составное число. ^[28] В свою очередь, сумма делителей 187 равна $216 = 6. 3$ , ^[32] что является 168 -м составным числом.
Кроме того, сокращенное число 456 равно 36 . ^[26]
^ Магический квадрат:
${\begin{bmatrix}139&113&151&131&83&127\\223&149&89&47&157&79\\173&103&181&167&59&61\\67&137&53&97&211&179\\101&199&73&109&71&191\\41&43&197&193&163&107\end{bmatrix}}$
Это вторая по величине магическая константа для $магического квадрата 6 \times 6$ , состоящего из тридцати шести последовательных простых чисел, где сумма между наименьшим и наибольшим простыми числами в этом квадрате равна $41 + 223 = 264$ . Наименьшая такая константа — $484 = 22. 2$ ^[312] чья аликвотная сумма 447 представляет собой обратную перестановку цифр 744 в десятичной системе счисления; ^[14] в частности, 22 и 264 — это соответственно двенадцатое и четырнадцатое числа $n,$ квадраты которых являются волнистыми в десятичной системе счисления, а тринадцатое и предпоследнее такое известное число — 26 . ^[313]^[314]^[315]^{: стр.159, 160} Наименьшая возможная магическая константа $магического квадрата n \times n$ , состоящего только из различных простых чисел, равна 120, из $n$ = $4$ , ^[316]^[317] значение, равное среднему арифметическому всех шестнадцати делителей числа 744; ^[10]^[11] в противном случае, для $n = 6$ , наименьшая магическая константа для квадрата шесть на шесть с различными простыми числами равна 432 , ^[316] также численность 744. ^[24]
11 $\times 11 имеет$ Обычный магический квадрат магическую константу 671 . ^[318] это шестое и самое большое составное число, сумма делителей которого равна 744. ^[32]
^ В противном случае $992 = 248 + 744$ наименьшее возможное число диагоналей простого выпуклого — многогранника с тридцатью шестью гранями ; для шестнадцати и двадцати граней соответственно минимум 132 и 240 диагоналей ^[320] (значения, которые представляют собой простой индекс наибольшего простого числа 744 и количество всех его итоговых чисел), ^[5] где $132 + 240 = 372$ или половина 744 (наряду с соответствующими индексами, которые генерируют сумму 36).
^ С другой стороны, 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) ^[14] — это максимальное количество единичных квадратов, соединенных только по углам, которые можно вписать внутрь $40\times 40$ квадрат (площадью $1600$ $м²) 2$ ). ^[322]
Прибавление 1 к значению этой площади, $1601 = 1600 + 1$ , является наибольшим из сорока счастливых чисел Эйлера , что также является разницей между $1804-203$ , значениями, которые представляют первую и третью по длине стороны примитивных героновских тетраэдров с четырьмя грани равных треугольников , причем второе такое число равно $144 + 744 = 888$ . ^[323]^[324]

Числа Хегнера, конечные простые группы и решетки D ₄ , F ₄ , E ₈ , Λ ₂₄

^ Самая маленькая спорадическая группа - это группа Матье $M 11$ с неприводимым комплексным представлением в десяти измерениях, ^[237] это одна из пяти спорадических групп первого поколения . ^[238] Его групповой порядок равен $7920 = 8 \times 9 \times 10 \times 11$ (на единицу меньше 10 ³ индексированное простое число), ^[235]^{: стр. 244–246.}^[9] с коэффициентом Эйлера $1920 = σ(744)$ . ^[5] $M 11$ также содержит самое низкое пятимерное точное представление над полем с тремя элементами, самое низкое из любой такой группы. ^[237] С другой стороны, $M 12$ является второй по величине группой Матье и спорадической группой по порядку. ^[235]^{: стр. 244–246.} и, более конкретно, тридцать первая по величине нециклическая группа (где $М 11$ является пятнадцатой по величине), ^[239]^[240] при групповом заказе $26 \times 3 3 \times 5 \times 11 = 95040,$ чей коэффициент Эйлера (23040) ^[5] делится на 1920 двенадцать раз (поскольку его 50-й по величине делитель больше 1). Девятнадцатая и двадцатая по величине нециклические группы — это $A 3 (2) ≃ A 8$ и $A 2 (4)$ порядков $20160 = 2 . 6 \times 3 2 \times 5 \times 7$ , последний с большей внешней группой автоморфизмов $D 12$ ; 20160 — двадцать третье весьма составное число , ^[241] которое делится на оба 960 (половина Цумкеллера 744), ^[80] и 5040 (самое большое из двадцати семи чисел в теореме Робина, подтверждающее неравенство $σ(n) \geq e с n loglog n$ , см. последние пункты, обсуждающие эту последовательность). ^[242] Это на единицу меньше самого большого числа (20161, 1456 -е индексированное число), которое нельзя представить в виде суммы двух множественных чисел . ^[243] В противном случае группа Титса $T$ , единственная конечная простая группа, которую можно классифицировать как группу лиева типа или спорадическую, подходит как пятая по величине спорадическая группа, порядок группы которой равен $2. 11 \times 3 3 \times 5 2 \times 13 = 17971200$ имеет общую сумму 4423680, делящуюся на сумму делителей семьсот сорок четыре 2304 раза (где его 62-й по величине делитель равен 1728, за которым следует 1920).
Из всех (здесь двадцати семи) спорадических групп только седьмая по величине группа Янко $J 3$ имеет порядок, $| Дж 3 | = 2 7 \times 3 5 \times 5 \times 17 \times 19 = 50232960$ , ^[235]^{: стр. 244–246.} общее значение которого не делится на 1920: $11943936 \div 1920 = 6022,8$ ; где, в частности, его групповой порядок имеет сумму простых делителей (включая кратности), равную 70 .
Если $M 11$ и $M 12$ являются соответственно пятнадцатой и тридцать первой по величине индексированной нециклической группой по порядку группы, то эти индексы в сумме составляют $15 + 31 = 46$ , где третья по величине группа Матье и четвертая по величине спорадическая $M 22$ группа сорок шестая такая крупнейшая нециклическая группа. ^[239]^[240] 46 — самое большое четное число, которое нельзя представить в виде суммы двух множественных чисел. ^[243] что также равно общему числу максимальных подгрупп Дружелюбного Гиганта. $\mathbb {F} _{1}$ , ^[244] который в совокупности содержит 20 из 26 спорадических групп в качестве подфакторов (строго). ^[235]^{: стр. 244–246.}
46 — тридцать первый составной, ^[28] чья аликвотная сумма равна 26 , единственное число, содержащее это значение. ^[14]
^ Последовательность запутанных чисел Фибоначчи начинается с {0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71 , 130, 235, 420, 744 , 1308, 2285, 3970, 6865, 11822...} . ^[226] Сумма первых семи членов (с нулевого по шестое) равна 38, что эквивалентно $члену a(n) = 7$ в этой последовательности. Взяв сумму трёх слагаемых, лежащих между 71 ^[xxix] и 744 (т.е. 130, 235, 420) дает $785 = 28. 2 + 1$ , чья аликвотная сумма равна 163 , ^[14]^[ххх] тридцать восьмое простое число. ^[9] 785 — 60-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса , которая также включает 163, 13-е такое число. ^[92] 785 — это также число несократимых посаженных деревьев (с корневой вершиной, имеющей степень один) с шестью листьями двух цветов . ^[257]
1106 , первый член суммы последовательных составных чисел (в эквиваленте $2229 = 743 \times 3$ ), которые делятся на двадцать пятое простое число 97, ^[258] — наименьшее число, возвращающее значение 14 в обратной функции Мертенса , ^[183] где 1106 лежит между 81 -й парой сексуальных простых чисел $(1103, 1109)$ . ^[259] 14 — пол (и ближайшее целое число ) ^[260] мнимой части первого нетривиального нуля в дзета-функции Римана $ζ$ , а четырнадцатое индексированное значение пола равно 60 ^[261]^[262] — шестьдесят — это наименьшее число, имеющее ровно двенадцать делителей, и есть только два числа, сумма делителей которых равна 60: 24 и 38 , ^[32] сумма которого равна 62 (что является десятым по величине делителем числа 744); кроме того, три из девяти чисел с суммами 60 также являются делителями 744 (93, 124 и 186, что в сумме дает 403 ). ^[5] С другой стороны, разность $38 - 24 = 14$ , где значение шестидесятого этажа в мнимой части своего нетривиального нуля в $ζ$ является наибольшим числом Хегнера 163 .
^ 163 — тридцать восьмое индексированное простое число, а 67 — девятнадцатое (с двупростым $числом 38 = 2 \times 19)$ для значений $d$ . В приближении почти целого числа, содержащего четырнадцатое простое число в качестве седьмого числа Хигнера 43 для $d$ , 960 — это наименьшее число, имеющее ровно двадцать восемь делителей, ^[12] эквивалентно сумме любого из двух наборов делителей числа 744, которые в совокупности дают $1920$ , как упомянуто в § Тотиентс . Аналогично, в приближении почти целого числа, содержащего восьмое число Хигнера 67 для $d$ , 5280 равно сумме между 240 и 5040 , которые являются единственными двумя числами в наборе из двадцати семи целых чисел в теореме Робина для гипотезы Римана. которые имеют набор делителей, суммы которых делятся на 744; ^[252] 5280 также лежит между 131-й парой простых чисел-близнецов $(5281, 5279)$ , ^[8] соответственно 701-е и 700-е простые числа, где 5281 — 126-е суперпростое число . ^[61]^[xxxi]
^ В списке из тринадцати целых чисел $n \leq 1000$ , которые дают почти целые числа — с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ для значений $x \equiv e π \sqrt n$ — наименьшее $n$ из них равно 25, что также является наименьшим составным числом 744. Менее 10 ³, наибольшее такое $n$ равно $719 = 6! - 1$ , где 719 представляет 128-е индексированное простое число; ^[9] сумма, порожденная этими двумя $n,$ эквивалентна $719 + 25 = 744.$
Среднее индексированное значение между этими двумя границами равно 148 , двенадцатому положительному целому числу $d$ без квадратов над отрицательным мнимым квадратичным полем класса номер 2, за которым следуют 163 и 232 , последнее из которых является четырнадцатым положительным целым числом без квадратов $d.$ над мнимым квадратичным полем $\sqrt- d$ класса номер 2 (только эти два числа 148 и 232 для $d$ в этом поле класса номер 2 дают почти целые числа с $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ , где 163 — наибольшее значение по тому же полю с номером класса 1). ^[267] В этом же списке три различных несуперсингулярных простых числа (37, 43, 67), которые делят только порядки групп парий , также равны $n$ (меньше 148), что дает почти целые числа вида $e π \sqrt n$ . В почти целочисленном представлении для $e π \sqrt 148$ указано, $8 \times 10 3 знак равно j (\sqrt(2 я)) = 20 3$ , класс $1$ j −инвариант порядка $d = -8$ , ^[268] это также корень в $Ψ 2 (X, X) = -(X - 8000) \times (X + 3375) 2 \times (X - 1728)$ — полином для суперсингулярных 2-изогенных графов с петлями (он также является корнем в $Ψ 3$ ). ^[269]^[270] Остальные два $n$ (58, 74) в списке этих почти целых чисел с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ из $n$ меньше 148 генерируют сумму $58 + 74 = 132,$ равную простому индексу 743, ^[9] наибольшее простое число в сумме 744 (и, где $2 \times 37 = 74 = 148 \div 2$ ).
^ Для почти целых чисел с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ , наименьшее такое число — $e π \sqrt 6$ с $n$ = 6, примерно равным 2197,99087. ^[271] В то время как 2198 содержит восемь делителей, которые дают среднее арифметическое 474. ^[10]^[11] (и где 474 содержит сумму делителей, равную 960, ^[32] также половина Цумкеллера из набора делителей числа 744), ^[80] 2199 — шестнадцатое совершенное число . ^[34] с аликвотной суммой 737 ^[14] эквивалент с наибольшей совокупной суммой 744. Кроме того, $2197 = 13 3$ .
Всего существует двадцать шесть почти целых чисел с $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ где $х \equiv е π \sqrt n$ и $n \leq 10 3$ , где наибольшее $n$ имеет значение 986 . ^[271] Сумма между верхней и нижней границами $n$ меньше тысячи при такой почти целой степени близости равна $6 + 986 = 992 = 744 + 248$ . ^[xxxii]
В противном случае разница между самыми большими $класса 1$ и $2$ целыми числами без квадратов $равна 427 - 163 = 264$ . Что касается целых чисел без квадратов с номером класса $h = 3$ , то их всего шестнадцать (или двадцать пять, если включать немаксимальные порядки), ^[275] самое большое со значением 907 , которое является 155 -м индексированным простым числом, ^[9] равно сумме $163 + 744$ , что также является большим из последовательных простых чисел (887, 907), которые создают седьмой по величине рекордный разрыв между простыми числами ( 20 ). ^[75]^[76]^[77]^[78]^[79] Предыдущий наибольший разрыв между простыми числами составляет 18 , заданный (523, 541 ) (после тридцатого и тридцать первого простых чисел 113 и 127 с интервалом 14), 99 -го и 100-го простых чисел, ^[9] у первого также индекс композиции 132 , ^[28] и последний десятый звездный номер ^[146] и 53-е число, чтобы вернуть $0$ для функции Мертенса (где 427 — 50 -е, а 163 — 13-е). ^[92] класса Из целых чисел без квадратов третьего только 59 дает почти целое число вида $x \equiv e π \sqrt n$ с $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ (для целых чисел класса $h = 4$ наибольшее такое число — 1555 которого , квадрат делит $61554$ ^[276] — а девятый такой наибольший дискриминант равен 155). ^[277] В полном списке крупнейших натуральных чисел без квадратов с номерами классов $h \leq 100$ , ^[278]^[279] десять из этих максимальных значений сохраняются в больших целых числах, если немаксимальные включены порядки в соответствующих классах, причем девять из них являются уникальными двупростыми числами, делящимися на 163 (единственным исключением является наибольшее значение для целых чисел без квадратов класса номер 16) ; самый большой из них в этой оценке равен $821683 = 71. 2 \times 163$ номера класса $h = 70$ . ^[263]^: 18−20
^ Полигон Петри $600$ –клетка и $120$ –ячейка, основанная на икосаэдрической симметрии, представляет собой тридцатигранный триаконтагон , а $24$ –cell имеет додекагон в качестве подобного многоугольника, центральный угол которого составляет тридцать градусов (и внутренний угол $150$ градусов). Двадцать четвёртое простое число — 89 , ^[9] что является индексом 120 в списке композитов. ^[28] В $600$ –клетка соответствует ровно семидесяти пяти $24$ – ячеек и семьдесят пять тессерактов , где также помещается двадцать пять $24$ –клетки. Где двадцать пять $24$ –ячейки также помещаются внутри сот из 24 ячеек как единое целое (с двадцатью четырьмя ячейками). $24$ –клетки, окружающие одну $24$ –клетки), симметрия которых основана на $\mathrm {F_{4}}$ , другое расположение двадцати пяти $24$ –клетки помещаются в $600$ –ячейка с $\mathrm {H_{4}}$ симметрия. $\mathbb {E_{8}}$ , в восьмимерном пространстве, имеет Кокстера число $30$ и симметрия, восходящая к $600$ –ячейка через икосианцы .
^ $\mathbb {E}$ ₈Решетка двести сорок корневых векторов , которые представлены расположением вершин многогранника $421$ содержит , многоугольник Петри которого представляет собой тридцатисторонний триаконтагон . ^[293]^[294] где 30 — число Кокстера $h$ группы Кокстера $E 8$ . Кроме того, числа Кокстера простых рефлексов в $E 6$ и $E 7$ имеют порядки 12 и 18, что вместе эквивалентно числу Кокстера $E 8$ ; ^[285]^: 234 где $Е 6$ и $Е 7$ встраиваются внутрь $Е 8$ . Четырехмерная $симметрия H 4$ гексадекахорная также содержит число Кокстера 30 , где $H 4$ является многомерным аналогом икосаэдрической симметрии $I h$ .
Этот $\mathbb {E}$ _8- решетчатая структура с 240 корневыми векторами может быть построена с помощью 120 кватернионных единичных икосианов , которые образуют вершины четырехмерной 600-ячейки , симметрии которой основаны на трехмерной икосаэдрической симметрии $I h$ порядка 120, ^[295] значение, равное общему числу отражений группы Кокстера $E 8$ . ^[285]^{: 226–232} Всего правильный икосаэдр и додекаэдр содержат тридцать одну ось симметрии; шесть пятикратных, десять трехкратных и пятнадцать двукратных. ^[296]
Если среднее арифметическое делителей числа 744 равно 120, ^[10]^[11] наибольшим простым коэффициентом 31 и приведенным коэффициентом $λ (n)$ 30 с , ^[26] количество относительно простых целых чисел до 744 равно 240, ^[5] с суммой делителей $σ(240) = 744$ . ^[287]^{: стр.21}
^ $В Е ‍ 3 8$ изоморфно тензорному произведению $V E 8 \otimes V E 8 \otimes V E 8$ ; также аффинная структура $D 16$ отличается от $D ‍ + 16$ , что соответствует четной положительно определенной унимодулярной решетке $\mathbb {D}$ . ^[300]^[301]
$И ‍ 3 8,1$ и $D 16,1 E 8,1$ связаны с кодами $e ‍ 3 8$ и $d 16 e 8$ , которые являются двумя из девяти неэквивалентных двоякочетных самодуальных кодов длины 24 и веса 4. ^[302]^[303] Самый большой из этих VOA $V D 24$ реализован в $dim 1128$ , где последовательное уменьшение вдвое его размерного пространства приводит к 70 + 1 / 2 –мерное пространство.

