744 (число)

← 743 744 745 →
Список номеров ; Целые числа ; ← 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 →
Кардинал	семьсот сорок четыре
Порядковый номер	744-й ; (семьсот сорок четвертый)
Факторизация	2 3 × 3 × 31
Делители	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 31, 62, 93, 124, 186, 248, 372, 744
Греческая цифра	ΨΜΔ´
Римская цифра	DCCCXLIV
Двоичный	1011101000 2
тройной	1000120 3
Сенарий	3240 6
Восьмеричный	1350 8
Двенадцатеричный	520 12
Шестнадцатеричный	2Э8 16

744 ( семьсот [и] сорок четыре ) — натуральное число, следующее за 743 и перед 745 .

744 играет важную роль в теории спорадических групп , в контексте классификации конечных простых групп .

Теория чисел [ править ]

744 — девятнадцатое число формы $pqr^{3}$ где $r$ , $p$ и $q$ представляют собой отдельные простые числа ( 2 , 3 и 31 ; соответственно). ^[1]

Его можно представить как сумму непоследовательных факториалов. $k!$ , ^[2] как сумма четырех последовательных простых чисел $p$ , ^[3] и как произведение сумм делителей $\sigma (n)$ последовательных целых чисел $n$ ; ^[4] соответственно:

{\begin{aligned}744&=4!+6!\\744&=179+181+191+193\\744&=\sigma (15)\times \sigma (16)=24\times 31\\\end{aligned}}

744 равно сумме между 41-м и 44-м индексированными простыми числами включительно. Индексы 15 и 16 σ ( n ) умножаются на 240, что соответствует значению общего Эйлера 744, ^[5] и прибавьте к 31, которое является самым большим простым числом, общая сумма которого не равна 744 (меньше).
Сумма от 24 до 31 дает десятое треугольное число 55 , где одиннадцатое треугольное число равно 66 . ^[6] 121 — это сумма этих двух треугольных чисел, которая эквивалентна квадрату 11. Простой индекс числа 31 и его перестановочное простое число в десятичной системе счисления (13) ^[7] образуют третью пару простых чисел-близнецов $(11, 13)$ , ^[8] сумма которых равна 24, с соответствующими простыми индексами 5 и 6. ^[9] это добавляется к 11.

Число 744 содержит шестнадцать общих делителей — четырнадцать, не считая самого большого и наименьшего унитарных делителей , — все из которых в совокупности образуют число арифметическое среднее $120=5!$ ^[10]^[11] это также первое число формы $pqr^{3}.$ ^[1]^[я]

Число разбиений квадрата семи ( на простые части равно ) 49 744, ^[17] как и количество разделов, равное 48 , не более чем на четыре отдельные части. ^[18]^[ii]

744 – это многочисленное число , ^[23] с численностью 432 . ^[24]^[iii] Оно полусовершенное , поскольку равно сумме подмножества его делителей (например, 1 + 2 + 4 + 24 + 62 + 93 + 124 + 186 + 248). ^[33]^[iv]

Это также практическое число , ^[50] и первое число должно быть суммой девяти кубов восемью или более способами, ^[51] а также количество шестизначных совершенных степеней в десятичной системе счисления . ^[52]

Между тем, в семеричном числе 744 является палиндромным (2112 ₇ ), ^[53] в то время как в двоичном формате это пагубное число , поскольку его цифровое представление (1011101000 ₂ ) содержит простое число (5) единиц. ^[54]^[мы]

Тотиенты [ править ]

744 имеет двести сорок целых чисел, которые являются относительно простыми или взаимно простыми с самим собой и с самим собой, что эквивалентно его элементу Эйлера . ^[5]^[VII]

Эта сумма 744 является регулярной, ее как и сумма делителей , где 744 устанавливает двадцать девятый рекорд для $\sigma (n),$ года 1920 . ^[66]^[viii] Значения общего и суммы делителей 744 содержат один и тот же набор различных простых делителей ( 2 , 3 и 5 ), ^[68] в то время как функция Кармайкла или сокращенный тотент (которая подсчитывает наименьшее общее кратное порядка элементов в мультипликативной группе целых чисел по модулю $n$ ) в семьсот сорок четыре равно $\lambda (744)=30=2\times 3\times 5$ . ^[26]^[ix] 744 также является числом Цумкеллера , делители которого можно разделить на два непересекающихся множества с одинаковой суммой ( 960 ). ^[80]^[Икс]

Из этих 240 тотативов 110 являются строго составными тотативами, которые почти соответствуют последовательности составных чисел до 744 конгруэнтных , $\pm {1}{\bmod {6}}$ , что является тем же самым сравнением, которому соответствуют все простые числа больше 3 . ^[88]^[кси]Только семь чисел, присутствующих в этой последовательности, не являются суммой 744 (меньше чем); их 713, 589, 527, 403, 341, 217 и 155; все они делятся на одиннадцатое простое число 31 . ^[xii]^[xiii]^[xiv] Остальные 130 тотативов равны 1 и всем простым числам от 5 до 743, за исключением 31 (все простые числа меньше 744, которые не являются частью его простой факторизации ), где его наибольшая простая сумматив равна 743. ^[xv] имеет простой индекс 132 (наименьшее число повторной сборки в десятичном формате). ^[127]^[xvi]С другой стороны, только три числа содержат сумму 744; это 1119 , 1492 и 2238. ^[5]^[XVII]

744 — шестое число $n$ общее значение которого имеет сумму делителей, равную $n$ : $\sigma (\varphi (744))=744$ . ^[131] В противном случае аликвотная сумма 744, которая представляет собой сумму всех делителей числа 744, кроме себя, равна 1176. ^[14] это сорок восьмое треугольное число , ^[6] и биномиальный коэффициент $\operatorname {C(49,2)}$ присутствует внутри сорок девятой строки треугольника Паскаля . ^[132]^{[восемнадцатый]}Всего лишь семь чисел имеют суммы делителей, равные 744; их: 240 , ^[xix] 350, 366, 368, 575, 671 и 743. ^[32]^[хх] Если учитывать только четырнадцать собственных делителей числа 744, то сумма, полученная ими, равна 1175 , шесть делителей которого содержат среднее арифметическое значение 248, ^[11]^[xxi] третий (или четырнадцатый) наибольший делитель числа 744. Только одно число имеет кратную сумму, равную 744, то есть 456 . ^[14]^[xxii]

Теория графов [ править ]

Количество эйлеровых обходов (или эйлеровых циклов ) полного неориентированного . графа $K_{6}$ по шести вершинам и пятнадцати ребрам — 744. ^[164]В семи вершинах имеется 129 976 320 туров Эйлера. Их можно генерировать только на полных графах, имеющих как минимум три вершины; количество обходов для трёх, четырёх и пяти вершин соответственно 2, 2 и 264 (последнее — второе число пересборки по основанию десять). ^[127] С другой стороны, число эйлеровых обходов полного орграфа , или ориентированного графа , по четырем вершинам равно 256 , а по пяти вершинам — 972 000 (и 247 669 456 896 по шести вершинам), по теореме БЕСТА . ^[165]

Что касается наибольшего простого числа 744, то существуют (кроме множеств, которые представляют собой объединение всех таких решений),

743 независимых набора вершин 4 на 4 тора в графе сетки , ^[166]
743 независимых набора вершин в четырехмерном графе гиперкуба с 16 вершинами , ^[167] и
743 связных кубических графа с 16 вершинами и обхватом 4. ^[168]^[169] (где сумма всех предыдущих индексов до седьмого равна 130, общее количество простых чисел 744, включая 1). ^[170]

Трижды 743 будет 2229 , ^[xxiii] среднее число делителей которого равно 744 (как и в случае с любым простым числом трижды). $3p$ , среднее значение делителей будет $p+1$ ). ^[10]^[11]^[xxiv] Это значение представляет собой разницу 1110 от 3339 , которое представляет собой сумму семисот сорока двух ( 742 ). ^[ххв] повторяющиеся цифры обратного числа 743, как сорок восьмое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления ^[25] (наименьшее число, имеющее эйлерову долю 744, равно 1119 ). ^[5]

Для открытых цепочек длиной восемь и девять, начинающихся и заканчивающихся в фиксированных различных вершинах полного неориентированного графа с пятью помеченными вершинами, это число равно 132 (простой индекс 743, половина 264), ^[195] это также представляет собой количество неприводимых деревьев с пятнадцатью вершинами. ^[196]^[xxvi] В то время как для полного неориентированного графа $K_{5}$ существует 264 направленных эйлеровых контура, ^[201]^[202] более конкретно, это количество контуров длины десять в полном неориентированном графе с пятью помеченными вершинами, и как таковой это двадцать пятый элемент в треугольнике. $T(n,k)$ длины $k$ на $n$ помеченные вершины. ^[203]

В противном случае 745 — это количество несвязных простых помеченных графов, охватывающих шесть вершин, где наиболее симметричный из этих графов имеет три пары различных вершин, каждая из которых покрыта только одним ребром, и все три ребра пересекаются ; это дает несвязный граф покрытия $\{\{1,4\},\{2,5\},\{3,6\}\}$ на вершинах, помеченных $1$ через $6$ в шестиугольном расположении, а остальные 744 графика представляют все остальные возможные конформации. ^[204]

456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) — это число непомеченных несовпадающих графов с семью вершинами (где спаривание или $M$ граф — это граф, в котором никакие две вершины не имеют одинаковый набор соседей ), что эквивалентно количеству непомеченных графов с семью вершинами и хотя бы одной конечной точкой; ^[205] а также количество клик в 7- треугольном графе , где каждое подмножество двух различных вершин в клике смежно . ^[206] Число четных графов с семью вершинами, где граф нечетен , если существует ориентация его ребер и автоморфизм, обращающий смысл нечетного числа его ребер, и даже в противном случае, равно 456. ^[207]^[208]^[xxvii]

В частности, 456 — это аликвотная сумма 264, единственное число, имеющее это значение для $s(n).$ ^[14]^[xxviii]

Фибоначчи чисел Свертка

744 — это двенадцатая самосвертка чисел Фибоначчи , что эквивалентно количеству элементов во всех подмножествах числа Фибоначчи. $\{1,2,3,...,11\}$ без последовательных целых чисел. ^[225]^[226]^[227]

Абстрактная алгебра [ править ]

j -инвариант [ править ]

имеет j -инвариант место в виде в ряд Фурье $q$ -разложения ,

j(\tau )=q^{-1}+744+196\,884q+21\,493\,760q^{2}+864\,299\,970q^{3}+\cdots

где $q=e^{2\pi i\tau }$ и $\tau$ полупериодов отношение эллиптической функции . ^[228]

j $-$ инвариант можно вычислить с помощью ряда Эйзенштейна. $E_{4}(\tau )$ и $E_{6}(\tau )$ , такой, что:

j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}},

где конкретно эти ряды Эйзенштейна равны

E_{4}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}

и

E_{6}(\tau )=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}

с

q={\text{exp}}(2\pi i\tau )

.

Соответствующие $q$ -разложения этих двух рядов Эйзенштейна имеют коэффициенты, числовые значения которых пропорциональны 240 и - 504 соответственно; ^[229]^[230]где, в частности, сумма и разница между абсолютными значениями этих двух чисел равна $240 + 504 = 744$ и $504 - 240 = 264$ . Более того, если рассматривать единственную меньшую четную (в данном случае немодульную ) серию $E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}},$ сумма между абсолютным значением его постоянного мультипликативного члена (24) и абсолютным значением $E_{2}(\tau )$ равно 264 (240) также . 16-й коэффициент в разложении $E_{2}(\tau )$ равно -744, как и его 25-й коэффициент. ^[231]

Альтернативно, j- инвариант можно вычислить с помощью секстического полинома как: $j(\tau )=256\cdot {\frac {{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}=256\cdot {\frac {\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}$ где $\lambda$ представляет модульную функцию с $256 = 2 8$ . ^[232]

Почти целые числа [ править ]

Кроме того, почти целое число ^[233]

e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,250\,072\,59\approx 640\,320^{3}+744.

Это число известно как константа Рамануджана , которая является трансцендентной . ^[234] Марк Ронан и другие выдающиеся математики отмечали, что появление $163$ это число имеет отношение к теории самогона , где сто шестьдесят три — это наибольшее из девяти чисел Хигнера , которые представляют собой положительные целые числа без квадратов. $d$ такая, что мнимое квадратичное поле ${\textstyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}$ имеет класса номер $1$ (эквивалентно, кольцо целых чисел в одном и том же поле алгебраических чисел имеет уникальную факторизацию ). ^[235]^{: стр.227, 228} $\mathrm {F_{1}}$ имеет сто девяносто четыре ( 194 = 97 × 2 ) класса сопряженности , сгенерированные из его таблицы символов , которые в совокупности производят такое же количество эллиптических самогонных функций , которые не все линейно независимы ; только сто шестьдесят три полностью независимы друг от друга. ^[236] Линейный член ошибки $O$ поскольку константа Рамануджана приблизительно равна

{\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0.000\,000\,000\,000\,75,

где $196\,884$ — значение минимально точного комплексно-мерного представления Дружелюбного Гиганта. $\mathrm {F_{1}}$ , крупнейшая спорадическая группа . ^[237] $\mathrm {F_{1}}$ содержит бесконечно градуированное точное размерное представление, эквивалентное $q$ коэффициенты ряда q -разложения j -инварианта . В частности, все три общих простых фактора $(2,3,5)$ которые делят долю Эйлера, сумму делителей и приведенную долю $744$ являются наименьшими и единственными простыми числами, разделяющими порядки всех двадцати шести спорадических групп, в отличие от только шести групп. $(\mathrm {F_{1}} ,{\text{ }}\mathrm {B} ,{\text{ }}\mathrm {F_{3}} ,{\text{ }}\mathrm {Ly} ,{\text{ }}\mathrm {ON} ,{\text{ }}\mathrm {J_{4}} )$ чьи порядки можно разделить на наибольшее последовательное суперсингулярное простое число и наибольшее простое число семьсот сорок четыре, $31$ ; ^[235]^{: стр. 244–246.}^[а] трое из них принадлежат к небольшой семье из шести групп-изгоев , которые не субчастными являются $\mathrm {F_{1}} .$ ^[245] Наибольшее суперсингулярное простое число делящее порядок , $\mathrm {F_{1}}$ является $71,$ ^[246]^[247] что является восьмой самосверткой чисел Фибоначчи, где $744$ это двенадцатый. ^[226]^[б]

Три крупнейших числа Хигнера с $d>19$ также дают почти целые числа вида $e^{\pi {\sqrt {d}}}$ которые включают $744$ . В возрастающих приближения порядках ^[263]^{: стр. 20–23}^[с]

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}

Положительные целые числа без квадратов над отрицательным мнимым квадратичным полем с номером класса $2$ также производят почти целые числа для значений $d$ , где, например, есть $199\,148\,648^{2}-0.000\,97\ldots \approx e^{\pi {\sqrt {148}}}+(8\times 10^{3}+744).$ ^[266]^[267]^[д]^[э]

Д ₄ , Ф ₄ и Н ₄ [ редактировать ]

$744$ тета -ряда коэффициент $25$ четырехмерной кубической решетки $\mathbb {D} _{4}\cong \mathbb {(Z^{4})^{+}} .$ ^[280]^[281] С другой стороны, в тэта-ряде четырехмерной объемноцентрированной кубической решетки $\mathbb {F} _{4}$ — чья геометрия с $\mathbb {D} _{4}$ определяет кватернионы Гурвица четной и нечетной квадратичной нормы , как это реализовано в $24$ – сотовая ячейка , двойная по отношению к $16$ –сотовая ячейка (и, как объединение двух самодвойственных тессерактических $8$ –сотовые соты ) — шестнадцатый $144=12^{2}$ коэффициент – семьсот сорок четвертый коэффициент в ряду; ^[282] с индексом коэффициента $144$ сорок девятая ненулевая норма. ^[283]

$\mathbb {D}$ ^{‍ ₊}
₄ ≅ $\mathbb {Z} ^{4}$ решетка - это объединение двух $\mathbb {D} _{4}$ решетки, ^[281] где соответствующий тета-ряд $\mathbb {Z} ^{4}$ имеет 744 в качестве 50- го индексированного коэффициента (как и в случае с тета-рядом $\mathbb {D} _{4}$ ), ^[284]^[280] и где его двадцать пятый коэффициент равен 248 , что является самым важным делителем числа 744. Кроме того, в этом тэта-ряде $\mathbb {Z} ^{4}$ , предыдущий 49-й коэффициент равен 456 , единственное число, которое содержит аликвотную сумму 744, ^[14]где $744 - 456 = 288$ , значение, которое представляет собой количество ячеек в дисфеноидальной 288-ячейке , 48 вершин которой вместе представляют двадцать четыре единичных кватерниона Гурвица с нормы квадратом 1 , объединенных с двадцатью четырьмя вершинами двойственных 24 -ячейка с нормой в квадрате 2 . Для тета-серии $\mathbb {D} _{4}$ , то есть реализовано в 16- ячеечных сотах , все $25 \times 2 м$ индексированные коэффициенты (т.е. 25, 50 , 100, 200, 400, ...) равны 744. ^[284] Для обоих тета-рядов $\mathbb {D} _{4}$ и $\mathbb {Z} ^{4}$ , 456-й коэффициент равен 1920 , сумма делителей 744. ^[32]

Для тета-ряда четырехмерного $\mathbb {F} _{4}$ решетка, индекс коэффициента 288 – 97-я ненулевая норма, коэф. индекс 456 153-го числа (индекс, представляющий семнадцатое треугольное число ) и коэфф. индекс 744 250 -й; ^[283] последний представляет собой индекс коэффициента, который является наибольшим из четырех чисел, поддерживающих Эйлера коэффициент 100 : 101, 125, 202 и 250. ^[5] — наименьшее из них — двадцать шестое простое число, а самое большое $250 = 2 \times 5. 3$ имеет сумму простых делителей, равную 17 , седьмому простому числу; ^[9] и где $202 = 49 + 153$ и $250 = 153 + 97$ , где $549 = 49 + 97 + 153 + 250$ , 447-е индексированное составное число. ^[28] Более глубоко, для тета-серии $\mathbb {F} _{4}$ 744 - это коэффициент с простым индексом по первым шести индексам менее $10. 4$ (соответственно 458-й, 526-й, 742-й, 799-й, 842-й и 1141-й простые индексы, с суммой 4058; последний в эквиваленте $1141 = 7 \times 163$ ). ^[282]Первый составной коэффициент. индекс в ряду с коэффициентом 744 является его седьмым индексом $9251 = 11\times29 2$ , сумма простых делителей которого, включая 1, равна 70 (что имеет алгебраическое значение с точки зрения построения двадцатичетырёхмерной решетки Лича ). 456 и 1176, аликвотная сумма 744, ^[14] также являются коэффициентами с простыми индексами по своим первым двум индексам коэффициентов (346-й, 364-й и 1098-й, 1159-й соответственно). ^[282]

В четырехмерном пространстве трехмерные трех грани ячеек крупнейших из шести обычных $4$ – многогранники ( октаплекс , додекаплекс и тетраплекс ) ^[285]^{: стр.292} коллективный номер $24+120+600=744.$ ^[г]

E ₈ решетка и Лича

Внутри конечных простых групп лиева типа исключительная алгебра Ли ${\mathfrak {e_{8}}}$ имеет минимальное точное представление в двухстах сорока восьми измерениях, где $248$ делит $744$ трижды больше. ^[286]^[287]^{: стр.4} Джон Маккей отметил пересечение между конечными простыми группами лиева типа и спорадическими группами, где симметрии узлов в диаграммах Дынкина комплексной алгебры Ли ${\mathfrak {e}}_{8}$ а также те из ${\mathfrak {e}}_{7}$ и ${\mathfrak {e}}_{6}$ соответственно совпадают с тремя крупнейшими классами сопряженности $\mathrm {F_{1}}$ ; где также соответствующий ряд Маккея–Томпсона $j(3\tau )^{1/3}$ спорадической группы Томпсона $\mathrm {Th}$ содержит коэффициенты, представляющие его точное размерное представление (также минимальное в $\operatorname {dim} 248$ ) ^[288]^[237] чьи ценности сами по себе включают в себя нередуцируемое представление ${\mathfrak {e_{8}}}$ . ^[289]^{: стр.6} В свою очередь, исключительная алгебра Ли ${\mathfrak {e_{8}}}$ показано, что он имеет градуированное измерение $j(q)^{1/3}$ ^[290] чей характер $\chi$ предоставляет взаймы прямую сумму , эквивалентную, ^[289]^{: стр.7, 9–11}

\chi _{e_{8}\oplus e_{8}\oplus e_{8}}(q)=J(q)+744=j(q),

где CFT вероятностная статистическая сумма для

\mathrm {F_{1}}

является

J(q)

характера

\chi _{F_{1}}.

^[291]

Двадцатьчетырехмерная решетка Лича $\Lambda _{24}$ в свою очередь, может быть построен с использованием трех копий ассоциированного $\mathbb {E_{8}}$ решетка ^[292]^[285]^{: стр. 233–235.}^[the] и с восьмимерными октонионами $\mathbb {O}$ (см. также «Магический квадрат Фрейденталя» ), ^[297] где группа автоморфизмов $\mathbb {O}$ — наименьшая исключительная алгебра Ли ${\mathfrak {g_{2}}}$ , который встраивается внутрь ${\mathfrak {e_{8}}}$ . В форме вершинной операторной алгебры решетка Лича VOA является первой, помимо $V_{1}$ (как $\mathbb {C} _{24}$ ) с центральной оплатой $c$ из $24$ , из семидесяти одной такой модулярной инвариантной конформной теории поля ВОА голоморфных веса один. ^[298] известные как список Шеллекенса Эти алгебры, , образуют глубокие дыры в $V_{\Lambda _{24}}$ соответствующие орбифолдные конструкции изоморфны модулю самогонному которого $V_{2}$ ^♮ который содержит $\mathrm {F_{1}}$ как его автоморфизм; ^[299] из них второй и третий по величине содержат аффинные структуры $E_{8,1}^{3}$ и $D_{16,1}E_{8,1}$ которые реализуются в $\operatorname {dim} 744$ . ^[я]^[304]^[305]

Другая недвижимость [ править ]

$744$ также является суммой последовательных пятиугольных чисел , ^[306]^[307]^[xxxiii]

P_{11}+P_{12}+P_{13}=210+247+287.

Это « селфи-номер », где $744=(7-4)!!+4!.$ ^[309]^[310]^[xxxiv]

$744$ — магическая константа размером шесть на шесть, магического квадрата состоящего из тридцати шести последовательных простых чисел, между $41$ и $223$ включительно. ^[311]^[хххв]

Это количество неконгруэнтных многоугольных областей в правильном $36$ – угольник со всеми нарисованными диагоналями. ^[319]^[xxxvi]

Существует семьсот сорок четыре способа, которыми четырнадцать квадратов разных размеров помещаются от края до края внутри большего прямоугольника . ^[321]^[xxxvii]

См. также [ править ]

Теория самогона - исследование связей между F ₁ и модулярными функциями , в частности j(τ).