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A189975 (Числа с простой факторизацией pqr^3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060112 (Суммы непоследовательных факториалов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034963 (Сумма четырех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083539 (a(n) равна сигма(n) * сигма(n+1) как произведение сигма-значений для последовательных целых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах ^есть ^также Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000010 (функция Эйлера phi(n): считать числа, меньшие или равные n, и простые числа n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000217 (Треугольное число: a(n) — это бином (n+1,2), эквивалентный n*(n+1)/2, то есть 0 + 1 + 2 + ... + n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003459 (Абсолютные простые числа (или перестановочные простые числа): каждая перестановка цифр является простым числом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001359 (Меньшее из простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах ^есть ^также ^и ^аль ^{являюсь} ^а ^к ^ап ^ак ^с ^как ^в ^В ^из ^хорошо Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003601 (Числа n такие, что среднее значение делителей n является целым числом: sigma_0(n) делит sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A102187 (Средние арифметические делителей арифметических чисел (арифметические числа, A003601, — это те, для которых среднее значение делителей является целым числом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005179 (Наименьшее число ровно с n делителями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000005 (d(n) (также называемая tau(n) или sigma_0(n)), количество делителей n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001065 (Сумма собственных делителей (или аликвотных частей) n: сумма делителей n, меньших n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Проблема 3x+1» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006577 (Количество шагов деления пополам и утраивания для достижения 1 в задаче «3x+1» или -1, если 1 никогда не достигается.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 сентября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000607 (Количество разбиений n на простые части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A347586 (Количество разделов n не более чем на 4 отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007947 (Наибольшее бесквадратное число, делящее n: бесквадратное ядро n, рад (n), радикал n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005277 (Неточности: четные числа k такие, что phi(m), равное k, не имеет решения.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005278 (Некотоенты: числа k такие, что x - phi(x), равное k, не имеют решения.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001207 (Количество фиксированных шестиугольных полимино с n ячейками.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005101 (Многочисленные числа (сумма делителей m превышает 2m).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033880 (Обилие n или (сумма делителей n) — 2n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001913 (Полное повторение простых чисел: простые числа с примитивным корнем 10.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002322 (сокращенная функция psi(n): наименьшее k такое, что x^k конгруэнтно 1 (по модулю n) для всех x, простых для n; также известная как лямбда-функция Кармайкла (показатель степени единичной группы по модулю n); также называется универсальным показателем n.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014574 (Среднее число пар простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A217843 (Числа, представляющие собой сумму одного или нескольких последовательных неотрицательных кубов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001694 (Мощные числа, определение (1): если простое число p делит n, то p^2 должно также делить n (также называемые квадратными, полным квадратом, квадратными или 2-степенными числами)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A052486 (ахиллесовы числа — мощные, но несовершенные: если n равно Product(p_i^e_i), то все e_i меньше 1 (т. е. мощные), но наивысший общий делитель e_i равен 1, т. е. не является идеальной степенью .)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (a(n) равна сигме(n), сумме делителей n. Также называется sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005835 (Псевдосовершенные (или полусовершенные) числа n: некоторое подмножество правильных делителей n в сумме дает n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A082897 (Совершенные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006531 (Полупорядки из n элементов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002061 (Центральные многоугольные числа: a(n) равно n^2 – n + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A139250 (Последовательность Зубочистки (определение см. в строках комментариев).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003136 (Лешовы числа: числа вида x^2 + xy + y^2; нормы векторов в решетке A2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 января 2023 г.
^ Митчелл, Дэвид (25 февраля 2017 г.). «Тесселяция номера такси Рамануджана-Харди, 1729, основа целочисленной последовательности A198775» . Решетчатые лабиринты . Проверено 19 июля 2018 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198775 (Числа, имеющие ровно четыре представления в квадратичной форме x^2+xy+y^2 с 0, меньшим или равным x, меньшим или равным y.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198773 (Числа, имеющие ровно два представления квадратичной формы x^2+xy+y^2 с 0, меньшим или равным x, меньшим или равным y.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118886 (Числа, выражаемые как x^2 + x*y + y^2, 0 меньше или равно x, меньше или равно y 2 или более способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г. ,
^ Маршалл, Джон У. (1975). «Числа Леша как проблема теории чисел» (PDF) . Географический анализ . 7 (4): 421–426. Бибкод : 1975ГеоАн...7..421М . doi : 10.1111/j.1538-4632.1975.tb01054.x – через OEIS .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001107 (10-угольные (или десятиугольные) числа: a(n) равно n*(4*n-3).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090785 (Числа, которые можно выразить как разность квадратов последовательных простых чисел только одним способом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010785 (Числа повторов или числа, все цифры которых равны.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000048 (Количество n-бусин с бусинами 2-х цветов и примитивным периодом n, при переворачивании не допускается, но два цвета можно поменять местами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.
^ Диаконис, Персия ; Грэм, Рон (2011). «Глава 5: От принципа Гилбрета к множеству Мандельброта» (PDF) . Магическая математика: математические идеи, которые вдохновляют великие магические трюки . Издательство Принстонского университета . стр. 61–83. дои : 10.1515/9781400839384-007 . ISBN 978-1-4008-3938-4 . МР 2858033 . .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090788 (Числа, которые можно выразить как разность квадратов простых чисел двумя разными способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005153 (Практические числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A345547 (Числа, представляющие собой сумму девяти кубов восемью или более способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A075308 (Количество n-значных совершенных степеней.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A029954 (палиндром по основанию 7.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A052294 (Пагубные числа: числа с простым числом 1 в их двоичном представлении.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078392 (Сумма НОД частей во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A064986 (Количество разбиений n на факториальные части (0! не допускается).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A316433 (Количество целочисленных разделов n, длина которых равна LCM всех частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000166 (Субфакториал или повторяющиеся числа, или нарушения: количество перестановок n элементов без фиксированных точек.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A024675 (Среднее двух последовательных нечетных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002804 ((Предполагаемое) решение проблемы Уоринга: g(n) равно 2^n +floor((3/2)^n) - 2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006450 (Простые числа с простыми индексами: простые числа с простыми индексами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубики (PDF) . Чикаго, Иллинойс: Издательская компания Open Court . стр. 176, 177. ISBN. 9780486206585 . МР 0114763 . ОСЛК 1136401 . Збл 1003.05500 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A021023 (десятичное расширение 1/19.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072359 (простые числа p такие, что p-1 цифр десятичного разложения k/p (для k, равного 1,2,3,...,p-1) помещаются в k-ю строку магического квадратная сетка порядка p-1)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A015723 (Количество частей во всех разделах n на отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034885 (Запись значений сигмы (n)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006002 (a(n) равна n*(n+1)^2/2 (Сумма нетреугольных чисел между последовательными треугольными числами. 1, (2), 3, (4, 5), 6, (7 , 8, 9), 10, (11, 12, 13, 14), 15, ...))" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A081377 (Числа n такие, что набор простых делителей числа phi(n) равен набору простых делителей числа сигма(n)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002822 (Числа m такие, что 6m-1, 6m+1 являются простыми числами-близнецами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A161680 (a(n) — это бином (n,2): количество подмножеств размера 2 из {0,1,...,n}, которые не содержат последовательных целых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000931 (последовательность Падована (или числа Падована)...)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007304 (Сфенические числа: произведения трех различных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 08 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A304241 (Индексы, в которых функция Мертенса A002321 достигает рекордных амплитуд между нулями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 08 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса: Sum_{k равна 1..n} mu(k), где mu — функция Мебиуса.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 08 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005250 (Запишите промежутки между простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005669 (Индексы простых чисел, в которых возникает наибольший разрыв.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001223 (Пробелы в простых числах: различия между последовательными простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002386 (Простые числа (нижний конец) с рекордными пробелами до следующего последовательного простого числа: простые числа p(k), где p(k+1) – p(k) превышает p(j+1) – p(j) для всех j <к.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000101 (Запишите промежутки между простыми числами (верхний конец) (сравните A002386, который дает нижние концы этих промежутков).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083207 (Цумкеллера или целочисленные совершенные числа: числа n, делители которых можно разделить на два непересекающихся множества с одинаковой суммой.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000372 (Числа Дедекинда или проблема Дедекинда: количество монотонных булевых функций от n переменных, количество антицепей подмножеств n-множества, количество элементов в свободной дистрибутивной решетке на n образующих, количество семейств Спернера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006880 (Количество простых чисел меньше 10^n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001013 (числа Жордана-Пойя: произведения факториальных чисел A000142.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127333 (Числа, являющиеся суммой 6 последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000009 (Расширение Product_{m больше или равно 1} (1 + x^m); количество разделов n на отдельные части; количество разделов n на нечетные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A228486 (Ближайшие к первоначальным простым числам: простые числа p такие, что p+1 или p-1 является простым числом (A002110).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038509 (Составные числа, соответствующие +-1 по модулю 6.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038133 (Из субтрактивной гипотезы Гольдбаха: нечетные простые числа, не являющиеся кластерными простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.
^ Блексмит, Ричард; Эрдеш, Пол ; Селфридж, Дж.Л. (1999). «Кластерные простые числа». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 43. дои : 10.2307/2589585 . JSTOR 2589585 . Збл 0985.11041 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002476 (Простые числа вида 6m + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028442 (Числа k такие, что функция Мертенса M(k) (A002321) равна нулю.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034961 (Сумма трех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005894 (Центрированные тетраэдрические числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A056107 (Третья спица шестиугольной спирали.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A257750 (числа Квази-Кармайкла.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A092269 (функция Spt: общее количество наименьших частей (с учетом кратности) во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A045931 (Количество разделов n с равным количеством четных и нечетных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000096 (a(n) равна n*(n+3)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006883 (простые числа с длинным периодом: десятичное разложение 1/p имеет период p-1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001567 (псевдопростые числа Ферма по основанию 2, также называемые числами Сарруса или числами Пуле.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005898 (Центрированные номера куба: n^3 + (n+1)^3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A047966 (a(n) равна Sum_{d делит n } q(d), где q(d) равно A000009, равному количеству разбиений d на отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000695 (последовательность Мозера-де Брейна: суммы различных степеней 4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A053699 (a(n) равна n^4 + n^3 + n^2 + n + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000567 (Восьмиугольные числа: n*(3*n-2). Также называются звездчатыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007569 (Количество узлов в правильном n-угольнике со всеми нарисованными диагоналями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001045 (последовательность Якобсталя (или числа Якобсталя)...)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046746 (Сумма наименьших частей всех разделов n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003215 (Шестнадцатеричные (или центрированные шестиугольные) числа: 3*n*(n+1)+1 (последовательность хрустального шара для гексагональной решетки)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051624 (12-угольных (или двенадцатиугольных) чисел: a(n) равна n*(5*n-4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A195316 (Центрированные 36-угольные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005936 (псевдопростые числа по основанию 5.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016105 (Целые числа Блюма: числа вида p * q, где p и q — различные простые числа, конгруэнтные 3 (по модулю 4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A055233 (Составные числа, равные сумме простых чисел от наименьшего простого множителя до наибольшего простого множителя.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000019 (Количество примитивных групп перестановок степени n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002817 (Дважды треугольные числа: a(n) равно n*(n+1)*(n^2+n+2)/8.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A202018 (a(n) равна n^2 + n + 41.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005846 (Простые числа вида n^2 + n + 41.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A152658 (Начала максимальных цепочек простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033664 (Каждый суффикс является простым.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A066967 (Общая сумма нечетных частей во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007279 (Количество разделов n на номера разделов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A032032 (Количество способов разделить n помеченных элементов на наборы размером не менее 2 и упорядочить наборы.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A343377 (Количество строгих целочисленных разделов n, ни одна часть которых не делится на все остальные.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A285900 (Сумма всех частей всех разделов всех натуральных чисел, меньших или равных n, на последовательные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A319274 (Осирис или числа повторной сборки цифр: числа, равные сумме перестановок подвыборок своих собственных цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A088825 (Числа n такие, что сумма наибольших простых делителей чисел от 1 до n делится на n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 25 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A321719 (Количество ненормальных полумагических квадратов с суммой элементов, равной n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A020994 (простые числа, усекаемые как слева, так и справа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 декабря 2023 г. .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A018784 (Числа n такие, что sigma(phi(n)) равно n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A017765 (Биномиальные коэффициенты C(49,n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A029600 (Числа в треугольнике (2,3)-Паскаля (по ряду).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
Строка: {2, 23, 120, 375, 780, 1134, 1176 , 870, 450, 155, 32, 3}.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001263 (Треугольник чисел Нараяны T(n,k) равен C(n-1,k-1)*C(n,k-1)/k, где 1 меньше или равно k, меньше или равно n , читается по строкам. Также называется каталонским треугольником.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A105278 (Треугольник читается по строкам: T(n,k) равно биному(n,k)*(n-1)!/(k-1)!.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127787 (Числа n такие, что F(n) делит F(F(n)), где F(n) — число Фибоначчи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046306 (Числа, кратность которых делится ровно на 6 простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002620 (четверти квадратов: a(n) равно полу(n/2)*потолок(n/2). Эквивалентно, a(n) равно полу(n^2/4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118454 (Алгебраическая степень начала логистического отображения n-бифуркации.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.
^ Бейли, Д.Х.; Борвейн, Дж. М.; Капур, В.; Вайсштейн, EW (2006). «Десять задач экспериментальной математики» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (6). Тейлор и Фрэнсис : 482–485. дои : 10.2307/27641975 . JSTOR 27641975 . МР 2231135 . S2CID 13560576 . Zbl 1153.65301 – через JSTOR .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A091517 (Десятичное разложение значения r, соответствующее началу периода 16-го цикла в логистической карте.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006562 (Сбалансированные простые числа (первого порядка): простые числа, которые являются средним значением предыдущего простого числа и следующего простого числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046119 (Средний член тройки сексуальных простых чисел: значение p+6 такое, что p, p+6 и p+12 являются простыми, а p+18 — нет (хотя p-6 может быть простым).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046117 (Простые числа p такие, что p-6 также является простым. (Верхнее из пары сексуальных простых чисел.))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A023201 (Простые числа p такие, что p + 6 также является простым (меньшее из пары сексуальных простых чисел.))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003154 (Центрированные 12-угольные числа или центрированные додекагональные числа: числа вида 6*k*(k-1) + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083577 (простые звездные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006564 (числа икосаэдра: a(n) равно n*(5*n^2 - 5*n + 2)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 сентября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007588 (числа Stella Octangula: a(n) равно n*(2*n^2 - 1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 17 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005114 (Неприкасаемые числа, также называемые неаликвотными числами: невозможные значения для функции суммы аликвотных частей (A001065))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 17 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051177 (Идеально разделенные числа: числа k, которые делят количество разделов p(k)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005432 (Количество групп перестановок степени n (или количество различных подгрупп симметричной группы S_n, считая сопряженные элементы отдельными)») . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067659 (Количество разбиений n на отдельные части, причем число частей нечетно.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067661 (Количество разбиений n на отдельные части, причем число частей четное.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127337 (Числа, представляющие собой сумму 10 последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Билер, М.; Госпер, RW; Шреппель, Р. (29 февраля 1972 г.). ХАКМЕМ (PDF) (Отчет). Лаборатория компьютерных наук и искусственного интеллекта Массачусетского технологического института . п. 24 (ПУНКТ 63). ЦЕЛЬ 239 . Получено 19 декабря 2023 г. - через Принстонскую лабораторию физики плазмы .
«Радости 239 заключаются в следующем:
пи = 16 арктанс (1/5) − 4 арктанс (1/239),
что связано с тем, что 2*13 ⁴ − 1 = 239 ²,
вот почему 239/169 является приближением (7-й) числа √2.
арктанс(1/239) = арктанс(1/70) - арктанс(1/99)
= арктанс(1/408) + арктанс(1/577)
Для выражения числа 239 нужно 4 квадрата (максимум).
Для выражения числа 239 требуется 9 кубиков (максимум, общий только с 23).
239 нужно 19 четвертых степеней (максимум), чтобы выразить это.
(Хотя 239 не требует максимального количества пятых степеней.)
1/239 = .00418410041841..., что связано с тем, что
1,111,111 = 239 * 4,649.
239-й номер Мерсенна, 2 ²³⁹ − 1, является известным составным,
но никакие факторы не известны.
239 = 11101111 по основанию 2.
239 = 22212 по основанию 3.
239 = 3233 по основанию 4.
Существует 239 простых чисел < 1500.
К239 – для единственное произведение Моцарта двух оркестров .
Угадайте, что это за памятка.
И 239 — простое число, конечно».
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078125 (Количество разбиений 3^n на степени 3)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Сиксек, Самир (1995). Спуск по кривым рода I (PDF) (кандидатская диссертация). Эксетер, Великобритания: Эксетерский университет . стр. 16–17. hdl : 10871/8323 . S2CID 118846642 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A229384 (Положительные целые решения y1, x1, y2, x2 уравнения Юнггрена x^2 + 1, равные 2y^4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001333 (Числители цепных дробей, сходящихся к sqrt(2).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000110 (Колокол или экспоненциальные числа: количество способов разделить набор из n помеченных элементов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074902 (Известные понятные номера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072938 (Сильно составные числа, которые составляют половину следующего весьма составного числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A350028 (количество эйлеровых обходов полного графа по n вершинам (минус паросочетание, если n четно))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A232545 (Количество эйлеровых обходов полного орграфа по n вершинам.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A027683 (Количество независимых наборов вершин графа сетки тора n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A027624 (Количество независимых наборов вершин в графе n-гиперкуба Q_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198303 (Неправильный треугольник C(n,g) с учетом связных трехвалентных простых графов на 2n вершинах с обхватом ровно g.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A186734 (Треугольный массив C(n,k), считающий связные k-регулярные простые графы на n вершинах с обхватом ровно 4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006924 (Количество связных трехвалентных графов с 2n узлами и обхватом ровно 4)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A098623 (Рассмотрим семейство ориентированных мультиграфов, обогащенное видами разбиений множеств. Последовательность дает количество этих мультиграфов с n помеченными дугами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Гилберт, Лабелль (2000). «Подсчет обогащенных мультиграфов по числу их ребер (или дуг)» . Дискретная математика . 217 (1–3). Амстердам: Эльзевир : 237–248. дои : 10.1016/S0012-365X(99)00265-4 . МР 1766269 . S2CID 22434588 . Збл 0959.05061 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A022801 (n-е число Люка (A000204(n)) + n-ное число не-Люкаса (A090946(n+1)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000204 (числа Люка (начинаются с 1): L(n) равно L(n-1) + L(n-2), где L(1) равно 1, L(2) равно 3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090946 (числа, не относящиеся к Люкасу: дополнение к A000204.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A114312 (Количество разделов n с различным количеством нечетных и четных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A171967 (Количество разделов n с различным количеством нечетных и четных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A253927 (Количество многогексов (без отверстий) размера 6*n+1 с 6-кратной вращательной симметрией.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212789 (Количество эндофункций на [n] с различной длиной цикла.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074127 (Сгруппируйте составные числа так, чтобы сумма n-й группы была кратна n-му простому числу: (4), (6), (8, 9, 10, 12, 14, 15, 16). , 18, 20, 21, 22), (24, 25), (26, 27, 28, 30, 32), (33, 34, ...), ... Последовательность дает сумму группы, разделенную на n- -е простое число для n-й группы.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060354 (N-ое n-угольное число: a(n) равно n*(n^2 - 3*n + 4)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051866 (14-угольных (или тетрадекагональных) чисел: a(n) равна n*(6*n-5).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051402 (обратная функция Мертенса: наименьшее k такое, что |M(k)| равно n, где M(x) — функция Мертенса A002321.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051890 (a(n) равна 2*(n^2 - n + 1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001111 (Количество неэквивалентных планов Адамара порядка 4n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Спенс, Эдвард. «Матрицы Адамара» . Эдвард Спенс (домашняя страница) . Университета Глазго Математический факультет . Проверено 22 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A304241 (Индексы, в которых функция Мертенса A002321 достигает рекордных амплитуд между нулями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001414 (Целый журнал n: сумма простых чисел, делящих n (с повторением). Также называется sopfr(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046197 (Фиксированные точки для операции многократной замены числа суммой кубов его цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005188 (числа Армстронга (или плюс совершенные, или плюс совершенные, или нарциссические) числа: m-значные положительные числа, равные сумме m-х степеней их цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006145 (числа Рут-Аарона (1): сумма простых делителей n равна сумме простых делителей n+1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006146 (Суммы простых делителей чисел Рут-Аарон (A006145).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A018818 (Количество разбиений n на делители n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007629 (Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) числа (или числа Кита).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A357886 (Треугольник, читаемый по строкам: T(n,k) — это количество открытых путей длины k, начинающихся и заканчивающихся в фиксированных различных вершинах в полном неориентированном графе на n помеченных вершинах, для n больше или равного 1 и k равно 0 .. n*(n-1)/2.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000014 (Количество последовательно сокращенных деревьев с n узлами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054502 (Счетная последовательность для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054500 (Индикаторная последовательность для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054501 (Последовательность кратности для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ И. Ривин, И. Варди и П. Циммерманн (1994). Проблема n ферзей. Американский математический ежемесячник . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . 101 (7): 629–639. doi : 10.1080/00029890.1994.11997004 JSTOR 2974691
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A135388 (Количество (направленных) эйлеровых контуров на полном графе K_{2n+1}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007082 (Количество эйлеровых схем на полном графе K_{2n+1}, разделенное на (n-1)!^(2n+1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A357887 (Треугольник читается по строкам: T(n,k) — количество контуров длины k в полном неориентированном графе на n помеченных вершинах, для n больше или равного 1 и k равного 0 .. n( n-1)/2.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A327070 (Количество несвязных простых помеченных графов, охватывающих n вершин.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A141580 (Количество немаркированных несопряженных графов с n вершинами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A290056 (Количество клик в n-треугольном графе.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000568 (Количество результатов немаркированных круговых турниров n-команд)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 января 2024 г.
^ Ройл, Гордон Ф.; Прегер, Шерил Э.; Глэсби, SP; Фридман, Сол Д.; Девиллерс, Алиса (2023). «Турниры и графики равномногочисленны» . Журнал алгебраической комбинаторики . 57 (2). Гейдельберг: Springer : 515–524. arXiv : 2204.01947 . дои : 10.1007/s10801-022-01197-0 . МР 4570411 . S2CID 247958071 . Збл 1512.05199 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002190 (Sum_{n больше или равна 0} a(n)*x^n/n!^2 равна -log(BesselJ(0,2*sqrt(x))).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Аваль, Жан-Кристоф; Буссико, Адриан; Делькруа-Оже, Беренис; и др. (2021). «Однозначные деревья: новые результаты и обобщения» . Европейский журнал комбинаторики . 95 . Амстердам: Эльзевир : 1–28. arXiv : 1511.09455 . дои : 10.1016/j.ejc.2021.103331 . МР 4111347 . S2CID 265038614 . Артикул 1440.05061 .
^ Аваль, Жан-Кристоф; Буссико, Адриан; Бувель, Матильда; Силимбани, Маттео (2014). «Комбинаторика однозначных деревьев» . Достижения прикладной математики . 56 . Амстердам: Эльзевир : 78–108. arXiv : 1305.3716 . дои : 10.1016/j.aam.2013.11.004 . МР 3194208 . S2CID 14989102 . Збл 1300.05127 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A186725 (Количество связных регулярных графов с n узлами и обхватом не менее 5.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A093134 (Трисекция Якобсталя.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A367707 (Количество вершин степени 6 в n-губчатом графе Менгера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078469 (Количество различных композиций лестничного графа L_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A137883 (Количество (направленных) гамильтоновых путей в n-лестничном графе Мёбиуса.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A124350 (a(n) равна 4*n*(floor(n^2/2)+1). Для n больше или равного 3 это количество направленных гамильтоновых путей на графе n-призмы. .)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A160172 (последовательность Т-образных зубочисток (определение см. в строках комментариев).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118746 (Десятичное расширение начала логистической карты 7-бифуркации.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054377 (Первичные псевдосовершенные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007304 (Сфенические числа: произведения трех различных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ Келлнер, Бернд К. (2005). «Уравнение denom(B _n ) = n имеет только одно решение» (PDF) . Бернулли (Препринт). Геттинген, Германия. стр. 1, 2. S2CID 124553392 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A027642 (Знаменатель числа Бернулли B_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002827 (Унитарные совершенные числа: числа k такие, что usigma(k) – k равно k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.
^ Мори, Питер (2004). «Свернутые числа Фибоначчи» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 7 (2). Ватерлоо, Онтарио, Калифорния: Ватерлоо Школа компьютерных наук Дэвида Р. Черитона Университета : 13 (статья 04.2.2). arXiv : math.CO/0311205 . Бибкод : 2004JIntS...7...22M . МР 2084694 . S2CID 14126332 . Збл 1069.11004 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001629 (Самосвертка чисел Фибоначчи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Бельбачир, Хачене; Джеллал, Туфик; Люк, Джон Габриэль (2023). «О самосвертке обобщенных чисел Фибоначчи» . Вопросы по математике 46 (5). Оксфордшир, Великобритания: Тейлор и Фрэнсис : 841–854. arXiv : 1703.00323 . дои : 10.2989/16073606.2022.2043949 . МР 4592901 . S2CID 119150217 . Збл 07707543 . {{cite journal}}:CS1 maint: Zbl ( ссылка )
^ Берндт, Брюс С .; Чан, Хэн Хуат (1999). «Рамануджан и модульный j-инвариант» . Канадский математический бюллетень . 42 (4): 427–440. дои : 10.4153/CMB-1999-050-1 . МР 1727340 . S2CID 1816362 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004009 (Разложение ряда Эйзенштейна E_4 (q) (альтернативное соглашение E_2 (q)); тета-ряд решетки E_8.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013973 (Расширение ряда Эйзенштейна E_6(q) (альтернативное соглашение E_3(q)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006352 (Коэффициенты разложения ряда Эйзенштейна E_2 (также называемого E_1 или G_2).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
^ Хартшорн, Робин (1977). «Глава 4: Кривые». Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. Берлин: Springer-Verlag . стр. 316–321. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8 . МР 1567149 . OCLC 13348052 . S2CID 5695770 . Збл 0367.14001 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060295 (Десятичное расширение exp(Pi*sqrt(163)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 августа 2023 г.
^ Барроу, Джон Д. (2002). «Константы природы» . Фундаментальные константы . Лондон: Джонатан Кейп . п. 72. дои : 10.1142/9789812818201_0001 . ISBN 0-224-06135-6 . S2CID 125272999 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Ронан, Марк (2006). Симметрия и чудовище: одно из величайших поисков математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . стр. 1–255. ISBN 978-0-19-280722-9 . МР 2215662 . OCLC 180766312 . Збл 1113.00002 .
^ Ронан, Марк (6 марта 2013 г.). «163 и Монстр» . Марк Ронан . Проверено 17 августа 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Янсен, Кристоф (2005). «Минимальные степени достоверных представлений спорадических простых групп и их накрывающих групп» . LMS Журнал вычислений и математики . 8 . Лондон: Лондонское математическое общество : 122–123. дои : 10.1112/S1461157000000930 . МР 2153793 . S2CID 121362819 . Збл 1089.20006 .
^ Грисс-младший, Роберт Л. (1998). Двенадцать спорадических групп . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . стр. 54–79. ISBN 9783540627784 . МР 1707296 . ОСЛК 38910263 . Збл 0908.20007 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мадор, Дэвид Александр (22 января 2003 г.). «Порядки неабелевых простых групп» . www.madore.org . Проверено 10 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A109379 (Порядки нециклических простых групп (с повторением).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067698 (Положительные целые числа, такие, что сигма(n) больше или равна exp(gamma) * n * log(log(n)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 октября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A048242 (Числа, которые не являются суммой двух множественных чисел (не обязательно различных).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Дитрих, Хайко; Ли, Мелисса; Попель, Томаш (6 декабря 2023 г.). «Максимальные подгруппы Монстра». стр. 1–23. arXiv : 2304.14646 [ GR математика. ГР ]. Бибкод : 2023arXiv230414646D .
^ Грисс-младший, Роберт Л. (1982). «Дружелюбный великан » изобретения Математические 69 : 91−96. Бибкод : 1982InMat..69.... 1G дои : 10.1007/BF01389186 . hdl : 2027.42/46608 . МР 0671653 . S2CID 123597150 . Збл 0498.20013 .
^ Огг, AP (1981). «Модульные функции». В Куперштейне, Брюс; Мейсон, Джеффри (ред.). Конференция в Санта-Крусе по конечным группам . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 37. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 521–532. дои : 10.1090/PSPUM/037 . ISBN 0-8218-1440-0 . МР 0604631 . Збл 0443.00007 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002267 (15 суперсингулярных простых чисел: простые числа, разделяющие порядок простой группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A216071 (задача Брокара: положительные целые числа m такие, что m^2 равно n! +1 для некоторого n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A085692 (Задача Брокара: квадраты, которые можно записать как n!+1 для некоторого n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004394 (Сверхизбыточные [или сверхизбыточные] числа: n такие, что сигма(n)/n больше, чем сигма(m)/m для всех m меньше n, сигма(n) равна A000203(n), сумма делители n.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кавени, Джеффри; Николя, Жан-Луи ; Сондоу, Джонатан (2011). «Теорема Робина, простые числа и новая элементарная формулировка гипотезы Римана» . Целые числа . 11 (6). Берлин: Де Грюйтер : 755 (A33). arXiv : 1110.5078 . дои : 10.1515/INTEG.2011.057 . МР 2798609 . S2CID 14573608 . Збл 1235.11082 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034963 (Сумма четырех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002110 (Первоначальные числа (первое определение): произведение первых n простых чисел. Иногда пишется prime(n)#.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000332 (Биномиальный коэффициент биномиал(n,4), равный n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.
^ Дешуйе, Жан-Марк ; Гранвилл, Эндрю ; Наркевич, Владислав; Померанс, Карл (1993). «Верхняя оценка проблемы Гольдбаха» . Математика вычислений . 61 (203). Вашингтон, округ Колумбия: Американское математическое общество : 209–213. Бибкод : 1993MaCom..61..209D . дои : 10.1090/S0025-5718-1993-1202609-9 . МР 1202609 . S2CID 51831845 . Збл 0780.11047 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A050381 (Количество последовательно уменьшенных посаженных деревьев с n листьями двух цветов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074127 (Сгруппируйте составные числа так, чтобы сумма n-й группы была кратна n-му простому числу: (4), (6), (8, 9, 10, 12, 14, 15, 16). , 18, 20, 21, 22), (24, 25), (26, 27, 28, 30, 32), (33, 34, ...), ... Последовательность дает сумму группы, разделенную на n- -е простое число для n-й группы.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A023201 (Простые числа p такие, что p + 6 также является простым (меньшее из пары сексуальных простых чисел.))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002410 (ближайшее целое число к мнимой части n-го нуля дзета-функции Римана.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013629 (Пол мнимых частей нетривиальных нулей дзета-функции Римана.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.
^ Одлизко, Андрей . «Первые 100 (нетривиальных) нулей дзета-функции Римана [AT&T Labs]» . Андрей Одлыжко: Домашняя страница . УМН ЦСЕ . Проверено 16 января 2024 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Клэйз, Янис (2012). Порядки в квадратичных мнимых полях малого числа классов (PDF) (диссертация по математике). Уорикского университета Центр науки о сложности . стр. 1–24. S2CID 126035072 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A258706 (Абсолютные простые числа: каждая перестановка цифр является простым числом. Показан только наименьший представитель каждого класса перестановок.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A059408 (a(n+1) как a(n)-я составная часть и a(1) равна 13.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.

^ Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое число» . MathWorld — WolframAlpha ресурс . Проверено 18 октября 2023 г.

В списке ниже приведены числа вида

x \equiv e. π \sqrt n

для

n \leq 1000

, для которого

| нинт (Икс) - Икс | \leq 10 -3

.