Числа Хегнера — 1 , 2 , 3 , 7 , 11 , 19 , 43 , 67 и 163.
Суперсингулярные простые числа — 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 и 31 , а также 41 , 47 , 59 и 71.
J -инвариант — 1728 = 12 ³ = j(i) , на единицу меньше первого номера такси 1729 (также известного как число Рамануджана-Харди )

Числа Осириса или повторной сборки цифр – равны сумме всех перестановок подмножеств собственных цифр (например, 132 в десятичной системе счисления по отношению к симметричной группе S ₆ )

Примечания [ править ]

Высшая арифметика

^ 120 также равно сумме первых пятнадцати целых чисел или пятнадцатому треугольному числу $Σ. 15 п = 1 п$ , ^[6] хотя это также наименьшее число с шестнадцатью делителями, ^[12] 744 — тридцать первое такое число. ^[13] Это значение также равно сумме всех простых чисел меньше 31, не являющихся делителями 744, кроме 5, включая 1. Включительно 5 эта сумма равна $125 = 5. 3$ , что является вторым числом после 32 которого равна , аликвотная сумма 31. ^[14]
Согласно гипотезе Коллатца , 744 и 120 требуют пятнадцати шагов, чтобы достичь 5 , прежде чем пройти через {16, 8, 4, 2, 1} за пять шагов. ^[15]^[16] В противном случае им обоим потребуется девятнадцать шагов, чтобы достичь 2 , который является средним узлом в элементарной траектории {1,4,2,1,4...} для 1 при циклическом возвращении к самому себе, или двадцать шагов, чтобы достичь 1 .
^ Радикал . $186 = 2 \times 3 \times 31$ из 744 ^[19] имеет среднее арифметическое делителей, равное 48, ^[11] где сумма трех различных простых делителей числа 744 равна $62 =$ 36 186 его не существует ^[20] и некокотентный , ^[21] равен количеству пентагексов , когда вращения считаются отдельными. ^[22]
^ 744 — 181-е обильное число. В частности, 432 (дважды 216 , куб 6 ) имеет аликвотную сумму 808 , ^[14] где 433 — тридцать первое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления , которое повторяет 432 цифры, что в совокупности дает 1944. ^[25] Менее 1000, шестидесятое и самое большое такое простое число - 983 , которое повторяет 982 цифры, которые в сумме дают 4419, двузначную двойную перестановку цифр 1944 года (и где $2475 = 4419 - 1944$ имеет уменьшенную долю 60). ^[26] 432 также является двадцать третьим промежуточным числом между простыми числами-близнецами . ^[27] и восьмое такое число, соседние простые числа которого имеют простые индексы, которые добавляются к простому числу ( $167 = 83 + 84$ , тридцать девятое простое число); ^[9] 348 , сводный индекс 432, ^[28] само по себе является шестым промежуточным числом, чьи соседние простые числа имеют индексы, которые добавляются к простому числу ( $139 = 69 + 70$ , тридцать четвертое простое число). ^[9]
Важно, $432 = 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3$ ^[29] — число Ахиллеса , мощное число (тридцать четвёртое). ^[30] это само по себе не является идеальной степенью , как 864 (одиннадцатый индекс, который вдвое превышает его значение) и 288 (общая сумма 864), ^[5] а также 108 (четвертая из 432) и 1944 г. ^[31] (432 — шестой член, где шестое треугольное число — 21 , ^[6]сам индекс 1944 года в списке чисел Ахиллеса. Обратите внимание также, что $1944 = 1200 + 744$ , где $1200 = 456 + 744$ , или, другими словами, $σ (456)$ .) ^[32]
С другой стороны, 181 , индекс 744 как избыточного числа, является шестнадцатым полным повторяющимся простым числом по основанию десять, ^[25] и сводный индекс 232 , ^[28] это сумма первых пяти промежуточных чисел, которые лежат между простыми числами-близнецами с суммами простых чисел из соответствующих индексов (т. е. 138, 72, 12, 6, 4), как в случае с 432 и 348. ^[27] 109 — десятое полное повторяющееся простое число, повторяющее 108 цифр, сумма повторяющихся цифр которых равна 486 , четвертая часть 1944 года, где 487 — тридцать третье полное повторяющееся простое число (а 811 — сорок девятое, на одну меньше суммы 180). повторяющиеся цифры 181 с $288 = 180 + 108$ ). ^[25]
^
744 — 183-е полусовершенное число, индексное значение, сумма делителей которого равна 248 , ^[32] и среднее арифметическое делителей, равное 62 = 31 × 2 , ^[10]^[11]оба из них являются делителями 744 (четырнадцатый и десятый по величине соответственно); в противном случае сумма двух его делителей, больших 1, равна 3 + 61 = 64 = 8. ². 183 также является восьмым совершенным числом . ^[34] и количество полупорядков на четырех меченых элементах. ^[35] Это наибольшее количество внутренних областей, образованных четырнадцатью пересекающимися кругами, что эквивалентно количеству точек на проективной плоскости над конечным полем. $\mathbb {Z} _{1}3$ $\mathbb {Z} _{1}3$ , с 13 ² + 13 + 1 = 183 . ^[36] Это количество зубочисток в последовательности зубочисток после восемнадцати этапов. ^[37] Далее 181, 183 стоит шестьдесят второе число Лёша формы x. ² + ху + у ², как произведение третьего и двадцать четвертого таких чисел ( 3 , 61 ), простых индексов два и восемнадцать. ^[38]^[9] Кроме того, наименьшее число, имеющее ровно четыре решения этого квадратичного многочлена, - это первый номер такси 1729 из ( a , b ) целочисленных пар (3, 40), (8, 37), (15, 32) и (23, 25) , ^[39]^[40]где эти четыре пары вместе генерируют сумму 183 . С другой стороны, наименьшее такое число, имеющее только два решения, равно 49 ; ^[41] где 1729 представляет собой 97-е такое число, выражаемое двумя или более способами. ^[42] Вероятность того, что любое нечетное число является числом Лёша, равна 0,75 , а вероятность того, что это четное число, составляет оставшиеся 0,25. ^[43]
Существует ровно 816 целых чисел (включительно, равных сумме делителей 737 , наибольшей составной суммы 744). ^[32] между полусовершенным индексом 744 и 1000, числом, которое, в свою очередь, имеет сумму делителей 2232 = 744 × 3 , ^[32] 24-е десятиугольное число , ^[44] а также 30-е число, которое можно выразить как разность квадратов последовательных простых чисел только одним отличным способом; ^[45] другие члены этой последовательности включают:
- 1920 ( 26 -й), сумма делителей 744, ^[32]
- 1728 (24-й), равный кубу 12 и на единицу меньше первого номера такси,
- 432 ( 8 -й), изобилие 744, ^[24]
- 288 (6-е), разница между 744 и 456 , единственное число, аликвотная сумма которого равна 744, ^[14]
- 240 ( 5 -й), число Эйлера 744. ^[5]
888 — 13- й член, 26-я повторная цифра в десятичном формате. ^[46] равен сумме между 432 и 456 и между 144 и 744 (где 432 и 456 имеют общие значения 144); ^[5] и равен произведению двенадцатого простого числа 37 и 24. Первые четыре члена (5, 16, 24, 48) генерируют сумму 93 , что является одиннадцатым по величине делителем числа 744 после 62. ^[45] 93 представляет количество различных циклических перестановок Гилбрета на 11 элементах, ^[47] имеется девяносто три различных действительных периодических точки порядка 11 и, следовательно, на множестве Мандельброта . ^[48] В противном случае 1632 = 1176 + 456 , что эквивалентно аликвотной сумме 744 (1176). ^[14] и 456 — шестнадцатое число, которое можно выразить как разность квадратов простых чисел двумя различными способами, последовательными или иными (432, 1728, 1920 и 2232 также входят в эту последовательность). ^[49]
183 также является первым нетривиальным 62 - угольным числом .
^ Между тем, где 279 - это 58-е промежуточное число, лежащее между последовательными нечетными числами, которые не обязательно являются простыми числами-близнецами (здесь с разницей в четыре), 58-е палиндромное число в семеричном формате эквивалентно 456 в десятичном формате. ^[53] (это единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) ^[14] и представлено как 1221 ₇ , чьи цифры представляют собой двойную перестановку цифр 744 как 64 -й палиндром в системе счисления с основанием 7 ( 2112 ). ^[53]
Явно, каждое положительное целое число представляет собой не более суммы двухсот семидесяти девяти восьмых степеней ( проблема Уоринга ), которым предшествует максимальное количество ${1, 4, 9, 19, 37, 73, 143}$ $n$ -степеней; ^[60]где, как уже упоминалось, 279 — это десятичное представление дополнения до единиц 744 в двоичном формате. В этой последовательности первые шесть членов генерируют сумму, эквивалентную седьмому члену 143 , составному индексу 186. ^[28] это радикал 744, ^[19]а также равна сумме семи последовательных простых чисел, начиная с 11 и заканчивая одиннадцатым простым числом: $11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31$ . Это также произведение третьей простых чисел-близнецов пары $(11 \times 13)$ ; ^[8] пока прикидываю $34 + 4 4 + 5 4 + 6 4 = 7 4 - 143$ , что является вторым (или третьим) исключением в последовательности полиномов, начинающейся с $3. 2 + 4 2 = 5 2$ и $33 + 4 3 + 5 3 = 6 3$ , через $31 = 4 1 - 1$ (и $0 = 3 0 - 1$ ).
В то время как в начале последовательности полных повторяющихся простых чисел (с примитивным корнем 10) два наименьших таких числа - 7 и 17 , при этом повторяющиеся цифры обратного числа 7 добавляются к $27 = 3. 3$ это семнадцатое составное число, ^[28]есть еще $983+17=1000$ и $2\times279+432=7+983$ . Диапазон полных повторяющихся простых чисел от 17 до 983 состоит из пятидесяти девяти целых чисел, где 59 — семнадцатое простое число и седьмое суперпростое число . ^[9]^[61]
^ 744 — четыреста шестое индексированное губительное число, где 406 — двадцать восьмое треугольное число; ^[6] в его представлении с базой два позиции нулей 3: 1 находятся в $соотношении 1: 1: 3$ или $: 1$ с позициями единиц, которые находятся в $соотношении 1: 3: 1$ .
Его дополнение равно 100010111 ₂ , что эквивалентно $279 = 3. 2 \times 31$ в десятичном формате , что представляет собой сумму НОД частей во всех разделах $16 = 4. 2$ . ^[55] Это также количество разбиений $62 = 2\times31$ (делитель 744), а также 63 на факториальные части (без учета 0!), ^[56] и количество целочисленных разделов 44 , длина которых равна НОК всех частей ^[57] (с 63 — сорок четвёртым составным числом , ^[28] где 44 само по себе является числом нарушений 5, ^[58] и $63 + 44 = 107$ — двадцать восьмое простое число ). ^[9]
2112 ₁₀ — это количество повторяющихся десятичных цифр числа 2113 в виде полного повторяющегося простого числа в десятичной системе счисления . ^[25] где 2112 — 65-е промежуточное число , лежащее между последовательными простыми числами-близнецами, ^[27] в противном случае это 317 -й член между последовательными нечетными простыми числами, ^[59] где 317 — 66-е индексированное простое число (90 и 91 — 65-е и 66-е составные числа соответственно, где $181 = 90 + 91$ ). ^[9]^[28] 279 , с другой стороны, является 58-м числом, лежащим между последовательными нечетными простыми числами ( 277 , 281 ), ^[59] с $81 = 9 2$ пятьдесят восьмое составное число. ^[28]^[v] Точнее, восемьдесят один — это сумма повторяющихся цифр третьего полного повторяющегося простого числа в десятичной системе счисления, 19 . ^[25] где сумма этих цифр представляет собой магическую константу 18 $\times 18,$ ненормального, но полного простого обратного магического квадрата основанного на его обратном ( $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / 19$ ) . ^[62]^[63]^[64]
^ 744 — двадцать третье из тридцати одного такого числа, общая сумма которого равна 240, после 738 и перед 770 . Наименьшее число — 241 , пятьдесят третье простое число и шестнадцатое суперпростое число . ^[61] и самый большой — 1050 , что представляет собой количество частей во всех разделах из 29 на отдельные части. ^[65]
^ Значение этой сигма-функции представляет собой пятнадцатую сумму нетреугольных чисел между треугольными числами ; в данном случае это сумма, лежащая между пятнадцатым ( 120 ) и шестнадцатым ( 136 ) треугольными числами. ^[67] (т.е. сумма $121 + 122 + ... + 135$ ).
^ Тридцатое треугольное число равно $465 = 3 \times 5 \times 31$ , что равно разнице между 744 и 279 (эквивалентно 1011101000 ₂ и 100010111 ₂ , пары дополнений единиц соответственно). 30 — двенадцатое число $m$ такое, что $6 m + 1$ и $6 m — 1$ — простые числа-близнецы ( 181 , 179 ). ^[8]^[69] 465 также является биномом $(31,2)$ , равным количеству подмножеств размера 2 из ${0, 1, ..., 31},$ которые не содержат последовательных целых чисел (в свете как треугольное число, отстающее от своей последовательности на один индекс ). ^[70]^[6] В последовательности Падована 465 — это двадцать восьмой индексированный член, равный количеству композиций из 28 на части, конгруэнтные $2 по модулю 3$ , а также количеству композиций из 28 на части, которые нечетны и больше или равны 3, и количество максимальных клик в $(28 + 6)$ -путей графе дополнения (в частности, в $34$ -пути). ^[71]
30 — это наименьшее сфеническое число , которое является произведением трех различных простых чисел (2, 3 и 5) со следующими двумя такими числами $42 + 66 = 108$ . ^[72] Важно отметить, что 30 — это единственная точка в последовательности натуральных чисел. $\mathbb {N} ^{+}$ где отношение простых чисел к непростым (до) равно 1/2  ; при включении 0 в $\mathbb {N}$ как непростое число, это соотношение достигается при 29 , где соотношение половины снова достигается только (здесь исключительно как соотношение между простыми и составными числами) при 37 и 43 , которые являются соответственно двенадцатым и четырнадцатым простыми числами. (при включении 1 в качестве простой единицы тринадцатое простое число 41 будет еще одной точкой соотношения 1:1, без учета 0). ^[9] В противном случае соотношение простых чисел к составным (до) 1:1 происходит в двух точках: 11 и 13 , соответственно пятом и шестом простых числах. ^[9] — чьи индексы в сумме равны 11, простой индекс 31 — и в 7 , когда 0 и 1 включаются как непростые числа в $\mathbb {N} _{0}$ или в 8 , если включается только 1, и в 9 , если считать 0 непростым, а 1 — простой единицей). Тридцать также является первым составным значением с тремя или более различными простыми множителями, для которого функция Мёбиуса возвращает −1 , как и для всех чисел со строго нечетным количеством простых множителей, включая сами простые числа. Соответственно, 31 — это первое число (после 1 ), достигшее рекордной амплитуды между нулями в связанной функции Мертенса $M (n)$ , где следующее такое число — 114 , ^[73] среднее арифметическое делителей которого равно 30, ^[10]^[11] с суммой делителей 240. ^[32] С другой стороны, 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744), ^[14] 744 и 1176 (аликвотная сумма 744) все устанавливают значение -5 для $M (n)$ , ^[74] соответственно 20-е, 57-е и 86-е числа для этого (где 57 — сороковое составное, а 80 — пятьдесят седьмое), ^[28]при этом эти индексы образуют сумму $20 + 57 + 86 = 163$ , что эквивалентно наибольшему из девяти чисел Хегнера . (Кроме того, $20 + 57 = 77$ , сумма десятичных цифр в почти целочисленном приближении $e π \sqrt163$ до его десятичного расширения.)
Шестая пара чисел, создающая рекордный разрыв между простыми числами ( 14 ), — это 30-е и 31-е простые числа ( 113 , 127 ), ^[75]^[76]^[77]^[9] Предыдущие последовательные простые числа, создающие рекордные пробелы: (89, 97), (23, 29), (7, 11), (5, 3) и (3, 2); ^[78]^[79] меньшее из них вместе дает сумму 127, тридцать первое простое число.
^
Это 168 -е индексированное число Цумкеллера, где 168 = 6 × 28 представляет собой произведение первых двух совершенных чисел , ^[81] равно пятому числу Дедекинда , ^[82] где предыдущие четыре индексированных члена (2, 3, 6, 20) в совокупности дают 31 — с 496 тридцать первым треугольным числом, ^[6]и третье совершенное число. 168 — это также количество простых чисел меньше 1000 . ^[9]^[83] Два набора делителей числа 744 с равными суммами:
- (1, 2, 3, 4, 8, 12, 62, 124, 744)
- (6, 24, 31, 186, 93, 248, 372)
960 также является тридцать первым числом Жордана–Пойа , которое является произведением факториалов 5! × (2!) ³, ^[84] равно сумме шести последовательных простых чисел 149 + 151 + 157 + 163 + 167 + 173 , между 35-м и 40-м простыми числами (это тридцать пятое такое число). ^[85] Пятнадцатое и шестнадцатое треугольные числа образуют сумму 120 + 136 = 256 = 2. ⁸ это общее значение 960, ^[5] и количество разделов 29 = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 2 ² + 3 ² + 4 ² на отдельные части и нечетные части. ^[86] Как и его простое число-близнец 31, 29 является первоначальным простым числом , которое вместе составляет третью и самую большую из трех известных пар простых чисел-близнецов (1-го, 2-го и 5-го), которые являются первоначальными простыми числами. ^[87]возможно, без больших пар. Между ними находится 30 .
^ Сложные тотативы
{ 25 , 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95, 115, 119, 121, 125, 133, 143, 145, 161, 169, 175, 185, 187, 203, 205, 209, 215, 221, 235, 245, 247, 253, 259, 265, 275, 287, 289, 295, 299, 301, 305, 319, 323, 325, 329, 335, 343, 355, 361, 365, 371, 377, 385, 391, 395, 407, 413 , 415 , 425, 427, 437, 445, 451, 455, 469, 473, 475, 481, 485, 493, 497, 505, 511, 515, 517, 529, 533, 535, 539, 545, 551, 553, 559, 565, 575, 581, 583, 595, 605, 611, 623, 625, 629, 635, 637, 649, 655, 665, 667, 671, 679, 685, 689, 695, 697, 703, 707, 715, 721, 725, 731, 737 }.
Его наименьшая составная сумма равна $5. 2 = 25$ , это единственное число, аликвотная сумма которого равна 6 , ^[14] и второе из двух чисел, сумма делителей которого равна 31 (самый большой простой делитель 744), после $16 = 4. 2$ . ^[32] В частности, двадцать пятое простое число 97 образуется из суммы 48 и 49. Девяносто семь — это девятое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления. ^[25] чьи 96 повторяющихся цифр образуют сумму 432 , равную количеству 744. ^[24] 97 также является первым нечетным простым числом, которое не является простым числом кластера. ^[89] (которое предшествует тридцать первому простому числу 127 в этой последовательности), где разрыв между простыми числами для простого числа кластера равен шести или меньше; ^[90] шестое и седьмое простые числа, не являющиеся простыми числами кластера, — это сорок восьмое и сорок девятое простые числа 223 и 227 .
97 — одиннадцатое простое число $p$ формы $6 m + 1$ для натурального числа $m$ . ^[91]
Между медианными составными тотативными значениями 744, т. е. ( 413, 415 ) , находится 414 — 333 -е составное число. ^[28] - с Эйлера 132 коэффициентом ^[5] это также простой индекс 743, ^[9] наибольшая простая сумма 744. Кроме того, 414 имеет сумму делителей 936, ^[32]777 - е составное число, в свою очередь, сумма делителей 639 (палиндром с 936), которое само по себе является составным индексом 777 (также палиндром). Где 414 — 43-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса, 333 — 26-е, ^[92] где 43 — четырнадцатое простое число. ^[9] Кроме того, двадцать пятая цифра в десятичном формате равна 777. ^[46]
Если 25 — наименьшая составная сумма 744, то наибольшая такая сумма равна 737 , аликвотная сумма которой равна 79 , ^[14] двадцать второе индексированное простое число, ^[9] это меньшее перестановочное простое число до 97 в десятичной системе счисления. ^[7]
^ 713 — произведение девятого и одиннадцатого простых чисел $23\times31$ , где двадцать третье простое число ( 83 ) — это одиннадцатое простое число вида $6 m - 1$ ; оно равно разнице между 744 и 31 с аликвотной суммой 55. ^[14] и общее значение 660 . ^[5]
∗ 589, равное $19 \times 31,$ представляет собой сумму трёх последовательных простых чисел (193 + 197 + 199). ^[93] Это также девятое центрированное тетраэдрическое число , где 5 и 15 — первые два таких числа ( $121 = 11 2$ является пятым). ^[94] Это четырнадцатая третья спица шестиугольной спирали. ^[95] и двадцатое квази- число Кармайкла ^[96] с уменьшенным значением 90 . ^[26] В функции spt 589 — это общее количество наименьших частей (считается с кратностью) во всех разделах , равных 15. ^[97]
∗ 527 , равное $17 \times 31,$ — это количество разбиений 31 с равным количеством четных и нечетных частей. ^[98] Его аликвотная сумма равна 49. ^[14] среднее арифметическое делителей которого равно $122 = 144$ с суммой его простых делителей, равной 48. Это также максимальное количество частей, которое можно получить, разрезав кольцо 31 разрезом, ^[99]и эквивалентен сумме тридцати одного последовательных ненулевых целых чисел $2 + 3 + ... + 32$ ; вторая по величине такая сумма после третьего совершенного числа 496. ^[81]
^
* 403, равное 13×31, — это тридцать седьмое число, возвращающее 0 для функции Мертенса , ^[92] и значение суммы делителей 144 , первого числа, генерирующего это значение. ^[32]Это также первое число, общее число которого равно 360 , из двадцати пяти таких чисел; с 549 шестым (и 447-м составным числом, которое само по себе является 360-м составным числом) ^[28] и 693 = 144 + 549 десятый. ^[5] Кроме того, 403 — это 284-е арифметическое число , поскольку его четыре делителя содержат среднее арифметическое 112 = 7 × 4 × 4 , второе такое число, содержащее это значение. ^[10]^[11]
112-е простое число — 613 . ^[9] что представляет собой сумму последовательных составных индексов 382 и 384 (соответственно 306 и 307), ^[28]где 383 — 28 - е полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления; 613 также равно сумме простых индексов семи последовательных полных простых чисел (в десятичном формате): 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499 соответственно с простыми индексами 77, 81, 84, 89, 93, 94 и 95 ^[9] (и между 29-м и 35-м такими простыми числами) ^[25] — все следующие за 383, где следующее полное повторяющееся простое число после 499 — это 96-е простое число 503 . ^[9] 383 также является вторым числом после 19, которое генерирует полный простой обратный магический квадрат в десятичной дроби, строки и диагонали которого генерируют одну и ту же магическую константу (из повторяющихся цифр) 1719 . ^[62] В списке простых чисел 2017 и 2027 занимают соответственно 306-е и 307-е места. ^[9] где 1719-е составное число — это 2026. ^[28]
- Среднее арифметическое делителей числа 2022 , которое находится посередине между только что отмеченным пробелом в простых числах из одиннадцати целых чисел (включительно), равно 507 , что равно сумме простых делителей числа $2012 = 2. 2 \times 503$ (включая кратности), среднее арифметическое значение делителей которого, в свою очередь, равно 588 (половина 1176, аликвотная сумма 744) и второе такое число, имеющее это значение (588), после 1304. ^[10]^[11]
- 1685, с другой стороны, является третьим числом, среднее число делителей которого после 2022 года равно 507, а сумма делителей (1685) равна 2028 . ^[32] число, лежащее между 307-м и 308-м простыми числами, 2027 и 2029, 62 -я пара простых чисел-близнецов); ^[9]^[8] 2011 также является простым числом, 305-м простым числом, причем 305 имеет составной индекс 242 . ^[9]^[28]
- 1715, сводный индекс 2022 года, ^[28] является четвертым из тринадцати чисел, общая сумма которых равна $1176 = s (744)$ , ^[5] со средним арифметическим делителей, равным 300 , что является двадцать четвёртым треугольным числом. ^[6]
- Число 2023 , находящееся на полпути между простыми числами 2017 и 2029, имеет аликвотную сумму 433 (или 432, численность 744 , если не считать 1), ^[14] и фактор Эйлера $1632 = 1176 + 456$ (аликвотная сумма 744 плюс единственное число, содержащее аликвотную сумму 744). ^[5]
Если 383 повторяет 382 цифры в десятичной системе счисления, то 382 также является арифметическим числом, а именно первым числом, среднее число делителей которого равно 144. ^[10]^[11] будучи седьмым числом, содержащим сумму делителей 576 = 24. ². ^[32]Кроме того, 613 + 744 = 1357 , а также 744 - 613 = 131 (оба с последовательными разностями в 2 между цифрами); последнее - это двенадцатое полное повторяющееся простое число в десятичной дроби, которое повторяет 130 цифр с суммой 585 = 8. ⁰ + 8 ¹ + 8 ² + 8 ³, где 48 -е полное повторяющееся простое число, с другой стороны, равно 743, наибольшему простому числу 744 (или 49 -му в почти идентичной последовательности длинных простых чисел , которая вместо этого начинается с 2, десятичное разложение которой 1 / p имеет период p − 1 ). ^[25]^[100]
Между тем, 112 (82-й составной) — это составной индекс 147 = 48 + 49 + 50. ^[28] с аликвотной суммой 81 = 9 ²^[14] и среднее делителей 38 . ^[10]^[11] 147 само по себе является составным индексом девятнадцатого треугольного числа 190 . ^[6] равен тотенту и приведенному тотенту 382. ^[5]^[26] 744 − 383 = 361 = 19 ², где 383 — это 76 = 2 ² × 19 индексированное простое число ^[9] (и 304, четырежды семьдесят шесть, простой индекс 2003 года , который является наименьшим простым числом, большим, чем 2000). ^[9]
* 341 , равное 11 × 31, представляет собой сумму семи последовательных простых чисел (37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61) простых чисел с 12 по 18 . Это наименьшее псевдопростое число Ферма в двоичной системе . ^[101] и шестое центрированное число куба . ^[102] Это количество разделов, равное 31, такое, что каждая часть встречается с одинаковой кратностью, ^[103] а тридцать первое число в последовательности Мозера – де Брёйна представляет собой сумму различных степеней 4 ( 4 ⁴ + 4 ³ + 4 ² + 4 ¹ + 4 ⁰). ^[104]^[105] 341 — это также одиннадцатое восьмиугольное число , ^[106] равно числу узлов в правильном одиннадцатиугольнике, у которого проведены все диагонали. ^[107] с (341) = 43 , ^[14] со средним арифметическим делителей, равным 96 . ^[11] Это также десятое число Якобсталя , ^[108] и общее количество крупнейших частей (или, что эквивалентно, суммы наименьших частей) во всех разделах 16 . ^[109]
^ * 217, равное $7\times31,$ — девятое центрированное шестиугольное число , в которое также входят в качестве предыдущих членов {7, 19 , 37, 61, 91, 127 , 169} ^[110]где 127 — шестой член, который также является тридцать первым простым числом. 217 также является шестым нетривиальным двенадцатиугольным числом. ^[111] и третье нетривиальное центрированное 36-угольное число. ^[112] Это третье псевдопростое число Ферма пятеричного числа после 124 (делитель 744) и 4, ^[113] и пятнадцатое целое число Блюма , отдельные простые множители которого конгруэнтны $3 по модулю 4$ . ^[114]
✶ 155, равное $5 \times 31,$ имеет аликвотную сумму 37 ^[14] и среднее арифметическое делителей, равное 48. ^[5] Это третье число, равное сумме от наименьшего простого множителя до наибольшего. Единственные меньшие числа с таким же свойством - это 10 и 39. ^[115] которые генерируют сумму $49 = 7 2$ ; следующее такое число — 371 , на 1 меньше половины от 744. Всего существует сто пятьдесят пять примитивных групп перестановок $(G, X)$ степени $81$ , которые сохраняют только тривиальные разбиения на множестве $X$ с помощью $G$ ; ^[116] сумма числа всех групп перестановок младших степеней равна 666 , что является двоякотреугольным , ^[117] поскольку оно представляет собой сумму первых тридцати шести целых чисел, где 36 само по себе является восьмым треугольным числом. ^[6] 148 . повторяющихся цифр тринадцатого полного повторяющегося простого числа в десятичном формате 149 (которое находится между 109 и 181 в этой последовательности) ^[25] сумма равна 666.
Сто пятьдесят пятое индексированное практическое число — 744. ^[50] где 155-е арифметическое число — это сорок восьмое простое число 223 : первое число, содержащее среднее арифметическое делителей 112, предшествующее 403 . ^[10]^[11]
^ 743 — двадцать шестое или двадцать седьмое счастливое число Эйлера формы $n. 2 + n + 41$ для получения последовательных простых чисел. ^[118]^[119] Это также двадцать шестое индексированное начало максимальной цепочки простых чисел вида $p (k), ..., p (k + r)$ для $r \geq 1$ . ^[120] Это сорок восьмое полное повторяющееся простое число в десятичной дроби с примитивным корнем 10 , ^[25] или, аналогично, сорок девятое простое число с длинным периодом включить 2 . , если в эту последовательность ^[100] Это сорок восьмой член десятичной системы счисления, в котором каждый суффикс является простым, при этом многократное удаление наиболее значимой цифры дает простое число на каждом этапе, пока не останется однозначное простое число. ^[121]
В частности, 743 — это общая сумма нечетных частей во всех разделах из 13, ^[122] и количество разделов 31 на номера разделов. ^[123] В частности, это количество способов разбить 7 помеченных элементов на наборы размером не менее 2 и упорядочить эти наборы, ^[124] и, кроме того, число строгих целочисленных разделов равно 37 , ни одна часть не делится ни на одну, ни на все остальные части. ^[125]
Если 743 является наибольшей простой суммой числа 744, оно представляет собой сумму всех частей всех разделов всех положительных целых чисел, меньших или равных 25 , на нечетное число равных частей или, что то же самое, последовательных частей ; ^[126] с двадцатью пятью наименьшей совокупной суммой 744.
^ Эти простые совокупные числа образуют сумму 44 647 (число простых чисел, 4641-е простое число, индекс, среднее арифметическое делителей которого равно 504 ) ^[11] в то время как составные тотативы вместе образуют сумму 44 632 (на единицу меньше простого числа, 4639-е простое число и 626-е суперпростое число , ^[61] последний - индекс, значение которого является четвертым и наибольшим числом, сумма аликвот которого равна 316 ); ^[14] эти суммы имеют разницу 15 или в противном случае в совокупности имеют диапазон 16 чисел между собой включительно.
С другой стороны, разности и суммы шести чисел, конгруэнтных $\pm1 по модулю 6$ , которые не являются суммативными числами 744, сами эквивалентны делителям числа 744, поскольку они являются двупростыми числами пропорционально 31 (например, $713 - 589 = 124$ и $713 - 527 = 186$ ), а также генерируя другие соответствующие равенства, такие как $713 - 217 = 496$ .
Наибольшая разница между наибольшим (713) и наименьшим (155) из этих тотативов составляет 558 , седьмое число такое, что сумма крупнейших простых делителей чисел от 1 до 558 делится на 558, предыдущее и шестое индексированное число равно 62. , ^[128] десятый по величине делитель числа 744, сумма делителей которого равна 96; ^[32] пятое число в этой последовательности — 32 (которое делит 96).
Разница между 558 и 62 также равна 496, что равно $713 - 155 - 62$ ; и, что важно, 558 — это дважды 279, что является дополнением к единицам 744 в двоичном и десятичном представлении.
^ Разница между 2238 и 1492 составляет 746, где 2238 — это дважды 1119. В частности, $746 = 2 \times 373 = 1. 5 + 2 4 + 3 6 = 2! + 4! + 6!$ он знает не ^[20] и равен количеству ненормальных ортомагических квадратов с магической константой 6. ^[129]