$н$	$\|nint(Икс) - Икс \|$
25	−0.00066
37	−0.000022
43	−0.00022
58	−1.8×10 ⁻⁷
67	−1.3×10 ⁻⁶
74	−0.00083
148	0.00097
163	−7.5×10 ⁻¹³
232	−7.8×10 ⁻⁶
268	0.00029
522	−0.00015
652	1.6×10 ⁻¹⁰
719	−0.000013

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014603 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 2 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A032354 (j-инварианты для порядков класса № 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 октября 2023 г.
^ Загер, Дон (2008). «Эллиптические модульные формы и их приложения» . В Ранестаде, Кристиан (ред.). 1-2-3 модульных форм . Университетский текст (1-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . стр. 70−71. дои : 10.1007/978-3-540-74119-0_1 . ISBN 978-3-540-74117-6 . МР 2409678 . OCLC 173239471 . Збл 1259.11042 .
^ Арпин, Сара; Камачо-Наварро, Каталина; и др. (2021). «Приключения в Суперсингулярной стране» . Экспериментальная математика . 32 (2). Оксфордшир, Великобритания: Тейлор и Фрэнсис : 245–256. arXiv : 1909.07779 . Бибкод : 2019arXiv190907779A . дои : 10.1080/10586458.2021.1926009 . МР 4592945 . S2CID 202583238 . Збл 1517.94057 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (2003). Вайсштейн, Эрик В. (ред.). CRC Краткая математическая энциклопедия (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC . стр. 57–59. дои : 10.1201/9781420035223 . ISBN 9781584883470 . JSTOR 20453513 . МР 1944431 . OCLC 50252094 . S2CID 116679721 . Збл 1079.00009 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A329191 (Простые делители порядков спорадических конечных простых групп.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A113907 (Размеры пяти спорадических групп Ли.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A048050 (функция Чоулы: сумма делителей n, кроме 1 и n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006203 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 3 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127106 (Числа n такие, что n^2 делит 6^n-1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013658 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 4 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.
^ Уоткинс, Марк (2004). «Числа классов мнимых квадратичных полей» . Математика вычислений . 73 (246). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 907–938. дои : 10.1090/S0025-5718-03-01517-5 . JSTOR 4099810 . МР 2031415 . Збл 1050.11095 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038552 (Наибольшее бесквадратное число k такое, что Q(sqrt(-k)) имеет номер класса n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 октября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004011 (Тэта-ряд решетки D_4; коэффициенты Фурье ряда Эйзенштейна E_{gamma,2}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Чун, Джи Хун (2019). «Сферические упаковки [2013]» (PDF) . В Цфасман, Михаил; и др. (ред.). Коды алгебраической геометрии: главы для продвинутого уровня . Математические обзоры и монографии . Том. 238. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 229−278. дои : 10.1090/surv/238 . ISBN 978-1-4704-5263-6 . МР 3966406 . S2CID 182109921 . Збл 1422.14004 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004013 (Тэта-серия объемноцентрированной кубической (ОЦК) решетки.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность А004014 (Нормы векторов в ОЦК-решетке.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000118 (Количество способов записи n в виде суммы 4 квадратов; также тэта-ряд четырехмерной кубической решетки Z^4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники (1-е изд.). Лондон: Methuen & Co., стр. 1–321. ISBN 9780521201254 . МР 0027148 . ОСЛК 472190910 .
^ Пеконен, Осмо (2018). «Какое целое число самое загадочное?» . В Сарханги, Реза (ред.). Мосты: Математика, Искусство, Музыка, Архитектура, Образование, Культура . Материалы конференции по мостам . п. 441. ИСБН 9781938664274 . ISSN 1590-5896 . OCLC 7788577569 . S2CID 133028298 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хэ, Ян-Хуэй ; Маккей, Джон (2015). «Спорадический и исключительный». стр. 1–49. arXiv : 1505.06742 [ math.AG ]. S2CID 117030188 .
«Особый интерес вызывает менее известный факт – параллельно приведенному выше тождеству – что постоянный член j-инварианта, а именно 744, удовлетворяет условию $744 = 3 \times 248.$ Число 248, конечно, является размерность сопряженной наибольшей исключительной алгебры [ $𝖊 8$ ]. Фактически, то, что j должно кодировать представления [ $𝖊 8$ ], было установлено задолго до окончательного доказательства гипотезы Муншайна. Эта связь между самой большой спорадической группой и самой большой. исключительная алгебра свяжет «Переписку Маккея» с «Самогоном» и тем самым вплетет еще одну прекрасную нить в панорамный гобелен математики». ^{: стр.4}
" ¹⁶ Кстати, читателя также насторожил курьезный факт: $σ 1 (240) = 744$ ». ^{: стр.21 (примечание)}
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007245 (серия Маккея-Томпсона класса 3C для группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
$j (𝜏) 1/3 = q -1/3 (1 + 248 г + 4124 г 2 + 34752 q 3 + ...)$
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ганнон, Терри (2006). «Введение: краткий обзор теории, лежащей в основе чудовищного самогона» (PDF) . Самогон за пределами монстра: Мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж, Массачусетс: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–15. ISBN 978-0-521-83531-2 . МР 2257727 . OCLC 1374925688 . Збл 1146.11026 .
«В частности, $4124 = 3875 + 248 + 1$ и $34752 = 30380 + 3875 + 2 \cdot 248 + 1$ , где 248, 3875 и 30380 — все размерности неприводимых представлений $\mathbb {C}$ ». ^{: стр.6}
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121732 (Размеры неприводимых представлений простой алгебры Ли типа E8 над комплексными числами, перечислены в порядке возрастания.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
^ Габердиэль, Матиас Р. (2007). «Ограничения на экстремальные самодуальные ЦФТ» . Журнал физики высоких энергий . 2007 (11 087). Спрингер : 10–11. arXiv : 0707.4073 . Бибкод : 2007JHEP...11..087G . дои : 10.1088/1126-6708/2007/11/087 . МР 2362062 . S2CID 16635058 .
^ Конвей, Джон Х .; Слоан, Нью-Джерси (1988). «Алгебраические конструкции для решеток» . Сферические упаковки, решетки и группы . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4757-2016-7 . eISSN 2196-9701 . ISBN 978-1-4757-2016-7 . МР 1541550 .
^ Коксетер, HSM (1998). «Семь кубиков и десять 24-клеток» (PDF) . Дискретная и вычислительная геометрия . 19 (2): 156–157. дои : 10.1007/PL00009338 . S2CID 206861928 . Збл 0898.52004 .
^ Коксетер, HSM ; Шепард, GC (1992). «Портреты семейства сложных многогранников». Леонардо . 25 (3/4): 243–244. дои : 10.2307/1575843 . JSTOR 1575843 . S2CID 124245340 . Збл 0803.51023 .
^ Баэз, Джон К. (2018). «От икосаэдра до Е ₈ ». Информационный бюллетень Лондонского математического общества . 476 : 18–23. arXiv : 1712.06436 . МР 3792329 . S2CID 119151549 . Збл 1476.51020 .
^ Харт, Джордж В. (1998). «Икосаэдрические конструкции» (PDF) . В Сарханги, Реза (ред.). Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке . Материалы конференции по мостам . Уинфилд, Канзас. п. 196. ИСБН 978-0966520101 . OCLC 59580549 . S2CID 202679388 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Уилсон, Роберт А. (2009). «Октонионы и решетка Лича» . Журнал алгебры . 322 (6): 2186–2190. дои : 10.1016/j.jalgebra.2009.03.021 . МР 2542837 .
^ Шеллекенс, Адриан Норберт (1993). «Мероморфные c = 24 конформные теории поля» . Связь в математической физике . 153 (1). Берлин: Шпрингер : 159–185. arXiv : hep-th/9205072 . Бибкод : 1993CMaPh.153..159S . дои : 10.1007/BF02099044 . МР 1213740 . S2CID 250425623 . Збл 0782.17014 .
^ Мёллер, Свен; Шайтауэр, Нильс Р. (2023). «Формулы размерностей и обобщенные глубокие дыры алгебры вершинных операторов решетки Лича» . Анналы математики . 197 (1). Принстонский университет и Институт перспективных исследований : 261–285. arXiv : 1910.04947 . Бибкод : 2019arXiv191004947M . дои : 10.4007/анналы.2023.197.1.4 . МР 4513145 . S2CID 204401905 . Збл 1529.17040 .
^ Грисс-младший, Роберт Л.; Лам, Чинг Хунг (2011). «Самогонный путь от Е8 до Монстра» (PDF) . Журнал чистой и прикладной алгебры . 215 (5): 930–931. дои : 10.1016/j.jpaa.2010.07.001 . МР 2747229 . S2CID 123613651 . Збл 1213.17028 .
^ Грисс-младший, Роберт Л .; Лам, Чинг Хунг (2011). «Самогонная дорожка на 5 А и связанные с ней решетки 8 и 16 рангов» . Журнал алгебры . 331 . Амстердам: Elsevier : 348. arXiv : 1006.3907 . Бибкод : 2010arXiv1006.3907G . дои : 10.1016/j.jalgebra.2010.11.013 . МР 2774662 . S2CID 119679255 . Збл 1283.20009 .
^ Харада, Масааки; Лам, Чинг Хунг; Мунемаса, Акихиро (2013). «Вычетные коды экстремальных Z ₄ -кодов типа II и алгебра вершинных операторов самогона» . Mathematische Zeitschrift . 274 (1). Спрингер : 691, 698–699. arXiv : 1005.1144 . Бибкод : 2010arXiv1005.1144H . дои : 10.1007/s00209-012-1091-z . МР 3054350 . S2CID 253730965 . Збл 1283.94112 .
^ Плесс, В.; Слоан, Нью-Джерси (1975). «О классификации и перечислении самодвойственных кодов» . Журнал комбинаторной теории . Ряд А. 18 (3). Амстердам: Эльзевир : 313–335. дои : 10.1016/0097-3165(75)90042-4 . МР 0376232 . S2CID 16303075 . Збл 0305.94011 .
^ Ван Экерен, Джетро; Лам, Чинг Хунг; Мёллер, Свен; Симакура, Хироки (2021). «Список Шеллекенса и очень странная формула» . Достижения в математике . 380 . Амстердам: Эльзевир : 1–34 (107567). arXiv : 2005.12248 . дои : 10.1016/j.aim.2021.107567 . МР 4200469 . S2CID 218870375 . Збл 1492.17027 .
^ Бецумия, Коичи; Лам, Чинг Хунг; Симакура, Хироки (2023). «Группы автоморфизмов и единственность голоморфных вершинных операторных алгебр центрального заряда 24» . Связь в математической физике . 399 (3). Берлин: Шпрингер : 1773–1810. arXiv : 2203.15992 . Бибкод : 2023CMaPh.399.1773B . дои : 10.1007/s00220-022-04585-6 . МР 4580534 . S2CID 247793117 . Збл 1523.17056 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A129863 (Сумма трех последовательных пятиугольных чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000326 (Пятиугольные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002411 (Пятиугольные пирамидальные числа: a(n) равно n^2*(n+1)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 ноября 2023 г.
^ Танеха, Индер Дж. (2016). «Числа для селфи — IV: сложение, вычитание и факториал» (PDF) . Сборник отчетов об исследованиях РГМИА . 19 :1-4 (статья 163).
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A193069 (Довольно дикие нарциссические числа — числа, которые загадывают: — целое число n, которое можно выразить, используя только цифры n (каждая цифра используется только один раз и в порядке слева направо) и операторы + - * / ^ ! и радикальный символ разрешен.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A177434 (Магические константы магических квадратов 6 X 6, состоящих из последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A177434 (Магические константы магических квадратов 6 X 6, состоящих из последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A122875 (Числа, квадрат которых волнистый.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016073 (Волнистые квадраты.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.
^ Пиковер, Клиффорд А. (1995). «Глава 20: Волны монахов». Ключи от бесконечности . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. xviii, 1–332. ISBN 978-0471193340 . ОСЛК 31710129 . S2CID 121761396 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A164843 (Наименьшая магическая константа магического квадрата n X n с различными простыми элементами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 ноября 2023 г.
^ Макарова Наталья Владимировна «Наименьшие магические квадраты простых чисел (часть I)» . klassikpoez.narod.ru (на русском языке). Архивировано из оригинала 8 декабря 2023 г. Архивный перевод на английском языке. Проверено 7 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006003 (a(n) равна n*(n^2 + 1)/2)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A187781 (Количество неконгруэнтных многоугольных областей в правильном n-угольнике со всеми нарисованными диагоналями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A279019 (Наименьшее возможное количество диагоналей простого выпуклого многогранника с n гранями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002839 (Количество простых прямоугольников с идеальными квадратами порядка n с точностью до симметрии.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A326118 (a(n) — наибольшее количество квадратов единичной площади, соединенных только углами и без отверстий, которое можно вписать в квадрат n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A272390 (Самая длинная сторона примитивного тетраэдра Герона с четырьмя конгруэнтными треугольными гранями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 марта 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A272388 (Самая длинная сторона тетраэдра Герона.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 марта 2024 г.

[17] 120 также равно сумме первых пятнадцати целых чисел или пятнадцатому треугольному числу $Σ. 15 п = 1 п$ , ^[6] хотя это также наименьшее число с шестнадцатью делителями, ^[12] 744 — тридцать первое такое число. ^[13] Это значение также равно сумме всех простых чисел меньше 31, не являющихся делителями 744, кроме 5, включая 1. Включительно 5 эта сумма равна $125 = 5. 3$ , что является вторым числом после 32, которого аликвотная сумма равна 31. ^[14]
Согласно гипотезе Коллатца , 744 и 120 требуют пятнадцати шагов, чтобы достичь 5 , прежде чем пройти через {16, 8, 4, 2, 1} за пять шагов. ^[15]^[16] В противном случае им обоим потребуется девятнадцать шагов, чтобы достичь 2 , который является средним узлом в элементарной траектории {1,4,2,1,4...} для 1 при циклическом возвращении к самому себе, или двадцать шагов, чтобы достичь 1 .

[24] Радикал . $186 = 2 \times 3 \times 31$ из 744 ^[19] имеет среднее арифметическое делителей, равное 48, ^[11] где сумма трех различных простых делителей числа 744 равна $62 = 36$ . 186 невнимательный ^[20] и некокотентный , ^[21] равен количеству пентагексов , когда вращения считаются отдельными. ^[22]

[35] 744 — 181-е обильное число. В частности, 432 (дважды , куб 6 ) 216 имеет аликвотную сумму 808 , ^[14] где 433 — тридцать первое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления , которое повторяет 432 цифры, что в совокупности дает 1944. ^[25] Менее 1000, шестидесятое и самое большое такое простое число - 983 , которое повторяет 982 цифры, которые в сумме дают 4419, двузначную двойную перестановку цифр 1944 года (и где $2475 = 4419 - 1944$ имеет уменьшенную долю 60). ^[26] 432 также является двадцать третьим промежуточным числом между простыми числами-близнецами . ^[27] и восьмое такое число, чьи соседние простые числа имеют простые индексы, которые добавляются к простому числу ( $167 = 83 + 84$ , тридцать девятое простое число); ^[9] 348 , сводный индекс 432, ^[28] само по себе является шестым промежуточным числом, чьи соседние простые числа имеют индексы, которые добавляются к простому числу ( $139 = 69 + 70$ , тридцать четвертое простое число). ^[9]
Важно, $432 = 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3$ ^[29] — число Ахиллеса , мощное число (тридцать четвёртое). ^[30] это само по себе не является идеальной степенью , как 864 (одиннадцатый индекс, который вдвое превышает его значение) и 288 (общая сумма 864), ^[5] а также 108 (четвертая из 432) и 1944 г. ^[31] (432 — шестой член, где шестое треугольное число — 21 , ^[6] сам индекс 1944 года в списке чисел Ахиллеса. Обратите внимание также, что $1944 = 1200 + 744$ , где $1200 = 456 + 744$ , или, другими словами, $σ (456)$ .) ^[32]
С другой стороны, 181 , индекс 744 как избыточного числа, является шестнадцатым полным повторяющимся простым числом по основанию десять, ^[25] и сводный индекс 232 , ^[28] это сумма первых пяти промежуточных чисел, которые лежат между простыми числами-близнецами с суммами простых чисел из соответствующих индексов (т. е. 138, 72, 12, 6, 4), как в случае с 432 и 348. ^[27] 109 — десятое полное повторяющееся простое число, повторяющее 108 цифр, сумма повторяющихся цифр которых равна 486 , четверти числа 1944 года, где 487 — тридцать третье полное повторяющееся простое число (а 811 — сорок девятое, на одну меньше суммы 180). повторяющиеся цифры 181 с $288 = 180 + 108$ ). ^[25]

[53] 744 — 183-е полусовершенное число, индексное значение, сумма делителей которого равна 248 , ^[32] и среднее арифметическое делителей, равное $62 = 31 \times 2$ , ^[10]^[11] оба из них являются делителями 744 (четырнадцатый и десятый по величине соответственно); в противном случае сумма двух его делителей, больших 1, равна $3 + 61 = 64 = 8. 2$ . 183 также является восьмым совершенным числом . ^[34] и количество полупорядков на четырех меченых элементах. ^[35] Это наибольшее количество внутренних областей, образованных четырнадцатью пересекающимися кругами, что эквивалентно количеству точек на проективной плоскости над конечным полем. $\mathbb {Z} _{1}3$ , с $132 + 13 + 1 = 183$ . ^[36] Это количество зубочисток в последовательности зубочисток после восемнадцати этапов. ^[37] Далее 181, 183 стоит шестьдесят второе число Лёша формы $x. 2 + ху + у 2$ , как произведение третьего и двадцать четвертого таких чисел ( 3 , 61 ), простых индексов два и восемнадцать. ^[38]^[9] Кроме того, наименьшее число, имеющее ровно четыре решения этого квадратичного многочлена , - это первый номер такси 1729 из $(a, b)$ целочисленных пар $(3, 40), (8, 37), (15, 32)$ и $(23, 25)$ , ^[39]^[40] где эти четыре пары вместе генерируют сумму 183 . С другой стороны, наименьшее такое число, имеющее только два решения, равно 49 ; ^[41] где 1729 представляет собой 97-е такое число, выражаемое двумя или более способами. ^[42] Вероятность того, что любое нечетное число является числом Лёша, равна 0,75 , а вероятность того, что это четное число, составляет оставшиеся 0,25. ^[43]
Существует ровно 816 целых чисел (включительно, равных сумме делителей 737 , наибольшей составной суммы 744). ^[32] между полусовершенным индексом 744 и 1000, числом, которое, в свою очередь, имеет сумму делителей $2232 = 744 \times 3$ , ^[32] 24-е десятиугольное число , ^[44] а также 30-е число, которое можно выразить как разность квадратов последовательных простых чисел только одним отличным способом; ^[45] другие члены этой последовательности включают:
1920 ( 26 -й), сумма делителей 744, ^[32]
1728 (24-й), равный кубу 12 и на единицу меньше первого номера такси,
432 ( 8 -й), изобилие 744, ^[24]
288 (6-е), разница между 744 и 456 , единственное число, аликвотная сумма которого равна 744, ^[14]
240 ( 5 -й), число Эйлера 744. ^[5]
888 — 13 -й член, 26-я повторная цифра в десятичном формате. ^[46] равен сумме между 432 и 456 и между 144 и 744 (где 432 и 456 имеют общие значения 144); ^[5] и равен произведению двенадцатого простого числа 37 и 24. Первые четыре члена (5, 16, 24, 48) генерируют сумму 93 , что является одиннадцатым по величине делителем числа 744 после 62. ^[45] 93 представляет количество различных циклических перестановок Гилбрета на 11 элементах, ^[47] имеется девяносто три различных действительных периодических точки порядка 11 и, следовательно, на множестве Мандельброта . ^[48]В противном случае $1632 = 1176 + 456$ , что эквивалентно аликвотной сумме 744 (1176). ^[14] и 456 — шестнадцатое число, которое можно выразить как разность квадратов простых чисел двумя разными способами, последовательными или иными (432, 1728, 1920 и 2232 также входят в эту последовательность). ^[49]
183 также является первым нетривиальным 62 - угольным числом .

[5] 1920 ( 26 -й), сумма делителей 744, ^[32]

[6] 1728 (24-й), равный кубу 12 и на единицу меньше первого номера такси,

[7] 432 ( 8 -й), изобилие 744, ^[24]

[8] 288 (6-е), разница между 744 и 456 , единственное число, аликвотная сумма которого равна 744, ^[14]

[9] 240 ( 5 -й), число Эйлера 744. ^[5]

[66] Между тем, где 279 - это 58-е промежуточное число, лежащее между последовательными нечетными числами, которые не обязательно являются простыми числами-близнецами (здесь с разницей в четыре), 58-е палиндромное число в семеричном формате эквивалентно 456 в десятичном виде. ^[53] (это единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) ^[14] и представлен как 1221 ₇ , чьи цифры представляют собой двойную перестановку цифр 744 как 64 -й палиндром в системе счисления с основанием 7 ( 2112 ). ^[53]
Явно, каждое положительное целое число представляет собой не более суммы двухсот семидесяти девяти восьмых степеней ( проблема Уоринга ), которым предшествует максимальное количество ${1, 4, 9, 19, 37, 73, 143}$ $n$ -степеней; ^[60] где, как уже упоминалось, 279 — это десятичное представление дополнения до единиц 744 в двоичном формате. В этой последовательности первые шесть членов генерируют сумму, эквивалентную седьмому члену 143 , составному индексу 186. ^[28] это радикал 744, ^[19] а также равна сумме семи последовательных простых чисел, начиная с 11 и заканчивая одиннадцатым простым числом: $11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31$ . Это также произведение третьей простых чисел-близнецов пары $(11 \times 13)$ ; ^[8] пока прикидываю $34 + 4 4 + 5 4 + 6 4 = 7 4 - 143$ , что является вторым (или третьим) исключением в последовательности полиномов, начинающейся с $3. 2 + 4 2 = 5 2$ и $33 + 4 3 + 5 3 = 6 3$ , через $31 = 4 1 - 1$ (и $0 = 3 0 - 1$ ).
В то время как в начале последовательности полных повторяющихся простых чисел (с примитивным корнем 10) два наименьших таких числа — 7 и 17 , с повторяющимися цифрами обратного числа 7, добавляющими $27 = 3. 3$ это семнадцатое составное число, ^[28] есть еще $983+17=1000$ и $2\times279+432=7+983$ . Диапазон полных повторяющихся простых чисел от 17 до 983 состоит из пятидесяти девяти целых чисел, где 59 — семнадцатое простое число и седьмое суперпростое число . ^[9]^[61]

[70] 744 — четыреста шестое индексированное губительное число, где 406 — двадцать восьмое треугольное число; ^[6] в его представлении с базой два позиции нулей соотношении находятся в соотношении $1: 1: 3$ или $3: 1: 1$ с позициями единиц, которые находятся в $1: 3: 1$ .
Его дополнение равно 100010111 ₂ , что эквивалентно $279 = 3. 2 \times 31$ в десятичном формате , что представляет собой сумму НОД частей во всех разделах $16 = 4. 2$ . ^[55] Это также количество разбиений $62 = 2\times31$ (делитель 744), а также 63 на факториальные части (без учета 0!), ^[56] и количество целочисленных разделов 44 , длина которых равна НОК всех частей ^[57] (с 63 — сорок четвёртым составным числом , ^[28] где 44 само по себе является числом нарушений 5, ^[58] и $63 + 44 = 107$ — двадцать восьмое простое число ). ^[9]
2112 ₁₀ — это количество повторяющихся десятичных цифр числа 2113 в виде полного повторяющегося простого числа в десятичной системе счисления . ^[25] где 2112 — 65-е промежуточное число , лежащее между последовательными простыми числами-близнецами, ^[27] в противном случае это 317 -й член между последовательными нечетными простыми числами, ^[59] где 317 — 66-е индексированное простое число (90 и 91 — 65-е и 66-е составные соответственно, где $181 = 90 + 91$ ). ^[9]^[28] 279 , с другой стороны, является 58-м числом, лежащим между последовательными нечетными простыми числами ( 277 , 281 ), ^[59] с $81 = 9 2$ пятьдесят восьмое составное число. ^[28]^[v] Точнее, восемьдесят один — это сумма повторяющихся цифр третьего полного повторяющегося простого числа в десятичной системе счисления, 19 . ^[25] где сумма этих цифр представляет собой магическую константу 18 $\times 18$ ненормального , но полного простого обратного магического квадрата , основанного на его обратном ( $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / 19$ ) . ^[62]^[63]^[64]

[72] 744 — двадцать третье из тридцати одного такого числа, общая сумма которого равна 240, после 738 и перед 770 . Наименьшее число — 241 , пятьдесят третье простое число и шестнадцатое суперпростое число . ^[61] и самый большой — 1050 , что представляет собой количество частей во всех разделах из 29 на отдельные части. ^[65]

[75] Значение этой сигма-функции представляет собой пятнадцатую сумму нетреугольных чисел между треугольными числами ; в данном случае это сумма, лежащая между пятнадцатым ( 120 ) и шестнадцатым ( 136 ) треугольными числами. ^[67] (т.е. сумма $121 + 122 + ... + 135$ ).

[88] Тридцатое треугольное число равно $465 = 3 \times 5 \times 31$ , что равно разнице между 744 и 279 (эквивалентно 1011101000 ₂ и 100010111 ₂ , пары дополнений единиц соответственно). 30 — двенадцатое число $m$ такое, что $6 m + 1$ и $6 m — 1$ — простые числа-близнецы ( 181 , 179 ). ^[8]^[69] 465 также является биномом $(31,2)$ , равным количеству подмножеств размера 2 из ${0, 1, ..., 31}$ , которые не содержат последовательных целых чисел (в свете как треугольное число, отстающее от своей последовательности на один индекс ). ^[70]^[6] В последовательности Падована 465 — это двадцать восьмой индексированный член, равный количеству композиций из 28 на части, конгруэнтные 2 по $модулю 3$ , а также количеству композиций из 28 на части, которые нечетны и больше или равны 3, и количество максимальных клик в $(28 + 6)$ -путей графе дополнения (в частности, в $34$ -пути). ^[71]
30 — это наименьшее сфеническое число , которое является произведением трех различных простых чисел (2, 3 и 5) со следующими двумя такими числами $42 + 66 = 108$ . ^[72] Важно отметить, что 30 — это единственная точка в последовательности натуральных чисел. $\mathbb {N} ^{+}$ где отношение простых чисел к непростым (до) равно 1/2  ; при включении 0 в $\mathbb {N}$ как непростое число, это соотношение достигается при 29 , где соотношение половины снова достигается только (здесь исключительно как соотношение между простыми и составными числами) при 37 и 43 , которые являются соответственно двенадцатым и четырнадцатым простыми числами. (при включении 1 в качестве простой единицы тринадцатое простое число 41 будет еще одной точкой соотношения 1:1, без учета 0). ^[9] 1:1 В противном случае соотношение простых чисел к составным (до) происходит в двух точках: 11 и 13 , соответственно пятом и шестом простых числах. ^[9] — чьи индексы в сумме равны 11, простой индекс 31 — и в 7 , когда 0 и 1 включены как непростые числа в $\mathbb {N} _{0}$ или в 8 , если включает только 1, и в 9, если считать 0 непростым, а 1 — простой единицей). Тридцать также является первым составным значением с тремя или более различными простыми множителями, для которого функция Мёбиуса возвращает −1 , как и для всех чисел со строго нечетным количеством простых множителей, включая сами простые числа. Соответственно, 31 — это первое число (после 1 ), достигшее рекордной амплитуды между нулями в связанной функции Мертенса $M (n)$ , где следующее такое число — 114 , ^[73] среднее арифметическое делителей которого равно 30, ^[10]^[11] с суммой делителей 240. ^[32] С другой стороны, 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744), ^[14] 744 и 1176 (аликвотная сумма 744) все устанавливают значение -5 для $M (n)$ , ^[74] соответственно 20-е, 57-е и 86-е числа для этого (где 57 — сороковое составное, а 80 — пятьдесят седьмое), ^[28] при этом эти индексы образуют сумму $20 + 57 + 86 = 163$ , что эквивалентно наибольшему из девяти чисел Хегнера . (Кроме того, $20 + 57 = 77$ , сумма десятичных цифр в почти целочисленном приближении $e π \sqrt163$ до его десятичного расширения.)
Шестая пара чисел, создающая рекордный разрыв между простыми числами ( 14 ), — это 30-е и 31-е простые числа ( 113 , 127 ), ^[75]^[76]^[77]^[9] Предыдущие последовательные простые числа, создающие рекордные пробелы: (89, 97), (23, 29), (7, 11), (5, 3) и (3, 2); ^[78]^[79] меньшее из них вместе дает сумму 127, тридцать первое простое число.

[97] Это 168 -е индексированное число Цумкеллера, где $168 = 6 \times 28$ представляет собой произведение первых двух совершенных чисел , ^[81] равно пятому числу Дедекинда , ^[82] где предыдущие четыре индексированных члена (2, 3, 6, 20) вместе дают 31 — с 496 тридцать первым треугольным числом, ^[6] и третье совершенное число. 168 — это также количество простых чисел меньше 1000 . ^[9]^[83] Два набора делителей числа 744 с равными суммами:
(1, 2, 3, 4, 8, 12, 62, 124, 744)
(6, 24, 31, 186, 93, 248, 372)
960 — это также тридцать первое число Жордана–Пойа , являющееся произведением факториалов $5! \times (2!) 3$ , ^[84] равна сумме шести последовательных простых чисел $149 + 151 + 157 + 163 + 167 + 173$ , между 35-м и 40-м простыми числами (это тридцать пятое такое число). ^[85] Пятнадцатое и шестнадцатое треугольные числа образуют сумму $120 + 136 = 256 = 2. 8$ это общее значение 960, ^[5] и количество разделов $29 = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 2 2 + 3 2 + 4 2$ на отдельные части и нечетные части. ^[86] Как и его простое число-близнец 31, 29 является первоначальным простым числом , которое вместе составляет третью и самую большую из трех известных пар простых чисел-близнецов (1-го, 2-го и 5-го), которые являются первоначальными простыми числами. ^[87] возможно, без больших пар. Между ними находится 30 .

[16] (1, 2, 3, 4, 8, 12, 62, 124, 744)

[17] (6, 24, 31, 186, 93, 248, 372)

[103] Сложные тотативы
{ 25 , 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95, 115, 119, 121, 125, 133, 143, 145, 161, 169, 175, 185, 187, 203, 205, 209, 215, 221, 235, 245, 247, 253, 259, 265, 275, 287, 289, 295, 299, 301, 305, 319, 323, 325, 329, 335, 343, 355, 361, 365, 371, 377, 385, 391, 395, 407, 413 , 415 , 425, 427, 437, 445, 451, 455, 469, 473, 475, 481, 485, 493, 497, 505, 511, 515, 517, 529, 533, 535, 539, 545, 551, 553, 559, 565, 575, 581, 583, 595, 605, 611, 623, 625, 629, 635, 637, 649, 655, 665, 667, 671, 679, 685, 689, 695, 697, 703, 707, 715, 721, 725, 731, 737 }.
Его наименьшая составная сумма равна $5. 2 = 25$ , это единственное число, аликвотная сумма которого равна 6 , ^[14] и второе из двух чисел, сумма делителей которого равна 31 (наибольший простой делитель 744), после $16 = 4. 2$ . ^[32] В частности, двадцать пятое простое число 97 образуется из суммы 48 и 49. Девяносто семь — это девятое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления. ^[25] чьи 96 повторяющихся цифр образуют сумму 432 , равную количеству 744. ^[24] 97 также является первым нечетным простым числом, которое не является простым числом кластера. ^[89] (которое предшествует тридцать первому простому числу 127 в этой последовательности), где разрыв между простыми числами для простого числа кластера равен шести или меньше; ^[90] шестое и седьмое простые числа, не являющиеся простыми числами кластера, — это сорок восьмое и сорок девятое простые числа 223 и 227 .
97 — одиннадцатое простое число $p$ формы $6 m + 1$ для натурального числа $m$ . ^[91]
Между медианными составными тотативными значениями 744, т. е. ( 413, 415 ) , находится 414 — 333 -е составное число. ^[28] - с Эйлера коэффициентом 132 ^[5] это также простой индекс 743, ^[9] самое большое простое число равно 744. Кроме того, число 414 имеет сумму делителей 936, ^[32] 777 - е составное число, в свою очередь представляющее собой сумму делителей 639 (палиндром с 936), которое само по себе является составным индексом 777 (также палиндром). Где 414 — 43-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса, 333 — 26-е, ^[92] где 43 — четырнадцатое простое число. ^[9] Кроме того, двадцать пятая цифра в десятичном формате равна 777. ^[46]
Если 25 — наименьшая составная сумма 744, то наибольшая такая сумма равна 737 , аликвотная сумма которой равна 79 , ^[14] двадцать второе индексированное простое число, ^[9] это меньшее перестановочное простое число до 97 в десятичной системе счисления. ^[7]

[111] 713 — произведение девятого и одиннадцатого простых чисел $23\times31$ , где двадцать третье простое число ( 83 ) — это одиннадцатое простое число вида $6 m - 1$ ; оно равно разнице между 744 и 31 с аликвотной суммой 55. ^[14] и общее значение 660 . ^[5]
∗ 589, равное $19 \times 31,$ представляет собой сумму трёх последовательных простых чисел (193 + 197 + 199). ^[93] Это также девятое центрированное тетраэдрическое число , где 5 и 15 — первые два таких числа ( $121 = 11 2$ является пятым). ^[94] Это четырнадцатая третья спица шестиугольной спирали. ^[95] и двадцатое квази- число Кармайкла ^[96] с уменьшенным значением 90 . ^[26] В функции spt 589 — это общее количество наименьших частей (считаемых с кратностью) во всех разделах, равных 15. ^[97]
∗ 527, равное $17 \times 31,$ — это количество разбиений 31 с равным количеством четных и нечетных частей. ^[98] Его аликвотная сумма равна 49. ^[14] среднее арифметическое делителей которого равно $122 = 144$ с суммой его простых множителей, равной 48. Это также максимальное количество частей, которое можно получить, разрезав кольцо 31 разрезом, ^[99] и эквивалентен сумме тридцати одного последовательных ненулевых целых чисел $2 + 3 + ... + 32$ ; вторая по величине такая сумма после третьего совершенного числа 496. ^[81]

[122] * 403, равное $13\times31,$ — это тридцать седьмое число, возвращающее 0 для функции Мертенса , ^[92] и значение суммы делителей 144 , первого числа, генерирующего это значение. ^[32] Это также первое число, общее число которого равно 360 , из двадцати пяти таких чисел; с 549 шестым (и 447-м составным числом, которое само по себе является 360-м составным числом) ^[28] и $693 = 144 + 549$ десятый. ^[5] Кроме того, 403 — это 284-е арифметическое число , поскольку его четыре делителя содержат среднее арифметическое $112 = 7 \times 4 \times 4$ , второе такое число, содержащее это значение. ^[10]^[11]
112-е простое число — 613 . ^[9] что представляет собой сумму последовательных составных индексов 382 и 384 (соответственно 306 и 307), ^[28] где 383 — 28 -е полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления; 613 также равно сумме простых индексов семи последовательных полных простых чисел (в десятичном формате): 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499 соответственно с простыми индексами 77, 81, 84, 89, 93, 94 и 95 ^[9] (и между 29-м и 35-м такими простыми числами) ^[25] — все следующие за 383, где следующее полное повторяющееся простое число после 499 — это 96-е простое число 503 . ^[9] 383 также является вторым числом после 19, которое генерирует полный простой обратный магический квадрат в десятичной дроби, строки и диагонали которого генерируют одну и ту же магическую константу (из повторяющихся цифр) 1719 . ^[62] В списке простых чисел 2017 и 2027 занимают соответственно 306-е и 307-е места. ^[9] где 1719-е составное число — это 2026. ^[28]
Среднее арифметическое делителей числа 2022 года , которое находится посередине между только что отмеченным интервалом простых чисел из одиннадцати целых чисел (включительно), равно 507 , что равно сумме простых делителей числа $2012 года = 2. 2 \times 503$ (включая кратности), среднее арифметическое значение делителей которого, в свою очередь, равно 588 (половина 1176, аликвотная сумма 744) и второе такое число, имеющее это значение (588), после 1304. ^[10]^[11]
1685, с другой стороны, является третьим числом, среднее число делителей которого после 2022 года равно 507, а сумма делителей (1685) равна 2028 . ^[32] число, лежащее между 307-м и 308-м простыми числами, 2027 и 2029, 62 -я пара простых чисел-близнецов); ^[9]^[8] 2011 также является простым числом, 305-м простым числом, причем 305 имеет составной индекс 242 . ^[9]^[28]
1715, сводный индекс 2022 года, ^[28] является четвертым из тринадцати чисел, общая сумма которых равна $1176 = s (744)$ , ^[5] со средним арифметическим делителей, равным 300 , что является двадцать четвёртым треугольным числом. ^[6]
Число 2023 , находящееся посередине между простыми числами 2017 и 2029, имеет аликвотную сумму 433 (или 432, численность 744 , если не считать 1), ^[14] и фактор Эйлера $1632 = 1176 + 456$ (аликвотная сумма 744 плюс единственное число, содержащее аликвотную сумму 744). ^[5]
Если 383 повторяет 382 цифры в десятичной системе счисления, то 382 также является арифметическим числом, а именно первым числом, среднее число делителей которого равно 144. ^[10]^[11] будучи седьмым числом, содержащим сумму делителей $576 = 24. 2$ . ^[32] Кроме того, $613 + 744 = 1357$ , а также $744 - 613 = 131$ (оба с последовательными разностями в 2 между цифрами); последнее - это двенадцатое полное повторяющееся простое число в десятичной дроби, которое повторяет 130 цифр с суммой $585 = 8. 0 + 8 1 + 8 2 + 8 3$ , где 48 -е полное повторяющееся простое число, с другой стороны, равно 743, наибольшему простому числу 744 (или 49 -му в почти идентичной последовательности длинных простых чисел , которая вместо этого начинается с 2, десятичное разложение которой $1 / p$ имеет период $p - 1$ ). ^[25]^[100]
Между тем, 112 (82-й составной) — это составной индекс $147 = 48 + 49 + 50.$ ^[28] с аликвотной суммой $81 = 9 2$ ^[14] и среднее делителей 38 . ^[10]^[11] 147 само по себе является составным индексом девятнадцатого треугольного числа 190 . ^[6] равен тотенту и приведенному тотенту 382. ^[5]^[26] $744 - 383 = 361 = 19 2$ , где 383 — это $76 = 2 2 \times 19$ индексированное простое число ^[9] (и 304, четырежды семьдесят шесть, простой индекс 2003 года , который является наименьшим простым числом, большим, чем 2000). ^[9]
* 341, равное $11 \times 31,$ представляет собой сумму семи последовательных простых чисел $(37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61)$ простых чисел с 12 по 18 . Это наименьшее псевдопростое число Ферма в двоичной системе . ^[101] и шестое центрированное число куба . ^[102] Это количество разделов, равное 31, такое, что каждая часть встречается с одинаковой кратностью, ^[103] а тридцать первое число в последовательности Мозера – де Брёйна представляет собой сумму различных степеней 4 ( $44 + 4 3 + 4 2 + 4 1 + 4 0$ ). ^[104]^[105] 341 — это также одиннадцатое восьмиугольное число , ^[106] равно числу узлов в правильном одиннадцатиугольнике, у которого проведены все диагонали. ^[107] $с (341) = 43$ , ^[14] со средним арифметическим делителей, равным 96 . ^[11] Это также десятое число Якобсталя , ^[108] и общее количество крупнейших частей (или, что эквивалентно, суммы наименьших частей) во всех разделах 16 . ^[109]

[21] Среднее арифметическое делителей числа 2022 года , которое находится посередине между только что отмеченным интервалом простых чисел из одиннадцати целых чисел (включительно), равно 507 , что равно сумме простых делителей числа $2012 года = 2. 2 \times 503$ (включая кратности), среднее арифметическое значение делителей которого, в свою очередь, равно 588 (половина 1176, аликвотная сумма 744) и второе такое число, имеющее это значение (588), после 1304. ^[10]^[11]

[22] 1685, с другой стороны, является третьим числом, среднее число делителей которого после 2022 года равно 507, а сумма делителей (1685) равна 2028 . ^[32] число, лежащее между 307-м и 308-м простыми числами, 2027 и 2029, 62 -я пара простых чисел-близнецов); ^[9]^[8] 2011 также является простым числом, 305-м простым числом, причем 305 имеет составной индекс 242 . ^[9]^[28]

[23] 1715, сводный индекс 2022 года, ^[28] является четвертым из тринадцати чисел, общая сумма которых равна $1176 = s (744)$ , ^[5] со средним арифметическим делителей, равным 300 , что является двадцать четвёртым треугольным числом. ^[6]

[24] Число 2023 , находящееся посередине между простыми числами 2017 и 2029, имеет аликвотную сумму 433 (или 432, численность 744 , если не считать 1), ^[14] и фактор Эйлера $1632 = 1176 + 456$ (аликвотная сумма 744 плюс единственное число, содержащее аликвотную сумму 744). ^[5]

[131] * 217, равное $7\times31,$ — девятое центрированное шестиугольное число , в которое также входят в качестве предыдущих членов {7, 19 , 37, 61, 91, 127 , 169} ^[110] где 127 — шестой член, который также является тридцать первым простым числом. 217 также является шестым нетривиальным двенадцатиугольным числом. ^[111] и третье нетривиальное центрированное 36-угольное число. ^[112] Это третье псевдопростое число Ферма пятеричного числа после 124 (делитель 744) и 4, ^[113] и пятнадцатое целое число Блюма , отдельные простые множители которого конгруэнтны $3 по модулю 4$ . ^[114]
✶ 155, равное $5 \times 31,$ имеет аликвотную сумму 37 ^[14] и среднее арифметическое делителей, равное 48. ^[5] Это третье число, равное сумме от наименьшего простого множителя до наибольшего. Единственные меньшие числа с таким же свойством - это 10 и 39. ^[115] которые генерируют сумму $49 = 7 2$ ; следующее такое число — 371 , на 1 меньше половины от 744. Всего существует сто пятьдесят пять примитивных групп перестановок $(G, X)$ степени $81$ разбиения на множестве $X$ с помощью $G ;$ , которые сохраняют только тривиальные ^[116] сумма числа всех групп перестановок младших степеней равна 666 , что является двоякотреугольным , ^[117] поскольку оно представляет собой сумму первых тридцати шести целых чисел, где 36 само по себе является восьмым треугольным числом. ^[6] 148 149 повторяющихся цифр тринадцатого полного повторяющегося простого числа в десятичном формате ( которое находится между 109 и 181 в этой последовательности). ^[25] сумма равна 666.
Сто пятьдесят пятое индексированное практическое число — 744. ^[50] где 155-е арифметическое число — это сорок восьмое простое число 223 : первое число, содержащее среднее арифметическое делителей 112, предшествующее 403 . ^[10]^[11]

[141] 743 — двадцать шестое или двадцать седьмое счастливое число Эйлера формы $n. 2 + n + 41$ для получения последовательных простых чисел. ^[118]^[119] Это также двадцать шестое индексированное начало максимальной цепочки простых чисел вида $p (k), ..., p (k + r)$ для $r \geq 1$ . ^[120] Это сорок восьмое полное повторяющееся простое число в десятичной дроби с примитивным корнем 10 , ^[25] или, аналогично, сорок девятое простое число с длинным периодом, если включено 2 . в эту последовательность ^[100] Это сорок восьмой член десятичной системы счисления, в котором каждый суффикс является простым, при этом многократное удаление наиболее значимой цифры дает простое число на каждом этапе, пока не останется однозначное простое число. ^[121]
В частности, 743 — это общая сумма нечетных частей во всех разделах из 13, ^[122] и количество разделов 31 на номера разделов. ^[123] В частности, это количество способов разбить 7 помеченных элементов на наборы размером не менее 2 и упорядочить эти наборы, ^[124] и, кроме того, число строгих целочисленных разделов равно 37 , ни одна часть не делится ни на одну, ни на все остальные части. ^[125]
Если 743 — наибольшая сумма простых чисел 744, оно представляет собой сумму всех частей всех разделов всех положительных целых чисел, меньших или равных 25, на нечетное число равных частей или, что то же самое, последовательных частей ; ^[126] с двадцатью пятью наименьшей совокупной суммой 744.

[144] Эти простые совокупные числа образуют сумму 44 647 (число простых чисел, 4641-е простое число, индекс, среднее арифметическое делителей которого равно 504 ) ^[11] в то время как составные тотативы вместе образуют сумму 44 632 (на единицу меньше простого числа, 4639-е простое число и 626-е суперпростое число , ^[61] последний - индекс, значение которого является четвертым и наибольшим числом, сумма аликвот которого равна 316 ); ^[14] эти суммы имеют разницу 15 или в противном случае в совокупности имеют диапазон 16 чисел между собой включительно.
С другой стороны, разности и суммы между шестью числами, совпадающими $\pm1 по модулю 6$ , которые не являются суммативными числами 744, сами по себе эквивалентны делителям числа 744, поскольку они являются двупростыми числами пропорционально 31 (например, $713 - 589 = 124$ и $713 - 527 = 186$ ), а также генерирует другие соответствующие равенства, такие как $713 - 217 = 496$ .
Наибольшая разница между наибольшим (713) и наименьшим (155) из этих тотативов составляет 558 , седьмое число такое, что сумма крупнейших простых делителей чисел от 1 до 558 делится на 558, предыдущее и шестое индексированное число равно 62. , ^[128] десятый по величине делитель числа 744, сумма делителей которого равна 96; ^[32] пятое число в этой последовательности — 32 (которое делит 96).
Разница между 558 и 62 также равна 496, что равно $713 - 155 - 62$ ; и что важно, 558 — это дважды 279, что является дополнением к единицам 744 в двоичном и десятичном представлении.

[147] Разница между 2238 и 1492 составляет 746, где 2238 — это дважды 1119. В частности, $746 = 2 \times 373 = 1. 5 + 2 4 + 3 6 = 2! + 4! + 6!$ невнимательный , ^[20] и равен количеству ненормальных ортомагических квадратов с магической константой 6. ^[129]
Его полное значение 372 составляет половину от 744, ^[5] это также на 1 меньше, чем 373 , 74 -е индексированное простое число. ^[9] это наименьшая разница между числами, число которых равно 744 (т. е. $1119-1492$ ). 373 — одиннадцатое двустороннее усекаемое влево и вправо простое число в десятичной системе из пятнадцати таких простых чисел по основанию десять. ^[130] Хотя 373 — это наименьшая разница между числами, общая сумма которых равна 744, его цифровое представление в десятичном виде представляет собой зеркальную перестановку цифр 737 , наибольшей составной суммы 744.
Сумма этих трёх чисел, чьи доли равны 744, равна $1119 + 1492 + 2238 = 4849$ .

[155] 1176 также является одним из двух средних членов двенадцатой строки числа. $\operatorname {(2,3)} -$ Треугольник Паскаля. ^[133] В треугольнике чисел Нараяны число 1176 появляется как сороковой и сорок второй члены восьмой строки. ^[134] в который также входит 336 (всего 1176) ^[5] и 36 ( квадрат 6). Внутри треугольника чисел Лаха вида $\textstyle {L(n,k)=\left\lfloor {n \atop k}\right\rfloor }$ , 1176 — это элемент с $n = 8$ и $k = 6$ . ^[135] Это число Фибоначчи ; пятьдесят первый индексированный член, где в его случае $F_{1176}$ делит $F_{F_{1176}}$ , ^[136] и сорок первая 6 — почти простое число , которое делится ровно на шесть простых чисел с кратностью . ^[137]

[160] 240 — тридцать первая четверть квадрата , где 49 — 14-я. ^[138] По теме: ^[138]
Максимальное произведение двух целых чисел, сумма которых равна 31, равно 240.
240 — это сумма натуральных чисел меньше 31, имеющих четность, противоположную 31.
240 — это количество непустых подмножеств ${1, 2, ..., 31}$ , содержащих ровно одно нечетное и одно четное число.
Существует 240 арифметических прогрессий трех слагаемых, любыми способами извлекаемых из набора первых тридцати одного натурального числа (начиная с 1).
Из исходной позиции в стандартных шахматах 240 — это минимальное количество взятий пешками одного цвета, чтобы разместить 31 из них на одной вертикали (столбце). 240 — это также максимальное количество ребер, которое может иметь граф без треугольников из 31 вершины. ^[138]
Важно отметить, что 240 — это степень полинома шестнадцатицикловой логистической карты $r 16$ , ^[139]^[140]^[141] где 16 — наименьшее число, аликвотная сумма которого равна 31. ^[14]

[31] Максимальное произведение двух целых чисел, сумма которых равна 31, равно 240.

[32] 240 — это сумма натуральных чисел меньше 31, имеющих четность, противоположную 31.

[33] 240 — это количество непустых подмножеств ${1, 2, ..., 31}$ , содержащих ровно одно нечетное и одно четное число.

[34] Существует 240 арифметических прогрессий трех слагаемых, любыми способами извлекаемых из набора первых тридцати одного натурального числа (начиная с 1).