Его полное значение 372 составляет половину от 744, ^[5] это также на 1 меньше, чем 373 , 74- е индексированное простое число. ^[9]это наименьшая разница между числами, число которых равно 744 (т. е. $1119-1492$ ). 373 — одиннадцатое двустороннее усекаемое влево и вправо простое число в десятичной системе из пятнадцати таких простых чисел по основанию десять. ^[130] Хотя 373 — это наименьшая разница между числами, общая сумма которых равна 744, его цифровое представление в десятичном виде представляет собой зеркальную перестановку цифр 737 , наибольшей составной суммы 744.
Сумма этих трёх чисел, чьи доли равны 744, равна $1119 + 1492 + 2238 = 4849$ .
^ 1176 также является одним из двух средних членов двенадцатой строки числа. $\operatorname {(2,3)} -$ Треугольник Паскаля. ^[133] В треугольнике чисел Нараяны число 1176 появляется как сороковой и сорок второй члены восьмой строки. ^[134] в который также входит 336 (всего 1176) ^[5]и 36 ( квадрат 6). Внутри треугольника чисел Лаха вида $\textstyle {L(n,k)=\left\lfloor {n \atop k}\right\rfloor }$ , 1176 — это элемент с $n = 8$ и $k = 6$ . ^[135]Это число Фибоначчи ; пятьдесят первый индексированный член, где в его случае $F_{1176}$ делит $F_{F_{1176}}$ , ^[136] и сорок первая 6 — почти простое число , которое делится ровно на шесть простых чисел с кратностью . ^[137]
^
240 — тридцать первая четверть квадрата , где 49 — 14-я. ^[138] По теме: ^[138]
- Максимальное произведение двух целых чисел, сумма которых равна 31, равно 240.
- 240 — это сумма натуральных чисел меньше 31, имеющих четность , противоположную 31.
- 240 — это количество непустых подмножеств ${1, 2, ..., 31}$ , содержащих ровно одно нечетное и одно четное число.
- Существует 240 арифметических прогрессий трех слагаемых, любыми способами извлекаемых из набора первых тридцати одного натурального числа (начиная с 1).
Из исходной позиции в стандартных шахматах 240 — это минимальное количество взятий пешками одного цвета, чтобы разместить 31 из них на одной вертикали (столбце). 240 — это также максимальное количество ребер, которое может иметь граф без треугольников из 31 вершины. ^[138]
Важно отметить, что 240 — это степень полинома шестнадцатицикловой логистической карты r ₁₆ , ^[139]^[140]^[141] где 16 — наименьшее число, аликвотная сумма которого равна 31. ^[14]
^ Сумма всех этих семи целых чисел, сумма делителей которых эквивалентна 744, равна 3313 , 466-му простому числу. ^[9] и 31-е сбалансированное простое число , ^[142] как средний член 49-й тройки сексуальных простых чисел $(3307, 3313, 3319)$ ; ^[143] это соответственно 178- е и 179-е такие простые числа $p$ , где $p - 6$ ^[144] и $р + 6$ ^[145] являются простыми — где 178 — 132-е составное число, ^[28] сам по себе является простым индексом наибольшего числа (743), содержащего сумму делителей 744. ^[9]^[32] 3313 также является 24-м центрированным двенадцатиугольным или звездным числом. ^[146] (и 15-е число является простым). ^[147] Разделенное на два числа, 3313 представляет собой сумму 1656 и 1657, причем последнее является 260 -м простым числом, индексным значением, которое, в свою очередь, является первым из пяти чисел, сумма делителей которого равна 588 . ^[32] что составляет половину от 1176 (аликвотная сумма 744); ^[14] его среднее арифметическое делителей (260), напротив, равно 49 . ^[10]^[11] Кроме того, 260 — это среднее значение делителей 2232 (четвертое по величине из пяти чисел, содержащих это значение), что в три раза равно 744.
^ 248 — это дважды 124 и половина 496 ; последнее, которое является третьим совершенным числом ^[81] — как 6 и 28 (дважды 14) — это тоже тридцать первое треугольное число , ^[6] с формой $2 р - 1 (2 п - 1)$ и $p = 5$ по теореме Евклида-Эйлера . Сумма 248 равна 120, ^[5] с восемью делителями, дающими целое среднее арифметическое 60; ^[11] Число 496 имеет общее число 240, как и 744.
Где сумма между 744 и общей $256 = 2 8$ 960 ( половина Цумкеллера от 744) равна $1000 = 10. 3$ , их разница эквивалентна $488 = 240 + 248.$
248 также является суммой простых индексов семи последовательных полных повторяющихся простых чисел в десятичном формате: 109 , 113, 131, 149, 167, 173, 181 , ^[25] соответственно с 29, 30, 32, 35, 39, 40 и 42 простыми индексами; ^[9] где 248 — сто девяносто четвертое составное число, а 194 — 149- е составное число, ^[28]средний член в этой последовательной последовательности из семи полных повторяющихся простых чисел. 149 само по себе является сильной конкатенацией $14 = 7 + 7$ и $49 = 7 \times 7$ , соединенных в середине цифрой 4 , где 7 — четвертое простое число. В списке последовательных простых и составных индексов 181, начиная с простого индекса 42 , сгенерированная сумма равна $109 = 42 + 28 + 18 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0$ ; с 109 сводный индекс 144 . ^[9]^[28]
^
456 — шестое число икосаэдра , ^[148] на единицу меньше 88 -го простого числа 457 (который сам по себе является индексом, представляющим 64 -е составное число). ^[9]^[28] Список икосаэдрических чисел включает 124 в качестве четвертого индексированного члена, где это число также является третьим неунитарным числом стеллы-октангула после 51 и 14 . ^[149] и седьмое неприкосновенное число , после 120 и 96; ^[150]это одиннадцатый неединичный делитель числа 744, равный сумме всех простых чисел, которые не являются частью его простой факторизации, меньше 31 (т. е. 5 + 7 + ... + 29 ). Кроме того, это четвертое идеально разбитое число после 1, 2 и 3. ^[151]Если 1176 и 456 вместе имеют диапазон в семьсот двадцать одно целое число, разница между 721 и 1000 составляет 279 (десятичный эквивалент дополнения единиц 744 в двоичном формате); где также 1455 = 1176 + 279 содержит среднее арифметическое делителей, равное 294, ^[10]^[11] что составляет одну четверть 1176. Эта сумма также представляет количество групп перестановок степени 6 , ^[152] и количество разбиений 48 на отдельные части, так что число частей нечетное, ^[153] и число разбиений 48 на отдельные части, так что число частей четное. ^[154] 456 — это также, в частности, количество разбиений двадцать девятого составного числа 44 на простые части (где, с другой стороны, 744 — количество разбиений числа 49 на простые части). ^[17]
Далее, относительно двадцати девяти:
- сумма первых десяти простых чисел до 29 дает 129 , ^[155]что соответствует числу простых чисел 744 (при этом пятая такая сумма десяти последовательных простых чисел равна 264, или дважды 132). 129 также является 97-м индексированным составным числом. ^[28] где 97 — 25-е простое число, ^[9]
- двадцать девятое простое число, с другой стороны, равно 109 , ^[9] что представляет собой количество составных итогов 744, превышающих $25 = 5. 2$ , его наименьшая составная сумма;
- двадцать девятый рекорд суммы делителей числа $n$ установлен как $σ (744) = 1920$ . ^[66]
Количество простых и составных совокупных чисел 744, без учета 1, равно 239 , что является 52 -м индексированным простым числом. ^[9] Это также сумма пар простых чисел (23, 29) и (89, 97), которые соответственно генерируют последовательные рекордные пробелы между простыми числами 6 и 8 , которые предшествуют рекордному пробелу 14 (сумма двух предыдущих, которые также умножаются на 48 ) между тридцатым и тридцать первым простыми числами (113, 127), ^[75]^[76]^[77]^[78]^[79] сумма которых равна 240 , а сумма Эйлера равна 744. ^[5]
Следует отметить, что 239 - единственное сопутствующее число, для которого требуется максимальное количество квадратов (четыре), максимальное количество кубиков (девять) и максимальное количество четвертых степеней (девятнадцать). выражения ^[156] - единственное другое число, требующее девяти кубов, - это девятое простое число 23 , которое является индексом 744 в списке из тридцати одного целого числа, для хранения значения коэффициента Эйлера, равного 240; ^[5] 23 и 239 — это также третье и четвертое числа n (после 1, 2 и 5), которые обозначают количество разделов из 3 ^н, здесь 3 ³ и 3 ⁴ соответственно, в степени 3 . ^[157] Если 239 умножить на 628-е простое число (4649), ^[9] он дает седьмую единицу десятичную ( 1111111 ), ^[156] число, среднее арифметическое делителей которого равно 279000 = 279× 1000 . ^[10]^[11] 628 — 52-е неприкосновенное число, где 52 — третье, следующее за 2 и 5 . ^[150]
В то время как единственные два положительных числа квадратной стеллы-октангулы - это 1 и 9653449 = 3107. ² = (13 × 239) ², ^[158] — индексов 1=1 ² и 169 = 13 ² в этой последовательности ^[149] — единственные решения y ² + 1 = 2 х ⁴ в положительных целых числах : ( x , y ) = (1, 1) и (13, 239) . ^[159] Фракция 239 / (13 ²) — седьмое приближение сходящейся цепной дроби для √2 , ^[160] где 16 арктан ( 1 / 5 ) − 4 арктанса ( 1/239 радиан ) является приближением $π$ . для ^[156]
5 × 239 = 1195 , четвертое число, среднее арифметическое делителей которого равно 360 , ^[10]^[11] где, в частности, 52 = 13 × 4 = 26 × 2 , простой индекс двести тридцать девять, является пятым числом Белла , которое подсчитывает количество способов разделить набор из пяти помеченных элементов. ^[161] Триста шестьдесят — наименьшее число с двадцатью четырьмя делителями. ^[12] и пятьдесят второе дружеское число (самое большое известное «маленькое» дружеское число — 372 , или половина 744), ^[162] является шестым из семи ( очень сложных ) чисел, так что ни одно число, меньшее чем вдвое большее, не имеет большего количества делителей. ^[163] Оно также делится на все целые числа, меньшие или равные десяти, за исключением семи, которые сами по себе представляют собой сумму целых чисел, которая дает 48 .
^
В семействе ориентированных мультиграфов , обогащенных видами разбиений множеств , количество таких мультиграфов с четырьмя помеченными направленными ребрами (или дугами) равно 2229. ^[171]^[172] С другой стороны,
- 2229 равно сумме шестнадцатого числа Люка и его аналога, не являющегося числом Люка, плюс $1$ : (2207, 22). ^[173]^[174]^[175]
- 2229 — это также количество разделов, равное 31, состоящее не более чем из 3 нечетных частей, ^[176] а количество разделов шестнадцатого составного числа 26 ^[28] которые содержат разное количество нечетных и четных частей. ^[177]
- Это также восьмой член $n$ полигексов , размера $6 n + 1 = 49$ имеющих $6$ -кратную вращательную симметрию , предшествующий таким многогексам размеров (1, 1, 2, 4, 11, 37, 136, 540) для $0 \leq п < 8$ ; ^[178] для числа многоугольников размера 31 ( $n = 6$ ) их тридцать семь, а для числа многоугольников размера 37 ( $n = 5$ ) — 136, что является шестнадцатым треугольным числом . ^[6]
также количество эндофункций класса 2229 — это $[5]$ $[5]$ с различной длиной цикла . ^[179]
При группировке последовательных составных чисел так, что сумма $n$ $п$ –th группа кратна $n$ $п$ –-е простое число, 2229 , эквивалентно двадцать пятой групповой сумме составных чисел, разделенной на двадцать пятое простое число, 97 . ^[180] Эта сумма возникает между 182 составными числами, охватывающими диапазон ( 1106, 1313 ) , без учета двадцати шести простых чисел между ними (начиная с 1109 и заканчивая 1307).
Первый составной член составной группы — 1106 , четырнадцатое 14- угольное число . ^[181]^[182]это также наименьшее k такое, что | М ( к )| = 14 (она же обратная функция Мертенса ). ^[183] Где 1106 — количество областей, на которые плоскость делится при рисовании двадцати четырех эллипсов , ^[184]количество неэквивалентных матриц Адамара порядка 24 равно 1106; явно вида 2 –(23, 11, 5) . ^[185]^[186] Кроме того, первое простое число в последовательности из двадцати пяти последовательных составных чисел, которые делятся на двадцать пятое простое число, — это 1109 , 186- е простое число (индекс, представляющий тринадцатый по величине делитель числа 744). ^[9] это седьмое число, при котором функция Мертенса достигает нового рекорда амплитуды между нулями (отрицательных 15); ^[187] самое большое простое число в этой последовательности — 214-е простое число, 1307. ^[9] Число 1106 также имеет сумму делителей 1920. ^[32] а среднее арифметическое его делителей равно 240, ^[10]^[11] соответственно сумма делителей и целое 744. ^[5]
В списке последовательных составных индексов — A ( n + 1) = A ( n ) –я составная с A (1) = 47 (ср. A059408 ) — 1106 входит в последовательность (47, 66, 91, 122, 160, 207, 264 , 332, 413 , ..., 1106 , ...); последовательность, основанная на пятнадцатом простом числе, 47 . ^[9]Квадрат 13 равен 169, а квадрат 14 равен 196 ; последний находится на расстоянии 1 и 3 единиц от 197 и 199 , которые являются наименьшим k таким, что | М ( к )| = n для n из 7 и 8 (соответственно), ^[183] где сумма пятнадцатой пары простых чисел-близнецов ^[8] 197 + 199 = 396 — третье число десятичной дроби. ^[127] равен сумме первых двух (132, 264).
^ Другой подходящий пример - тридцатое простое число 113, ^[9] где тройное его значение равно 339 , среднее значение делителей которого равно 114 . ^[10]^[11] Три крупнейших из четырех чисел, сумма делителей которых равна 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744). ^[14] имеют средние арифметические значения, равные 114 (это 222, 302, 339 и 407 ), ^[10]^[11] с 339 между соседними членами, которые в сумме дают 127-е простое число и 31-е суперпростое число , 709 . ^[61] В списке чисел, позволяющих достичь рекордных значений амплитуды между нулями в функции Мертенса, первые несколько членов: (1, 31, 114, 199 , 443, 665, 1109, ...); ^[187] четвертый член - 46-е простое число (199), ^[9] индекс, который сам по себе занимает 31-е место в списке композитов, ^[28] причем 443 имеет среднее арифметическое делителей 222 (поскольку оно простое). ^[10]^[11]После 1109 следующий член — 1637, что равно 665 ₁₆ в шестнадцатеричном формате ; 31 — это сумма делителей 16 , первого из двух чисел (второе — 25), ^[32] где 31 также является суммой простых делителей $665 = 5 \times 7 \times 19$ . ^[188] В противном случае разница $709-339 = 370$ представляет собой второе по величине нетривиальное число Армстронга, равное сумме кубов их цифр (только четырех в десятичном формате , кроме 0 и 1), ^[189]^[190]который следует за 153 , где 407 — самое большое; в противном случае 709 и 339 имеют диапазон из 371 целого числа, что является третьим по величине числом Армстронга, равным кубу его цифр.
153-е нетривиальное и унитарное арифметическое число после единицы равно 222, где ( 153, 154 ) образуют шестую пару Рут-Аарон. ^[191] с общей суммой различных простых делителей 20 ^[192](одиннадцатый составной, где первая пара Руфь-Аарон находится между 5 и 6). Сумма составного индекса 20, наряду с двадцатым составным и простым числами, эквивалентна $11 + 32 + 71 = 114$ . Если трижды 20 равно 60 , половина 114 равна 57 , что представляет собой составной индекс 80 , где 57 — 40 -е составное число. ^[28] Десять — это сумма сумм различных простых делителей (5) первых двух пар Рут-Аарон, где вторая пара — ( 24, 25 ) , за которой следует ( 49, 50 ) . ^[191]
^ 742 — седьмое икосаэдрическое число , следующее за 456 . ^[148] Сумма всех неунитарных чисел икосаэдра до 742 эквивалентна $12 + 48 + 124 + 255 + 456 + 742 = 1637$ , что является восьмым числом, достигшим рекордной амплитуды между нулями в функции Мертенса (- 16 ). ^[73]^[183] 742 — это также тридцать восьмое центральное многоугольное число , ^[36] и число разбиений 30 на делители 30. ^[193] С другой стороны, 742 — восьмое число Кита после 197 . ^[194] это наименьшее число, достигающее амплитуды 7 для $M (n)$ . ^[183]
^ В $15\times 15$ тороидальная доска в задаче n – ферзей , 132 — количество неатакующих ферзей, ^[197] с показателем 19 соответствующим ^[198] и кратность 1444 = 38 ² ^[199] (где дважды девятнадцать — тридцать восемь). ^[200]
^
В других графиках 456 также:
- Количество полных однозначных деревьев размера 5 . ^[209] Эти деревья определяются как помеченные двоичные деревья. $T$ , где каждая левая (правая, дочерняя) метка появляется один раз и где левая (соответственно правая) метка $U$ предок $V$ помечен строго больше, чем $V$ . ^[210]^[211]
- Количество связных регулярных графов с 18 узлами и обхватом не менее 5. ^[212]
- Количество замкнутых обходов вершины полного графа на девяти узлах $K_{9}$ . ^[213]
- Число вершин степени $6$ в $3$ - губчатом графе Менгера . ^[214]
- Количество различных композиций лестничного графа $L_{4}$ . ^[215] Это также количество (направленных) гамильтоновых путей в $6$ - лестничном графе Мёбиуса , ^[216] и число направленных гамильтоновых путей на $6$ - призменном графе . ^[217]
В противном случае в $T$ $Т$ последовательность зубочисток в двадцать втором поколении. ^[218]
Где 114 — это среднее значение делителей трех из четырех чисел (302, 339 и 407), чтобы получить сумму делителей 456, 114 также является полиномиальной степенью семицикловой логистической карты r ₇ . ^[219]^[139]
^ 264 — среднее арифметическое шестнадцати делителей, принадлежащих четвертому основному псевдосовершенному числу 1806 (наибольшему из шести чисел, имеющих это значение), ^[220]^[10]^[11]это также произведение первых четырех членов (2, 3, 7, 43) в последовательности чисел Сильвестра , обратные значения которых быстрее всего сходятся к 1 (только первые четыре основных псевдосовершенных числа до 1806 года являются произведениями последовательных членов последовательности Сильвестра ). С другой стороны, аликвотная сумма 1806 равна 2418. ^[14] это седьмое число после 744, где $σ(φ(n))$ равно $n$ ; ^[131] кроме того, сумма делителей 264 равна 720, где сумма делителей 720 равна 2418. ^[32] Третье по величине первичное псевдосовершенное число — 42 . ^[220] второе по величине сфеническое число после 30, ^[221]чьей аликвотной сумме она равна; 42 — это, в частности, уменьшенное общее значение 1806 (с другой стороны, 744 равно 30), ^[26] и составной индекс 60 , наименьшее число с двенадцатью делителями (12 — это также среднее арифметическое делителей 42 и его полное значение). ^[10]^[11]^[5] Пятое простое число Мерсенна после 3, 7, 31 и 127 — это 8191 , которое является 1028-м простым числом, индексным значением, сумма делителей которого равна 1806, с общим числом $512 = 8. 3$ ^[5] и приведенная сумма $256 = 2 8$ . ^[26]
372 (половина от 744) — количество разбиений числа 42 на простые части, где 124 — количество таких разбиений числа 32 , а 52 (простой индекс 239, количество тотативов 744, которые являются либо простыми, либо составными) ^[5] из 25. ^[17] Кроме того, 372 — это тридцатое неприкосновенное число (за ним следует 406, индекс 744 как пагубного числа), где 248 — шестнадцатое (а 124 — седьмое), а 52 — третье. ^[150]
1806 также является единственным числом Бернулли $B n,$ у которого его знаменатель также равен $n$ , ^[222] где первые четыре знаменателя дробей, отличных от $1/1, у которых числители равны 1 ,$ — это 2, 6, 30, 42, 30 (пять чисел с $5/66, Бернулли$ следующее число ^[223]где 66 — третье сфеническое число ); в этой последовательности 6 также является первым совершенным числом ^[81] и унитарное совершенное число (например, 60, что вдвое больше 30), ^[224] где 2 представляет первое первичное псевдосовершенное число перед 6 .
^
71 — двадцатое простое число, а 31 — одиннадцатое. В свою очередь, 20 — одиннадцатое составное число. ^[28] это также шестая самосвертка чисел Фибоначчи до 38, что является простым индексом 163.
71 также является частью самой большой пары чисел Брауна (71, 7) из трёх таких пар; где в его случае 7 ² − 1 = 5040 . ^[248]^[249] Следовательно, и 5040, и 5041 можно представить как суммы непоследовательных факториалов , следующих за 746, 745 и 744; ^[2] где 5040 + 5041 = 10081 содержит аликвотную сумму 611 , что является составным индексом 744. ^[28]
5040 — девятнадцатое сверхизбыточное число. ^[250] это также самый большой факториал, который представляет собой весьма составное число , ^[251] и наибольшее из двадцати семи чисел n , для которых выполнено неравенство σ( n ) ≥ e ^с n loglog n выполняется , где γ — константа Эйлера–Машерони ; что это неравенство неверно для всех больших чисел тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна Показано , (известная как теорема Робина ). ^[242]5040 генерирует сумму делителей 19344 = 13 × 31 × 48, которая сама содержит четыре делителя, пропорциональные 744 (и, следовательно, делители также пропорциональны 248); что делает его одним из двух чисел из этих двадцати семи целых чисел n в теореме Робина, которые содержат σ( n ) такое, что 744 m | σ( n ) для любого подмножества делителей m числа n ; единственное другое такое число - 240: ^[252]
- $19344 \div 26 = 744$
- $9672 \div 13 = 744$
- $1488 \div 2 = 744$
Где также 19344 ÷ 78 = 248 , где 248 и 744 соответственно являются 24-м и 30-м по величине делителями (где между ними находится 403 = 13 × 31 , что является средним индексированным составным числом, конгруэнтным ±1 по модулю 6 меньше, чем 744, что не является часть его составной суммы); 2418, 35-е по величине, — это седьмое число n после 744, такое что σ ( φ ( n )) равно n . ^[131]Более того, в этой последовательности целых чисел в теореме Робина между 240 и 5040 лежат четыре числа, причем сумма первых трех из этих 360 + 720 + 840 = 1920 эквивалентна σ (744). Первое число, которое делится на все положительные ненулевые целые числа меньше 11, — это предпоследнее число в этой последовательности 2520 , где 2520 — 840 — 720 = 960 представляет собой половину Цумкеллера из набора делителей 744, ^[80] с σ(720) = 2418 ^[14] (и при этом 720+24=744=6!+24 , где 720 — наименьшее число с тридцатью делителями, ^[12]равно 1176 - 456 , разнице между суммой аликвот 744 и единственным числом, сумма аликвот которого равна 744; где 720 также эквивалентно σ(264) = 456 + 264 ). ^[14]^[32] 5040 = 7! = 10 × 9 × 8 × 7 делится на первые двенадцать ненулевых целых чисел, кроме 11.
^ 163 также является суммой простых индексов ( 81 , 82 ) , принадлежащих числам, соседним с двадцать вторым промежуточным числом $420 = 101 + 103 + 107 + 109$ , двадцать шестым числом, которое представляет собой сумму четырех последовательных простых чисел. ^[253] это также 45-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса. ^[92] Это шестое такое промежуточное число, в котором простые значения получаются из сумм простых индексов соседних чисел после (138, 72, 12, 6, 4) и перед 432, т. е. изобилия 744. ^[24] 420, с коэффициентом Эйлера 96, ^[5] половина от 840 , наименьшего числа, имеющего ровно тридцать два делителя, ^[12] и дважды 210 , четвертый первоначальный код $(2 \times 3 \times 5 \times 7)$ , где сумма предыдущих трех первоначальных чисел равна $2 + 6 + 30 = 38$ , ^[254] что эквивалентно простому индексу 163. ^[9] Кроме того, 163 -е составное число равно 210, ^[28]где 210 — это трижды 70 . Семьдесят — пятое пентатопное число , ^[255]которая представляет собой сумму простых факторов (включая кратности) в так называемой наименее взаимосвязанной спорадической группе, группе Янко $J 3$ , по сравнению со всеми другими спорадическими группами (включая группы-изгои) и их соответствующими алгебраическими структурами. . 70 в основном используется при построении решетки Лича в двадцати четырех измерениях, которая включает в себя единственное нетривиальное решение (т. е. 1 ) задачи о пушечном ядре , равное сумме квадратов первых двадцати четырех целых чисел; 70 также равно числу конформных теорий поля в виде алгебр вершинных операторов с центральным зарядом 1 $24$ и весом $($ и помимо $V 0$ , см. § E8 и решетку Лича ), укорененных в решетке Лича, из которых два крупнейших существуют в измерении семьсот сорок четыре. 210, кроме того, является первым нетривиальным 71 - угольным числом вида $P (s, n) = (с - 2) п 2 - (s - 4) n / 2$ (для $n$ -го многоугольного числа со $сторонами s$ ), предшествующего 418 , суммы целых чисел от 13 до 31 включительно. Важно отметить, что 210 — это наибольшее число $n$ , где количество различных представлений $n$ в виде суммы двух простых чисел не превышает количества простых чисел в интервале $(п / 2, п -2)$ . ^[256]
420 , что является одиннадцатой самосверткой чисел Фибоначчи, ^[226]предшествующее 744, является общим значением 473 , первого нетривиального числа, содержащего это значение (после 421). Дважды 744 — это 1488 , которое лежит между 50 -й парой простых чисел-близнецов ( 1487, 1489 ), ^[8] чьи последовательные простые индексы (236, 237) в сумме дают 473. 1488 — это 235 -е среднее число последовательных нечетных простых чисел, ^[59] где 235 — шестая самосвертка чисел Фибоначчи, предшествующая 420, ^[226] причем 298 — 235-й составной, где 372 (половина 744) — 298-й (235 — также 183 -й составной). ^[28] С другой стороны, пятидесятое составное число — 70 . ^[28]
^ Стоит отметить, что 126 — это сумма простых индексов первого класса трехзначных перестановочных простых чисел в десятичной системе счисления $(113, 131, 311)$ , ^[264] соответственно тридцатое, тридцать второе и шестьдесят четвертое простые числа. ^[9] (где 64 — это дважды 32 , а 45-я составная, а сама 45 — 30-я составная); ^[28]и эта сумма простых чисел эквивалентна 555 . Более того, 126 — это седьмой последовательный составной индекс, начинающийся с 13 (т.е. 13, 22 , 34, 50, 70, 95, 126 ). ^[265]
126 равно сумме составного индекса 22 ( 13 ) и двадцать второго составного и простого чисел $(34, 79)$ , сумма которых, полученная между двумя последними, равна 113 . 13 и 79 также являются первыми членами соответствующих парных перестановочных простых чисел по основанию десять $(13, 31)$ и $(79, 97)$ , соответственно наименьших и наибольших двузначных пар, где 11 — единственное двузначное перестановочное простое число без отдельная двойственная пара с разными перестановочными цифрами. ^[7]
Где 555 генерируется из первого класса трехзначных перестановочных простых чисел в десятичном формате, а простые и составные индексы, связанные с 22 , 131 и 126, в сумме дают 257 , что является 55 -м индексированным простым числом. ^[9] и десятое простое число, не являющееся простым числом кластера ^[89] (и где 131 ₁₀ имеет цифр сумму 5 ).
Кроме того, $126 + 125 = 351$ , значение, эквивалентное двадцать шестому треугольному числу, ^[6] 125 куб 5 . с
^ Что касается 992 , то числа 336 (общая сумма 1176, ^[5] которое является суммой делителей 744), 496 (31-е треугольное число и третье совершенное число), ^[6]^[81] и 525 — сумма всех простых чисел, разделяющих порядки двадцати шести (или двадцати семи) спорадических групп, ^[272] равна сумме размерностей всех пяти исключительных алгебр Ли ^[273] — первые три из четырех составных чисел, сумма делителей которых равна 992. ^[32] Кроме того, пятое такое число — 775, чей составной индекс — 637 , равный сумме всех простых множителей ( включая кратности ) в порядке наибольшей спорадической группы, $\mathbb {F}$ $\times 23 \times 29 \times 31 \times 41 \times 47 \times 59 \times 71$ . ^[235]^{: стр. 244–246.} В функции Чоулы (которая подсчитывает сумму делителей $n$ , за исключением 1 и $n)$ , 525 содержит значение 466. ^[274] это простой индекс 3313 , ^[9] равен сумме всех семи чисел (240, 350, 366, 368, 575, 671 и 743), чтобы содержать сумму делителей 744; ^[32] с 240 также всего 525 (13-е из 31 числа, содержащее это значение). ^[5]
^ Если наименьшее неунитарное пятиугольное пирамидальное число равно 6 , то одиннадцатое — 726 = 6! +6, а двадцать четвёртый — 7200 , ^[308] это число с общим значением Эйлера 1920, ^[5] и уменьшенное значение 120. ^[26]
^ Так что его можно выразить, используя только цифры (которые используются только один раз и слева направо) вместе с операторами $+, -, \times, \div, a б, \sqrt, !$ (с возможностью конкатенации).
Это по подобию $144 = (1 + 4)! + 4!$ , это эйлеровский коэффициент 456. ^[5] Если сумма 744 равна 240, то сумма 456 равна 144. ^[5] 187 — составной индекс 240, где 187 — 144-е составное число. ^[28] В свою очередь, сумма делителей 187 равна $216 = 6. 3$ , ^[32] что является 168- м составным числом.
Кроме того, сокращенное число 456 равно 36 . ^[26]
^ Магический квадрат:
${\begin{bmatrix}139&113&151&131&83&127\\223&149&89&47&157&79\\173&103&181&167&59&61\\67&137&53&97&211&179\\101&199&73&109&71&191\\41&43&197&193&163&107\end{bmatrix}}$
Это вторая по величине магическая константа для $магического квадрата 6 \times 6$ , состоящего из тридцати шести последовательных простых чисел, где сумма между наименьшим и наибольшим простыми числами в этом квадрате равна $41 + 223 = 264$ . Наименьшая такая константа — $484 = 22. 2$ ^[312] чья аликвотная сумма 447 представляет собой обратную перестановку цифр 744 в десятичной системе счисления; ^[14] в частности, 22 и 264 — это соответственно двенадцатое и четырнадцатое числа $n$ , квадраты которых являются волнистыми в десятичной системе счисления, а тринадцатое и предпоследнее такое известное число — 26 . ^[313]^[314]^[315]^{: стр.159, 160} Наименьшая возможная магическая константа $магического квадрата n \times n$ , состоящего только из различных простых чисел, равна 120, из $n$ = $4$ , ^[316]^[317] значение, равное среднему арифметическому всех шестнадцати делителей числа 744; ^[10]^[11] в противном случае, для $n = 6$ , наименьшая магическая константа для квадрата шесть на шесть с различными простыми числами равна 432 , ^[316] также численность 744. ^[24]
11 $\times 11 имеет$ Обычный магический квадрат магическую константу 671 . ^[318] это шестое и самое большое составное число, сумма делителей которого равна 744. ^[32]
^ В противном случае $992 = 248 + 744$ — наименьшее возможное число простого выпуклого многогранника диагоналей с тридцатью шестью гранями ; для шестнадцати и двадцати граней соответственно минимум 132 и 240 диагоналей ^[320] (значения, которые представляют собой простой индекс наибольшего простого числа 744 и количество всех его итоговых чисел), ^[5] где $132 + 240 = 372$ или половина 744 (наряду с соответствующими индексами, которые генерируют сумму 36).
^ С другой стороны, 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) ^[14] — это максимальное количество единичных квадратов, соединенных только по углам, которые можно вписать внутрь $40\times 40$ квадрат (площадью $1600$ $м²) 2$ ). ^[322]
Прибавление 1 к значению этой площади, $1601 = 1600 + 1$ , является наибольшим из сорока счастливых чисел Эйлера , что также является разницей между $1804-203$ , значениями, которые представляют первую и третью по длине стороны примитивных героновских тетраэдров с четырьмя грани равных треугольников , причем второе такое число равно $144 + 744 = 888$ . ^[323]^[324]

Числа Хегнера, конечные простые группы и решетки D ₄ , F ₄ , E ₈ , Λ ₂₄

^ Самая маленькая спорадическая группа - это группа Матье $M 11$ с неприводимым комплексным представлением в десяти измерениях, ^[237] это одна из пяти первого поколения . спорадических групп ^[238] Его групповой порядок равен $7920 = 8 \times 9 \times 10 \times 11$ (на единицу меньше 10 ³ индексированное простое число), ^[235]^{: стр. 244–246.}^[9] с коэффициентом Эйлера $1920 = σ(744)$ . ^[5] $M 11$ также содержит самое низкое пятимерное точное представление над полем с тремя элементами, самое низкое из любой такой группы. ^[237] С другой стороны, $M 12$ является второй по величине группой Матье и спорадической группой по порядку. ^[235]^{: стр. 244–246.} и, более конкретно, тридцать первая по величине нециклическая группа (где $М 11$ является пятнадцатой по величине), ^[239]^[240] при групповом заказе $26 \times 3 3 \times 5 \times 11 = 95040,$ чей коэффициент Эйлера (23040) ^[5]делится на 1920 двенадцать раз (поскольку его 50-й по величине делитель больше 1). Девятнадцатая и двадцатая по величине нециклические группы — это $A 3 (2) ≃ A 8$ и $A 2 (4)$ порядков $20160 = 2. 6 \times 3 2 \times 5 \times 7$ , последний с большей внешней группой автоморфизмов $D 12$ ; 20160 — двадцать третье весьма составное число , ^[241] которое делится на оба 960 (половина Цумкеллера 744), ^[80] и 5040 (самое большое из двадцати семи чисел в теореме Робина, подтверждающее неравенство $σ(n) \geq e с n loglog n$ , см. последние пункты, обсуждающие эту последовательность). ^[242] Это на единицу меньше самого большого числа (20161, 1456 -е индексированное число), которое нельзя представить в виде суммы двух множественных чисел . ^[243] В противном случае группа Титса $T$ , единственная конечная простая группа, которую можно классифицировать как группу лиева типа или спорадическую, подходит как пятая по величине спорадическая группа, порядок группы которой равен $2. 11 \times 3 3 \times 5 2 \times 13 = 17971200$ имеет общую сумму 4423680, делящуюся на сумму делителей семьсот сорок четыре 2304 раза (где его 62-й по величине делитель равен 1728, за которым следует 1920).
Из всех (здесь двадцати семи) спорадических групп только седьмая по величине группа Янко $J 3$ имеет порядок, $| Дж 3 | = 2 7 \times 3 5 \times 5 \times 17 \times 19 = 50232960$ , ^[235]^{: стр. 244–246.}общее значение которого не делится на 1920: $11943936 \div 1920 = 6022,8$ ; где, в частности, его групповой порядок имеет сумму простых делителей (включая кратности), равную 70 .
Если $M 11$ и $M 12$ являются соответственно пятнадцатой и тридцать первой по величине индексированной нециклической группой по порядку группы, эти индексы в сумме составляют $15 + 31 = 46$ , где третья по величине группа Матье и четвертая по величине спорадическая $M 22$ группа сорок шестая такая крупнейшая нециклическая группа. ^[239]^[240] 46 — самое большое четное число, которое нельзя представить в виде суммы двух множественных чисел. ^[243] что также равно общему числу максимальных подгрупп Дружелюбного Гиганта. $\mathbb {F} _{1}$ , ^[244] который в совокупности содержит 20 из 26 спорадических групп в качестве подфакторов (строго). ^[235]^{: стр. 244–246.}
46 — тридцать первый составной, ^[28] чья аликвотная сумма равна 26 , единственное число, содержащее это значение. ^[14]
^ Последовательность запутанных чисел Фибоначчи начинается с {0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71 , 130, 235, 420, 744 , 1308, 2285, 3970, 6865, 11822...} . ^[226]Сумма первых семи членов (с нулевого по шестое) равна 38, что эквивалентно члену $a(n) = 7$ в этой последовательности. Взяв сумму трёх слагаемых, лежащих между 71 ^[xxix] и 744 (т.е. 130, 235, 420) дает $785 = 28. 2 + 1$ , чья аликвотная сумма равна 163 , ^[14]^[ххх] тридцать восьмое простое число. ^[9] 785 — 60-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса , которая также включает 163, 13-е такое число. ^[92] 785 — это также количество несократимых посаженных деревьев (с корневой вершиной, имеющей степень один) с шестью листьями двух цветов . ^[257]
1106 , первый член суммы последовательных составных чисел (эквивалентно $2229 = 743 \times 3$ ), которые делятся на двадцать пятое простое число 97, ^[258] — наименьшее число, возвращающее значение 14 в обратной функции Мертенса , ^[183] где 1106 лежит между 81 -й парой сексуальных простых чисел $(1103, 1109)$ . ^[259] 14 — пол (и ближайшее целое число ) ^[260] мнимой части первого нетривиального нуля в дзета-функции Римана $ζ$ , а четырнадцатое индексированное значение пола равно 60 ^[261]^[262] — шестьдесят — наименьшее число, имеющее ровно двенадцать делителей, и есть только два числа, сумма делителей которых равна 60: 24 и 38 , ^[32]сумма которого равна 62 (что является десятым по величине делителем числа 744); кроме того, три из девяти чисел с суммами 60 также являются делителями 744 (93, 124 и 186, что в сумме дает 403 ). ^[5] С другой стороны, разность $38 - 24 = 14$ , где значение шестидесятого этажа в мнимой части своего нетривиального нуля в $ζ$ является наибольшим числом Хегнера 163 .
^ 163 — тридцать восьмое индексированное простое число, а 67 — девятнадцатое (с двупростым числом $38 = 2 \times 19)$ для значений $d$ . В приближении почти целого числа, содержащего четырнадцатое простое число в качестве седьмого числа Хигнера 43 для $d$ , 960 — это наименьшее число, имеющее ровно двадцать восемь делителей, ^[12]эквивалентно сумме любого из двух наборов делителей числа 744, которые в совокупности дают $1920$ , как упомянуто в § Тотиентс . Аналогично, в приближении почти целого числа, содержащего восьмое число Хигнера 67 для $d$ , 5280 равно сумме между 240 и 5040 , которые являются единственными двумя числами в наборе из двадцати семи целых чисел в теореме Робина для гипотезы Римана. которые имеют набор делителей, суммы которых делятся на 744; ^[252] 5280 также лежит между 131-й парой простых чисел-близнецов $(5281, 5279)$ , ^[8] соответственно 701-е и 700-е простые числа, где 5281 — 126-е суперпростое число . ^[61]^[xxxi]
^ В списке из тринадцати целых чисел $n \leq 1000$ , которые дают почти целые числа — с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ для значений $x \equiv e π \sqrt n$ — наименьшее $n$ из них равно 25, что также является наименьшим составным числом 744. Менее 10 ³, наибольшее такое $n$ равно $719 = 6! - 1$ , где 719 представляет 128-е индексированное простое число; ^[9] сумма, порожденная этими двумя $n$ , эквивалентна $719 + 25 = 744.$
Среднее индексированное значение между этими двумя границами равно 148 , двенадцатому положительному целому числу $d$ без квадратов над отрицательным мнимым квадратичным полем класса номер 2, за которым следуют 163 и 232 , последнее из которых является четырнадцатым положительным целым числом без квадратов $d.$ над мнимым квадратичным полем $\sqrt- d$ класса номер 2 (только эти два числа 148 и 232 для $d$ в этом поле класса номер 2 дают почти целые числа с $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ , где 163 — наибольшее значение по тому же полю с номером класса 1). ^[267] В этом же списке три различных несуперсингулярных простых числа (37, 43, 67), которые делят только порядки групп парий, также равны $n$ (меньше 148), что дает почти целые числа вида $e π \sqrt n$ . В почти целочисленном представлении для $e π \sqrt 148$ указано, $8 \times 10 3 знак равно j (\sqrt(2 я)) = 20 3$ , класс $1$ j −инвариант порядка $d = -8$ , ^[268] это также корень в $Ψ 2 (X, X) = -(X - 8000) \times (X + 3375) 2 \times (X - 1728)$ — полином для суперсингулярных 2-изогенных графов с петлями (он также является корнем в $Ψ 3$ ). ^[269]^[270]Остальные два $n$ (58, 74) в списке этих почти целых чисел с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ из $n$ меньше 148 генерируют сумму $58 + 74 = 132,$ равную простому индексу 743, ^[9] наибольшее простое число в сумме 744 (и, где $2 \times 37 = 74 = 148 \div 2$ ).
^ Для почти целых чисел с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ , наименьшее такое число — $e π \sqrt 6$ с $n$ = 6, примерно равным 2197,99087. ^[271] В то время как 2198 содержит восемь делителей, которые дают среднее арифметическое 474. ^[10]^[11] (и где 474 содержит сумму делителей, равную 960, ^[32] также половина Цумкеллера из набора делителей числа 744), ^[80] 2199 — шестнадцатое совершенное число . ^[34] с аликвотной суммой 737 ^[14] эквивалент с наибольшей совокупной суммой 744. Кроме того, $2197 = 13 3$ .
Всего существует двадцать шесть почти целых чисел с $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ где $х \equiv е π \sqrt n$ и $n \leq 10 3$ , где наибольшее $n$ имеет значение 986 . ^[271] Сумма между верхней и нижней границами $n$ меньше тысячи при такой почти целой степени близости равна $6 + 986 = 992 = 744 + 248$ . ^[xxxii]
В противном случае разница между самыми большими $класса 1$ и $2$ целыми числами без квадратов $равна 427 - 163 = 264$ . Что касается целых чисел без квадратов с номером класса $h = 3$ , то их всего шестнадцать (или двадцать пять, если включать немаксимальные порядки), ^[275] самое большое со значением 907 , которое является 155- м индексированным простым числом, ^[9] равно сумме $163 + 744$ , что также является большим из последовательных простых чисел (887, 907), которые создают седьмой по величине рекордный разрыв между простыми числами ( 20 ). ^[75]^[76]^[77]^[78]^[79] Предыдущий наибольший разрыв между простыми числами составляет 18 , заданный (523, 541 ) (после тридцатого и тридцать первого простых чисел 113 и 127 с интервалом 14), 99- го и 100-го простых чисел, ^[9] у первого также индекс композиции 132 , ^[28] и последний десятый звездный номер ^[146] и 53-е число, чтобы вернуть $0$ для функции Мертенса (где 427 — 50 -е, а 163 — 13-е). ^[92] Из целых чисел без квадратов третьего класса только 59 дает почти целое число вида $x \equiv e π \sqrt n$ с $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ (для целых чисел класса $h = 4$ наибольшее такое число — 1555 которого , квадрат делит $61554$ ^[276] — а девятый такой наибольший дискриминант равен 155). ^[277] В полном списке крупнейших натуральных чисел без квадратов с номерами классов $h \leq 100$ , ^[278]^[279]десять из этих максимальных значений сохраняются в больших целых числах, если включены немаксимальные порядки в соответствующих классах, причем девять из них являются уникальными двупростыми числами, делящимися на 163 (единственным исключением является наибольшее значение для целых чисел без квадратов класса номер 16) ; самый большой из них в этой оценке равен $821683 = 71. 2 \times 163$ номера класса $h = 70$ . ^[263]^: 18−20
^ Полигон Петри $600$ –клетка и $120$ –ячейка, основанная на икосаэдрической симметрии, представляет собой тридцатигранный триаконтагон , а $24$ –cell имеет додекагон в качестве подобного многоугольника, центральный угол которого составляет тридцать градусов (и внутренний угол $150$ градусов). Двадцать четвёртое простое число — 89 , ^[9] что является индексом 120 в списке композитов. ^[28] В $600$ –клетка соответствует ровно семидесяти пяти $24$ – ячеек и семьдесят пять тессерактов , где также помещается двадцать пять $24$ –клетки. Где двадцать пять $24$ –ячейки также помещаются внутри сот из 24 ячеек как единое целое (с двадцатью четырьмя ячейками). $24$ –клетки, окружающие одну $24$ –клетки), симметрия которых основана на $\mathrm {F_{4}}$ , другое расположение двадцати пяти $24$ –клетки помещаются в $600$ –ячейка с $\mathrm {H_{4}}$ симметрия. $\mathbb {E_{8}}$ , в восьмимерном пространстве, имеет Кокстера число $30$ и симметрия, восходящая к $600$ –ячейка через икосианцы .
^ $\mathbb {E}$ ₈Решетка содержит двести сорок корневых векторов , которые представлены расположением вершин многогранника $421$ которого , многоугольник Петри представляет собой тридцатисторонний триаконтагон . ^[293]^[294]где 30 — число Кокстера $h$ группы Кокстера $E 8$ . Кроме того, числа Кокстера простых рефлексов в $E 6$ и $E 7$ имеют порядки 12 и 18, что вместе эквивалентно числу Кокстера $E 8$ ; ^[285]^: 234где $Е 6$ и $Е 7$ встраиваются внутрь $Е 8$ . Четырехмерная $симметрия H 4$ гексадекахорная также содержит число Кокстера 30 , где $H 4$ является многомерным аналогом икосаэдрической симметрии $I h$ .
Этот $\mathbb {E}$ _8- решетчатая структура с 240 корневыми векторами может быть построена с помощью 120 кватернионных единичных икосианов , которые образуют вершины четырехмерной 600-ячейки , симметрии которой основаны на трехмерной икосаэдрической симметрии $I h$ порядка 120, ^[295] значение, равное общему числу отражений группы Кокстера $E 8$ . ^[285]^{: 226–232}Всего правильный икосаэдр и додекаэдр содержат тридцать одну ось симметрии; шесть пятикратных, десять трехкратных и пятнадцать двукратных. ^[296]
Если среднее арифметическое делителей числа 744 равно 120, ^[10]^[11] с наибольшим простым коэффициентом и 31 коэффициентом $λ (n)$ 30 , приведенным ^[26] количество относительно простых целых чисел до 744 равно 240, ^[5] с суммой делителей $σ(240) = 744$ . ^[287]^{: стр.21}
^ $В Е ‍ 3 8$ изоморфно тензорному произведению $V E 8 \otimes V E 8 \otimes V E 8$ ; также аффинная структура $D 16$ отличается от $D ‍ + 16$ , что соответствует четной положительно определенной унимодулярной решетке $\mathbb {D}$ . ^[300]^[301]
$И ‍ 3 8,1$ и $D 16,1 E 8,1$ связаны с кодами $e ‍ 3 8$ и $d 16 e 8$ , которые являются двумя из девяти неэквивалентных двоякочетных самодуальных кодов длины 24 и веса 4. ^[302]^[303] Самый большой из этих VOA $V D 24$ реализован в $dim 1128$ , где последовательное уменьшение вдвое его размерного пространства приводит к 70 + 1 / 2 –мерное пространство.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A189975 (Числа с простой факторизацией pqr^3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060112 (Суммы непоследовательных факториалов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034963 (Сумма четырех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083539 (a(n) равна сигма(n) * сигма(n+1) как произведение сигма-значений для последовательных целых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах ^есть ^также Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000010 (функция Эйлера phi(n): считать числа, меньшие или равные n, и простые числа n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000217 (Треугольное число: a(n) — это бином (n+1,2), эквивалентный n*(n+1)/2, то есть 0 + 1 + 2 + ... + n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003459 (Абсолютные простые числа (или перестановочные простые числа): каждая перестановка цифр является простым числом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001359 (Меньшее из простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах ^есть ^также ^и ^аль ^{являюсь} ^а ^к ^ап ^ак ^С ^как ^в ^В ^из ^хорошо Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003601 (Числа n такие, что среднее значение делителей n является целым числом: sigma_0(n) делит sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A102187 (Средние арифметические делителей арифметических чисел (арифметические числа A003601 — это те, для которых среднее значение делителей является целым числом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005179 (Наименьшее число ровно с n делителями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000005 (d(n) (также называемая tau(n) или sigma_0(n)), количество делителей n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001065 (Сумма собственных делителей (или аликвотных частей) n: сумма делителей n, меньших n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Проблема 3x+1» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006577 (Количество шагов деления пополам и утраивания для достижения 1 в задаче «3x+1» или -1, если 1 никогда не достигается.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 сентября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000607 (Количество разбиений n на простые части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A347586 (Количество разделов n не более чем на 4 отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007947 (Наибольшее бесквадратное число, делящее n: бесквадратное ядро n, рад (n), радикал n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005277 (Неточности: четные числа k такие, что phi(m), равное k, не имеет решения.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005278 (Некотоенты: числа k такие, что x - phi(x), равное k, не имеют решения.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001207 (Количество фиксированных шестиугольных полимино с n ячейками.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005101 (Многочисленные числа (сумма делителей m превышает 2m).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033880 (Обилие n, или (сумма делителей n) — 2n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001913 (Полное повторение простых чисел: простые числа с примитивным корнем 10.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002322 (приведенная функция psi(n): наименьшее k такое, что x^k конгруэнтно 1 (по модулю n) для всех x, простых к n; также известная как лямбда-функция Кармайкла (показатель степени единичной группы по модулю n); также называется универсальным показателем n.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014574 (Среднее число пар простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A217843 (Числа, представляющие собой сумму одного или нескольких последовательных неотрицательных кубов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001694 (Мощные числа, определение (1): если простое число p делит n, то p^2 также должно делить n (также называемые квадратными, полными квадратами, квадратными или 2-степенными числами)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A052486 (ахиллесовы числа — мощные, но несовершенные: если n равно Product(p_i^e_i), то все e_i меньше 1 (т. е. мощные), но наивысший общий делитель e_i равен 1, т. е. не является идеальной степенью .)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (a(n) равна сигме(n), сумме делителей n. Также называется sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005835 (Псевдосовершенные (или полусовершенные) числа n: некоторое подмножество собственных делителей n в сумме дает n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A082897 (Совершенные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006531 (Полупорядки из n элементов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002061 (Центральные многоугольные числа: a(n) равно n^2 – n + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A139250 (Последовательность Зубочистки (определение см. в строках комментариев).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003136 (Лешовы числа: числа вида x^2 + xy + y^2; нормы векторов в решетке A2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 января 2023 г.
^ Митчелл, Дэвид (25 февраля 2017 г.). «Тесселяция номера такси Рамануджана-Харди, 1729, основа целочисленной последовательности A198775» . Решетчатые лабиринты . Проверено 19 июля 2018 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198775 (Числа, имеющие ровно четыре представления в квадратичной форме x^2+xy+y^2 с 0, меньшим или равным x, меньшим или равным y.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198773 (Числа, имеющие ровно два представления квадратичной формы x^2+xy+y^2 с 0, меньшим или равным x, меньшим или равным y.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118886 (Числа, выражаемые как x^2 + x*y + y^2, 0 меньше или равно x, меньше или равно y 2 или более способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г. ,
^ Маршалл, Джон У. (1975). «Числа Леша как проблема теории чисел» (PDF) . Географический анализ . 7 (4): 421–426. Бибкод : 1975ГеоАн...7..421М . doi : 10.1111/j.1538-4632.1975.tb01054.x – через OEIS .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001107 (10-угольные (или десятиугольные) числа: a(n) равно n*(4*n-3).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090785 (Числа, которые можно выразить как разность квадратов последовательных простых чисел только одним способом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010785 (Числа повторов или числа, все цифры которых равны.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000048 (Количество n-бусин с бусинами 2-х цветов и примитивным периодом n, при переворачивании не допускается, но два цвета можно поменять местами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.
^ Диаконис, Персия ; Грэм, Рон (2011). «Глава 5: От принципа Гилбрета к множеству Мандельброта» (PDF) . Магическая математика: математические идеи, которые вдохновляют великие магические трюки . Издательство Принстонского университета . стр. 61–83. дои : 10.1515/9781400839384-007 . ISBN 978-1-4008-3938-4 . МР 2858033 . .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090788 (Числа, которые можно выразить как разность квадратов простых чисел двумя разными способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005153 (Практические числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A345547 (Числа, представляющие собой сумму девяти кубов восемью или более способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A075308 (Количество n-значных совершенных степеней.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A029954 (палиндром по основанию 7.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A052294 (Пагубные числа: числа с простым числом 1 в их двоичном представлении.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078392 (Сумма НОД частей во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A064986 (Количество разбиений n на факториальные части (0! не допускается).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A316433 (Количество целочисленных разделов n, длина которых равна LCM всех частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000166 (Субфакториал или повторяющиеся числа, или нарушения: количество перестановок n элементов без фиксированных точек.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A024675 (Среднее двух последовательных нечетных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002804 ((Предполагаемое) решение проблемы Уоринга: g(n) равно 2^n +floor((3/2)^n) - 2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006450 (Простые числа с простыми индексами: простые числа с простыми индексами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубики (PDF) . Чикаго, Иллинойс: Издательская компания Open Court . стр. 176, 177. ISBN. 9780486206585 . МР 0114763 . ОСЛК 1136401 . Збл 1003.05500 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A021023 (десятичное расширение 1/19.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072359 (простые числа p такие, что p-1 цифр десятичного разложения k/p (для k, равного 1,2,3,...,p-1) помещаются в k-ю строку магического квадратная сетка порядка p-1)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A015723 (Количество частей во всех разделах n на отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034885 (Запись значений сигмы (n)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006002 (a(n) равна n*(n+1)^2/2 (Сумма нетреугольных чисел между последовательными треугольными числами. 1, (2), 3, (4, 5), 6, (7 , 8, 9), 10, (11, 12, 13, 14), 15, ...))" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A081377 (Числа n такие, что набор простых делителей числа phi(n) равен набору простых делителей числа сигма(n)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002822 (Числа m такие, что 6m-1, 6m+1 являются простыми числами-близнецами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A161680 (a(n) — это бином (n,2): количество подмножеств размера 2 из {0,1,...,n}, которые не содержат последовательных целых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000931 (последовательность Падована (или числа Падована)...)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007304 (Сфенические числа: произведения трех различных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A304241 (Индексы, в которых функция Мертенса A002321 достигает рекордных амплитуд между нулями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса: Sum_{k равна 1..n} mu(k), где mu — функция Мебиуса.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005250 (Запишите промежутки между простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005669 (Индексы простых чисел, в которых возникает наибольший разрыв.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001223 (Пробелы в простых числах: различия между последовательными простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002386 (простые числа (нижний конец) с рекордными пробелами до следующего последовательного простого числа: простые числа p(k), где p(k+1) – p(k) превышает p(j+1) – p(j) для всех j <к.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000101 (Запишите промежутки между простыми числами (верхний конец) (сравните A002386, который дает нижние концы этих промежутков).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083207 (Цумкеллера или целочисленные совершенные числа: числа n, делители которых можно разделить на два непересекающихся множества с одинаковой суммой.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000372 (Числа Дедекинда или проблема Дедекинда: количество монотонных булевых функций от n переменных, количество антицепей подмножеств n-множества, количество элементов в свободной дистрибутивной решетке на n образующих, количество семейств Спернера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006880 (количество простых чисел меньше 10^n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001013 (числа Жордана-Пойя: произведения факториальных чисел A000142.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 ноября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127333 (Числа, являющиеся суммой 6 последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000009 (Расширение Product_{m больше или равно 1} (1 + x^m); количество разделов n на отдельные части; количество разделов n на нечетные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A228486 (Ближайшие к первоначальным простым числам: простые числа p такие, что p+1 или p-1 является простым числом (A002110).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038509 (Составные числа, соответствующие +-1 по модулю 6.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038133 (Из субтрактивной гипотезы Гольдбаха: нечетные простые числа, не являющиеся кластерными простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.