[167] Сумма всех этих семи целых чисел, сумма делителей которых эквивалентна 744, равна 3313 , 466-му простому числу. ^[9] и 31-е сбалансированное простое число , ^[142] как средний член 49-й тройки сексуальных простых чисел $(3307, 3313, 3319)$ ; ^[143] это соответственно 178 -е и 179-е такие простые числа $p$ , где $p - 6$ ^[144] и $р + 6$ ^[145] являются простыми — где 178 — 132-е составное число, ^[28] сам по себе является простым индексом наибольшего числа (743), содержащего сумму делителей 744. ^[9]^[32] 3313 также является 24-м центрированным двенадцатиугольным или звездным числом. ^[146] (и 15-е число является простым). ^[147] Разделенное на два числа, 3313 представляет собой сумму 1656 и 1657, причем последнее является 260 -м простым числом, индексным значением, которое, в свою очередь, является первым из пяти чисел, сумма делителей которого равна 588 . ^[32] что составляет половину от 1176 (аликвотная сумма 744); ^[14] его среднее арифметическое делителей (260), напротив, равно 49 . ^[10]^[11] Кроме того, 260 — это среднее значение делителей 2232 (четвертое по величине из пяти чисел, содержащих это значение), что в три раза равно 744.

[168] 248 — это дважды 124 и половина 496 ; последнее, которое является третьим совершенным числом ^[81] — как 6 и 28 (дважды 14) — это тоже тридцать первое треугольное число , ^[6] с формой $2 р - 1 (2 п - 1)$ и $p = 5$ по теореме Евклида-Эйлера . Сумма 248 равна 120, ^[5] с восемью делителями, дающими среднее арифметическое целое число 60; ^[11] Число 496 имеет общее число 240, как и 744.
Где сумма между 744 и общей $256 = 2 8$ 960 ( половина Цумкеллера от 744) равна $1000 = 10. 3$ , их разница эквивалентна $488 = 240 + 248.$
248 также является суммой простых индексов семи последовательных полных повторяющихся простых чисел в десятичном формате: 109 , 113, 131, 149, 167, 173, 181 , ^[25] соответственно с 29, 30, 32, 35, 39, 40 и 42 простыми индексами; ^[9] где 248 — сто девяносто четвертое составное число, а 194 — 149 -е составное число, ^[28] средний член в этой последовательной последовательности из семи полных повторяющихся простых чисел. 149 само по себе является сильной конкатенацией $14 = 7 + 7$ и $49 = 7 \times 7$ , соединенных посередине цифрой 4 , где 7 — четвертое простое число. В списке последовательных простых и составных индексов 181, начиная с простого индекса 42 , сгенерированная сумма равна $109 = 42 + 28 + 18 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0$ ; с 109 сводный индекс 144 . ^[9]^[28]

[185] 456 — шестое число икосаэдра , ^[148] на единицу меньше, чем 88 -е простое число 457 (который сам по себе является индексом, представляющим 64 -е составное число). ^[9]^[28] Список икосаэдрических чисел включает 124 в качестве четвертого индексированного члена, где это число также является третьим неунитарным числом стеллы-октангула после 51 и 14 . ^[149] и седьмое неприкосновенное число , после 120 и 96; ^[150] это одиннадцатый неединичный делитель числа 744, равный сумме всех простых чисел, которые не являются частью его простой факторизации, меньше 31 (т.е. $5 + 7 + ... + 29$ ). Кроме того, это четвертое идеально разбитое число после 1, 2 и 3. ^[151] Если 1176 и 456 вместе имеют диапазон в семьсот двадцать одно целое число, разница между 721 и 1000 составляет 279 (десятичный эквивалент дополнения единиц 744 в двоичном формате); где также $1455 = 1176 + 279$ содержит среднее арифметическое делителей, равное 294, ^[10]^[11] что составляет одну четверть 1176. Эта сумма также представляет количество групп перестановок степени $6$ , ^[152] и количество разбиений 48 на отдельные части, так что число частей нечетное, ^[153] и число разбиений 48 на отдельные части, так что число частей четное. ^[154] 456 — это также, в частности, число разбиений двадцать девятого составного числа 44 на простые части (где, с другой стороны, 744 — количество разбиений числа 49 на простые части). ^[17]
Далее, относительно двадцати девяти:
сумма первых десяти простых чисел до 29 дает 129 , ^[155] что представляет собой общее число простых чисел, равное 744 (при этом пятая такая сумма десяти последовательных простых чисел равна 264, или дважды 132). 129 также является 97-м индексированным составным числом. ^[28] где 97 — 25-е простое число, ^[9]
двадцать девятое простое число, с другой стороны, равно 109 , ^[9] что представляет собой количество составных итогов 744, превышающих $25 = 5. 2$ , его наименьшая составная сумма;
двадцать девятый рекорд суммы делителей числа $n$ установлен как $σ (744) = 1920$ . ^[66]
Количество простых и составных совокупных чисел 744, без учета 1, равно 239 , что является 52 -м индексированным простым числом. ^[9] Это также сумма пар простых чисел (23, 29) и (89, 97), которые соответственно генерируют последовательные рекордные пробелы между простыми числами 6 и 8 , которые предшествуют рекордному пробелу 14 (сумма двух предыдущих, которые также умножаются на 48 ) между тридцатым и тридцать первым простыми числами (113, 127), ^[75]^[76]^[77]^[78]^[79] сумма которых равна 240 , а сумма Эйлера равна 744. ^[5]
Следует отметить, что 239 - единственное сопутствующее число, для выражения которого требуется максимальное количество квадратов (четыре), максимальное количество кубиков (девять) и максимальное количество четвертых степеней (девятнадцать). ^[156] — единственное другое число, требующее девяти кубов, — это девятое простое число 23 , которое является индексом 744 в списке из тридцати одного целого числа, содержащего значение тотента Эйлера, равное 240; ^[5] 23 и 239 — это также третье и четвертое числа $n$ (после 1, 2 и 5), которые обозначают количество разделов из $3 н$ , здесь $33$ и $34$ соответственно, в степени 3 . ^[157] Если 239 умножить на 628-е простое число (4649), ^[9] он дает седьмую десятичную единицу ( 1111111 ), ^[156] число, среднее арифметическое делителей которого равно $279000 = 279\times 1000$ . ^[10]^[11] 628 — 52-е неприкосновенное число, где 52 — третье, следующее за 2 и 5 . ^[150]
В то время как единственные два положительных числа квадратной октангулы - это $1$ и $9653449 = 3107. 2 = (13 \times 239) 2$ , ^[158] — индексов $1=1 2$ и $169 = 13 2$ в этой последовательности ^[149] — единственные решения $y 2 + 1 = 2 х 4$ в положительных целых числах : $(x, y) = (1, 1)$ и $(13, 239)$ . ^[159] Фракция $239 / (13 2)$ — седьмое приближение сходящейся цепной дроби для $\sqrt2$ , ^[160] где $16 арктан (1 / 5) - 4 арктанса (1/239 является π)$ приближением $радиан$ . для ^[156]
$5 \times 239 = 1195$ , четвертое число, среднее арифметическое которого делителей равно 360 , ^[10]^[11] где, в частности, $52 = 13 \times 4 = 26 \times 2$ , простой индекс двести тридцать девять, является пятым числом Белла , которое подсчитывает количество способов разделить набор из пяти помеченных элементов. ^[161] Триста шестьдесят — наименьшее число с двадцатью четырьмя делителями. ^[12] и пятьдесят второе дружеское число (самое большое известное «маленькое» дружеское число — 372 , или половина 744), ^[162] является шестым из семи ( очень сложных ) чисел, так что ни одно число, меньшее чем в два раза, не имеет больше делителей. ^[163] Оно также делится на все целые числа, меньшие или равные десяти, за исключением семи, которые сами по себе представляют собой сумму целых чисел, которая дает 48 .

[38] сумма первых десяти простых чисел до 29 дает 129 , ^[155] что представляет собой общее число простых чисел, равное 744 (при этом пятая такая сумма десяти последовательных простых чисел равна 264, или дважды 132). 129 также является 97-м индексированным составным числом. ^[28] где 97 — 25-е простое число, ^[9]

[39] двадцать девятое простое число, с другой стороны, равно 109 , ^[9] что представляет собой количество составных итогов 744, превышающих $25 = 5. 2$ , его наименьшая составная сумма;

[40] двадцать девятый рекорд суммы делителей числа $n$ установлен как $σ (744) = 1920$ . ^[66]

[210] В семействе ориентированных мультиграфов , обогащенных видами разбиений множеств , количество таких мультиграфов с четырьмя помеченными направленными ребрами (или дугами) равно 2229. ^[171]^[172] С другой стороны,
2229 равно сумме шестнадцатого числа Люка и его аналога, не являющегося числом Люка, плюс $1$ : (2207, 22). ^[173]^[174]^[175]
2229 — это также количество разделов, равное 31, состоящее не более чем из 3 нечетных частей, ^[176] а количество разделов шестнадцатого составного числа 26 ^[28] которые содержат разное количество нечетных и четных частей. ^[177]
Это также восьмой член $n$ полигексов 0 размера $6 n + 1 = 49,$ имеющих $6-$ кратную вращательную симметрию , предшествующий таким многогексам размеров (1, 1, 2, 4, 11, 37, 136, 540) для $\leq п < 8$ ; ^[178] для числа многоугольников размера 31 ( $n = 6$ ) их тридцать семь, а для числа многоугольников размера 37 ( $n = 5$ ) — 136, что является шестнадцатым треугольным числом . ^[6]
количество эндофункций класса 2229 — это также $[5]$ с различной длиной цикла . ^[179]
При группировке последовательных составных чисел так, что сумма $n$ –th группа кратна $n$ –-е простое число, 2229, эквивалентно двадцать пятой групповой сумме составных чисел, разделенной на двадцать пятое простое число, 97 . ^[180] Эта сумма возникает между 182 составными числами, охватывающими диапазон ( 1106, 1313 ) , без учета двадцати шести простых чисел между ними (начиная с 1109 и заканчивая 1307).
Первый составной член составной группы — 1106 , четырнадцатое 14- угольное число . ^[181]^[182] это также наименьшее $k$ такое, что $| М (к)| = 14$ (она же обратная функция Мертенса ). ^[183] Где 1106 — количество областей, на которые плоскость делится при рисовании двадцати четырех эллипсов , ^[184] количество неэквивалентных матриц Адамара порядка 24 равно 1106; явно вида $2 -(23, 11, 5)$ . ^[185]^[186] Кроме того, первое простое число в последовательности из двадцати пяти последовательных составных чисел, которые делятся на двадцать пятое простое число, — это 1109 , 186 -е простое число (индекс, представляющий тринадцатый по величине делитель числа 744). ^[9] это седьмое число, при котором функция Мертенса достигает нового рекорда амплитуды между нулями (отрицательных 15); ^[187] самое большое простое число в этой последовательности — 214-е простое число, 1307. ^[9] Число 1106 также имеет сумму делителей 1920. ^[32] а среднее арифметическое его делителей равно 240, ^[10]^[11] соответственно сумма делителей и целое 744. ^[5]
В списке последовательных составных индексов — $A (n + 1) = A (n)$ –я составная с $A (1) = 47$ (ср. A059408 ) — 1106 входит в последовательность (47, 66, 91, 122, 160, 207, 264 , 332, 413 , ..., 1106 , ...); последовательность, основанная на пятнадцатом простом числе, 47 . ^[9] Квадрат 196 13 равен 169, а квадрат 14 равен ; последний отстоит на 1 и 3 единицы от 197 и 199 , которые являются наименьшим $k$ таким, что $| М (к)| = n$ для $n$ из 7 и 8 (соответственно), ^[183] где сумма пятнадцатой пары простых чисел-близнецов ^[8] $197 + 199 = 396$ — третье число десятичной дроби. ^[127] равен сумме первых двух (132, 264).

[42] 2229 равно сумме шестнадцатого числа Люка и его аналога, не являющегося числом Люка, плюс $1$ : (2207, 22). ^[173]^[174]^[175]

[43] 2229 — это также количество разделов, равное 31, состоящее не более чем из 3 нечетных частей, ^[176] а количество разделов шестнадцатого составного числа 26 ^[28] которые содержат разное количество нечетных и четных частей. ^[177]

[44] Это также восьмой член $n$ полигексов 0 размера $6 n + 1 = 49,$ имеющих $6-$ кратную вращательную симметрию , предшествующий таким многогексам размеров (1, 1, 2, 4, 11, 37, 136, 540) для $\leq п < 8$ ; ^[178] для числа многоугольников размера 31 ( $n = 6$ ) их тридцать семь, а для числа многоугольников размера 37 ( $n = 5$ ) — 136, что является шестнадцатым треугольным числом . ^[6]

[216] Другой подходящий пример - тридцатое простое число 113, ^[9] где тройное его значение равно 339 , среднее значение делителей которого равно 114 . ^[10]^[11] Три крупнейших из четырех чисел, сумма делителей которых равна 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744). ^[14] имеют средние арифметические значения 114 (это 222, 302, 339 и 407 ), ^[10]^[11] с 339 между соседними членами, которые в сумме дают 127-е простое число и 31-е суперпростое число , 709 . ^[61] В списке чисел, позволяющих достичь рекордных значений амплитуды между нулями в функции Мертенса, первые несколько членов: (1, 31, 114, 199 , 443, 665, 1109, ...); ^[187] четвертый член - 46-е простое число (199), ^[9] индекс, который сам по себе занимает 31-е место в списке композитов, ^[28] причем 443 имеет среднее арифметическое делителей 222 (поскольку оно простое). ^[10]^[11] После 1109 следующий член — 1637, что равно 665 ₁₆ в шестнадцатеричном формате ; 31 — это сумма делителей 16 , первого из двух чисел (второе — 25), ^[32] где 31 также является суммой простых делителей $665 = 5 \times 7 \times 19$ . ^[188] В противном случае разница $709-339 = 370$ представляет собой второе по величине нетривиальное число Армстронга, равное сумме кубов их цифр (только четырех в десятичном формате , кроме 0 и 1), ^[189]^[190] который следует за 153 , где 407 — самое большое; в противном случае 709 и 339 имеют диапазон из 371 целого числа, что является третьим по величине числом Армстронга, равным кубу его цифр.
153-е нетривиальное и унитарное арифметическое число после единицы равно 222, где ( 153, 154 ) образуют шестую пару Рут-Аарон . ^[191] с общей суммой различных простых делителей 20 ^[192] (одиннадцатый составной, где первая пара Руфь-Аарон находится между 5 и 6). Сумма составного индекса 20, наряду с двадцатым составным и простым числами, эквивалентна $11 + 32 + 71 = 114$ . Если трижды 20 равно 60 , половина 114 равна 57 , что представляет собой составной индекс 80 , где 57 — 40 -е составное число. ^[28] Десять — это сумма сумм различных простых делителей (5) первых двух пар Рут-Аарон, где вторая пара — ( 24, 25 ) , за которой следует ( 49, 50 ) . ^[191]

[219] 742 — седьмое икосаэдрическое число , следующее за 456 . ^[148] Сумма всех неунитарных чисел икосаэдра до 742 эквивалентна $12 + 48 + 124 + 255 + 456 + 742 = 1637$ , что является восьмым числом, достигшим рекордной амплитуды между нулями в функции Мертенса (- 16 ). ^[73]^[183] 742 — это также тридцать восьмое центральное многоугольное число , ^[36] и число разбиений 30 на делители 30. ^[193] С другой стороны, 742 — восьмое число Кита после 197 . ^[194] это наименьшее число, достигающее амплитуды 7 для $M (n)$ . ^[183]

[226] В $15\times 15$ тороидальная доска в задаче n – ферзей , 132 — количество неатакующих ферзей, ^[197] с показателем 19 соответствующим ^[198] и кратность 1444 = 38 ² ^[199] (где дважды девятнадцать — тридцать восемь). ^[200]

[246] В других графиках 456 также:
Количество полных однозначных деревьев размера 5 . ^[209] Эти деревья определяются как помеченные двоичные деревья. $T$ , где каждая левая (правая, дочерняя) метка появляется один раз и где левая (соответственно правая) метка $U$ предок $V$ помечен строго больше, чем $V$ . ^[210]^[211]
Количество связных регулярных графов с 18 узлами и обхватом не менее 5. ^[212]
Количество замкнутых обходов вершины полного графа на девяти узлах $K_{9}$ . ^[213]
Число вершин степени $6$ в $3$ - губчатом графе Менгера . ^[214]
Количество различных композиций лестничного графа $L_{4}$ . ^[215] Это также количество (направленных) гамильтоновых путей в $6$ - лестничном графе Мёбиуса , ^[216] и число направленных гамильтоновых путей на $6$ - призменном графе . ^[217]
В противном случае в $T$ последовательность зубочисток в двадцать втором поколении. ^[218]
Где 114 — это среднее значение делителей трех из четырех чисел (302, 339 и 407), чтобы получить сумму делителей 456, 114 также является полиномиальной степенью семицикловой логистической карты $r 7$ . ^[219]^[139]

[49] Количество полных однозначных деревьев размера 5 . ^[209] Эти деревья определяются как помеченные двоичные деревья. $T$ , где каждая левая (правая, дочерняя) метка появляется один раз и где левая (соответственно правая) метка $U$ предок $V$ помечен строго больше, чем $V$ . ^[210]^[211]

[50] Количество связных регулярных графов с 18 узлами и обхватом не менее 5. ^[212]

[51] Количество замкнутых обходов вершины полного графа на девяти узлах $K_{9}$ . ^[213]

[52] Число вершин степени $6$ в $3$ - губчатом графе Менгера . ^[214]

[53] Количество различных композиций лестничного графа $L_{4}$ . ^[215] Это также количество (направленных) гамильтоновых путей в $6$ - лестничном графе Мёбиуса , ^[216] и число направленных гамильтоновых путей на $6$ - призменном графе . ^[217]

[252] 264 — среднее арифметическое шестнадцати делителей, принадлежащих четвертому основному псевдосовершенному числу 1806 (наибольшему из шести чисел, имеющих это значение), ^[220]^[10]^[11] это также произведение первых четырех членов (2, 3, 7, 43) в последовательности чисел Сильвестра, обратные значения которых быстрее всего сходятся к 1 (только первые четыре основных псевдосовершенных числа до 1806 года являются произведениями последовательных членов последовательности Сильвестра ). С другой стороны, аликвотная сумма 1806 равна 2418. ^[14] это седьмое число после 744, где $σ(φ(n))$ равно $n$ ; ^[131] кроме того, сумма делителей 264 равна 720, где сумма делителей 720 равна 2418. ^[32] Третье по величине первичное псевдосовершенное число — 42 . ^[220] второе по величине сфеническое число после 30, ^[221] чьей аликвотной сумме она равна; 42 — это, в частности, уменьшенное общее значение 1806 (с другой стороны, значение 744 равно 30), ^[26] и составной индекс 60 , наименьшего числа с двенадцатью делителями (12 — это также среднее арифметическое делителей 42 и его полное значение). ^[10]^[11]^[5] Пятое простое число Мерсенна после 3, 7, 31 и 127 — это 8191 , которое является 1028 -м простым числом, индексным значением, сумма делителей которого равна 1806, с общим числом $512 = 8. 3$ ^[5] и приведенная сумма $256 = 2 8$ . ^[26]
372 (половина от 744) — количество разбиений числа 42 на простые части, где 124 — количество таких разбиений числа 32 , а 52 (простой индекс 239, количество тотативов 744, которые являются либо простыми, либо составными) ^[5] из 25. ^[17] Кроме того, 372 — это тридцатое неприкосновенное число (за ним следует 406, индекс 744 как пагубного числа), где 248 — шестнадцатое (а 124 — седьмое), а 52 — третье. ^[150]
1806 также является единственным числом Бернулли $B n,$ у которого его знаменатель также равен $n$ , ^[222] где первые четыре знаменателя дробей, отличных от $1/1, у которых числители равны 1 ,$ — это 2, 6, 30, 42, 30 (пять чисел с $5/66 следующее число$ Бернулли, ^[223] где 66 — третье сфеническое число ); в этой последовательности 6 также является первым совершенным числом ^[81] и унитарное совершенное число (например, 60, что вдвое больше 30), ^[224] где 2 представляет первое первичное псевдосовершенное число перед 6 .

[282] 71 — двадцатое простое число, а 31 — одиннадцатое. В свою очередь, 20 — одиннадцатое составное число. ^[28] это также шестая самосвертка чисел Фибоначчи до 38, что является простым индексом 163.
71 также является частью самой большой пары чисел Брауна $(71, 7)$ из трёх таких пар; где в его случае $72 - 1 = 5040$ . ^[248]^[249] Следовательно, и 5040, и 5041 можно представить как суммы непоследовательных факториалов , следующих за 746, 745 и 744; ^[2] где $5040 + 5041 = 10081$ содержит аликвотную сумму 611 , что является составным индексом 744. ^[28]
5040 — девятнадцатое сверхизбыточное число . ^[250] это также самый большой факториал, который представляет собой весьма составное число , ^[251] и наибольшее из двадцати семи чисел $n$ , для которых выполнено неравенство $σ(n) \geq e с выполняется n loglog n$ , где $γ$ — константа Эйлера–Машерони ; Показано, что это неравенство неверно для всех больших чисел тогда и только тогда, когда Римана гипотеза верна (известная как теорема Робина ). ^[242] 5040 генерирует сумму делителей $19344 = 13 \times 31 \times 48$ , которая сама содержит четыре делителя, пропорциональные 744 (и, следовательно, делители также пропорциональны 248); что делает его одним из двух чисел из этих двадцати семи целых чисел $n$ в теореме Робина, которые содержат $σ(n),$ такое что $744 m$ | $σ(n)$ для любого подмножества делителей $m$ числа $n$ ; единственное другое такое число - 240: ^[252]
$19344 \div 26 = 744$
$9672 \div 13 = 744$
$1488 \div 2 = 744$
Где также $19344 \div 78 = 248$ , где 248 и 744 соответственно являются 24-м и 30-м по величине делителями (где между ними находится $403 = 13 \times 31$ , что является средним индексированным составным числом, конгруэнтным $\pm1 по модулю 6$ меньше, чем 744, что не является часть его составной суммы); 2418, 35-е по величине, — это седьмое число $n$ после 744, такое что $σ (φ (n))$ равно $n$ . ^[131] Более того, в этой последовательности целых чисел в теореме Робина между 240 и 5040 лежат четыре числа, причем сумма первых трех из этих $360 + 720 + 840 = 1920$ эквивалентна $σ (744).$ Первое число, которое делится на все положительные ненулевые целые числа меньше 11, — это предпоследнее число в этой последовательности 2520 , где $2520 — 840 — 720 = 960$ представляет собой половину Цумкеллера из набора делителей 744, ^[80] с $σ(720) = 2418$ ^[14] (и при этом $720+24=744=6!+24$ , где 720 — наименьшее число с тридцатью делителями, ^[12] равно $1176 - 456$ , разнице между суммой аликвот 744 и единственным числом, сумма аликвот которого равна 744; где 720 также эквивалентно $σ(264) = 456 + 264$ ). ^[14]^[32] $5040 = 7! = 10 \times 9 \times 8 \times 7$ делится на первые двенадцать ненулевых целых чисел, кроме 11.

[56] $19344 \div 26 = 744$

[57] $9672 \div 13 = 744$

[58] $1488 \div 2 = 744$

[287] 163 также является суммой простых индексов ( 81 , 82 ) , принадлежащих числам, соседним с двадцать вторым промежуточным числом $420 = 101 + 103 + 107 + 109$ , двадцать шестым числом, которое представляет собой сумму четырех последовательных простых чисел. ^[253] это также 45-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса. ^[92] Это шестое такое промежуточное число, в котором простые значения получаются из сумм простых индексов соседних чисел после (138, 72, 12, 6, 4) и перед 432, т. е. изобилия 744. ^[24] 420, с коэффициентом Эйлера 96, ^[5] половина числа 840 , наименьшего числа, имеющего ровно тридцать два делителя, ^[12] и дважды 210 , четвертый первоначальный код $(2 \times 3 \times 5 \times 7)$ , где сумма предыдущих трех первоначальных чисел равна $2 + 6 + 30 = 38$ , ^[254] что эквивалентно простому индексу 163. ^[9] Кроме того, 163 - е составное число равно 210, ^[28] где 210 — это трижды 70 . Семьдесят — пятое пентатопное число , ^[255] которая представляет собой сумму простых факторов (включая кратности) в так называемой наименее взаимосвязанной спорадической группе, группе Янко $J 3$ , по сравнению со всеми другими спорадическими группами (включая группы-изгои) и их соответствующими алгебраическими структурами. . 70 в основном используется при построении решетки Лича в двадцати четырех измерениях, которая включает в себя единственное нетривиальное решение (т. е. 1 ) задачи о пушечном ядре , равное сумме квадратов первых двадцати четырех целых чисел; 70 также равно числу конформных теорий поля в виде алгебр вершинных операторов с центральным зарядом 24 $и$ весом $1$ (и помимо $V 0$ , см. § E8 и решетку Лича ), которые основаны на решетке Лича, из которых два крупнейших существуют в измерении семьсот сорок четыре. 210, кроме того, является первым нетривиальным 71 - угольным числом вида $P (s, n) = (с - 2) п 2 - (s - 4) n / 2$ (для $n-$ го многоугольного числа с $s$ сторонами), предшествующего 418 , суммы целых чисел от 13 до 31 включительно. Важно отметить, что 210 — это наибольшее число $n$ , где количество различных представлений $n$ в виде суммы двух простых чисел не превышает количества простых чисел в интервале $(п / 2, п - 2)$ . ^[256]
420 , что является одиннадцатой самосверткой чисел Фибоначчи, ^[226] предшествующее 744, является общим значением 473 , первого нетривиального числа, содержащего это значение (после 421). Дважды 744 — это 1488 , которое лежит между 50 -й парой простых чисел-близнецов ( 1487, 1489 ), ^[8] чьи последовательные простые индексы (236, 237) в сумме дают 473. 1488 — это 235 -е среднее число последовательных нечетных простых чисел, ^[59] где 235 — шестая самосвертка чисел Фибоначчи, предшествующая 420, ^[226] причем 298 — 235-й составной, где 372 (половина 744) — 298-й (235 — также 183 -й составной). ^[28] С другой стороны, пятидесятое составное число — 70 . ^[28]

[298] Стоит отметить, что 126 — это сумма простых индексов первого класса трехзначных перестановочных простых чисел в десятичной системе счисления $(113, 131, 311)$ , ^[264] соответственно тридцатое, тридцать второе и шестьдесят четвертое простые числа. ^[9] (где 64 — это дважды 32 , а 45-я составная, а сама 45 — 30-я составная); ^[28] и эта сумма простых чисел эквивалентна 555 . Более того, 126 — это седьмой последовательный составной индекс, начинающийся с 13 (т.е. 13, 22 , 34, 50, 70, 95, 126 ). ^[265]
126 равно сумме составного индекса 22 ( 13 ) и двадцать второго составного и простого чисел $(34, 79)$ , сумма которых, полученная между двумя последними, равна 113 . 13 и 79 также являются первыми членами соответствующих парных перестановочных простых чисел по основанию десять $(13, 31)$ и $(79, 97)$ , соответственно наименьших и наибольших двузначных пар, где 11 — единственное двузначное перестановочное простое число без отдельная двойственная пара с разными перестановочными цифрами. ^[7]
Где 555 генерируется из первого класса трехзначных перестановочных простых чисел в десятичном формате, а простые и составные индексы, связанные с 22 , 131 и 126, в сумме дают 257 , что является 55 -м индексированным простым числом. ^[9] и десятое простое число, не являющееся простым числом кластера ^[89] (и где 131 ₁₀ имеет цифр сумму 5 ).
Кроме того, $126 + 125 = 351$ , значение, эквивалентное двадцать шестому треугольному числу, ^[6] с куб 5 125 .

[310] Что касается 992 , то цифры 336 (общая сумма 1176, ^[5] которое является суммой делителей 744), 496 (31-е треугольное число и третье совершенное число), ^[6]^[81] и 525 — сумма всех простых чисел, разделяющих порядки двадцати шести (или двадцати семи) спорадических групп, ^[272] равна сумме размерностей всех пяти исключительных алгебр Ли ^[273] — первые три из четырех составных чисел, сумма делителей которых равна 992. ^[32] Кроме того, пятое такое число — 775, чей составной индекс — 637 , равный сумме всех простых множителей ( включая кратности ) в порядке наибольшей спорадической группы, $\mathbb {F}$ $\times 23 \times 29 \times 31 \times 41 \times 47 \times 59 \times 71$ . ^[235]^{: стр. 244–246.} В функции Чоулы (которая подсчитывает сумму делителей $n,$ за исключением 1 и $n)$ , 525 содержит значение 466. ^[274] это простой индекс 3313 , ^[9] равен сумме всех семи чисел (240, 350, 366, 368, 575, 671 и 743), чтобы получить сумму делителей 744; ^[32] с 240 также всего 525 (13-е из 31 числа, содержащее это значение). ^[5]

[349] Если наименьшее неунитарное пятиугольное пирамидальное число равно 6 , то одиннадцатое — 726 = 6! +6, а двадцать четвёртый — 7200 , ^[308] это число с общим значением Эйлера 1920, ^[5] и уменьшенное значение 120. ^[26]

[352] Так что его можно выразить, используя только цифры (которые используются только один раз и слева направо) вместе с операторами $+, -, \times, \div, a б, \sqrt, !$ (с возможностью конкатенации).
Это по подобию $144 = (1 + 4)! + 4!$ , это эйлеровский коэффициент 456. ^[5] Если сумма 744 равна 240, то сумма 456 равна 144. ^[5] 187 — составной индекс 240, где 187 — 144-е составное число. ^[28] В свою очередь, сумма делителей 187 равна $216 = 6. 3$ , ^[32] что является 168 -м составным числом.
Кроме того, сокращенное число 456 равно 36 . ^[26]

[361] Магический квадрат:
${\begin{bmatrix}139&113&151&131&83&127\\223&149&89&47&157&79\\173&103&181&167&59&61\\67&137&53&97&211&179\\101&199&73&109&71&191\\41&43&197&193&163&107\end{bmatrix}}$
Это вторая по величине магическая константа для $магического квадрата 6 \times 6$ , состоящего из тридцати шести последовательных простых чисел, где сумма между наименьшим и наибольшим простыми числами в этом квадрате равна $41 + 223 = 264$ . Наименьшая такая константа — $484 = 22. 2$ ^[312] чья аликвотная сумма 447 представляет собой обратную перестановку цифр 744 в десятичной системе счисления; ^[14] в частности, 22 и 264 — это соответственно двенадцатое и четырнадцатое числа $n,$ квадраты которых являются волнистыми в десятичной системе счисления, а тринадцатое и предпоследнее такое известное число — 26 . ^[313]^[314]^[315]^{: стр.159, 160} Наименьшая возможная магическая константа $магического квадрата n \times n$ , состоящего только из различных простых чисел, равна 120, из $n$ = $4$ , ^[316]^[317] значение, равное среднему арифметическому всех шестнадцати делителей числа 744; ^[10]^[11] в противном случае, для $n = 6$ , наименьшая магическая константа для квадрата шесть на шесть с различными простыми числами равна 432 , ^[316] также численность 744. ^[24]
11 $\times 11 имеет$ Обычный магический квадрат магическую константу 671 . ^[318] это шестое и самое большое составное число, сумма делителей которого равна 744. ^[32]

[364] В противном случае $992 = 248 + 744$ наименьшее возможное число диагоналей простого выпуклого — многогранника с тридцатью шестью гранями ; для шестнадцати и двадцати граней соответственно минимум 132 и 240 диагоналей ^[320] (значения, которые представляют собой простой индекс наибольшего простого числа 744 и количество всех его итоговых чисел), ^[5] где $132 + 240 = 372$ или половина 744 (наряду с соответствующими индексами, которые генерируют сумму 36).

[369] С другой стороны, 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) ^[14] — это максимальное количество единичных квадратов, соединенных только по углам, которые можно вписать внутрь $40\times 40$ квадрат (площадью $1600$ $м²) 2$ ). ^[322]
Прибавление 1 к значению этой площади, $1601 = 1600 + 1$ , является наибольшим из сорока счастливых чисел Эйлера , что также является разницей между $1804-203$ , значениями, которые представляют первую и третью по длине стороны примитивных героновских тетраэдров с четырьмя грани равных треугольников , причем второе такое число равно $144 + 744 = 888$ . ^[323]^[324]

[273] Самая маленькая спорадическая группа - это группа Матье $M 11$ с неприводимым комплексным представлением в десяти измерениях, ^[237] это одна из пяти спорадических групп первого поколения . ^[238] Его групповой порядок равен $7920 = 8 \times 9 \times 10 \times 11$ (на единицу меньше 10 ³ индексированное простое число), ^[235]^{: стр. 244–246.}^[9] с коэффициентом Эйлера $1920 = σ(744)$ . ^[5] $M 11$ также содержит самое низкое пятимерное точное представление над полем с тремя элементами, самое низкое из любой такой группы. ^[237] С другой стороны, $M 12$ является второй по величине группой Матье и спорадической группой по порядку. ^[235]^{: стр. 244–246.} и, более конкретно, тридцать первая по величине нециклическая группа (где $М 11$ является пятнадцатой по величине), ^[239]^[240] при групповом заказе $26 \times 3 3 \times 5 \times 11 = 95040,$ чей коэффициент Эйлера (23040) ^[5] делится на 1920 двенадцать раз (поскольку его 50-й по величине делитель больше 1). Девятнадцатая и двадцатая по величине нециклические группы — это $A 3 (2) ≃ A 8$ и $A 2 (4)$ порядков $20160 = 2 . 6 \times 3 2 \times 5 \times 7$ , последний с большей внешней группой автоморфизмов $D 12$ ; 20160 — двадцать третье весьма составное число , ^[241] которое делится на оба 960 (половина Цумкеллера 744), ^[80] и 5040 (самое большое из двадцати семи чисел в теореме Робина, подтверждающее неравенство $σ(n) \geq e с n loglog n$ , см. последние пункты, обсуждающие эту последовательность). ^[242] Это на единицу меньше самого большого числа (20161, 1456 -е индексированное число), которое нельзя представить в виде суммы двух множественных чисел . ^[243] В противном случае группа Титса $T$ , единственная конечная простая группа, которую можно классифицировать как группу лиева типа или спорадическую, подходит как пятая по величине спорадическая группа, порядок группы которой равен $2. 11 \times 3 3 \times 5 2 \times 13 = 17971200$ имеет общую сумму 4423680, делящуюся на сумму делителей семьсот сорок четыре 2304 раза (где его 62-й по величине делитель равен 1728, за которым следует 1920).
Из всех (здесь двадцати семи) спорадических групп только седьмая по величине группа Янко $J 3$ имеет порядок, $| Дж 3 | = 2 7 \times 3 5 \times 5 \times 17 \times 19 = 50232960$ , ^[235]^{: стр. 244–246.} общее значение которого не делится на 1920: $11943936 \div 1920 = 6022,8$ ; где, в частности, его групповой порядок имеет сумму простых делителей (включая кратности), равную 70 .
Если $M 11$ и $M 12$ являются соответственно пятнадцатой и тридцать первой по величине индексированной нециклической группой по порядку группы, то эти индексы в сумме составляют $15 + 31 = 46$ , где третья по величине группа Матье и четвертая по величине спорадическая $M 22$ группа сорок шестая такая крупнейшая нециклическая группа. ^[239]^[240] 46 — самое большое четное число, которое нельзя представить в виде суммы двух множественных чисел. ^[243] что также равно общему числу максимальных подгрупп Дружелюбного Гиганта. $\mathbb {F} _{1}$ , ^[244] который в совокупности содержит 20 из 26 спорадических групп в качестве подфакторов (строго). ^[235]^{: стр. 244–246.}
46 — тридцать первый составной, ^[28] чья аликвотная сумма равна 26 , единственное число, содержащее это значение. ^[14]

[294] Последовательность запутанных чисел Фибоначчи начинается с {0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71 , 130, 235, 420, 744 , 1308, 2285, 3970, 6865, 11822...} . ^[226] Сумма первых семи членов (с нулевого по шестое) равна 38, что эквивалентно $члену a(n) = 7$ в этой последовательности. Взяв сумму трёх слагаемых, лежащих между 71 ^[xxix] и 744 (т.е. 130, 235, 420) дает $785 = 28. 2 + 1$ , чья аликвотная сумма равна 163 , ^[14]^[ххх] тридцать восьмое простое число. ^[9] 785 — 60-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса , которая также включает 163, 13-е такое число. ^[92] 785 — это также число несократимых посаженных деревьев (с корневой вершиной, имеющей степень один) с шестью листьями двух цветов . ^[257]
1106 , первый член суммы последовательных составных чисел (в эквиваленте $2229 = 743 \times 3$ ), которые делятся на двадцать пятое простое число 97, ^[258] — наименьшее число, возвращающее значение 14 в обратной функции Мертенса , ^[183] где 1106 лежит между 81 -й парой сексуальных простых чисел $(1103, 1109)$ . ^[259] 14 — пол (и ближайшее целое число ) ^[260] мнимой части первого нетривиального нуля в дзета-функции Римана $ζ$ , а четырнадцатое индексированное значение пола равно 60 ^[261]^[262] — шестьдесят — это наименьшее число, имеющее ровно двенадцать делителей, и есть только два числа, сумма делителей которых равна 60: 24 и 38 , ^[32] сумма которого равна 62 (что является десятым по величине делителем числа 744); кроме того, три из девяти чисел с суммами 60 также являются делителями 744 (93, 124 и 186, что в сумме дает 403 ). ^[5] С другой стороны, разность $38 - 24 = 14$ , где значение шестидесятого этажа в мнимой части своего нетривиального нуля в $ζ$ является наибольшим числом Хегнера 163 .

[299] 163 — тридцать восьмое индексированное простое число, а 67 — девятнадцатое (с двупростым $числом 38 = 2 \times 19)$ для значений $d$ . В приближении почти целого числа, содержащего четырнадцатое простое число в качестве седьмого числа Хигнера 43 для $d$ , 960 — это наименьшее число, имеющее ровно двадцать восемь делителей, ^[12] эквивалентно сумме любого из двух наборов делителей числа 744, которые в совокупности дают $1920$ , как упомянуто в § Тотиентс . Аналогично, в приближении почти целого числа, содержащего восьмое число Хигнера 67 для $d$ , 5280 равно сумме между 240 и 5040 , которые являются единственными двумя числами в наборе из двадцати семи целых чисел в теореме Робина для гипотезы Римана. которые имеют набор делителей, суммы которых делятся на 744; ^[252] 5280 также лежит между 131-й парой простых чисел-близнецов $(5281, 5279)$ , ^[8] соответственно 701-е и 700-е простые числа, где 5281 — 126-е суперпростое число . ^[61]^[xxxi]

[305] В списке из тринадцати целых чисел $n \leq 1000$ , которые дают почти целые числа — с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ для значений $x \equiv e π \sqrt n$ — наименьшее $n$ из них равно 25, что также является наименьшим составным числом 744. Менее 10 ³, наибольшее такое $n$ равно $719 = 6! - 1$ , где 719 представляет 128-е индексированное простое число; ^[9] сумма, порожденная этими двумя $n,$ эквивалентна $719 + 25 = 744.$
Среднее индексированное значение между этими двумя границами равно 148 , двенадцатому положительному целому числу $d$ без квадратов над отрицательным мнимым квадратичным полем класса номер 2, за которым следуют 163 и 232 , последнее из которых является четырнадцатым положительным целым числом без квадратов $d.$ над мнимым квадратичным полем $\sqrt- d$ класса номер 2 (только эти два числа 148 и 232 для $d$ в этом поле класса номер 2 дают почти целые числа с $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ , где 163 — наибольшее значение по тому же полю с номером класса 1). ^[267] В этом же списке три различных несуперсингулярных простых числа (37, 43, 67), которые делят только порядки групп парий , также равны $n$ (меньше 148), что дает почти целые числа вида $e π \sqrt n$ . В почти целочисленном представлении для $e π \sqrt 148$ указано, $8 \times 10 3 знак равно j (\sqrt(2 я)) = 20 3$ , класс $1$ j −инвариант порядка $d = -8$ , ^[268] это также корень в $Ψ 2 (X, X) = -(X - 8000) \times (X + 3375) 2 \times (X - 1728)$ — полином для суперсингулярных 2-изогенных графов с петлями (он также является корнем в $Ψ 3$ ). ^[269]^[270] Остальные два $n$ (58, 74) в списке этих почти целых чисел с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ из $n$ меньше 148 генерируют сумму $58 + 74 = 132,$ равную простому индексу 743, ^[9] наибольшее простое число в сумме 744 (и, где $2 \times 37 = 74 = 148 \div 2$ ).

[316] Для почти целых чисел с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ , наименьшее такое число — $e π \sqrt 6$ с $n$ = 6, примерно равным 2197,99087. ^[271] В то время как 2198 содержит восемь делителей, которые дают среднее арифметическое 474. ^[10]^[11] (и где 474 содержит сумму делителей, равную 960, ^[32] также половина Цумкеллера из набора делителей числа 744), ^[80] 2199 — шестнадцатое совершенное число . ^[34] с аликвотной суммой 737 ^[14] эквивалент с наибольшей совокупной суммой 744. Кроме того, $2197 = 13 3$ .
Всего существует двадцать шесть почти целых чисел с $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ где $х \equiv е π \sqrt n$ и $n \leq 10 3$ , где наибольшее $n$ имеет значение 986 . ^[271] Сумма между верхней и нижней границами $n$ меньше тысячи при такой почти целой степени близости равна $6 + 986 = 992 = 744 + 248$ . ^[xxxii]
В противном случае разница между самыми большими $класса 1$ и $2$ целыми числами без квадратов $равна 427 - 163 = 264$ . Что касается целых чисел без квадратов с номером класса $h = 3$ , то их всего шестнадцать (или двадцать пять, если включать немаксимальные порядки), ^[275] самое большое со значением 907 , которое является 155 -м индексированным простым числом, ^[9] равно сумме $163 + 744$ , что также является большим из последовательных простых чисел (887, 907), которые создают седьмой по величине рекордный разрыв между простыми числами ( 20 ). ^[75]^[76]^[77]^[78]^[79] Предыдущий наибольший разрыв между простыми числами составляет 18 , заданный (523, 541 ) (после тридцатого и тридцать первого простых чисел 113 и 127 с интервалом 14), 99 -го и 100-го простых чисел, ^[9] у первого также индекс композиции 132 , ^[28] и последний десятый звездный номер ^[146] и 53-е число, чтобы вернуть $0$ для функции Мертенса (где 427 — 50 -е, а 163 — 13-е). ^[92] класса Из целых чисел без квадратов третьего только 59 дает почти целое число вида $x \equiv e π \sqrt n$ с $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ (для целых чисел класса $h = 4$ наибольшее такое число — 1555 которого , квадрат делит $61554$ ^[276] — а девятый такой наибольший дискриминант равен 155). ^[277] В полном списке крупнейших натуральных чисел без квадратов с номерами классов $h \leq 100$ , ^[278]^[279] десять из этих максимальных значений сохраняются в больших целых числах, если немаксимальные включены порядки в соответствующих классах, причем девять из них являются уникальными двупростыми числами, делящимися на 163 (единственным исключением является наибольшее значение для целых чисел без квадратов класса номер 16) ; самый большой из них в этой оценке равен $821683 = 71. 2 \times 163$ номера класса $h = 70$ . ^[263]^: 18−20

[323] Полигон Петри $600$ –клетка и $120$ –ячейка, основанная на икосаэдрической симметрии, представляет собой тридцатигранный триаконтагон , а $24$ –cell имеет додекагон в качестве подобного многоугольника, центральный угол которого составляет тридцать градусов (и внутренний угол $150$ градусов). Двадцать четвёртое простое число — 89 , ^[9] что является индексом 120 в списке композитов. ^[28] В $600$ –клетка соответствует ровно семидесяти пяти $24$ – ячеек и семьдесят пять тессерактов , где также помещается двадцать пять $24$ –клетки. Где двадцать пять $24$ –ячейки также помещаются внутри сот из 24 ячеек как единое целое (с двадцатью четырьмя ячейками). $24$ –клетки, окружающие одну $24$ –клетки), симметрия которых основана на $\mathrm {F_{4}}$ , другое расположение двадцати пяти $24$ –клетки помещаются в $600$ –ячейка с $\mathrm {H_{4}}$ симметрия. $\mathbb {E_{8}}$ , в восьмимерном пространстве, имеет Кокстера число $30$ и симметрия, восходящая к $600$ –ячейка через икосианцы .

[335] $\mathbb {E}$ ₈Решетка двести сорок корневых векторов , которые представлены расположением вершин многогранника $421$ содержит , многоугольник Петри которого представляет собой тридцатисторонний триаконтагон . ^[293]^[294] где 30 — число Кокстера $h$ группы Кокстера $E 8$ . Кроме того, числа Кокстера простых рефлексов в $E 6$ и $E 7$ имеют порядки 12 и 18, что вместе эквивалентно числу Кокстера $E 8$ ; ^[285]^: 234 где $Е 6$ и $Е 7$ встраиваются внутрь $Е 8$ . Четырехмерная $симметрия H 4$ гексадекахорная также содержит число Кокстера 30 , где $H 4$ является многомерным аналогом икосаэдрической симметрии $I h$ .
Этот $\mathbb {E}$ _8- решетчатая структура с 240 корневыми векторами может быть построена с помощью 120 кватернионных единичных икосианов , которые образуют вершины четырехмерной 600-ячейки , симметрии которой основаны на трехмерной икосаэдрической симметрии $I h$ порядка 120, ^[295] значение, равное общему числу отражений группы Кокстера $E 8$ . ^[285]^{: 226–232} Всего правильный икосаэдр и додекаэдр содержат тридцать одну ось симметрии; шесть пятикратных, десять трехкратных и пятнадцать двукратных. ^[296]
Если среднее арифметическое делителей числа 744 равно 120, ^[10]^[11] наибольшим простым коэффициентом 31 и приведенным коэффициентом $λ (n)$ 30 с , ^[26] количество относительно простых целых чисел до 744 равно 240, ^[5] с суммой делителей $σ(240) = 744$ . ^[287]^{: стр.21}

[343] $В Е ‍ 3 8$ изоморфно тензорному произведению $V E 8 \otimes V E 8 \otimes V E 8$ ; также аффинная структура $D 16$ отличается от $D ‍ + 16$ , что соответствует четной положительно определенной унимодулярной решетке $\mathbb {D}$ . ^[300]^[301]
$И ‍ 3 8,1$ и $D 16,1 E 8,1$ связаны с кодами $e ‍ 3 8$ и $d 16 e 8$ , которые являются двумя из девяти неэквивалентных двоякочетных самодуальных кодов длины 24 и веса 4. ^[302]^[303] Самый большой из этих VOA $V D 24$ реализован в $dim 1128$ , где последовательное уменьшение вдвое его размерного пространства приводит к 70 + 1 / 2 –мерное пространство.

[pqr3-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A189975 (Числа с простой факторизацией pqr^3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[N-CF-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060112 (Суммы непоследовательных факториалов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[3] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034963 (Сумма четырех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[4] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083539 (a(n) равна сигма(n) * сигма(n+1) как произведение сигма-значений для последовательных целых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[Etot-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах ^есть ^также Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000010 (функция Эйлера phi(n): считать числа, меньшие или равные n, и простые числа n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[TriangNum-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000217 (Треугольное число: a(n) — это бином (n+1,2), эквивалентный n*(n+1)/2, то есть 0 + 1 + 2 + ... + n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[PermP-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003459 (Абсолютные простые числа (или перестановочные простые числа): каждая перестановка цифр является простым числом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.

[TwinPs-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001359 (Меньшее из простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.

[PNum-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах ^есть ^также ^и ^аль ^{являюсь} ^а ^к ^ап ^ак ^с ^как ^в ^В ^из ^хорошо Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.

[ArithNum0-10] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003601 (Числа n такие, что среднее значение делителей n является целым числом: sigma_0(n) делит sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[ArithNum-11] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A102187 (Средние арифметические делителей арифметических чисел (арифметические числа, A003601, — это те, для которых среднее значение делителей является целым числом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[LeastD-12] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005179 (Наименьшее число ровно с n делителями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 ноября 2023 г.

[13] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000005 (d(n) (также называемая tau(n) или sigma_0(n)), количество делителей n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.

[AliSum-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001065 (Сумма собственных делителей (или аликвотных частей) n: сумма делителей n, меньших n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[3x+1-15] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Проблема 3x+1» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 сентября 2023 г.

[ColOrb-16] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006577 (Количество шагов деления пополам и утраивания для достижения 1 в задаче «3x+1» или -1, если 1 никогда не достигается.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 сентября 2023 г.

[PartNPP-18] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000607 (Количество разбиений n на простые части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[19] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A347586 (Количество разделов n не более чем на 4 отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[RadN-20] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007947 (Наибольшее бесквадратное число, делящее n: бесквадратное ядро n, рад (n), радикал n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 декабря 2023 г.

[nontot-21] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005277 (Неточности: четные числа k такие, что phi(m), равное k, не имеет решения.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[22] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005278 (Некотоенты: числа k такие, что x - phi(x), равное k, не имеют решения.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[23] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001207 (Количество фиксированных шестиугольных полимино с n ячейками.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[25] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005101 (Многочисленные числа (сумма делителей m превышает 2m).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.