^ Блексмит, Ричард; Эрдеш, Пол ; Селфридж, Дж.Л. (1999). «Кластерные простые числа». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 43. дои : 10.2307/2589585 . JSTOR 2589585 . Збл 0985.11041 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002476 (Простые числа вида 6m + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028442 (Числа k такие, что функция Мертенса M(k) (A002321) равна нулю.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034961 (Сумма трех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005894 (Центрированные тетраэдрические числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A056107 (Третья спица шестиугольной спирали.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A257750 (числа Квази-Кармайкла.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A092269 (функция Spt: общее количество наименьших частей (с учетом кратности) во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A045931 (Количество разделов n с равным количеством четных и нечетных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000096 (a(n) равна n*(n+3)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006883 (простые числа с длинным периодом: десятичное разложение 1/p имеет период p-1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001567 (псевдопростые числа Ферма по основанию 2, также называемые числами Сарруса или числами Пуле.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005898 (Центрированные номера куба: n^3 + (n+1)^3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A047966 (a(n) равна Sum_{d делит n } q(d), где q(d) равно A000009, равному количеству разбиений d на отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000695 (последовательность Мозера-де Брейна: суммы различных степеней 4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A053699 (a(n) равна n^4 + n^3 + n^2 + n + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000567 (Восьмиугольные числа: n*(3*n-2). Также называются звездными числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007569 (Количество узлов в правильном n-угольнике со всеми нарисованными диагоналями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001045 (последовательность Якобсталя (или числа Якобсталя)...)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046746 (Сумма наименьших частей всех разделов n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003215 (Шестнадцатеричные (или центрированные шестиугольные) числа: 3*n*(n+1)+1 (последовательность хрустального шара для гексагональной решетки)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051624 (12-угольных (или двенадцатиугольных) чисел: a(n) равно n*(5*n-4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A195316 (Центрированные 36-угольные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005936 (псевдопростые числа по основанию 5.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016105 (Целые числа Блюма: числа вида p * q, где p и q — различные простые числа, конгруэнтные 3 (по модулю 4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A055233 (Составные числа, равные сумме простых чисел от наименьшего простого множителя до наибольшего простого множителя.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000019 (Количество примитивных групп перестановок степени n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002817 (Дважды треугольные числа: a(n) равно n*(n+1)*(n^2+n+2)/8.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A202018 (a(n) равна n^2 + n + 41.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005846 (Простые числа вида n^2 + n + 41.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A152658 (Начала максимальных цепочек простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033664 (Каждый суффикс является простым.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A066967 (Общая сумма нечетных частей во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007279 (Количество разделов n на номера разделов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A032032 (Количество способов разделить n помеченных элементов на наборы размером не менее 2 и упорядочить наборы.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A343377 (Количество строгих целочисленных разделов n, ни одна часть которых не делится на все остальные.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A285900 (Сумма всех частей всех разделов всех натуральных чисел, меньших или равных n, на последовательные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A319274 (Осирис или числа повторной сборки цифр: числа, равные сумме перестановок подвыборок своих собственных цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A088825 (Числа n такие, что сумма наибольших простых делителей чисел от 1 до n делится на n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 25 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A321719 (Количество ненормальных полумагических квадратов с суммой элементов, равной n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A020994 (простые числа, которые усекаются как слева, так и справа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 декабря 2023 г. .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A018784 (Числа n такие, что sigma(phi(n)) равно n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A017765 (Биномиальные коэффициенты C(49,n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A029600 (Числа в треугольнике (2,3)-Паскаля (по ряду).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
Строка: {2, 23, 120, 375, 780, 1134, 1176 , 870, 450, 155, 32, 3}.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001263 (Треугольник чисел Нараяны T(n,k) равен C(n-1,k-1)*C(n,k-1)/k, где 1 меньше или равно k, меньше или равно n , читается по строкам. Также называется каталонским треугольником.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A105278 (Triangle read by rows: T(n,k) equal to binomial(n,k)*(n-1)!/(k-1)!.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-02.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A127787 (Numbers n such that F(n) divides F(F(n)), where F(n) is a Fibonacci number.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-02.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A046306 (Numbers that are divisible by exactly 6 primes with multiplicity.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-02.
^ Jump up to: ^a ^b ^c Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002620 (Quarter-squares: a(n) equal to floor(n/2)*ceiling(n/2). Equivalently, a(n) is floor(n^2/4).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-30.
^ Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A118454 (Algebraic degree of the onset of the logistic map n-bifurcation.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-29.
^ Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; Weisstein, E. W. (2006). "Ten Problems in Experimental Mathematics" (PDF). American Mathematical Monthly. 113 (6). Taylor & Francis: 482–485. doi:10.2307/27641975. JSTOR 27641975. MR 2231135. S2CID 13560576. Zbl 1153.65301 – via JSTOR.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A091517 (Decimal expansion of the value of r corresponding to the onset of the period 16-cycle in the logistic map.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-29.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A006562 (Balanced primes (of order one): primes which are the average of the previous prime and the following prime.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A046119 (Middle member of a sexy prime triple: value of p+6 such that p, p+6 and p+12 are all prime, but p+18 is not (although p-6 might be).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A046117 (Primes p such that p-6 is also prime. (Upper of a pair of sexy primes.))". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A023201 (Primes p such that p + 6 is also prime (Lesser of a pair of sexy primes.))". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.
^ Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A003154 (Centered 12-gonal numbers, or centered dodecagonal numbers: numbers of the form 6*k*(k-1) + 1.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A083577 (Prime star numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.
^ Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A006564 (Icosahedral numbers: a(n) equal to n*(5*n^2 - 5*n + 2)/2.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-23.
^ Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A007588 (Stella octangula numbers: a(n) equal to n*(2*n^2 - 1).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-17.
^ Jump up to: ^a ^b ^c Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005114 (Untouchable numbers, also called nonaliquot numbers: impossible values for the sum of aliquot parts function (A001065))". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-17.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A051177 (Perfectly partitioned numbers: numbers k that divide the number of partitions p(k).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-23.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005432 (Number of permutation groups of degree n (or, number of distinct subgroups of symmetric group S_n, counting conjugates as distinct).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-30.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A067659 (Number of partitions of n into distinct parts such that number of parts is odd.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-30.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A067661 (Number of partitions of n into distinct parts such that number of parts is even.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-30.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A127337 (Numbers that are the sum of 10 consecutive primes.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-16.
^ Jump up to: ^a ^b ^c Beeler, M.; Gosper, R.W.; Schroeppel, R. (1972-02-29). HAKMEM (PDF) (Report). MIT Computer Science and Artificial Intelligence Laboratory. p. 24 (ITEM 63). AIM 239. Retrieved 2023-12-19 – via Princeton Plasma Physics Laboratory.

"The joys of 239 are as follows:

pi = 16 arctan (1/5) − 4 arctan(1/239),

which is related to the fact that 2 * 13⁴ − 1 = 239²,

which is why 239/169 is an approximant (the 7th) of √2.

arctan(1/239) = arctan(1/70) − arctan(1/99)

= arctan(1/408) + arctan(1/577)

239 needs 4 squares (the maximum) to express it.

239 needs 9 cubes (the maximum, shared only with 23) to express it.

239 needs 19 fourth powers (the maximum) to express it.

(Although 239 doesn't need the maximum number of fifth powers.)

1/239 = .00418410041841..., which is related to the fact that

1,111,111 = 239 * 4,649.

The 239th Mersenne number, 2²³⁹ − 1, is known composite,

but no factors are known.

239 = 11101111 base 2.

239 = 22212 base 3.

239 = 3233 base 4.

There are 239 primes < 1500.

K239 is Mozart's only work for 2 orchestras.

Guess what memo this is.

And 239 is prime, of course."
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A078125 (Number of partitions of 3^n into powers of 3)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Siksek, Samir (1995). Descents on Curves of Genus I (PDF) (Ph.D. thesis). Exeter, UK: University of Exeter. pp. 16–17. hdl:10871/8323. S2CID 118846642.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A229384 (Positive integer solutions y1, x1, y2, x2 to Ljunggren's equation x^2 + 1 equal to 2y^4.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-19.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001333 (Numerators of continued fraction convergents to sqrt(2).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-19.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000110 (Bell or exponential numbers: number of ways to partition a set of n labeled elements.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-19.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A074902 (Known friendly numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-27.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A072938 (Highly composite numbers that are half of the next highly composite number.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-19.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A350028 (Number of Euler tours of the complete graph on n vertices (minus a matching if n is even).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A232545 (Number of Euler tours of the complete digraph on n vertices.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A027683 (Number of independent vertex sets of the n X n torus grid graph.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-15.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A027624 (Number of independent vertex sets in the n-hypercube graph Q_n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-15.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A198303 (Irregular triangle C(n,g) counting connected trivalent simple graphs on 2n vertices with girth exactly g.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-15.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A186734 (Треугольный массив C(n,k), считающий связные k-регулярные простые графы на n вершинах с обхватом ровно 4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006924 (Количество связных трехвалентных графов с 2n узлами и обхватом ровно 4)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A098623 (Рассмотрим семейство ориентированных мультиграфов, обогащенное видами разбиений множеств. Последовательность дает количество этих мультиграфов с n помеченными дугами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Гилберт, Лабелль (2000). «Подсчет обогащенных мультиграфов по числу их ребер (или дуг)» . Дискретная математика . 217 (1–3). Амстердам: Эльзевир : 237–248. дои : 10.1016/S0012-365X(99)00265-4 . МР 1766269 . S2CID 22434588 . Збл 0959.05061 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A022801 (n-е число Люка (A000204(n)) + n-е число не-Люкаса (A090946(n+1)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000204 (числа Люка (начинаются с 1): L(n) равно L(n-1) + L(n-2), где L(1) равно 1, L(2) равно 3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090946 (числа, не относящиеся к Люкасу: дополнение к A000204.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A114312 (Количество разделов n с различным количеством нечетных и четных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A171967 (Количество разделов n с различным количеством нечетных и четных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A253927 (Количество многогексов (без отверстий) размера 6*n+1 с 6-кратной вращательной симметрией.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212789 (Количество эндофункций на [n] с различной длиной цикла.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074127 (Сгруппируйте составные числа так, чтобы сумма n-й группы была кратна n-му простому числу: (4), (6), (8, 9, 10, 12, 14, 15, 16). , 18, 20, 21, 22), (24, 25), (26, 27, 28, 30, 32), (33, 34, ...), ... Последовательность дает сумму группы, разделенную на n- -е простое число для n-й группы.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060354 (N-ое n-угольное число: a(n) равно n*(n^2 - 3*n + 4)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051866 (14-угольных (или тетрадекагональных) чисел: a(n) равна n*(6*n-5).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051402 (обратная функция Мертенса: наименьшее k такое, что |M(k)| равно n, где M(x) — функция Мертенса A002321.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051890 (a(n) равна 2*(n^2 - n + 1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001111 (Количество неэквивалентных планов Адамара порядка 4n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Спенс, Эдвард. «Матрицы Адамара» . Эдвард Спенс (домашняя страница) . Университета Глазго Математический факультет . Проверено 22 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A304241 (Индексы, в которых функция Мертенса A002321 достигает рекордных амплитуд между нулями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001414 (Целый журнал n: сумма простых чисел, делящих n (с повторением). Также называется sopfr(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046197 (Фиксированные точки для операции многократной замены числа суммой кубов его цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005188 (числа Армстронга (или плюс совершенные, или плюс совершенные, или нарциссические) числа: m-значные положительные числа, равные сумме m-х степеней их цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006145 (числа Рут-Аарона (1): сумма простых делителей n равна сумме простых делителей n+1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006146 (Суммы простых делителей чисел Рут-Аарон (A006145).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A018818 (Количество разбиений n на делители n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007629 (Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) числа (или числа Кита).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A357886 (Треугольник, читаемый по строкам: T(n,k) — это количество открытых путей длины k, начинающихся и заканчивающихся в фиксированных различных вершинах в полном неориентированном графе на n помеченных вершинах, для n больше или равного 1 и k равно 0 .. n*(n-1)/2.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000014 (Количество последовательно сокращенных деревьев с n узлами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054502 (Счетная последовательность для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054500 (Индикаторная последовательность для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054501 (Последовательность кратности для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ И. Ривин, И. Варди и П. Циммерманн (1994). Проблема n ферзей. Американский математический ежемесячник . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . 101 (7): 629–639. doi : 10.1080/00029890.1994.11997004 JSTOR 2974691
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A135388 (Количество (направленных) эйлеровых контуров на полном графе K_{2n+1}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007082 (Количество эйлеровых схем на полном графе K_{2n+1}, разделенное на (n-1)!^(2n+1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). "Последовательность A357887 (Треугольник читается по строкам: T(n,k) — количество контуров длины k в полном неориентированном графе на n помеченных вершинах, для n больше или равного 1 и k равного 0 .. n( n-1)/2.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A327070 (Количество несвязных простых помеченных графов, охватывающих n вершин.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 августа 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A141580 (Количество непомеченных несопряженных графов с n вершинами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A290056 (Количество клик в n-треугольном графе.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000568 (Количество результатов немаркированных круговых турниров n-команд)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 января 2024 г.
^ Ройл, Гордон Ф.; Прегер, Шерил Э.; Глэсби, СП; Фридман, Сол Д.; Девиллерс, Алиса (2023). «Турниры и графики равномногочисленны» . Журнал алгебраической комбинаторики . 57 (2). Гейдельберг: Springer : 515–524. arXiv : 2204.01947 . дои : 10.1007/s10801-022-01197-0 . МР 4570411 . S2CID 247958071 . Збл 1512.05199 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002190 (Sum_{n больше или равна 0} a(n)*x^n/n!^2 равна -log(BesselJ(0,2*sqrt(x))).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Аваль, Жан-Кристоф; Буссико, Адриан; Делькруа-Оже, Беренис; и другие. (2021). «Однозначные деревья: новые результаты и обобщения» . Европейский журнал комбинаторики . 95 . Амстердам: Эльзевир : 1–28. arXiv : 1511.09455 . дои : 10.1016/j.ejc.2021.103331 . МР 4111347 . S2CID 265038614 . Артикул 1440.05061 .
^ Аваль, Жан-Кристоф; Буссико, Адриан; Бувель, Матильда; Силимбани, Маттео (2014). «Комбинаторика однозначных деревьев» . Достижения прикладной математики . 56 . Амстердам: Эльзевир : 78–108. arXiv : 1305.3716 . дои : 10.1016/j.aam.2013.11.004 . МР 3194208 . S2CID 14989102 . Збл 1300.05127 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A186725 (Количество связных регулярных графов с n узлами и обхватом не менее 5.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A093134 (Трисекция Якобсталя.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A367707 (Количество вершин степени 6 в n-губчатом графе Менгера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078469 (Количество различных композиций лестничного графа L_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A137883 (Количество (направленных) гамильтоновых путей в n-лестничном графе Мёбиуса.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A124350 (a(n) равна 4*n*(floor(n^2/2)+1). Для n больше или равного 3 это количество направленных гамильтоновых путей на графе n-призмы. .)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A160172 (последовательность Т-образных зубочисток (определение см. в строках комментариев).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118746 (Десятичное расширение начала логистической карты 7-бифуркации.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054377 (Первичные псевдосовершенные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007304 (Сфенические числа: произведения трех различных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.
^ Келлнер, Бернд К. (2005). «Уравнение denom(B _n ) = n имеет только одно решение» (PDF) . Бернулли (Препринт). Геттинген, Германия. стр. 1, 2. S2CID 124553392 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A027642 (Знаменатель числа Бернулли B_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002827 (Унитарные совершенные числа: числа k такие, что usigma(k) – k равно k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.
^ Мори, Питер (2004). «Свернутые числа Фибоначчи» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 7 (2). Ватерлоо, Онтарио, Калифорния: Университета Ватерлоо Школа компьютерных наук Дэвида Р. Черитона : 13 (статья 04.2.2). arXiv : math.CO/0311205 . Бибкод : 2004JIntS...7...22M . МР 2084694 . S2CID 14126332 . Збл 1069.11004 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001629 (Самосвертка чисел Фибоначчи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Бельбачир, Хачене; Джеллал, Туфик; Люк, Джон Габриэль (2023). «О самосвертке обобщенных чисел Фибоначчи» . Вопросы по математике 46 (5). Оксфордшир, Великобритания: Тейлор и Фрэнсис : 841–854. arXiv : 1703.00323 . дои : 10.2989/16073606.2022.2043949 . МР 4592901 . S2CID 119150217 . Збл 07707543 . {{cite journal}}:CS1 maint: Zbl ( ссылка )
^ Берндт, Брюс С .; Чан, Хэн Хуат (1999). «Рамануджан и модульный j-инвариант» . Канадский математический бюллетень . 42 (4): 427–440. дои : 10.4153/CMB-1999-050-1 . МР 1727340 . S2CID 1816362 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004009 (Разложение ряда Эйзенштейна E_4 (q) (альтернативное соглашение E_2 (q)); тета-ряд решетки E_8.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013973 (Расширение ряда Эйзенштейна E_6(q) (альтернативное соглашение E_3(q)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006352 (Коэффициенты разложения ряда Эйзенштейна E_2 (также называемого E_1 или G_2).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
^ Хартшорн, Робин (1977). «Глава 4: Кривые». Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. Берлин: Springer-Verlag . стр. 316–321. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8 . МР 1567149 . OCLC 13348052 . S2CID 5695770 . Збл 0367.14001 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060295 (Десятичное расширение exp(Pi*sqrt(163)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 августа 2023 г.
^ Барроу, Джон Д. (2002). «Константы природы» . Фундаментальные константы . Лондон: Джонатан Кейп . п. 72. дои : 10.1142/9789812818201_0001 . ISBN 0-224-06135-6 . S2CID 125272999 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Ронан, Марк (2006). Симметрия и чудовище: одно из величайших поисков математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . стр. 1–255. ISBN 978-0-19-280722-9 . МР 2215662 . OCLC 180766312 . Збл 1113.00002 .
^ Ронан, Марк (6 марта 2013 г.). «163 и Монстр» . Марк Ронан . Проверено 17 августа 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Янсен, Кристоф (2005). «Минимальные степени точных представлений спорадических простых групп и их накрывающих групп» . LMS Журнал вычислений и математики . 8 . Лондон: Лондонское математическое общество : 122–123. дои : 10.1112/S1461157000000930 . МР 2153793 . S2CID 121362819 . Збл 1089.20006 .
^ Грисс-младший, Роберт Л. (1998). Двенадцать спорадических групп . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . стр. 54–79. ISBN 9783540627784 . МР 1707296 . ОСЛК 38910263 . Збл 0908.20007 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Мадор, Дэвид Александр (22 января 2003 г.). «Порядки неабелевых простых групп» . www.madore.org . Проверено 10 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A109379 (Порядки нециклических простых групп (с повторением).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067698 (Положительные целые числа, такие, что сигма(n) больше или равна exp(gamma) * n * log(log(n)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 октября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A048242 (Числа, которые не являются суммой двух множественных чисел (не обязательно различных).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Дитрих, Хайко; Ли, Мелисса; Попель, Томаш (6 декабря 2023 г.). «Максимальные подгруппы Монстра». стр. 1–23. arXiv : 2304.14646 [ GR математика. ГР ]. Бибкод : 2023arXiv230414646D .
^ Грисс-младший, Роберт Л. (1982). «Дружелюбный великан » изобретения Математические 69 : 91−96. Бибкод : 1982InMat..69.... 1G дои : 10.1007/BF01389186 . hdl : 2027.42/46608 . МР 0671653 . S2CID 123597150 . Збл 0498.20013 .
^ Огг, AP (1981). «Модульные функции». В Куперштейне, Брюс; Мейсон, Джеффри (ред.). Конференция в Санта-Крусе по конечным группам . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 37. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 521–532. дои : 10.1090/PSPUM/037 . ISBN 0-8218-1440-0 . МР 0604631 . Збл 0443.00007 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002267 (15 суперсингулярных простых чисел: простые числа, разделяющие порядок простой группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A216071 (задача Брокара: положительные целые числа m такие, что m^2 равно n! +1 для некоторого n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A085692 (Задача Брокара: квадраты, которые можно записать как n!+1 для некоторого n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004394 (Сверхизбыточные [или сверхизбыточные] числа: n такие, что сигма(n)/n больше, чем сигма(m)/m для всех m меньше n, сигма(n) равна A000203(n), сумма делители n.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кавени, Джеффри; Николя, Жан-Луи ; Сондоу, Джонатан (2011). «Теорема Робина, простые числа и новая элементарная формулировка гипотезы Римана» . Целые числа . 11 (6). Берлин: Де Грюйтер : 755 (A33). arXiv : 1110.5078 . дои : 10.1515/INTEG.2011.057 . МР 2798609 . S2CID 14573608 . Збл 1235.11082 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034963 (Сумма четырех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002110 (Первоначальные числа (первое определение): произведение первых n простых чисел. Иногда пишется prime(n)#.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000332 (Биномиальный коэффициент биномиал(n,4), равный n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.
^ Дешуйе, Жан-Марк ; Гранвилл, Эндрю ; Наркевич, Владислав; Померанс, Карл (1993). «Верхняя оценка проблемы Гольдбаха» . Математика вычислений . 61 (203). Вашингтон, округ Колумбия: Американское математическое общество : 209–213. Бибкод : 1993MaCom..61..209D . дои : 10.1090/S0025-5718-1993-1202609-9 . МР 1202609 . S2CID 51831845 . Збл 0780.11047 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A050381 (Количество последовательно уменьшенных посаженных деревьев с n листьями 2 цветов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074127 (Сгруппируйте составные числа так, чтобы сумма n-й группы была кратна n-му простому числу: (4), (6), (8, 9, 10, 12, 14, 15, 16). , 18, 20, 21, 22), (24, 25), (26, 27, 28, 30, 32), (33, 34, ...), ... Последовательность дает сумму группы, разделенную на n- -е простое число для n-й группы.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A023201 (Простые числа p такие, что p + 6 также является простым (меньшее из пары сексуальных простых чисел.))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002410 (ближайшее целое число к мнимой части n-го нуля дзета-функции Римана.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013629 (Пол мнимых частей нетривиальных нулей дзета-функции Римана.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.
^ Одлизко, Андрей . «Первые 100 (нетривиальных) нулей дзета-функции Римана [AT&T Labs]» . Андрей Одлыжко: Домашняя страница . УМН ЦСЕ . Проверено 16 января 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Клэйз, Янис (2012). Порядки в квадратичных мнимых полях малого класса (PDF) (диссертация по математике). Уорикского университета Центр науки о сложности . стр. 1–24. S2CID 126035072 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A258706 (Абсолютные простые числа: каждая перестановка цифр является простым числом. Показан только наименьший представитель каждого класса перестановок.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A059408 (a(n+1) как a(n)-я составная часть и a(1) равна 13.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.

^ Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое число» . MathWorld — WolframAlpha ресурс . Проверено 18 октября 2023 г.

В списке ниже приведены числа вида

x \equiv e. π \sqrt n

для

n \leq 1000,

для которого

| нинт (Икс) - Икс | \leq 10 -3

.

$н$	$\|nint(Икс) - Икс \|$
25	−0.00066
37	−0.000022
43	−0.00022
58	−1.8×10 ⁻⁷
67	−1.3×10 ⁻⁶
74	−0.00083
148	0.00097
163	−7.5×10 ⁻¹³
232	−7.8×10 ⁻⁶
268	0.00029
522	−0.00015
652	1.6×10 ⁻¹⁰
719	−0.000013

^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014603 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 2 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A032354 (j-инварианты для порядков класса № 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 октября 2023 г.
^ Загер, Дон (2008). «Эллиптические модульные формы и их приложения» . В Ранестаде, Кристиан (ред.). 1-2-3 модульных форм . Университетский текст (1-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . стр. 70−71. дои : 10.1007/978-3-540-74119-0_1 . ISBN 978-3-540-74117-6 . МР 2409678 . OCLC 173239471 . Збл 1259.11042 .
^ Арпин, Сара; Камачо-Наварро, Каталина; и другие. (2021). «Приключения в Суперсингулярной стране» . Экспериментальная математика . 32 (2). Оксфордшир, Великобритания: Тейлор и Фрэнсис : 245–256. arXiv : 1909.07779 . Бибкод : 2019arXiv190907779A . дои : 10.1080/10586458.2021.1926009 . МР 4592945 . S2CID 202583238 . Збл 1517.94057 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (2003). Вайсштейн, Эрик В. (ред.). CRC Краткая математическая энциклопедия (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC . стр. 57–59. дои : 10.1201/9781420035223 . ISBN 9781584883470 . JSTOR 20453513 . МР 1944431 . OCLC 50252094 . S2CID 116679721 . Збл 1079.00009 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A329191 (Простые делители порядков спорадических конечных простых групп.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A113907 (Размеры пяти спорадических групп Ли.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A048050 (функция Чоулы: сумма делителей n, кроме 1 и n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006203 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 3 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 октября 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127106 (Числа n такие, что n^2 делит 6^n-1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013658 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 4 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.
^ Уоткинс, Марк (2004). «Числа классов мнимых квадратичных полей» . Математика вычислений . 73 (246). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 907–938. дои : 10.1090/S0025-5718-03-01517-5 . JSTOR 4099810 . МР 2031415 . Збл 1050.11095 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038552 (Наибольшее бесквадратное число k такое, что Q(sqrt(-k)) имеет номер класса n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 октября 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004011 (Тэта-ряд решетки D_4; коэффициенты Фурье ряда Эйзенштейна E_{gamma,2}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Чун, Джи Хун (2019). «Сферические упаковки [2013]» (PDF) . В Цфасман, Михаил; и другие. (ред.). Коды алгебраической геометрии: главы для продвинутого уровня . Математические обзоры и монографии . Том. 238. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 229−278. дои : 10.1090/surv/238 . ISBN 978-1-4704-5263-6 . МР 3966406 . S2CID 182109921 . Збл 1422.14004 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004013 (Тэта-серия объемноцентрированной кубической (ОЦК) решетки.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность А004014 (Нормы векторов в ОЦК-решетке.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000118 (Количество способов записи n в виде суммы 4 квадратов; также тэта-ряд четырехмерной кубической решетки Z^4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники (1-е изд.). Лондон: Метуэн и компания. стр. 100-1 1–321. ISBN 9780521201254 . МР 0027148 . ОСЛК 472190910 .
^ Пеконен, Осмо (2018). «Какое целое число самое загадочное?» . В Сарханги, Реза (ред.). Мосты: Математика, Искусство, Музыка, Архитектура, Образование, Культура . Материалы конференции по мостам . п. 441. ИСБН 9781938664274 . ISSN 1590-5896 . OCLC 7788577569 . S2CID 133028298 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Хэ, Ян-Хуэй ; Маккей, Джон (2015). «Спорадический и исключительный». стр. 1–49. arXiv : 1505.06742 [ math.AG ]. S2CID 117030188 .
«Особый интерес вызывает менее известный факт – параллельно приведенному выше тождеству – что постоянный член j-инварианта, а именно 744, удовлетворяет условию $744 = 3 \times 248.$ Число 248, конечно, является размерность сопряженной наибольшей исключительной алгебры [ $𝖊 8$ ]. Фактически, то, что j должно кодировать представления [ $𝖊 8$ ], было установлено задолго до окончательного доказательства гипотезы Муншайна. Эта связь между самой большой спорадической группой и самой большой. исключительная алгебра соединила бы «Переписку Маккея» с «Самогоном» и тем самым вплела бы еще одну прекрасную нить в панорамный гобелен математики». ^{: стр.4}

" ¹⁶ Кстати, читателя также насторожил курьезный факт, что $σ 1 (240) = 744$ ». ^{: стр.21 (примечание)}
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007245 (серия Маккея-Томпсона класса 3C для группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
$j (𝜏) 1/3 = q -1/3 (1 + 248 д + 4124 д 2 + 34752 q 3 + ...)$
^ Перейти обратно: ^а ^б Ганнон, Терри (2006). «Введение: краткий обзор теории, лежащей в основе чудовищного самогона» (PDF) . Самогон за пределами монстра: Мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж, Массачусетс: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–15. ISBN 978-0-521-83531-2 . МР 2257727 . OCLC 1374925688 . Збл 1146.11026 .
«В частности, $4124 = 3875 + 248 + 1$ и $34752 = 30380 + 3875 + 2 \cdot 248 + 1$ , где 248, 3875 и 30380 — все размерности неприводимых представлений $\mathbb {C}$ ". ^{: стр.6}
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121732 (Размеры неприводимых представлений простой алгебры Ли типа E8 над комплексными числами, перечислены в порядке возрастания.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
^ Gaberdiel, Matthias R. (2007). "Constraints on extremal self-dual CFTs". Journal of High Energy Physics. 2007 (11, 087). Springer: 10–11. arXiv:0707.4073. Bibcode:2007JHEP...11..087G. doi:10.1088/1126-6708/2007/11/087. MR 2362062. S2CID 16635058.
^ Conway, John H.; Sloane, N. J. A. (1988). "Algebraic Constructions for Lattices". Sphere Packings, Lattices and Groups. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2016-7. eISSN 2196-9701. ISBN 978-1-4757-2016-7. MR 1541550.
^ Coxeter, H. S. M. (1998). "Seven Cubes and Ten 24-Cells" (PDF). Discrete & Computational Geometry. 19 (2): 156–157. doi:10.1007/PL00009338. S2CID 206861928. Zbl 0898.52004.
^ Coxeter, H. S. M.; Shephard, G.C. (1992). "Portraits of a Family of Complex Polytopes". Leonardo. 25 (3/4): 243–244. doi:10.2307/1575843. JSTOR 1575843. S2CID 124245340. Zbl 0803.51023.
^ Baez, John C. (2018). "From the Icosahedron to E₈". London Mathematical Society Newsletter. 476: 18–23. arXiv:1712.06436. MR 3792329. S2CID 119151549. Zbl 1476.51020.
^ Hart, George W. (1998). "Icosahedral Constructions" (PDF). In Sarhangi, Reza (ed.). Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science. Proceedings of the Bridges Conference. Winfield, Kansas. p. 196. ISBN 978-0966520101. OCLC 59580549. S2CID 202679388.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ Wilson, Robert A. (2009). "Octonions and the Leech lattice". Journal of Algebra. 322 (6): 2186–2190. doi:10.1016/j.jalgebra.2009.03.021. MR 2542837.
^ Schellekens, Adrian Norbert (1993). "Meromorphic c = 24 conformal field theories". Communications in Mathematical Physics. 153 (1). Berlin: Springer: 159–185. arXiv:hep-th/9205072. Bibcode:1993CMaPh.153..159S. doi:10.1007/BF02099044. MR 1213740. S2CID 250425623. Zbl 0782.17014.
^ Möller, Sven; Scheithauer, Nils R. (2023). "Dimension formulae and generalised deep holes of the Leech lattice vertex operator algebra". Annals of Mathematics. 197 (1). Princeton University & the Institute for Advanced Study: 261–285. arXiv:1910.04947. Bibcode:2019arXiv191004947M. doi:10.4007/annals.2023.197.1.4. MR 4513145. S2CID 204401905. Zbl 1529.17040.
^ Griess, Jr., Robert L.; Lam, Ching Hung (2011). "A moonshine path from E8 to the Monster" (PDF). Journal of Pure and Applied Algebra. 215 (5): 930–931. doi:10.1016/j.jpaa.2010.07.001. MR 2747229. S2CID 123613651. Zbl 1213.17028.
^ Griess Jr., Robert L.; Lam, Ching Hung (2011). "A moonshine path for 5 A and associated lattices of ranks 8 and 16". Journal of Algebra. 331. Amsterdam: Elsevier: 348. arXiv:1006.3907. Bibcode:2010arXiv1006.3907G. doi:10.1016/j.jalgebra.2010.11.013. MR 2774662. S2CID 119679255. Zbl 1283.20009.
^ Harada, Masaaki; Lam, Ching Hung; Munemasa, Akihiro (2013). "Residue codes of extremal Type II Z₄-codes and the moonshine vertex operator algebra". Mathematische Zeitschrift. 274 (1). Springer: 691, 698–699. arXiv:1005.1144. Bibcode:2010arXiv1005.1144H. doi:10.1007/s00209-012-1091-z. MR 3054350. S2CID 253730965. Zbl 1283.94112.
^ Pless, V.; Sloane, N. J. A. (1975). "On the classification and enumeration of self-dual codes". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 18 (3). Amsterdam: Elsevier: 313–335. doi:10.1016/0097-3165(75)90042-4. MR 0376232. S2CID 16303075. Zbl 0305.94011.
^ Van Ekeren, Jethro; Lam, Ching Hung; Möller, Sven; Shimakura, Hiroki (2021). "Schellekens' list and the very strange formula". Advances in Mathematics. 380. Amsterdam: Elsevier: 1–34 (107567). arXiv:2005.12248. doi:10.1016/j.aim.2021.107567. MR 4200469. S2CID 218870375. Zbl 1492.17027.
^ Betsumiya, Koichi; Lam, Ching Hung; Shimakura, Hiroki (2023). "Automorphism Groups and Uniqueness of Holomorphic Vertex Operator Algebras of Central Charge 24". Communications in Mathematical Physics. 399 (3). Berlin: Springer: 1773–1810. arXiv:2203.15992. Bibcode:2023CMaPh.399.1773B. doi:10.1007/s00220-022-04585-6. MR 4580534. S2CID 247793117. Zbl 1523.17056.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A129863 (Sums of three consecutive pentagonal numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000326 (Pentagonal numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002411 (Pentagonal pyramidal numbers: a(n) equal to n^2*(n+1)/2.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-11-09.
^ Taneja, Inder J. (2016). "Selfie Numbers - IV: Addition, Subtraction and Factorial" (PDF). RGMIA Research Report Collection. 19: 1−4 (Article 163).
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A193069 (Pretty wild narcissistic numbers - numbers that pwn: - an integer n that can be expressed using just the digits of n (each digit used once only and in order from left to right) and the operators + - * / ^ ! and the radical symbol. Concatenation is allowed.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-12.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A177434 (The magic constants of 6 X 6 magic squares composed of consecutive primes.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A177434 (The magic constants of 6 X 6 magic squares composed of consecutive primes.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-11.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A122875 (Numbers whose square is undulating.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-11-02.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A016073 (Undulating squares.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-11-02.
^ Pickover, Clifford A. (1995). "Chapter 20: The Undulation of the Monks". Keys to Infinity. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. pp. xviii, 1−332. ISBN 978-0471193340. OCLC 31710129. S2CID 121761396.
^ Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A164843 (The smallest magic constant of an n X n magic square with distinct prime entries.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-11-05.
^ Makarova, Natalia V. "Least Magic Squares of Prime Numbers (Part I)". klassikpoez.narod.ru (in Russian). Archived from the original on 2023-12-08. Archived translation in English. Retrieved 2023-12-07.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A006003 (a(n) equal to n*(n^2 + 1)/2)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-11.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A187781 (Number of noncongruent polygonal regions in a regular n-gon with all diagonals drawn.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-23.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A279019 (Least possible number of diagonals of simple convex polyhedron with n faces.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-10.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002839 (Number of simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A326118 (a(n) is the largest number of squares of unit area connected only at corners and without holes that can be inscribed in an n X n square.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-20.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A272390 (Longest side of primitive Heronian tetrahedron with 4 congruent triangle faces.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-03-09.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A272388 (Longest side of Heronian tetrahedron.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-03-09.

[17] 120 также равно сумме первых пятнадцати целых чисел или пятнадцатому треугольному числу $Σ. 15 п = 1 п$ , ^[6] хотя это также наименьшее число с шестнадцатью делителями, ^[12] 744 — тридцать первое такое число. ^[13] Это значение также равно сумме всех простых чисел меньше 31, не являющихся делителями 744, кроме 5, включая 1. Включительно 5 эта сумма равна $125 = 5. 3$ , что является вторым числом после 32 которого равна , аликвотная сумма 31. ^[14]
Согласно гипотезе Коллатца , 744 и 120 требуют пятнадцати шагов, чтобы достичь 5 , прежде чем пройти через {16, 8, 4, 2, 1} за пять шагов. ^[15]^[16] В противном случае им обоим потребуется девятнадцать шагов, чтобы достичь 2 , который является средним узлом в элементарной траектории {1,4,2,1,4...} для 1 при циклическом возвращении к самому себе, или двадцать шагов, чтобы достичь 1 .

[24] Радикал . $186 = 2 \times 3 \times 31$ из 744 ^[19] имеет среднее арифметическое делителей, равное 48, ^[11] где сумма трех различных простых делителей числа 744 равна $62 =$ 36 186 его не существует ^[20] и некокотентный , ^[21] равен количеству пентагексов , когда вращения считаются отдельными. ^[22]

[35] 744 — 181-е обильное число. В частности, 432 (дважды 216 , куб 6 ) имеет аликвотную сумму 808 , ^[14] где 433 — тридцать первое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления , которое повторяет 432 цифры, что в совокупности дает 1944. ^[25] Менее 1000, шестидесятое и самое большое такое простое число - 983 , которое повторяет 982 цифры, которые в сумме дают 4419, двузначную двойную перестановку цифр 1944 года (и где $2475 = 4419 - 1944$ имеет уменьшенную долю 60). ^[26] 432 также является двадцать третьим промежуточным числом между простыми числами-близнецами . ^[27] и восьмое такое число, соседние простые числа которого имеют простые индексы, которые добавляются к простому числу ( $167 = 83 + 84$ , тридцать девятое простое число); ^[9] 348 , сводный индекс 432, ^[28] само по себе является шестым промежуточным числом, чьи соседние простые числа имеют индексы, которые добавляются к простому числу ( $139 = 69 + 70$ , тридцать четвертое простое число). ^[9]
Важно, $432 = 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3$ ^[29] — число Ахиллеса , мощное число (тридцать четвёртое). ^[30] это само по себе не является идеальной степенью , как 864 (одиннадцатый индекс, который вдвое превышает его значение) и 288 (общая сумма 864), ^[5] а также 108 (четвертая из 432) и 1944 г. ^[31] (432 — шестой член, где шестое треугольное число — 21 , ^[6]сам индекс 1944 года в списке чисел Ахиллеса. Обратите внимание также, что $1944 = 1200 + 744$ , где $1200 = 456 + 744$ , или, другими словами, $σ (456)$ .) ^[32]
С другой стороны, 181 , индекс 744 как избыточного числа, является шестнадцатым полным повторяющимся простым числом по основанию десять, ^[25] и сводный индекс 232 , ^[28] это сумма первых пяти промежуточных чисел, которые лежат между простыми числами-близнецами с суммами простых чисел из соответствующих индексов (т. е. 138, 72, 12, 6, 4), как в случае с 432 и 348. ^[27] 109 — десятое полное повторяющееся простое число, повторяющее 108 цифр, сумма повторяющихся цифр которых равна 486 , четвертая часть 1944 года, где 487 — тридцать третье полное повторяющееся простое число (а 811 — сорок девятое, на одну меньше суммы 180). повторяющиеся цифры 181 с $288 = 180 + 108$ ). ^[25]

[53] 744 — 183-е полусовершенное число, индексное значение, сумма делителей которого равна 248 , ^[32] и среднее арифметическое делителей, равное $62 = 31 \times 2$ , ^[10]^[11]оба из них являются делителями 744 (четырнадцатый и десятый по величине соответственно); в противном случае сумма двух его делителей, больших 1, равна $3 + 61 = 64 = 8. 2$ . 183 также является восьмым совершенным числом . ^[34] и количество полупорядков на четырех меченых элементах. ^[35] Это наибольшее количество внутренних областей, образованных четырнадцатью пересекающимися кругами, что эквивалентно количеству точек на проективной плоскости над конечным полем. $\mathbb {Z} _{1}3$ , с $132 + 13 + 1 = 183$ . ^[36] Это количество зубочисток в последовательности зубочисток после восемнадцати этапов. ^[37] Далее 181, 183 стоит шестьдесят второе число Лёша формы $x. 2 + ху + у 2$ , как произведение третьего и двадцать четвертого таких чисел ( 3 , 61 ), простых индексов два и восемнадцать. ^[38]^[9] Кроме того, наименьшее число, имеющее ровно четыре решения этого квадратичного многочлена, - это первый номер такси 1729 из $(a, b)$ целочисленных пар $(3, 40), (8, 37), (15, 32)$ и $(23, 25)$ , ^[39]^[40]где эти четыре пары вместе генерируют сумму 183 . С другой стороны, наименьшее такое число, имеющее только два решения, равно 49 ; ^[41] где 1729 представляет собой 97-е такое число, выражаемое двумя или более способами. ^[42] Вероятность того, что любое нечетное число является числом Лёша, равна 0,75 , а вероятность того, что это четное число, составляет оставшиеся 0,25. ^[43]
Существует ровно 816 целых чисел (включительно, равных сумме делителей 737 , наибольшей составной суммы 744). ^[32] между полусовершенным индексом 744 и 1000, числом, которое, в свою очередь, имеет сумму делителей $2232 = 744 \times 3$ , ^[32] 24-е десятиугольное число , ^[44] а также 30-е число, которое можно выразить как разность квадратов последовательных простых чисел только одним отличным способом; ^[45] другие члены этой последовательности включают:
1920 ( 26 -й), сумма делителей 744, ^[32]
1728 (24-й), равный кубу 12 и на единицу меньше первого номера такси,
432 ( 8 -й), изобилие 744, ^[24]
288 (6-е), разница между 744 и 456 , единственное число, аликвотная сумма которого равна 744, ^[14]
240 ( 5 -й), число Эйлера 744. ^[5]
888 — 13- й член, 26-я повторная цифра в десятичном формате. ^[46] равен сумме между 432 и 456 и между 144 и 744 (где 432 и 456 имеют общие значения 144); ^[5] и равен произведению двенадцатого простого числа 37 и 24. Первые четыре члена (5, 16, 24, 48) генерируют сумму 93 , что является одиннадцатым по величине делителем числа 744 после 62. ^[45] 93 представляет количество различных циклических перестановок Гилбрета на 11 элементах, ^[47] имеется девяносто три различных действительных периодических точки порядка 11 и, следовательно, на множестве Мандельброта . ^[48] В противном случае $1632 = 1176 + 456$ , что эквивалентно аликвотной сумме 744 (1176). ^[14] и 456 — шестнадцатое число, которое можно выразить как разность квадратов простых чисел двумя различными способами, последовательными или иными (432, 1728, 1920 и 2232 также входят в эту последовательность). ^[49]
183 также является первым нетривиальным 62 - угольным числом .