[AbunoN-26] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033880 (Обилие n или (сумма делителей n) — 2n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 декабря 2023 г.

[FullRepP-27] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001913 (Полное повторение простых чисел: простые числа с примитивным корнем 10.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[redTot-28] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002322 (сокращенная функция psi(n): наименьшее k такое, что x^k конгруэнтно 1 (по модулю n) для всех x, простых для n; также известная как лямбда-функция Кармайкла (показатель степени единичной группы по модулю n); также называется универсальным показателем n.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[InterP-29] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014574 (Среднее число пар простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[CompNum-30] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 сентября 2023 г.

[31] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A217843 (Числа, представляющие собой сумму одного или нескольких последовательных неотрицательных кубов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[32] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001694 (Мощные числа, определение (1): если простое число p делит n, то p^2 должно также делить n (также называемые квадратными, полным квадратом, квадратными или 2-степенными числами)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[33] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A052486 (ахиллесовы числа — мощные, но несовершенные: если n равно Product(p_i^e_i), то все e_i меньше 1 (т. е. мощные), но наивысший общий делитель e_i равен 1, т. е. не является идеальной степенью .)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 декабря 2023 г.

[SigmaSoD-34] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (a(n) равна сигме(n), сумме делителей n. Также называется sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.

[36] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005835 (Псевдосовершенные (или полусовершенные) числа n: некоторое подмножество правильных делителей n в сумме дает n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.

[PerfTot-37] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A082897 (Совершенные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 октября 2023 г.

[38] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006531 (Полупорядки из n элементов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.

[CentPolN-39] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002061 (Центральные многоугольные числа: a(n) равно n^2 – n + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.

[40] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A139250 (Последовательность Зубочистки (определение см. в строках комментариев).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.

[41] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003136 (Лешовы числа: числа вида x^2 + xy + y^2; нормы векторов в решетке A2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 января 2023 г.

[42] Митчелл, Дэвид (25 февраля 2017 г.). «Тесселяция номера такси Рамануджана-Харди, 1729, основа целочисленной последовательности A198775» . Решетчатые лабиринты . Проверено 19 июля 2018 г.

[43] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198775 (Числа, имеющие ровно четыре представления в квадратичной форме x^2+xy+y^2 с 0, меньшим или равным x, меньшим или равным y.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.

[44] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198773 (Числа, имеющие ровно два представления квадратичной формы x^2+xy+y^2 с 0, меньшим или равным x, меньшим или равным y.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.

[45] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118886 (Числа, выражаемые как x^2 + x*y + y^2, 0 меньше или равно x, меньше или равно y 2 или более способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г. ,

[46] Маршалл, Джон У. (1975). «Числа Леша как проблема теории чисел» (PDF) . Географический анализ . 7 (4): 421–426. Бибкод : 1975ГеоАн...7..421М . doi : 10.1111/j.1538-4632.1975.tb01054.x – через OEIS .

[47] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001107 (10-угольные (или десятиугольные) числа: a(n) равно n*(4*n-3).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.

[DoSCP-48] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090785 (Числа, которые можно выразить как разность квадратов последовательных простых чисел только одним способом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.

[Repd-49] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010785 (Числа повторов или числа, все цифры которых равны.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.

[50] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000048 (Количество n-бусин с бусинами 2-х цветов и примитивным периодом n, при переворачивании не допускается, но два цвета можно поменять местами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.

[51] Диаконис, Персия ; Грэм, Рон (2011). «Глава 5: От принципа Гилбрета к множеству Мандельброта» (PDF) . Магическая математика: математические идеи, которые вдохновляют великие магические трюки . Издательство Принстонского университета . стр. 61–83. дои : 10.1515/9781400839384-007 . ISBN 978-1-4008-3938-4 . МР 2858033 . .

[DoSP-52] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090788 (Числа, которые можно выразить как разность квадратов простых чисел двумя разными способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.

[PractNum-54] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005153 (Практические числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.

[55] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A345547 (Числа, представляющие собой сумму девяти кубов восемью или более способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[56] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A075308 (Количество n-значных совершенных степеней.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[PalindB7-57] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A029954 (палиндром по основанию 7.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[58] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A052294 (Пагубные числа: числа с простым числом 1 в их двоичном представлении.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 августа 2023 г.

[59] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078392 (Сумма НОД частей во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[60] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A064986 (Количество разбиений n на факториальные части (0! не допускается).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[61] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A316433 (Количество целочисленных разделов n, длина которых равна LCM всех частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[62] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000166 (Субфакториал или повторяющиеся числа, или нарушения: количество перестановок n элементов без фиксированных точек.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[AvgCP-63] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A024675 (Среднее двух последовательных нечетных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[64] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002804 ((Предполагаемое) решение проблемы Уоринга: g(n) равно 2^n +floor((3/2)^n) - 2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[SupP-65] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006450 (Простые числа с простыми индексами: простые числа с простыми индексами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.

[WSymes-67] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубики (PDF) . Чикаго, Иллинойс: Издательская компания Open Court . стр. 176, 177. ISBN. 9780486206585 . МР 0114763 . ОСЛК 1136401 . Збл 1003.05500 .

[68] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A021023 (десятичное расширение 1/19.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[FPRMS10-69] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072359 (простые числа p такие, что p-1 цифр десятичного разложения k/p (для k, равного 1,2,3,...,p-1) помещаются в k-ю строку магического квадратная сетка порядка p-1)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[71] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A015723 (Количество частей во всех разделах n на отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 декабря 2023 г.

[RecSigm-73] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034885 (Запись значений сигмы (n)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[74] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006002 (a(n) равна n*(n+1)^2/2 (Сумма нетреугольных чисел между последовательными треугольными числами. 1, (2), 3, (4, 5), 6, (7 , 8, 9), 10, (11, 12, 13, 14), 15, ...))" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[76] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A081377 (Числа n такие, что набор простых делителей числа phi(n) равен набору простых делителей числа сигма(n)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[77] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002822 (Числа m такие, что 6m-1, 6m+1 являются простыми числами-близнецами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.

[78] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A161680 (a(n) — это бином (n,2): количество подмножеств размера 2 из {0,1,...,n}, которые не содержат последовательных целых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.

[79] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000931 (последовательность Падована (или числа Падована)...)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.

[80] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007304 (Сфенические числа: произведения трех различных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 08 января 2024 г.

[RecAmpMF-81] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A304241 (Индексы, в которых функция Мертенса A002321 достигает рекордных амплитуд между нулями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 08 января 2024 г.

[82] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса: Sum_{k равна 1..n} mu(k), где mu — функция Мебиуса.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 08 января 2024 г.

[RecPG-83] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005250 (Запишите промежутки между простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[IoPG-84] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005669 (Индексы простых чисел, в которых возникает наибольший разрыв.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[PG-85] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001223 (Пробелы в простых числах: различия между последовательными простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[IoLPGP-86] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002386 (Простые числа (нижний конец) с рекордными пробелами до следующего последовательного простого числа: простые числа p(k), где p(k+1) – p(k) превышает p(j+1) – p(j) для всех j <к.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[IoGPGP-87] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000101 (Запишите промежутки между простыми числами (верхний конец) (сравните A002386, который дает нижние концы этих промежутков).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[Zumk-89] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083207 (Цумкеллера или целочисленные совершенные числа: числа n, делители которых можно разделить на два непересекающихся множества с одинаковой суммой.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[PerfN-90] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[91] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000372 (Числа Дедекинда или проблема Дедекинда: количество монотонных булевых функций от n переменных, количество антицепей подмножеств n-множества, количество элементов в свободной дистрибутивной решетке на n образующих, количество семейств Спернера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[92] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006880 (Количество простых чисел меньше 10^n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[93] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001013 (числа Жордана-Пойя: произведения факториальных чисел A000142.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 ноября 2023 г.

[94] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127333 (Числа, являющиеся суммой 6 последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[95] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000009 (Расширение Product_{m больше или равно 1} (1 + x^m); количество разделов n на отдельные части; количество разделов n на нечетные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[96] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A228486 (Ближайшие к первоначальным простым числам: простые числа p такие, что p+1 или p-1 является простым числом (A002110).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[98] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038509 (Составные числа, соответствующие +-1 по модулю 6.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[ClustP-99] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038133 (Из субтрактивной гипотезы Гольдбаха: нечетные простые числа, не являющиеся кластерными простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.

[100] Блексмит, Ричард; Эрдеш, Пол ; Селфридж, Дж.Л. (1999). «Кластерные простые числа». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 43. дои : 10.2307/2589585 . JSTOR 2589585 . Збл 0985.11041 .

[101] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002476 (Простые числа вида 6m + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.

[Mert0-102] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028442 (Числа k такие, что функция Мертенса M(k) (A002321) равна нулю.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[104] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034961 (Сумма трех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[105] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005894 (Центрированные тетраэдрические числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[106] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A056107 (Третья спица шестиугольной спирали.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[107] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A257750 (числа Квази-Кармайкла.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[108] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A092269 (функция Spt: общее количество наименьших частей (с учетом кратности) во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[109] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A045931 (Количество разделов n с равным количеством четных и нечетных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[110] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000096 (a(n) равна n*(n+3)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[LongPP-112] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006883 (простые числа с длинным периодом: десятичное разложение 1/p имеет период p-1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[113] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001567 (псевдопростые числа Ферма по основанию 2, также называемые числами Сарруса или числами Пуле.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[114] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005898 (Центрированные номера куба: n^3 + (n+1)^3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[115] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A047966 (a(n) равна Sum_{d делит n } q(d), где q(d) равно A000009, равному количеству разбиений d на отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[116] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000695 (последовательность Мозера-де Брейна: суммы различных степеней 4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[117] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A053699 (a(n) равна n^4 + n^3 + n^2 + n + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[118] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000567 (Восьмиугольные числа: n*(3*n-2). Также называются звездчатыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[119] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007569 (Количество узлов в правильном n-угольнике со всеми нарисованными диагоналями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[120] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001045 (последовательность Якобсталя (или числа Якобсталя)...)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[121] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046746 (Сумма наименьших частей всех разделов n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[123] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003215 (Шестнадцатеричные (или центрированные шестиугольные) числа: 3*n*(n+1)+1 (последовательность хрустального шара для гексагональной решетки)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[124] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051624 (12-угольных (или двенадцатиугольных) чисел: a(n) равна n*(5*n-4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[125] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A195316 (Центрированные 36-угольные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[126] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005936 (псевдопростые числа по основанию 5.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[127] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016105 (Целые числа Блюма: числа вида p * q, где p и q — различные простые числа, конгруэнтные 3 (по модулю 4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[128] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A055233 (Составные числа, равные сумме простых чисел от наименьшего простого множителя до наибольшего простого множителя.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[129] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000019 (Количество примитивных групп перестановок степени n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[130] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002817 (Дважды треугольные числа: a(n) равно n*(n+1)*(n^2+n+2)/8.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[132] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A202018 (a(n) равна n^2 + n + 41.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[133] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005846 (Простые числа вида n^2 + n + 41.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[134] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A152658 (Начала максимальных цепочек простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[135] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033664 (Каждый суффикс является простым.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[136] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A066967 (Общая сумма нечетных частей во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[137] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007279 (Количество разделов n на номера разделов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[138] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A032032 (Количество способов разделить n помеченных элементов на наборы размером не менее 2 и упорядочить наборы.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[139] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A343377 (Количество строгих целочисленных разделов n, ни одна часть которых не делится на все остальные.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[140] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A285900 (Сумма всех частей всех разделов всех натуральных чисел, меньших или равных n, на последовательные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[Osiris-142] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A319274 (Осирис или числа повторной сборки цифр: числа, равные сумме перестановок подвыборок своих собственных цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[143] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A088825 (Числа n такие, что сумма наибольших простых делителей чисел от 1 до n делится на n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 25 сентября 2023 г.

[145] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A321719 (Количество ненормальных полумагических квадратов с суммой элементов, равной n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[146] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A020994 (простые числа, усекаемые как слева, так и справа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 декабря 2023 г. .

[SigmPhi-148] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A018784 (Числа n такие, что sigma(phi(n)) равно n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[149] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A017765 (Биномиальные коэффициенты C(49,n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[150] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A029600 (Числа в треугольнике (2,3)-Паскаля (по ряду).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
Строка: {2, 23, 120, 375, 780, 1134, 1176 , 870, 450, 155, 32, 3}.

[151] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001263 (Треугольник чисел Нараяны T(n,k) равен C(n-1,k-1)*C(n,k-1)/k, где 1 меньше или равно k, меньше или равно n , читается по строкам. Также называется каталонским треугольником.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[152] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A105278 (Треугольник читается по строкам: T(n,k) равно биному(n,k)*(n-1)!/(k-1)!.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[153] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127787 (Числа n такие, что F(n) делит F(F(n)), где F(n) — число Фибоначчи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[154] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046306 (Числа, кратность которых делится ровно на 6 простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[QuartSq-156] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002620 (четверти квадратов: a(n) равно полу(n/2)*потолок(n/2). Эквивалентно, a(n) равно полу(n^2/4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 января 2024 г.

[LogcMap-157] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118454 (Алгебраическая степень начала логистического отображения n-бифуркации.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.

[158] Бейли, Д.Х.; Борвейн, Дж. М.; Капур, В.; Вайсштейн, EW (2006). «Десять задач экспериментальной математики» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (6). Тейлор и Фрэнсис : 482–485. дои : 10.2307/27641975 . JSTOR 27641975 . МР 2231135 . S2CID 13560576 . Zbl 1153.65301 – через JSTOR .

[159] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A091517 (Десятичное разложение значения r, соответствующее началу периода 16-го цикла в логистической карте.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.

[161] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006562 (Сбалансированные простые числа (первого порядка): простые числа, которые являются средним значением предыдущего простого числа и следующего простого числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.

[162] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046119 (Средний член тройки сексуальных простых чисел: значение p+6 такое, что p, p+6 и p+12 являются простыми, а p+18 — нет (хотя p-6 может быть простым).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.

[163] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046117 (Простые числа p такие, что p-6 также является простым. (Верхнее из пары сексуальных простых чисел.))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.

[164] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A023201 (Простые числа p такие, что p + 6 также является простым (меньшее из пары сексуальных простых чисел.))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.

[StarN-165] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003154 (Центрированные 12-угольные числа или центрированные додекагональные числа: числа вида 6*k*(k-1) + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.

[166] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083577 (простые звездные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.

[IcosaN-169] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006564 (числа икосаэдра: a(n) равно n*(5*n^2 - 5*n + 2)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 сентября 2023 г.

[StllOct-170] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007588 (числа Stella Octangula: a(n) равно n*(2*n^2 - 1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 17 января 2024 г.

[UntouchN-171] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005114 (Неприкасаемые числа, также называемые неаликвотными числами: невозможные значения для функции суммы аликвотных частей (A001065))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 17 декабря 2023 г.

[172] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051177 (Идеально разделенные числа: числа k, которые делят количество разделов p(k)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 сентября 2023 г.

[173] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005432 (Количество групп перестановок степени n (или количество различных подгрупп симметричной группы S_n, считая сопряженные элементы отдельными)») . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[174] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067659 (Количество разбиений n на отдельные части, причем число частей нечетно.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[175] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067661 (Количество разбиений n на отдельные части, причем число частей четное.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[176] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127337 (Числа, представляющие собой сумму 10 последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[HAKM-177] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Билер, М.; Госпер, RW; Шреппель, Р. (29 февраля 1972 г.). ХАКМЕМ (PDF) (Отчет). Лаборатория компьютерных наук и искусственного интеллекта Массачусетского технологического института . п. 24 (ПУНКТ 63). ЦЕЛЬ 239 . Получено 19 декабря 2023 г. - через Принстонскую лабораторию физики плазмы .
«Радости 239 заключаются в следующем:
пи = 16 арктанс (1/5) − 4 арктанс (1/239),
что связано с тем, что 2*13 ⁴ − 1 = 239 ²,
вот почему 239/169 является приближением (7-й) числа √2.
арктанс(1/239) = арктанс(1/70) - арктанс(1/99)
= арктанс(1/408) + арктанс(1/577)
Для выражения числа 239 нужно 4 квадрата (максимум).
Для выражения числа 239 требуется 9 кубиков (максимум, общий только с 23).
239 нужно 19 четвертых степеней (максимум), чтобы выразить это.
(Хотя 239 не требует максимального количества пятых степеней.)
1/239 = .00418410041841..., что связано с тем, что
1,111,111 = 239 * 4,649.
239-й номер Мерсенна, 2 ²³⁹ − 1, является известным составным,
но никакие факторы не известны.
239 = 11101111 по основанию 2.
239 = 22212 по основанию 3.
239 = 3233 по основанию 4.
Существует 239 простых чисел < 1500.
К239 – для единственное произведение Моцарта двух оркестров .
Угадайте, что это за памятка.
И 239 — простое число, конечно».

[178] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078125 (Количество разбиений 3^n на степени 3)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[179] Сиксек, Самир (1995). Спуск по кривым рода I (PDF) (кандидатская диссертация). Эксетер, Великобритания: Эксетерский университет . стр. 16–17. hdl : 10871/8323 . S2CID 118846642 .

[180] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A229384 (Положительные целые решения y1, x1, y2, x2 уравнения Юнггрена x^2 + 1, равные 2y^4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.

[181] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001333 (Числители цепных дробей, сходящихся к sqrt(2).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 декабря 2023 г.

[182] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000110 (Колокол или экспоненциальные числа: количество способов разделить набор из n помеченных элементов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 декабря 2023 г.

[183] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074902 (Известные понятные номера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 февраля 2024 г.

[184] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072938 (Сильно составные числа, которые составляют половину следующего весьма составного числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 декабря 2023 г.

[186] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A350028 (количество эйлеровых обходов полного графа по n вершинам (минус паросочетание, если n четно))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[187] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A232545 (Количество эйлеровых обходов полного орграфа по n вершинам.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[188] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A027683 (Количество независимых наборов вершин графа сетки тора n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[189] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A027624 (Количество независимых наборов вершин в графе n-гиперкуба Q_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[190] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198303 (Неправильный треугольник C(n,g) с учетом связных трехвалентных простых графов на 2n вершинах с обхватом ровно g.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[191] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A186734 (Треугольный массив C(n,k), считающий связные k-регулярные простые графы на n вершинах с обхватом ровно 4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[192] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006924 (Количество связных трехвалентных графов с 2n узлами и обхватом ровно 4)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[193] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A098623 (Рассмотрим семейство ориентированных мультиграфов, обогащенное видами разбиений множеств. Последовательность дает количество этих мультиграфов с n помеченными дугами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[194] Гилберт, Лабелль (2000). «Подсчет обогащенных мультиграфов по числу их ребер (или дуг)» . Дискретная математика . 217 (1–3). Амстердам: Эльзевир : 237–248. дои : 10.1016/S0012-365X(99)00265-4 . МР 1766269 . S2CID 22434588 . Збл 0959.05061 .

[195] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A022801 (n-е число Люка (A000204(n)) + n-ное число не-Люкаса (A090946(n+1)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[196] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000204 (числа Люка (начинаются с 1): L(n) равно L(n-1) + L(n-2), где L(1) равно 1, L(2) равно 3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[197] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090946 (числа, не относящиеся к Люкасу: дополнение к A000204.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[198] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A114312 (Количество разделов n с различным количеством нечетных и четных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[199] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A171967 (Количество разделов n с различным количеством нечетных и четных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[200] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A253927 (Количество многогексов (без отверстий) размера 6*n+1 с 6-кратной вращательной симметрией.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[201] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212789 (Количество эндофункций на [n] с различной длиной цикла.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[202] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074127 (Сгруппируйте составные числа так, чтобы сумма n-й группы была кратна n-му простому числу: (4), (6), (8, 9, 10, 12, 14, 15, 16). , 18, 20, 21, 22), (24, 25), (26, 27, 28, 30, 32), (33, 34, ...), ... Последовательность дает сумму группы, разделенную на n- -е простое число для n-й группы.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[203] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060354 (N-ое n-угольное число: a(n) равно n*(n^2 - 3*n + 4)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[204] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051866 (14-угольных (или тетрадекагональных) чисел: a(n) равна n*(6*n-5).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[InvMert-205] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051402 (обратная функция Мертенса: наименьшее k такое, что |M(k)| равно n, где M(x) — функция Мертенса A002321.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[206] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051890 (a(n) равна 2*(n^2 - n + 1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[207] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001111 (Количество неэквивалентных планов Адамара порядка 4n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[208] Спенс, Эдвард. «Матрицы Адамара» . Эдвард Спенс (домашняя страница) . Университета Глазго Математический факультет . Проверено 22 января 2024 г.

[RecMert-209] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A304241 (Индексы, в которых функция Мертенса A002321 достигает рекордных амплитуд между нулями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[sopfr-211] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001414 (Целый журнал n: сумма простых чисел, делящих n (с повторением). Также называется sopfr(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 февраля 2024 г.

[212] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046197 (Фиксированные точки для операции многократной замены числа суммой кубов его цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.

[213] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005188 (числа Армстронга (или плюс совершенные, или плюс совершенные, или нарциссические) числа: m-значные положительные числа, равные сумме m-х степеней их цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.

[RuthA-214] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006145 (числа Рут-Аарона (1): сумма простых делителей n равна сумме простых делителей n+1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.

[RuthAPS-215] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006146 (Суммы простых делителей чисел Рут-Аарон (A006145).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.

[217] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A018818 (Количество разбиений n на делители n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.

[218] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007629 (Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) числа (или числа Кита).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.

[220] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A357886 (Треугольник, читаемый по строкам: T(n,k) — это количество открытых путей длины k, начинающихся и заканчивающихся в фиксированных различных вершинах в полном неориентированном графе на n помеченных вершинах, для n больше или равного 1 и k равно 0 .. n*(n-1)/2.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[221] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000014 (Количество последовательно сокращенных деревьев с n узлами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[222] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054502 (Счетная последовательность для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[223] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054500 (Индикаторная последовательность для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[224] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054501 (Последовательность кратности для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[225] И. Ривин, И. Варди и П. Циммерманн (1994). Проблема n ферзей. Американский математический ежемесячник . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . 101 (7): 629–639. doi : 10.1080/00029890.1994.11997004 JSTOR 2974691

[227] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A135388 (Количество (направленных) эйлеровых контуров на полном графе K_{2n+1}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[228] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007082 (Количество эйлеровых схем на полном графе K_{2n+1}, разделенное на (n-1)!^(2n+1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[229] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A357887 (Треугольник читается по строкам: T(n,k) — количество контуров длины k в полном неориентированном графе на n помеченных вершинах, для n больше или равного 1 и k равного 0 .. n( n-1)/2.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[230] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A327070 (Количество несвязных простых помеченных графов, охватывающих n вершин.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 августа 2023 г.

[231] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A141580 (Количество немаркированных несопряженных графов с n вершинами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[232] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A290056 (Количество клик в n-треугольном графе.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[233] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000568 (Количество результатов немаркированных круговых турниров n-команд)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 января 2024 г.

[234] Ройл, Гордон Ф.; Прегер, Шерил Э.; Глэсби, SP; Фридман, Сол Д.; Девиллерс, Алиса (2023). «Турниры и графики равномногочисленны» . Журнал алгебраической комбинаторики . 57 (2). Гейдельберг: Springer : 515–524. arXiv : 2204.01947 . дои : 10.1007/s10801-022-01197-0 . МР 4570411 . S2CID 247958071 . Збл 1512.05199 .

[235] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002190 (Sum_{n больше или равна 0} a(n)*x^n/n!^2 равна -log(BesselJ(0,2*sqrt(x))).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[236] Аваль, Жан-Кристоф; Буссико, Адриан; Делькруа-Оже, Беренис; и др. (2021). «Однозначные деревья: новые результаты и обобщения» . Европейский журнал комбинаторики . 95 . Амстердам: Эльзевир : 1–28. arXiv : 1511.09455 . дои : 10.1016/j.ejc.2021.103331 . МР 4111347 . S2CID 265038614 . Артикул 1440.05061 .

[237] Аваль, Жан-Кристоф; Буссико, Адриан; Бувель, Матильда; Силимбани, Маттео (2014). «Комбинаторика однозначных деревьев» . Достижения прикладной математики . 56 . Амстердам: Эльзевир : 78–108. arXiv : 1305.3716 . дои : 10.1016/j.aam.2013.11.004 . МР 3194208 . S2CID 14989102 . Збл 1300.05127 .

[238] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A186725 (Количество связных регулярных графов с n узлами и обхватом не менее 5.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[239] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A093134 (Трисекция Якобсталя.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[240] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A367707 (Количество вершин степени 6 в n-губчатом графе Менгера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[241] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078469 (Количество различных композиций лестничного графа L_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[242] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A137883 (Количество (направленных) гамильтоновых путей в n-лестничном графе Мёбиуса.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[243] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A124350 (a(n) равна 4*n*(floor(n^2/2)+1). Для n больше или равного 3 это количество направленных гамильтоновых путей на графе n-призмы. .)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[244] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A160172 (последовательность Т-образных зубочисток (определение см. в строках комментариев).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[245] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118746 (Десятичное расширение начала логистической карты 7-бифуркации.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.

[PrimPPerf-247] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054377 (Первичные псевдосовершенные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[248] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007304 (Сфенические числа: произведения трех различных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[249] Келлнер, Бернд К. (2005). «Уравнение denom(B _n ) = n имеет только одно решение» (PDF) . Бернулли (Препринт). Геттинген, Германия. стр. 1, 2. S2CID 124553392 .

[250] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A027642 (Знаменатель числа Бернулли B_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.

[UnitPerf-251] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002827 (Унитарные совершенные числа: числа k такие, что usigma(k) – k равно k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.

[253] Мори, Питер (2004). «Свернутые числа Фибоначчи» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 7 (2). Ватерлоо, Онтарио, Калифорния: Ватерлоо Школа компьютерных наук Дэвида Р. Черитона Университета : 13 (статья 04.2.2). arXiv : math.CO/0311205 . Бибкод : 2004JIntS...7...22M . МР 2084694 . S2CID 14126332 . Збл 1069.11004 .

[ConvFib-254] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001629 (Самосвертка чисел Фибоначчи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[255] Бельбачир, Хачене; Джеллал, Туфик; Люк, Джон Габриэль (2023). «О самосвертке обобщенных чисел Фибоначчи» . Вопросы по математике 46 (5). Оксфордшир, Великобритания: Тейлор и Фрэнсис : 841–854. arXiv : 1703.00323 . дои : 10.2989/16073606.2022.2043949 . МР 4592901 . S2CID 119150217 . Збл 07707543 . {{cite journal}}:CS1 maint: Zbl ( ссылка )

[256] Берндт, Брюс С .; Чан, Хэн Хуат (1999). «Рамануджан и модульный j-инвариант» . Канадский математический бюллетень . 42 (4): 427–440. дои : 10.4153/CMB-1999-050-1 . МР 1727340 . S2CID 1816362 .

[257] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004009 (Разложение ряда Эйзенштейна E_4 (q) (альтернативное соглашение E_2 (q)); тета-ряд решетки E_8.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.

[258] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013973 (Расширение ряда Эйзенштейна E_6(q) (альтернативное соглашение E_3(q)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.

[259] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006352 (Коэффициенты разложения ряда Эйзенштейна E_2 (также называемого E_1 или G_2).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.

[260] Хартшорн, Робин (1977). «Глава 4: Кривые». Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. Берлин: Springer-Verlag . стр. 316–321. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8 . МР 1567149 . OCLC 13348052 . S2CID 5695770 . Збл 0367.14001 .

[261] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060295 (Десятичное расширение exp(Pi*sqrt(163)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 августа 2023 г.

[262] Барроу, Джон Д. (2002). «Константы природы» . Фундаментальные константы . Лондон: Джонатан Кейп . п. 72. дои : 10.1142/9789812818201_0001 . ISBN 0-224-06135-6 . S2CID 125272999 .

[MarkR-263] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Ронан, Марк (2006). Симметрия и чудовище: одно из величайших поисков математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . стр. 1–255. ISBN 978-0-19-280722-9 . МР 2215662 . OCLC 180766312 . Збл 1113.00002 .

[264] Ронан, Марк (6 марта 2013 г.). «163 и Монстр» . Марк Ронан . Проверено 17 августа 2023 г.

[JanChr-265] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Янсен, Кристоф (2005). «Минимальные степени достоверных представлений спорадических простых групп и их накрывающих групп» . LMS Журнал вычислений и математики . 8 . Лондон: Лондонское математическое общество : 122–123. дои : 10.1112/S1461157000000930 . МР 2153793 . S2CID 121362819 . Збл 1089.20006 .

[Gr1998-266] Грисс-младший, Роберт Л. (1998). Двенадцать спорадических групп . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . стр. 54–79. ISBN 9783540627784 . МР 1707296 . ОСЛК 38910263 . Збл 0908.20007 .

[OrdNCG-267] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мадор, Дэвид Александр (22 января 2003 г.). «Порядки неабелевых простых групп» . www.madore.org . Проверено 10 января 2024 г.

[OEISONCG-268] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A109379 (Порядки нециклических простых групп (с повторением).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 января 2024 г.

[269] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[RobTh-270] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067698 (Положительные целые числа, такие, что сигма(n) больше или равна exp(gamma) * n * log(log(n)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 октября 2023 г.

[NSumAbN-271] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A048242 (Числа, которые не являются суммой двух множественных чисел (не обязательно различных).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[272] Дитрих, Хайко; Ли, Мелисса; Попель, Томаш (6 декабря 2023 г.). «Максимальные подгруппы Монстра». стр. 1–23. arXiv : 2304.14646 [ GR математика. ГР ]. Бибкод : 2023arXiv230414646D .

[274] Грисс-младший, Роберт Л. (1982). «Дружелюбный великан » изобретения Математические 69 : 91−96. Бибкод : 1982InMat..69.... 1G дои : 10.1007/BF01389186 . hdl : 2027.42/46608 . МР 0671653 . S2CID 123597150 . Збл 0498.20013 .

[275] Огг, AP (1981). «Модульные функции». В Куперштейне, Брюс; Мейсон, Джеффри (ред.). Конференция в Санта-Крусе по конечным группам . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 37. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 521–532. дои : 10.1090/PSPUM/037 . ISBN 0-8218-1440-0 . МР 0604631 . Збл 0443.00007 .

[276] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002267 (15 суперсингулярных простых чисел: простые числа, разделяющие порядок простой группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.

[277] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A216071 (задача Брокара: положительные целые числа m такие, что m^2 равно n! +1 для некоторого n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.

[278] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A085692 (Задача Брокара: квадраты, которые можно записать как n!+1 для некоторого n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.

[279] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004394 (Сверхизбыточные [или сверхизбыточные] числа: n такие, что сигма(n)/n больше, чем сигма(m)/m для всех m меньше n, сигма(n) равна A000203(n), сумма делители n.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.

[280] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.

[RobThRieH-281] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кавени, Джеффри; Николя, Жан-Луи ; Сондоу, Джонатан (2011). «Теорема Робина, простые числа и новая элементарная формулировка гипотезы Римана» . Целые числа . 11 (6). Берлин: Де Грюйтер : 755 (A33). arXiv : 1110.5078 . дои : 10.1515/INTEG.2011.057 . МР 2798609 . S2CID 14573608 . Збл 1235.11082 .

[283] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034963 (Сумма четырех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.

[Primor-284] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002110 (Первоначальные числа (первое определение): произведение первых n простых чисел. Иногда пишется prime(n)#.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.

[285] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000332 (Биномиальный коэффициент биномиал(n,4), равный n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.

[286] Дешуйе, Жан-Марк ; Гранвилл, Эндрю ; Наркевич, Владислав; Померанс, Карл (1993). «Верхняя оценка проблемы Гольдбаха» . Математика вычислений . 61 (203). Вашингтон, округ Колумбия: Американское математическое общество : 209–213. Бибкод : 1993MaCom..61..209D . дои : 10.1090/S0025-5718-1993-1202609-9 . МР 1202609 . S2CID 51831845 . Збл 0780.11047 .

[288] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A050381 (Количество последовательно уменьшенных посаженных деревьев с n листьями двух цветов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[CompGDivP-289] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074127 (Сгруппируйте составные числа так, чтобы сумма n-й группы была кратна n-му простому числу: (4), (6), (8, 9, 10, 12, 14, 15, 16). , 18, 20, 21, 22), (24, 25), (26, 27, 28, 30, 32), (33, 34, ...), ... Последовательность дает сумму группы, разделенную на n- -е простое число для n-й группы.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[LessSP-290] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A023201 (Простые числа p такие, что p + 6 также является простым (меньшее из пары сексуальных простых чисел.))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.

[291] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002410 (ближайшее целое число к мнимой части n-го нуля дзета-функции Римана.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.

[292] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013629 (Пол мнимых частей нетривиальных нулей дзета-функции Римана.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.

[293] Одлизко, Андрей . «Первые 100 (нетривиальных) нулей дзета-функции Римана [AT&T Labs]» . Андрей Одлыжко: Домашняя страница . УМН ЦСЕ . Проверено 16 января 2024 г.

[KlaiJan-295] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Клэйз, Янис (2012). Порядки в квадратичных мнимых полях малого числа классов (PDF) (диссертация по математике). Уорикского университета Центр науки о сложности . стр. 1–24. S2CID 126035072 .

[296] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A258706 (Абсолютные простые числа: каждая перестановка цифр является простым числом. Показан только наименьший представитель каждого класса перестановок.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 декабря 2023 г.

[297] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A059408 (a(n+1) как a(n)-я составная часть и a(1) равна 13.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.

[300] Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое число» . MathWorld — WolframAlpha ресурс . Проверено 18 октября 2023 г.
В списке ниже приведены числа вида $x \equiv e. π \sqrt n$ для $n \leq 1000$ , для которого $| нинт (Икс) - Икс | \leq 10 -3$ .
$н$ $|nint(Икс) - Икс |$
25 −0.00066
37 −0.000022
43 −0.00022
58 −1.8×10 ⁻⁷
67 −1.3×10 ⁻⁶
74 −0.00083
148 0.00097
163 −7.5×10 ⁻¹³
232 −7.8×10 ⁻⁶
268 0.00029
522 −0.00015
652 1.6×10 ⁻¹⁰
719 −0.000013

[Cls2-301] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014603 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 2 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.

[302] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A032354 (j-инварианты для порядков класса № 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 октября 2023 г.

[303] Загер, Дон (2008). «Эллиптические модульные формы и их приложения» . В Ранестаде, Кристиан (ред.). 1-2-3 модульных форм . Университетский текст (1-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . стр. 70−71. дои : 10.1007/978-3-540-74119-0_1 . ISBN 978-3-540-74117-6 . МР 2409678 . OCLC 173239471 . Збл 1259.11042 .

[304] Арпин, Сара; Камачо-Наварро, Каталина; и др. (2021). «Приключения в Суперсингулярной стране» . Экспериментальная математика . 32 (2). Оксфордшир, Великобритания: Тейлор и Фрэнсис : 245–256. arXiv : 1909.07779 . Бибкод : 2019arXiv190907779A . дои : 10.1080/10586458.2021.1926009 . МР 4592945 . S2CID 202583238 . Збл 1517.94057 .

[CRCEncyc-306] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (2003). Вайсштейн, Эрик В. (ред.). CRC Краткая математическая энциклопедия (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC . стр. 57–59. дои : 10.1201/9781420035223 . ISBN 9781584883470 . JSTOR 20453513 . МР 1944431 . OCLC 50252094 . S2CID 116679721 . Збл 1079.00009 .

[307] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A329191 (Простые делители порядков спорадических конечных простых групп.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[308] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A113907 (Размеры пяти спорадических групп Ли.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[Chowla-309] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A048050 (функция Чоулы: сумма делителей n, кроме 1 и n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[311] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006203 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 3 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 октября 2023 г.

[312] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127106 (Числа n такие, что n^2 делит 6^n-1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.

[313] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013658 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 4 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.

[314] Уоткинс, Марк (2004). «Числа классов мнимых квадратичных полей» . Математика вычислений . 73 (246). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 907–938. дои : 10.1090/S0025-5718-03-01517-5 . JSTOR 4099810 . МР 2031415 . Збл 1050.11095 .

[315] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038552 (Наибольшее бесквадратное число k такое, что Q(sqrt(-k)) имеет номер класса n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 октября 2023 г.

[ThD4-317] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004011 (Тэта-ряд решетки D_4; коэффициенты Фурье ряда Эйзенштейна E_{gamma,2}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.

[JiH-318] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Чун, Джи Хун (2019). «Сферические упаковки [2013]» (PDF) . В Цфасман, Михаил; и др. (ред.). Коды алгебраической геометрии: главы для продвинутого уровня . Математические обзоры и монографии . Том. 238. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 229−278. дои : 10.1090/surv/238 . ISBN 978-1-4704-5263-6 . МР 3966406 . S2CID 182109921 . Збл 1422.14004 .

[F4Latt-319] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004013 (Тэта-серия объемноцентрированной кубической (ОЦК) решетки.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.

[F4N-320] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность А004014 (Нормы векторов в ОЦК-решетке.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.

[ThZ4-321] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000118 (Количество способов записи n в виде суммы 4 квадратов; также тэта-ряд четырехмерной кубической решетки Z^4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.

[HSMRP-322] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники (1-е изд.). Лондон: Methuen & Co., стр. 1–321. ISBN 9780521201254 . МР 0027148 . ОСЛК 472190910 .

[324] Пеконен, Осмо (2018). «Какое целое число самое загадочное?» . В Сарханги, Реза (ред.). Мосты: Математика, Искусство, Музыка, Архитектура, Образование, Культура . Материалы конференции по мостам . п. 441. ИСБН 9781938664274 . ISSN 1590-5896 . OCLC 7788577569 . S2CID 133028298 .

[HeMcKay-325] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хэ, Ян-Хуэй ; Маккей, Джон (2015). «Спорадический и исключительный». стр. 1–49. arXiv : 1505.06742 [ math.AG ]. S2CID 117030188 .
«Особый интерес вызывает менее известный факт – параллельно приведенному выше тождеству – что постоянный член j-инварианта, а именно 744, удовлетворяет условию $744 = 3 \times 248.$ Число 248, конечно, является размерность сопряженной наибольшей исключительной алгебры [ $𝖊 8$ ]. Фактически, то, что j должно кодировать представления [ $𝖊 8$ ], было установлено задолго до окончательного доказательства гипотезы Муншайна. Эта связь между самой большой спорадической группой и самой большой. исключительная алгебра свяжет «Переписку Маккея» с «Самогоном» и тем самым вплетет еще одну прекрасную нить в панорамный гобелен математики». ^{: стр.4}
" ¹⁶ Кстати, читателя также насторожил курьезный факт: $σ 1 (240) = 744$ ». ^{: стр.21 (примечание)}

[326] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007245 (серия Маккея-Томпсона класса 3C для группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
$j (𝜏) 1/3 = q -1/3 (1 + 248 г + 4124 г 2 + 34752 q 3 + ...)$

[TGann-327] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ганнон, Терри (2006). «Введение: краткий обзор теории, лежащей в основе чудовищного самогона» (PDF) . Самогон за пределами монстра: Мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж, Массачусетс: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–15. ISBN 978-0-521-83531-2 . МР 2257727 . OCLC 1374925688 . Збл 1146.11026 .
«В частности, $4124 = 3875 + 248 + 1$ и $34752 = 30380 + 3875 + 2 \cdot 248 + 1$ , где 248, 3875 и 30380 — все размерности неприводимых представлений $\mathbb {C}$ ». ^{: стр.6}

[328] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121732 (Размеры неприводимых представлений простой алгебры Ли типа E8 над комплексными числами, перечислены в порядке возрастания.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.

[GebMatt-329] Габердиэль, Матиас Р. (2007). «Ограничения на экстремальные самодуальные ЦФТ» . Журнал физики высоких энергий . 2007 (11 087). Спрингер : 10–11. arXiv : 0707.4073 . Бибкод : 2007JHEP...11..087G . дои : 10.1088/1126-6708/2007/11/087 . МР 2362062 . S2CID 16635058 .

[330] Конвей, Джон Х .; Слоан, Нью-Джерси (1988). «Алгебраические конструкции для решеток» . Сферические упаковки, решетки и группы . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4757-2016-7 . eISSN 2196-9701 . ISBN 978-1-4757-2016-7 . МР 1541550 .

[331] Коксетер, HSM (1998). «Семь кубиков и десять 24-клеток» (PDF) . Дискретная и вычислительная геометрия . 19 (2): 156–157. дои : 10.1007/PL00009338 . S2CID 206861928 . Збл 0898.52004 .

[332] Коксетер, HSM ; Шепард, GC (1992). «Портреты семейства сложных многогранников». Леонардо . 25 (3/4): 243–244. дои : 10.2307/1575843 . JSTOR 1575843 . S2CID 124245340 . Збл 0803.51023 .

[333] Баэз, Джон К. (2018). «От икосаэдра до Е ₈ ». Информационный бюллетень Лондонского математического общества . 476 : 18–23. arXiv : 1712.06436 . МР 3792329 . S2CID 119151549 . Збл 1476.51020 .

[334] Харт, Джордж В. (1998). «Икосаэдрические конструкции» (PDF) . В Сарханги, Реза (ред.). Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке . Материалы конференции по мостам . Уинфилд, Канзас. п. 196. ИСБН 978-0966520101 . OCLC 59580549 . S2CID 202679388 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[336] Уилсон, Роберт А. (2009). «Октонионы и решетка Лича» . Журнал алгебры . 322 (6): 2186–2190. дои : 10.1016/j.jalgebra.2009.03.021 . МР 2542837 .

[337] Шеллекенс, Адриан Норберт (1993). «Мероморфные c = 24 конформные теории поля» . Связь в математической физике . 153 (1). Берлин: Шпрингер : 159–185. arXiv : hep-th/9205072 . Бибкод : 1993CMaPh.153..159S . дои : 10.1007/BF02099044 . МР 1213740 . S2CID 250425623 . Збл 0782.17014 .

[338] Мёллер, Свен; Шайтауэр, Нильс Р. (2023). «Формулы размерностей и обобщенные глубокие дыры алгебры вершинных операторов решетки Лича» . Анналы математики . 197 (1). Принстонский университет и Институт перспективных исследований : 261–285. arXiv : 1910.04947 . Бибкод : 2019arXiv191004947M . дои : 10.4007/анналы.2023.197.1.4 . МР 4513145 . S2CID 204401905 . Збл 1529.17040 .

[339] Грисс-младший, Роберт Л.; Лам, Чинг Хунг (2011). «Самогонный путь от Е8 до Монстра» (PDF) . Журнал чистой и прикладной алгебры . 215 (5): 930–931. дои : 10.1016/j.jpaa.2010.07.001 . МР 2747229 . S2CID 123613651 . Збл 1213.17028 .

[340] Грисс-младший, Роберт Л .; Лам, Чинг Хунг (2011). «Самогонная дорожка на 5 А и связанные с ней решетки 8 и 16 рангов» . Журнал алгебры . 331 . Амстердам: Elsevier : 348. arXiv : 1006.3907 . Бибкод : 2010arXiv1006.3907G . дои : 10.1016/j.jalgebra.2010.11.013 . МР 2774662 . S2CID 119679255 . Збл 1283.20009 .

[341] Харада, Масааки; Лам, Чинг Хунг; Мунемаса, Акихиро (2013). «Вычетные коды экстремальных Z ₄ -кодов типа II и алгебра вершинных операторов самогона» . Mathematische Zeitschrift . 274 (1). Спрингер : 691, 698–699. arXiv : 1005.1144 . Бибкод : 2010arXiv1005.1144H . дои : 10.1007/s00209-012-1091-z . МР 3054350 . S2CID 253730965 . Збл 1283.94112 .

[342] Плесс, В.; Слоан, Нью-Джерси (1975). «О классификации и перечислении самодвойственных кодов» . Журнал комбинаторной теории . Ряд А. 18 (3). Амстердам: Эльзевир : 313–335. дои : 10.1016/0097-3165(75)90042-4 . МР 0376232 . S2CID 16303075 . Збл 0305.94011 .

[344] Ван Экерен, Джетро; Лам, Чинг Хунг; Мёллер, Свен; Симакура, Хироки (2021). «Список Шеллекенса и очень странная формула» . Достижения в математике . 380 . Амстердам: Эльзевир : 1–34 (107567). arXiv : 2005.12248 . дои : 10.1016/j.aim.2021.107567 . МР 4200469 . S2CID 218870375 . Збл 1492.17027 .

[345] Бецумия, Коичи; Лам, Чинг Хунг; Симакура, Хироки (2023). «Группы автоморфизмов и единственность голоморфных вершинных операторных алгебр центрального заряда 24» . Связь в математической физике . 399 (3). Берлин: Шпрингер : 1773–1810. arXiv : 2203.15992 . Бибкод : 2023CMaPh.399.1773B . дои : 10.1007/s00220-022-04585-6 . МР 4580534 . S2CID 247793117 . Збл 1523.17056 .

[346] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A129863 (Сумма трех последовательных пятиугольных чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[347] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000326 (Пятиугольные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[348] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002411 (Пятиугольные пирамидальные числа: a(n) равно n^2*(n+1)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 ноября 2023 г.

[350] Танеха, Индер Дж. (2016). «Числа для селфи — IV: сложение, вычитание и факториал» (PDF) . Сборник отчетов об исследованиях РГМИА . 19 :1-4 (статья 163).

[351] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A193069 (Довольно дикие нарциссические числа — числа, которые загадывают: — целое число n, которое можно выразить, используя только цифры n (каждая цифра используется только один раз и в порядке слева направо) и операторы + - * / ^ ! и радикальный символ разрешен.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.

[353] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A177434 (Магические константы магических квадратов 6 X 6, состоящих из последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[PrimeMS-354] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A177434 (Магические константы магических квадратов 6 X 6, состоящих из последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.

[355] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A122875 (Числа, квадрат которых волнистый.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.

[356] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016073 (Волнистые квадраты.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 ноября 2023 г.

[357] Пиковер, Клиффорд А. (1995). «Глава 20: Волны монахов». Ключи от бесконечности . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. xviii, 1–332. ISBN 978-0471193340 . ОСЛК 31710129 . S2CID 121761396 .

[MagPS-358] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A164843 (Наименьшая магическая константа магического квадрата n X n с различными простыми элементами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 ноября 2023 г.

[359] Макарова Наталья Владимировна «Наименьшие магические квадраты простых чисел (часть I)» . klassikpoez.narod.ru (на русском языке). Архивировано из оригинала 8 декабря 2023 г. Архивный перевод на английском языке. Проверено 7 декабря 2023 г.

[360] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006003 (a(n) равна n*(n^2 + 1)/2)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.

[362] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A187781 (Количество неконгруэнтных многоугольных областей в правильном n-угольнике со всеми нарисованными диагоналями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.

[363] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A279019 (Наименьшее возможное количество диагоналей простого выпуклого многогранника с n гранями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 января 2024 г.

[365] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002839 (Количество простых прямоугольников с идеальными квадратами порядка n с точностью до симметрии.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[366] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A326118 (a(n) — наибольшее количество квадратов единичной площади, соединенных только углами и без отверстий, которое можно вписать в квадрат n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[367] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A272390 (Самая длинная сторона примитивного тетраэдра Герона с четырьмя конгруэнтными треугольными гранями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 марта 2024 г.

[368] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A272388 (Самая длинная сторона тетраэдра Герона.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 марта 2024 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[я]

[17]

[18]

[ii]

[23]

[24]

[iii]

[33]

[iv]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[мы]

[VII]

[66]

[viii]

[68]

[26]

[ix]

[80]

[х]

[88]

[кси]

[xii]

[xiii]

[xiv]

[xv]

[127]

[xvi]

[XVII]

[131]

[14]

[132]

[восемнадцатый]

[xix]

[32]

[хх]

[xxi]

[xxii]

[164]

[165]

[166]

[167]

[168]

[169]

[170]

[xxiii]

[xxiv]

[ххв]

[25]

[195]

[196]

[xxvi]

[201]

[202]

[203]

[204]

[205]

[206]

[207]

[208]

[xxvii]

[xxviii]

[225]

[226]

[227]

[228]

[229]

[230]

[231]

[232]

[233]

[234]

[235]

[236]

[237]

[а]

[245]

[246]

[247]

[б]

[263]

[с]

[266]

[267]

[д]

[э]

v т и Теория чисел
Fields	Algebraic number theory (class field theory, non-abelian class field theory, Iwasawa theory, Iwasawa–Tate theory, Kummer theory) Analytic number theory (analytic theory of L-functions, probabilistic number theory, sieve theory) Geometric number theory Computational number theory Transcendental number theory Diophantine geometry (Arakelov theory, Hodge–Arakelov theory) Arithmetic combinatorics (additive number theory) Arithmetic geometry (anabelian geometry, P-adic Hodge theory) Arithmetic topology Arithmetic dynamics
Key concepts	Numbers 0 Natural numbers Unity Prime numbers Composite numbers Rational numbers Irrational numbers Algebraic numbers Transcendental numbers P-adic numbers (P-adic analysis) Arithmetic Modular arithmetic Chinese remainder theorem Arithmetic functions
Advanced concepts	Quadratic forms Modular forms L-functions Diophantine equations Diophantine approximation Continued fractions
Category List of topics List of recreational topics Wikibook Wikiversity