[5] 1920 ( 26 -й), сумма делителей 744, ^[32]

[6] 1728 (24-й), равный кубу 12 и на единицу меньше первого номера такси,

[7] 432 ( 8 -й), изобилие 744, ^[24]

[8] 288 (6-е), разница между 744 и 456 , единственное число, аликвотная сумма которого равна 744, ^[14]

[9] 240 ( 5 -й), число Эйлера 744. ^[5]

[66] Между тем, где 279 - это 58-е промежуточное число, лежащее между последовательными нечетными числами, которые не обязательно являются простыми числами-близнецами (здесь с разницей в четыре), 58-е палиндромное число в семеричном формате эквивалентно 456 в десятичном формате. ^[53] (это единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) ^[14] и представлено как 1221 ₇ , чьи цифры представляют собой двойную перестановку цифр 744 как 64 -й палиндром в системе счисления с основанием 7 ( 2112 ). ^[53]
Явно, каждое положительное целое число представляет собой не более суммы двухсот семидесяти девяти восьмых степеней ( проблема Уоринга ), которым предшествует максимальное количество ${1, 4, 9, 19, 37, 73, 143}$ $n$ -степеней; ^[60]где, как уже упоминалось, 279 — это десятичное представление дополнения до единиц 744 в двоичном формате. В этой последовательности первые шесть членов генерируют сумму, эквивалентную седьмому члену 143 , составному индексу 186. ^[28] это радикал 744, ^[19]а также равна сумме семи последовательных простых чисел, начиная с 11 и заканчивая одиннадцатым простым числом: $11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31$ . Это также произведение третьей простых чисел-близнецов пары $(11 \times 13)$ ; ^[8] пока прикидываю $34 + 4 4 + 5 4 + 6 4 = 7 4 - 143$ , что является вторым (или третьим) исключением в последовательности полиномов, начинающейся с $3. 2 + 4 2 = 5 2$ и $33 + 4 3 + 5 3 = 6 3$ , через $31 = 4 1 - 1$ (и $0 = 3 0 - 1$ ).
В то время как в начале последовательности полных повторяющихся простых чисел (с примитивным корнем 10) два наименьших таких числа - 7 и 17 , при этом повторяющиеся цифры обратного числа 7 добавляются к $27 = 3. 3$ это семнадцатое составное число, ^[28]есть еще $983+17=1000$ и $2\times279+432=7+983$ . Диапазон полных повторяющихся простых чисел от 17 до 983 состоит из пятидесяти девяти целых чисел, где 59 — семнадцатое простое число и седьмое суперпростое число . ^[9]^[61]

[70] 744 — четыреста шестое индексированное губительное число, где 406 — двадцать восьмое треугольное число; ^[6] в его представлении с базой два позиции нулей 3: 1 находятся в $соотношении 1: 1: 3$ или $: 1$ с позициями единиц, которые находятся в $соотношении 1: 3: 1$ .
Его дополнение равно 100010111 ₂ , что эквивалентно $279 = 3. 2 \times 31$ в десятичном формате , что представляет собой сумму НОД частей во всех разделах $16 = 4. 2$ . ^[55] Это также количество разбиений $62 = 2\times31$ (делитель 744), а также 63 на факториальные части (без учета 0!), ^[56] и количество целочисленных разделов 44 , длина которых равна НОК всех частей ^[57] (с 63 — сорок четвёртым составным числом , ^[28] где 44 само по себе является числом нарушений 5, ^[58] и $63 + 44 = 107$ — двадцать восьмое простое число ). ^[9]
2112 ₁₀ — это количество повторяющихся десятичных цифр числа 2113 в виде полного повторяющегося простого числа в десятичной системе счисления . ^[25] где 2112 — 65-е промежуточное число , лежащее между последовательными простыми числами-близнецами, ^[27] в противном случае это 317 -й член между последовательными нечетными простыми числами, ^[59] где 317 — 66-е индексированное простое число (90 и 91 — 65-е и 66-е составные числа соответственно, где $181 = 90 + 91$ ). ^[9]^[28] 279 , с другой стороны, является 58-м числом, лежащим между последовательными нечетными простыми числами ( 277 , 281 ), ^[59] с $81 = 9 2$ пятьдесят восьмое составное число. ^[28]^[v] Точнее, восемьдесят один — это сумма повторяющихся цифр третьего полного повторяющегося простого числа в десятичной системе счисления, 19 . ^[25] где сумма этих цифр представляет собой магическую константу 18 $\times 18,$ ненормального, но полного простого обратного магического квадрата основанного на его обратном ( $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / 19$ ) . ^[62]^[63]^[64]

[72] 744 — двадцать третье из тридцати одного такого числа, общая сумма которого равна 240, после 738 и перед 770 . Наименьшее число — 241 , пятьдесят третье простое число и шестнадцатое суперпростое число . ^[61] и самый большой — 1050 , что представляет собой количество частей во всех разделах из 29 на отдельные части. ^[65]

[75] Значение этой сигма-функции представляет собой пятнадцатую сумму нетреугольных чисел между треугольными числами ; в данном случае это сумма, лежащая между пятнадцатым ( 120 ) и шестнадцатым ( 136 ) треугольными числами. ^[67] (т.е. сумма $121 + 122 + ... + 135$ ).

[88] Тридцатое треугольное число равно $465 = 3 \times 5 \times 31$ , что равно разнице между 744 и 279 (эквивалентно 1011101000 ₂ и 100010111 ₂ , пары дополнений единиц соответственно). 30 — двенадцатое число $m$ такое, что $6 m + 1$ и $6 m — 1$ — простые числа-близнецы ( 181 , 179 ). ^[8]^[69] 465 также является биномом $(31,2)$ , равным количеству подмножеств размера 2 из ${0, 1, ..., 31},$ которые не содержат последовательных целых чисел (в свете как треугольное число, отстающее от своей последовательности на один индекс ). ^[70]^[6] В последовательности Падована 465 — это двадцать восьмой индексированный член, равный количеству композиций из 28 на части, конгруэнтные $2 по модулю 3$ , а также количеству композиций из 28 на части, которые нечетны и больше или равны 3, и количество максимальных клик в $(28 + 6)$ -путей графе дополнения (в частности, в $34$ -пути). ^[71]
30 — это наименьшее сфеническое число , которое является произведением трех различных простых чисел (2, 3 и 5) со следующими двумя такими числами $42 + 66 = 108$ . ^[72] Важно отметить, что 30 — это единственная точка в последовательности натуральных чисел. $\mathbb {N} ^{+}$ где отношение простых чисел к непростым (до) равно 1/2  ; при включении 0 в $\mathbb {N}$ как непростое число, это соотношение достигается при 29 , где соотношение половины снова достигается только (здесь исключительно как соотношение между простыми и составными числами) при 37 и 43 , которые являются соответственно двенадцатым и четырнадцатым простыми числами. (при включении 1 в качестве простой единицы тринадцатое простое число 41 будет еще одной точкой соотношения 1:1, без учета 0). ^[9] В противном случае соотношение простых чисел к составным (до) 1:1 происходит в двух точках: 11 и 13 , соответственно пятом и шестом простых числах. ^[9] — чьи индексы в сумме равны 11, простой индекс 31 — и в 7 , когда 0 и 1 включаются как непростые числа в $\mathbb {N} _{0}$ или в 8 , если включается только 1, и в 9 , если считать 0 непростым, а 1 — простой единицей). Тридцать также является первым составным значением с тремя или более различными простыми множителями, для которого функция Мёбиуса возвращает −1 , как и для всех чисел со строго нечетным количеством простых множителей, включая сами простые числа. Соответственно, 31 — это первое число (после 1 ), достигшее рекордной амплитуды между нулями в связанной функции Мертенса $M (n)$ , где следующее такое число — 114 , ^[73] среднее арифметическое делителей которого равно 30, ^[10]^[11] с суммой делителей 240. ^[32] С другой стороны, 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744), ^[14] 744 и 1176 (аликвотная сумма 744) все устанавливают значение -5 для $M (n)$ , ^[74] соответственно 20-е, 57-е и 86-е числа для этого (где 57 — сороковое составное, а 80 — пятьдесят седьмое), ^[28]при этом эти индексы образуют сумму $20 + 57 + 86 = 163$ , что эквивалентно наибольшему из девяти чисел Хегнера . (Кроме того, $20 + 57 = 77$ , сумма десятичных цифр в почти целочисленном приближении $e π \sqrt163$ до его десятичного расширения.)
Шестая пара чисел, создающая рекордный разрыв между простыми числами ( 14 ), — это 30-е и 31-е простые числа ( 113 , 127 ), ^[75]^[76]^[77]^[9] Предыдущие последовательные простые числа, создающие рекордные пробелы: (89, 97), (23, 29), (7, 11), (5, 3) и (3, 2); ^[78]^[79] меньшее из них вместе дает сумму 127, тридцать первое простое число.

[97] Это 168 -е индексированное число Цумкеллера, где $168 = 6 \times 28$ представляет собой произведение первых двух совершенных чисел , ^[81] равно пятому числу Дедекинда , ^[82] где предыдущие четыре индексированных члена (2, 3, 6, 20) в совокупности дают 31 — с 496 тридцать первым треугольным числом, ^[6]и третье совершенное число. 168 — это также количество простых чисел меньше 1000 . ^[9]^[83] Два набора делителей числа 744 с равными суммами:
(1, 2, 3, 4, 8, 12, 62, 124, 744)
(6, 24, 31, 186, 93, 248, 372)
960 также является тридцать первым числом Жордана–Пойа , которое является произведением факториалов $5! \times (2!) 3$ , ^[84] равно сумме шести последовательных простых чисел $149 + 151 + 157 + 163 + 167 + 173$ , между 35-м и 40-м простыми числами (это тридцать пятое такое число). ^[85] Пятнадцатое и шестнадцатое треугольные числа образуют сумму $120 + 136 = 256 = 2. 8$ это общее значение 960, ^[5] и количество разделов $29 = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 2 2 + 3 2 + 4 2$ на отдельные части и нечетные части. ^[86] Как и его простое число-близнец 31, 29 является первоначальным простым числом , которое вместе составляет третью и самую большую из трех известных пар простых чисел-близнецов (1-го, 2-го и 5-го), которые являются первоначальными простыми числами. ^[87]возможно, без больших пар. Между ними находится 30 .

[16] (1, 2, 3, 4, 8, 12, 62, 124, 744)

[17] (6, 24, 31, 186, 93, 248, 372)

[103] Сложные тотативы
{ 25 , 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95, 115, 119, 121, 125, 133, 143, 145, 161, 169, 175, 185, 187, 203, 205, 209, 215, 221, 235, 245, 247, 253, 259, 265, 275, 287, 289, 295, 299, 301, 305, 319, 323, 325, 329, 335, 343, 355, 361, 365, 371, 377, 385, 391, 395, 407, 413 , 415 , 425, 427, 437, 445, 451, 455, 469, 473, 475, 481, 485, 493, 497, 505, 511, 515, 517, 529, 533, 535, 539, 545, 551, 553, 559, 565, 575, 581, 583, 595, 605, 611, 623, 625, 629, 635, 637, 649, 655, 665, 667, 671, 679, 685, 689, 695, 697, 703, 707, 715, 721, 725, 731, 737 }.
Его наименьшая составная сумма равна $5. 2 = 25$ , это единственное число, аликвотная сумма которого равна 6 , ^[14] и второе из двух чисел, сумма делителей которого равна 31 (самый большой простой делитель 744), после $16 = 4. 2$ . ^[32] В частности, двадцать пятое простое число 97 образуется из суммы 48 и 49. Девяносто семь — это девятое полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления. ^[25] чьи 96 повторяющихся цифр образуют сумму 432 , равную количеству 744. ^[24] 97 также является первым нечетным простым числом, которое не является простым числом кластера. ^[89] (которое предшествует тридцать первому простому числу 127 в этой последовательности), где разрыв между простыми числами для простого числа кластера равен шести или меньше; ^[90] шестое и седьмое простые числа, не являющиеся простыми числами кластера, — это сорок восьмое и сорок девятое простые числа 223 и 227 .
97 — одиннадцатое простое число $p$ формы $6 m + 1$ для натурального числа $m$ . ^[91]
Между медианными составными тотативными значениями 744, т. е. ( 413, 415 ) , находится 414 — 333 -е составное число. ^[28] - с Эйлера 132 коэффициентом ^[5] это также простой индекс 743, ^[9] наибольшая простая сумма 744. Кроме того, 414 имеет сумму делителей 936, ^[32]777 - е составное число, в свою очередь, сумма делителей 639 (палиндром с 936), которое само по себе является составным индексом 777 (также палиндром). Где 414 — 43-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса, 333 — 26-е, ^[92] где 43 — четырнадцатое простое число. ^[9] Кроме того, двадцать пятая цифра в десятичном формате равна 777. ^[46]
Если 25 — наименьшая составная сумма 744, то наибольшая такая сумма равна 737 , аликвотная сумма которой равна 79 , ^[14] двадцать второе индексированное простое число, ^[9] это меньшее перестановочное простое число до 97 в десятичной системе счисления. ^[7]

[111] 713 — произведение девятого и одиннадцатого простых чисел $23\times31$ , где двадцать третье простое число ( 83 ) — это одиннадцатое простое число вида $6 m - 1$ ; оно равно разнице между 744 и 31 с аликвотной суммой 55. ^[14] и общее значение 660 . ^[5]
∗ 589, равное $19 \times 31,$ представляет собой сумму трёх последовательных простых чисел (193 + 197 + 199). ^[93] Это также девятое центрированное тетраэдрическое число , где 5 и 15 — первые два таких числа ( $121 = 11 2$ является пятым). ^[94] Это четырнадцатая третья спица шестиугольной спирали. ^[95] и двадцатое квази- число Кармайкла ^[96] с уменьшенным значением 90 . ^[26] В функции spt 589 — это общее количество наименьших частей (считается с кратностью) во всех разделах , равных 15. ^[97]
∗ 527 , равное $17 \times 31,$ — это количество разбиений 31 с равным количеством четных и нечетных частей. ^[98] Его аликвотная сумма равна 49. ^[14] среднее арифметическое делителей которого равно $122 = 144$ с суммой его простых делителей, равной 48. Это также максимальное количество частей, которое можно получить, разрезав кольцо 31 разрезом, ^[99]и эквивалентен сумме тридцати одного последовательных ненулевых целых чисел $2 + 3 + ... + 32$ ; вторая по величине такая сумма после третьего совершенного числа 496. ^[81]

[122] * 403, равное $13\times31,$ — это тридцать седьмое число, возвращающее 0 для функции Мертенса , ^[92] и значение суммы делителей 144 , первого числа, генерирующего это значение. ^[32]Это также первое число, общее число которого равно 360 , из двадцати пяти таких чисел; с 549 шестым (и 447-м составным числом, которое само по себе является 360-м составным числом) ^[28] и $693 = 144 + 549$ десятый. ^[5] Кроме того, 403 — это 284-е арифметическое число , поскольку его четыре делителя содержат среднее арифметическое $112 = 7 \times 4 \times 4$ , второе такое число, содержащее это значение. ^[10]^[11]
112-е простое число — 613 . ^[9] что представляет собой сумму последовательных составных индексов 382 и 384 (соответственно 306 и 307), ^[28]где 383 — 28 - е полное повторяющееся простое число в десятичной системе счисления; 613 также равно сумме простых индексов семи последовательных полных простых чисел (в десятичном формате): 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499 соответственно с простыми индексами 77, 81, 84, 89, 93, 94 и 95 ^[9] (и между 29-м и 35-м такими простыми числами) ^[25] — все следующие за 383, где следующее полное повторяющееся простое число после 499 — это 96-е простое число 503 . ^[9] 383 также является вторым числом после 19, которое генерирует полный простой обратный магический квадрат в десятичной дроби, строки и диагонали которого генерируют одну и ту же магическую константу (из повторяющихся цифр) 1719 . ^[62] В списке простых чисел 2017 и 2027 занимают соответственно 306-е и 307-е места. ^[9] где 1719-е составное число — это 2026. ^[28]
Среднее арифметическое делителей числа 2022 , которое находится посередине между только что отмеченным пробелом в простых числах из одиннадцати целых чисел (включительно), равно 507 , что равно сумме простых делителей числа $2012 = 2. 2 \times 503$ (включая кратности), среднее арифметическое значение делителей которого, в свою очередь, равно 588 (половина 1176, аликвотная сумма 744) и второе такое число, имеющее это значение (588), после 1304. ^[10]^[11]
1685, с другой стороны, является третьим числом, среднее число делителей которого после 2022 года равно 507, а сумма делителей (1685) равна 2028 . ^[32] число, лежащее между 307-м и 308-м простыми числами, 2027 и 2029, 62 -я пара простых чисел-близнецов); ^[9]^[8] 2011 также является простым числом, 305-м простым числом, причем 305 имеет составной индекс 242 . ^[9]^[28]
1715, сводный индекс 2022 года, ^[28] является четвертым из тринадцати чисел, общая сумма которых равна $1176 = s (744)$ , ^[5] со средним арифметическим делителей, равным 300 , что является двадцать четвёртым треугольным числом. ^[6]
Число 2023 , находящееся на полпути между простыми числами 2017 и 2029, имеет аликвотную сумму 433 (или 432, численность 744 , если не считать 1), ^[14] и фактор Эйлера $1632 = 1176 + 456$ (аликвотная сумма 744 плюс единственное число, содержащее аликвотную сумму 744). ^[5]
Если 383 повторяет 382 цифры в десятичной системе счисления, то 382 также является арифметическим числом, а именно первым числом, среднее число делителей которого равно 144. ^[10]^[11] будучи седьмым числом, содержащим сумму делителей $576 = 24. 2$ . ^[32]Кроме того, $613 + 744 = 1357$ , а также $744 - 613 = 131$ (оба с последовательными разностями в 2 между цифрами); последнее - это двенадцатое полное повторяющееся простое число в десятичной дроби, которое повторяет 130 цифр с суммой $585 = 8. 0 + 8 1 + 8 2 + 8 3$ , где 48 -е полное повторяющееся простое число, с другой стороны, равно 743, наибольшему простому числу 744 (или 49 -му в почти идентичной последовательности длинных простых чисел , которая вместо этого начинается с 2, десятичное разложение которой $1 / p$ имеет период $p - 1$ ). ^[25]^[100]
Между тем, 112 (82-й составной) — это составной индекс $147 = 48 + 49 + 50.$ ^[28] с аликвотной суммой $81 = 9 2$ ^[14] и среднее делителей 38 . ^[10]^[11] 147 само по себе является составным индексом девятнадцатого треугольного числа 190 . ^[6] равен тотенту и приведенному тотенту 382. ^[5]^[26] $744 - 383 = 361 = 19 2$ , где 383 — это $76 = 2 2 \times 19$ индексированное простое число ^[9] (и 304, четырежды семьдесят шесть, простой индекс 2003 года , который является наименьшим простым числом, большим, чем 2000). ^[9]
* 341 , равное $11 \times 31,$ представляет собой сумму семи последовательных простых чисел $(37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61)$ простых чисел с 12 по 18 . Это наименьшее псевдопростое число Ферма в двоичной системе . ^[101] и шестое центрированное число куба . ^[102] Это количество разделов, равное 31, такое, что каждая часть встречается с одинаковой кратностью, ^[103] а тридцать первое число в последовательности Мозера – де Брёйна представляет собой сумму различных степеней 4 ( $44 + 4 3 + 4 2 + 4 1 + 4 0$ ). ^[104]^[105] 341 — это также одиннадцатое восьмиугольное число , ^[106] равно числу узлов в правильном одиннадцатиугольнике, у которого проведены все диагонали. ^[107] $с (341) = 43$ , ^[14] со средним арифметическим делителей, равным 96 . ^[11] Это также десятое число Якобсталя , ^[108] и общее количество крупнейших частей (или, что эквивалентно, суммы наименьших частей) во всех разделах 16 . ^[109]

[21] Среднее арифметическое делителей числа 2022 , которое находится посередине между только что отмеченным пробелом в простых числах из одиннадцати целых чисел (включительно), равно 507 , что равно сумме простых делителей числа $2012 = 2. 2 \times 503$ (включая кратности), среднее арифметическое значение делителей которого, в свою очередь, равно 588 (половина 1176, аликвотная сумма 744) и второе такое число, имеющее это значение (588), после 1304. ^[10]^[11]

[22] 1685, с другой стороны, является третьим числом, среднее число делителей которого после 2022 года равно 507, а сумма делителей (1685) равна 2028 . ^[32] число, лежащее между 307-м и 308-м простыми числами, 2027 и 2029, 62 -я пара простых чисел-близнецов); ^[9]^[8] 2011 также является простым числом, 305-м простым числом, причем 305 имеет составной индекс 242 . ^[9]^[28]

[23] 1715, сводный индекс 2022 года, ^[28] является четвертым из тринадцати чисел, общая сумма которых равна $1176 = s (744)$ , ^[5] со средним арифметическим делителей, равным 300 , что является двадцать четвёртым треугольным числом. ^[6]

[24] Число 2023 , находящееся на полпути между простыми числами 2017 и 2029, имеет аликвотную сумму 433 (или 432, численность 744 , если не считать 1), ^[14] и фактор Эйлера $1632 = 1176 + 456$ (аликвотная сумма 744 плюс единственное число, содержащее аликвотную сумму 744). ^[5]

[131] * 217, равное $7\times31,$ — девятое центрированное шестиугольное число , в которое также входят в качестве предыдущих членов {7, 19 , 37, 61, 91, 127 , 169} ^[110]где 127 — шестой член, который также является тридцать первым простым числом. 217 также является шестым нетривиальным двенадцатиугольным числом. ^[111] и третье нетривиальное центрированное 36-угольное число. ^[112] Это третье псевдопростое число Ферма пятеричного числа после 124 (делитель 744) и 4, ^[113] и пятнадцатое целое число Блюма , отдельные простые множители которого конгруэнтны $3 по модулю 4$ . ^[114]
✶ 155, равное $5 \times 31,$ имеет аликвотную сумму 37 ^[14] и среднее арифметическое делителей, равное 48. ^[5] Это третье число, равное сумме от наименьшего простого множителя до наибольшего. Единственные меньшие числа с таким же свойством - это 10 и 39. ^[115] которые генерируют сумму $49 = 7 2$ ; следующее такое число — 371 , на 1 меньше половины от 744. Всего существует сто пятьдесят пять примитивных групп перестановок $(G, X)$ степени $81$ , которые сохраняют только тривиальные разбиения на множестве $X$ с помощью $G$ ; ^[116] сумма числа всех групп перестановок младших степеней равна 666 , что является двоякотреугольным , ^[117] поскольку оно представляет собой сумму первых тридцати шести целых чисел, где 36 само по себе является восьмым треугольным числом. ^[6] 148 . повторяющихся цифр тринадцатого полного повторяющегося простого числа в десятичном формате 149 (которое находится между 109 и 181 в этой последовательности) ^[25] сумма равна 666.
Сто пятьдесят пятое индексированное практическое число — 744. ^[50] где 155-е арифметическое число — это сорок восьмое простое число 223 : первое число, содержащее среднее арифметическое делителей 112, предшествующее 403 . ^[10]^[11]

[141] 743 — двадцать шестое или двадцать седьмое счастливое число Эйлера формы $n. 2 + n + 41$ для получения последовательных простых чисел. ^[118]^[119] Это также двадцать шестое индексированное начало максимальной цепочки простых чисел вида $p (k), ..., p (k + r)$ для $r \geq 1$ . ^[120] Это сорок восьмое полное повторяющееся простое число в десятичной дроби с примитивным корнем 10 , ^[25] или, аналогично, сорок девятое простое число с длинным периодом включить 2 . , если в эту последовательность ^[100] Это сорок восьмой член десятичной системы счисления, в котором каждый суффикс является простым, при этом многократное удаление наиболее значимой цифры дает простое число на каждом этапе, пока не останется однозначное простое число. ^[121]
В частности, 743 — это общая сумма нечетных частей во всех разделах из 13, ^[122] и количество разделов 31 на номера разделов. ^[123] В частности, это количество способов разбить 7 помеченных элементов на наборы размером не менее 2 и упорядочить эти наборы, ^[124] и, кроме того, число строгих целочисленных разделов равно 37 , ни одна часть не делится ни на одну, ни на все остальные части. ^[125]
Если 743 является наибольшей простой суммой числа 744, оно представляет собой сумму всех частей всех разделов всех положительных целых чисел, меньших или равных 25 , на нечетное число равных частей или, что то же самое, последовательных частей ; ^[126] с двадцатью пятью наименьшей совокупной суммой 744.

[144] Эти простые совокупные числа образуют сумму 44 647 (число простых чисел, 4641-е простое число, индекс, среднее арифметическое делителей которого равно 504 ) ^[11] в то время как составные тотативы вместе образуют сумму 44 632 (на единицу меньше простого числа, 4639-е простое число и 626-е суперпростое число , ^[61] последний - индекс, значение которого является четвертым и наибольшим числом, сумма аликвот которого равна 316 ); ^[14] эти суммы имеют разницу 15 или в противном случае в совокупности имеют диапазон 16 чисел между собой включительно.
С другой стороны, разности и суммы шести чисел, конгруэнтных $\pm1 по модулю 6$ , которые не являются суммативными числами 744, сами эквивалентны делителям числа 744, поскольку они являются двупростыми числами пропорционально 31 (например, $713 - 589 = 124$ и $713 - 527 = 186$ ), а также генерируя другие соответствующие равенства, такие как $713 - 217 = 496$ .
Наибольшая разница между наибольшим (713) и наименьшим (155) из этих тотативов составляет 558 , седьмое число такое, что сумма крупнейших простых делителей чисел от 1 до 558 делится на 558, предыдущее и шестое индексированное число равно 62. , ^[128] десятый по величине делитель числа 744, сумма делителей которого равна 96; ^[32] пятое число в этой последовательности — 32 (которое делит 96).
Разница между 558 и 62 также равна 496, что равно $713 - 155 - 62$ ; и, что важно, 558 — это дважды 279, что является дополнением к единицам 744 в двоичном и десятичном представлении.

[147] Разница между 2238 и 1492 составляет 746, где 2238 — это дважды 1119. В частности, $746 = 2 \times 373 = 1. 5 + 2 4 + 3 6 = 2! + 4! + 6!$ он знает не ^[20] и равен количеству ненормальных ортомагических квадратов с магической константой 6. ^[129]
Его полное значение 372 составляет половину от 744, ^[5] это также на 1 меньше, чем 373 , 74- е индексированное простое число. ^[9]это наименьшая разница между числами, число которых равно 744 (т. е. $1119-1492$ ). 373 — одиннадцатое двустороннее усекаемое влево и вправо простое число в десятичной системе из пятнадцати таких простых чисел по основанию десять. ^[130] Хотя 373 — это наименьшая разница между числами, общая сумма которых равна 744, его цифровое представление в десятичном виде представляет собой зеркальную перестановку цифр 737 , наибольшей составной суммы 744.
Сумма этих трёх чисел, чьи доли равны 744, равна $1119 + 1492 + 2238 = 4849$ .

[155] 1176 также является одним из двух средних членов двенадцатой строки числа. $\operatorname {(2,3)} -$ Треугольник Паскаля. ^[133] В треугольнике чисел Нараяны число 1176 появляется как сороковой и сорок второй члены восьмой строки. ^[134] в который также входит 336 (всего 1176) ^[5]и 36 ( квадрат 6). Внутри треугольника чисел Лаха вида $\textstyle {L(n,k)=\left\lfloor {n \atop k}\right\rfloor }$ , 1176 — это элемент с $n = 8$ и $k = 6$ . ^[135]Это число Фибоначчи ; пятьдесят первый индексированный член, где в его случае $F_{1176}$ делит $F_{F_{1176}}$ , ^[136] и сорок первая 6 — почти простое число , которое делится ровно на шесть простых чисел с кратностью . ^[137]

[160] 240 — тридцать первая четверть квадрата , где 49 — 14-я. ^[138] По теме: ^[138]
Максимальное произведение двух целых чисел, сумма которых равна 31, равно 240.
240 — это сумма натуральных чисел меньше 31, имеющих четность , противоположную 31.
240 — это количество непустых подмножеств ${1, 2, ..., 31}$ , содержащих ровно одно нечетное и одно четное число.
Существует 240 арифметических прогрессий трех слагаемых, любыми способами извлекаемых из набора первых тридцати одного натурального числа (начиная с 1).
Из исходной позиции в стандартных шахматах 240 — это минимальное количество взятий пешками одного цвета, чтобы разместить 31 из них на одной вертикали (столбце). 240 — это также максимальное количество ребер, которое может иметь граф без треугольников из 31 вершины. ^[138]
Важно отметить, что 240 — это степень полинома шестнадцатицикловой логистической карты $r 16$ , ^[139]^[140]^[141] где 16 — наименьшее число, аликвотная сумма которого равна 31. ^[14]

[31] Максимальное произведение двух целых чисел, сумма которых равна 31, равно 240.

[32] 240 — это сумма натуральных чисел меньше 31, имеющих четность , противоположную 31.

[33] 240 — это количество непустых подмножеств ${1, 2, ..., 31}$ , содержащих ровно одно нечетное и одно четное число.

[34] Существует 240 арифметических прогрессий трех слагаемых, любыми способами извлекаемых из набора первых тридцати одного натурального числа (начиная с 1).

[167] Сумма всех этих семи целых чисел, сумма делителей которых эквивалентна 744, равна 3313 , 466-му простому числу. ^[9] и 31-е сбалансированное простое число , ^[142] как средний член 49-й тройки сексуальных простых чисел $(3307, 3313, 3319)$ ; ^[143] это соответственно 178- е и 179-е такие простые числа $p$ , где $p - 6$ ^[144] и $р + 6$ ^[145] являются простыми — где 178 — 132-е составное число, ^[28] сам по себе является простым индексом наибольшего числа (743), содержащего сумму делителей 744. ^[9]^[32] 3313 также является 24-м центрированным двенадцатиугольным или звездным числом. ^[146] (и 15-е число является простым). ^[147] Разделенное на два числа, 3313 представляет собой сумму 1656 и 1657, причем последнее является 260 -м простым числом, индексным значением, которое, в свою очередь, является первым из пяти чисел, сумма делителей которого равна 588 . ^[32] что составляет половину от 1176 (аликвотная сумма 744); ^[14] его среднее арифметическое делителей (260), напротив, равно 49 . ^[10]^[11] Кроме того, 260 — это среднее значение делителей 2232 (четвертое по величине из пяти чисел, содержащих это значение), что в три раза равно 744.

[168] 248 — это дважды 124 и половина 496 ; последнее, которое является третьим совершенным числом ^[81] — как 6 и 28 (дважды 14) — это тоже тридцать первое треугольное число , ^[6] с формой $2 р - 1 (2 п - 1)$ и $p = 5$ по теореме Евклида-Эйлера . Сумма 248 равна 120, ^[5] с восемью делителями, дающими целое среднее арифметическое 60; ^[11] Число 496 имеет общее число 240, как и 744.
Где сумма между 744 и общей $256 = 2 8$ 960 ( половина Цумкеллера от 744) равна $1000 = 10. 3$ , их разница эквивалентна $488 = 240 + 248.$
248 также является суммой простых индексов семи последовательных полных повторяющихся простых чисел в десятичном формате: 109 , 113, 131, 149, 167, 173, 181 , ^[25] соответственно с 29, 30, 32, 35, 39, 40 и 42 простыми индексами; ^[9] где 248 — сто девяносто четвертое составное число, а 194 — 149- е составное число, ^[28]средний член в этой последовательной последовательности из семи полных повторяющихся простых чисел. 149 само по себе является сильной конкатенацией $14 = 7 + 7$ и $49 = 7 \times 7$ , соединенных в середине цифрой 4 , где 7 — четвертое простое число. В списке последовательных простых и составных индексов 181, начиная с простого индекса 42 , сгенерированная сумма равна $109 = 42 + 28 + 18 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0$ ; с 109 сводный индекс 144 . ^[9]^[28]

[185] 456 — шестое число икосаэдра , ^[148] на единицу меньше 88 -го простого числа 457 (который сам по себе является индексом, представляющим 64 -е составное число). ^[9]^[28] Список икосаэдрических чисел включает 124 в качестве четвертого индексированного члена, где это число также является третьим неунитарным числом стеллы-октангула после 51 и 14 . ^[149] и седьмое неприкосновенное число , после 120 и 96; ^[150]это одиннадцатый неединичный делитель числа 744, равный сумме всех простых чисел, которые не являются частью его простой факторизации, меньше 31 (т. е. $5 + 7 + ... + 29$ ). Кроме того, это четвертое идеально разбитое число после 1, 2 и 3. ^[151]Если 1176 и 456 вместе имеют диапазон в семьсот двадцать одно целое число, разница между 721 и 1000 составляет 279 (десятичный эквивалент дополнения единиц 744 в двоичном формате); где также $1455 = 1176 + 279$ содержит среднее арифметическое делителей, равное 294, ^[10]^[11] что составляет одну четверть 1176. Эта сумма также представляет количество групп перестановок степени $6$ , ^[152] и количество разбиений 48 на отдельные части, так что число частей нечетное, ^[153] и число разбиений 48 на отдельные части, так что число частей четное. ^[154] 456 — это также, в частности, количество разбиений двадцать девятого составного числа 44 на простые части (где, с другой стороны, 744 — количество разбиений числа 49 на простые части). ^[17]
Далее, относительно двадцати девяти:
сумма первых десяти простых чисел до 29 дает 129 , ^[155]что соответствует числу простых чисел 744 (при этом пятая такая сумма десяти последовательных простых чисел равна 264, или дважды 132). 129 также является 97-м индексированным составным числом. ^[28] где 97 — 25-е простое число, ^[9]
двадцать девятое простое число, с другой стороны, равно 109 , ^[9] что представляет собой количество составных итогов 744, превышающих $25 = 5. 2$ , его наименьшая составная сумма;
двадцать девятый рекорд суммы делителей числа $n$ установлен как $σ (744) = 1920$ . ^[66]
Количество простых и составных совокупных чисел 744, без учета 1, равно 239 , что является 52 -м индексированным простым числом. ^[9] Это также сумма пар простых чисел (23, 29) и (89, 97), которые соответственно генерируют последовательные рекордные пробелы между простыми числами 6 и 8 , которые предшествуют рекордному пробелу 14 (сумма двух предыдущих, которые также умножаются на 48 ) между тридцатым и тридцать первым простыми числами (113, 127), ^[75]^[76]^[77]^[78]^[79] сумма которых равна 240 , а сумма Эйлера равна 744. ^[5]
Следует отметить, что 239 - единственное сопутствующее число, для которого требуется максимальное количество квадратов (четыре), максимальное количество кубиков (девять) и максимальное количество четвертых степеней (девятнадцать). выражения ^[156] - единственное другое число, требующее девяти кубов, - это девятое простое число 23 , которое является индексом 744 в списке из тридцати одного целого числа, для хранения значения коэффициента Эйлера, равного 240; ^[5] 23 и 239 — это также третье и четвертое числа $n$ (после 1, 2 и 5), которые обозначают количество разделов из $3 н$ , здесь $33$ и $34$ соответственно, в степени 3 . ^[157] Если 239 умножить на 628-е простое число (4649), ^[9] он дает седьмую единицу десятичную ( 1111111 ), ^[156] число, среднее арифметическое делителей которого равно $279000 = 279\times 1000$ . ^[10]^[11] 628 — 52-е неприкосновенное число, где 52 — третье, следующее за 2 и 5 . ^[150]
В то время как единственные два положительных числа квадратной стеллы-октангулы - это $1$ и $9653449 = 3107. 2 = (13 \times 239) 2$ , ^[158] — индексов $1=1 2$ и $169 = 13 2$ в этой последовательности ^[149] — единственные решения $y 2 + 1 = 2 х 4$ в положительных целых числах : $(x, y) = (1, 1)$ и $(13, 239)$ . ^[159] Фракция $239 / (13 2)$ — седьмое приближение сходящейся цепной дроби для $\sqrt2$ , ^[160] где $16 арктан (1 / 5) - 4 арктанса (1/239 радиан) является$ приближением $π$ . для ^[156]
$5 \times 239 = 1195$ , четвертое число, среднее арифметическое делителей которого равно 360 , ^[10]^[11] где, в частности, $52 = 13 \times 4 = 26 \times 2$ , простой индекс двести тридцать девять, является пятым числом Белла , которое подсчитывает количество способов разделить набор из пяти помеченных элементов. ^[161] Триста шестьдесят — наименьшее число с двадцатью четырьмя делителями. ^[12] и пятьдесят второе дружеское число (самое большое известное «маленькое» дружеское число — 372 , или половина 744), ^[162] является шестым из семи ( очень сложных ) чисел, так что ни одно число, меньшее чем вдвое большее, не имеет большего количества делителей. ^[163] Оно также делится на все целые числа, меньшие или равные десяти, за исключением семи, которые сами по себе представляют собой сумму целых чисел, которая дает 48 .

[38] сумма первых десяти простых чисел до 29 дает 129 , ^[155]что соответствует числу простых чисел 744 (при этом пятая такая сумма десяти последовательных простых чисел равна 264, или дважды 132). 129 также является 97-м индексированным составным числом. ^[28] где 97 — 25-е простое число, ^[9]

[39] двадцать девятое простое число, с другой стороны, равно 109 , ^[9] что представляет собой количество составных итогов 744, превышающих $25 = 5. 2$ , его наименьшая составная сумма;

[40] двадцать девятый рекорд суммы делителей числа $n$ установлен как $σ (744) = 1920$ . ^[66]

[210] В семействе ориентированных мультиграфов , обогащенных видами разбиений множеств , количество таких мультиграфов с четырьмя помеченными направленными ребрами (или дугами) равно 2229. ^[171]^[172] С другой стороны,
2229 равно сумме шестнадцатого числа Люка и его аналога, не являющегося числом Люка, плюс $1$ : (2207, 22). ^[173]^[174]^[175]
2229 — это также количество разделов, равное 31, состоящее не более чем из 3 нечетных частей, ^[176] а количество разделов шестнадцатого составного числа 26 ^[28] которые содержат разное количество нечетных и четных частей. ^[177]
Это также восьмой член $n$ полигексов , размера $6 n + 1 = 49$ имеющих $6$ -кратную вращательную симметрию , предшествующий таким многогексам размеров (1, 1, 2, 4, 11, 37, 136, 540) для $0 \leq п < 8$ ; ^[178] для числа многоугольников размера 31 ( $n = 6$ ) их тридцать семь, а для числа многоугольников размера 37 ( $n = 5$ ) — 136, что является шестнадцатым треугольным числом . ^[6]
также количество эндофункций класса 2229 — это $[5]$ с различной длиной цикла . ^[179]
При группировке последовательных составных чисел так, что сумма $n$ –th группа кратна $n$ –-е простое число, 2229 , эквивалентно двадцать пятой групповой сумме составных чисел, разделенной на двадцать пятое простое число, 97 . ^[180] Эта сумма возникает между 182 составными числами, охватывающими диапазон ( 1106, 1313 ) , без учета двадцати шести простых чисел между ними (начиная с 1109 и заканчивая 1307).
Первый составной член составной группы — 1106 , четырнадцатое 14- угольное число . ^[181]^[182]это также наименьшее $k$ такое, что $| М (к)| = 14$ (она же обратная функция Мертенса ). ^[183] Где 1106 — количество областей, на которые плоскость делится при рисовании двадцати четырех эллипсов , ^[184]количество неэквивалентных матриц Адамара порядка 24 равно 1106; явно вида $2 -(23, 11, 5)$ . ^[185]^[186] Кроме того, первое простое число в последовательности из двадцати пяти последовательных составных чисел, которые делятся на двадцать пятое простое число, — это 1109 , 186- е простое число (индекс, представляющий тринадцатый по величине делитель числа 744). ^[9] это седьмое число, при котором функция Мертенса достигает нового рекорда амплитуды между нулями (отрицательных 15); ^[187] самое большое простое число в этой последовательности — 214-е простое число, 1307. ^[9] Число 1106 также имеет сумму делителей 1920. ^[32] а среднее арифметическое его делителей равно 240, ^[10]^[11] соответственно сумма делителей и целое 744. ^[5]
В списке последовательных составных индексов — $A (n + 1) = A (n)$ –я составная с $A (1) = 47$ (ср. A059408 ) — 1106 входит в последовательность (47, 66, 91, 122, 160, 207, 264 , 332, 413 , ..., 1106 , ...); последовательность, основанная на пятнадцатом простом числе, 47 . ^[9]Квадрат 13 равен 169, а квадрат 14 равен 196 ; последний находится на расстоянии 1 и 3 единиц от 197 и 199 , которые являются наименьшим $k$ таким, что $| М (к)| = n$ для $n$ из 7 и 8 (соответственно), ^[183] где сумма пятнадцатой пары простых чисел-близнецов ^[8] $197 + 199 = 396$ — третье число десятичной дроби. ^[127] равен сумме первых двух (132, 264).

[42] 2229 равно сумме шестнадцатого числа Люка и его аналога, не являющегося числом Люка, плюс $1$ : (2207, 22). ^[173]^[174]^[175]

[43] 2229 — это также количество разделов, равное 31, состоящее не более чем из 3 нечетных частей, ^[176] а количество разделов шестнадцатого составного числа 26 ^[28] которые содержат разное количество нечетных и четных частей. ^[177]

[44] Это также восьмой член $n$ полигексов , размера $6 n + 1 = 49$ имеющих $6$ -кратную вращательную симметрию , предшествующий таким многогексам размеров (1, 1, 2, 4, 11, 37, 136, 540) для $0 \leq п < 8$ ; ^[178] для числа многоугольников размера 31 ( $n = 6$ ) их тридцать семь, а для числа многоугольников размера 37 ( $n = 5$ ) — 136, что является шестнадцатым треугольным числом . ^[6]

[216] Другой подходящий пример - тридцатое простое число 113, ^[9] где тройное его значение равно 339 , среднее значение делителей которого равно 114 . ^[10]^[11] Три крупнейших из четырех чисел, сумма делителей которых равна 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744). ^[14] имеют средние арифметические значения, равные 114 (это 222, 302, 339 и 407 ), ^[10]^[11] с 339 между соседними членами, которые в сумме дают 127-е простое число и 31-е суперпростое число , 709 . ^[61] В списке чисел, позволяющих достичь рекордных значений амплитуды между нулями в функции Мертенса, первые несколько членов: (1, 31, 114, 199 , 443, 665, 1109, ...); ^[187] четвертый член - 46-е простое число (199), ^[9] индекс, который сам по себе занимает 31-е место в списке композитов, ^[28] причем 443 имеет среднее арифметическое делителей 222 (поскольку оно простое). ^[10]^[11]После 1109 следующий член — 1637, что равно 665 ₁₆ в шестнадцатеричном формате ; 31 — это сумма делителей 16 , первого из двух чисел (второе — 25), ^[32] где 31 также является суммой простых делителей $665 = 5 \times 7 \times 19$ . ^[188] В противном случае разница $709-339 = 370$ представляет собой второе по величине нетривиальное число Армстронга, равное сумме кубов их цифр (только четырех в десятичном формате , кроме 0 и 1), ^[189]^[190]который следует за 153 , где 407 — самое большое; в противном случае 709 и 339 имеют диапазон из 371 целого числа, что является третьим по величине числом Армстронга, равным кубу его цифр.
153-е нетривиальное и унитарное арифметическое число после единицы равно 222, где ( 153, 154 ) образуют шестую пару Рут-Аарон. ^[191] с общей суммой различных простых делителей 20 ^[192](одиннадцатый составной, где первая пара Руфь-Аарон находится между 5 и 6). Сумма составного индекса 20, наряду с двадцатым составным и простым числами, эквивалентна $11 + 32 + 71 = 114$ . Если трижды 20 равно 60 , половина 114 равна 57 , что представляет собой составной индекс 80 , где 57 — 40 -е составное число. ^[28] Десять — это сумма сумм различных простых делителей (5) первых двух пар Рут-Аарон, где вторая пара — ( 24, 25 ) , за которой следует ( 49, 50 ) . ^[191]

[219] 742 — седьмое икосаэдрическое число , следующее за 456 . ^[148] Сумма всех неунитарных чисел икосаэдра до 742 эквивалентна $12 + 48 + 124 + 255 + 456 + 742 = 1637$ , что является восьмым числом, достигшим рекордной амплитуды между нулями в функции Мертенса (- 16 ). ^[73]^[183] 742 — это также тридцать восьмое центральное многоугольное число , ^[36] и число разбиений 30 на делители 30. ^[193] С другой стороны, 742 — восьмое число Кита после 197 . ^[194] это наименьшее число, достигающее амплитуды 7 для $M (n)$ . ^[183]

[226] В $15\times 15$ тороидальная доска в задаче n – ферзей , 132 — количество неатакующих ферзей, ^[197] с показателем 19 соответствующим ^[198] и кратность 1444 = 38 ² ^[199] (где дважды девятнадцать — тридцать восемь). ^[200]

[246] В других графиках 456 также:
Количество полных однозначных деревьев размера 5 . ^[209] Эти деревья определяются как помеченные двоичные деревья. $T$ , где каждая левая (правая, дочерняя) метка появляется один раз и где левая (соответственно правая) метка $U$ предок $V$ помечен строго больше, чем $V$ . ^[210]^[211]
Количество связных регулярных графов с 18 узлами и обхватом не менее 5. ^[212]
Количество замкнутых обходов вершины полного графа на девяти узлах $K_{9}$ . ^[213]
Число вершин степени $6$ в $3$ - губчатом графе Менгера . ^[214]
Количество различных композиций лестничного графа $L_{4}$ . ^[215] Это также количество (направленных) гамильтоновых путей в $6$ - лестничном графе Мёбиуса , ^[216] и число направленных гамильтоновых путей на $6$ - призменном графе . ^[217]
В противном случае в $T$ последовательность зубочисток в двадцать втором поколении. ^[218]
Где 114 — это среднее значение делителей трех из четырех чисел (302, 339 и 407), чтобы получить сумму делителей 456, 114 также является полиномиальной степенью семицикловой логистической карты $r 7$ . ^[219]^[139]

[49] Количество полных однозначных деревьев размера 5 . ^[209] Эти деревья определяются как помеченные двоичные деревья. $T$ , где каждая левая (правая, дочерняя) метка появляется один раз и где левая (соответственно правая) метка $U$ предок $V$ помечен строго больше, чем $V$ . ^[210]^[211]

[50] Количество связных регулярных графов с 18 узлами и обхватом не менее 5. ^[212]

[51] Количество замкнутых обходов вершины полного графа на девяти узлах $K_{9}$ . ^[213]

[52] Число вершин степени $6$ в $3$ - губчатом графе Менгера . ^[214]

[53] Количество различных композиций лестничного графа $L_{4}$ . ^[215] Это также количество (направленных) гамильтоновых путей в $6$ - лестничном графе Мёбиуса , ^[216] и число направленных гамильтоновых путей на $6$ - призменном графе . ^[217]

[252] 264 — среднее арифметическое шестнадцати делителей, принадлежащих четвертому основному псевдосовершенному числу 1806 (наибольшему из шести чисел, имеющих это значение), ^[220]^[10]^[11]это также произведение первых четырех членов (2, 3, 7, 43) в последовательности чисел Сильвестра , обратные значения которых быстрее всего сходятся к 1 (только первые четыре основных псевдосовершенных числа до 1806 года являются произведениями последовательных членов последовательности Сильвестра ). С другой стороны, аликвотная сумма 1806 равна 2418. ^[14] это седьмое число после 744, где $σ(φ(n))$ равно $n$ ; ^[131] кроме того, сумма делителей 264 равна 720, где сумма делителей 720 равна 2418. ^[32] Третье по величине первичное псевдосовершенное число — 42 . ^[220] второе по величине сфеническое число после 30, ^[221]чьей аликвотной сумме она равна; 42 — это, в частности, уменьшенное общее значение 1806 (с другой стороны, 744 равно 30), ^[26] и составной индекс 60 , наименьшее число с двенадцатью делителями (12 — это также среднее арифметическое делителей 42 и его полное значение). ^[10]^[11]^[5] Пятое простое число Мерсенна после 3, 7, 31 и 127 — это 8191 , которое является 1028-м простым числом, индексным значением, сумма делителей которого равна 1806, с общим числом $512 = 8. 3$ ^[5] и приведенная сумма $256 = 2 8$ . ^[26]
372 (половина от 744) — количество разбиений числа 42 на простые части, где 124 — количество таких разбиений числа 32 , а 52 (простой индекс 239, количество тотативов 744, которые являются либо простыми, либо составными) ^[5] из 25. ^[17] Кроме того, 372 — это тридцатое неприкосновенное число (за ним следует 406, индекс 744 как пагубного числа), где 248 — шестнадцатое (а 124 — седьмое), а 52 — третье. ^[150]
1806 также является единственным числом Бернулли $B n,$ у которого его знаменатель также равен $n$ , ^[222] где первые четыре знаменателя дробей, отличных от $1/1, у которых числители равны 1 ,$ — это 2, 6, 30, 42, 30 (пять чисел с $5/66, Бернулли$ следующее число ^[223]где 66 — третье сфеническое число ); в этой последовательности 6 также является первым совершенным числом ^[81] и унитарное совершенное число (например, 60, что вдвое больше 30), ^[224] где 2 представляет первое первичное псевдосовершенное число перед 6 .

[282] 71 — двадцатое простое число, а 31 — одиннадцатое. В свою очередь, 20 — одиннадцатое составное число. ^[28] это также шестая самосвертка чисел Фибоначчи до 38, что является простым индексом 163.
71 также является частью самой большой пары чисел Брауна $(71, 7)$ из трёх таких пар; где в его случае $72 - 1 = 5040$ . ^[248]^[249] Следовательно, и 5040, и 5041 можно представить как суммы непоследовательных факториалов , следующих за 746, 745 и 744; ^[2] где $5040 + 5041 = 10081$ содержит аликвотную сумму 611 , что является составным индексом 744. ^[28]
5040 — девятнадцатое сверхизбыточное число. ^[250] это также самый большой факториал, который представляет собой весьма составное число , ^[251] и наибольшее из двадцати семи чисел $n$ , для которых выполнено неравенство $σ(n) \geq e с n loglog n$ выполняется $, где γ$ — константа Эйлера–Машерони ; что это неравенство неверно для всех больших чисел тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна Показано , (известная как теорема Робина ). ^[242]5040 генерирует сумму делителей $19344 = 13 \times 31 \times 48,$ которая сама содержит четыре делителя, пропорциональные 744 (и, следовательно, делители также пропорциональны 248); что делает его одним из двух чисел из этих двадцати семи целых чисел $n$ в теореме Робина, которые содержат $σ(n)$ такое, что $744 m$ | $σ(n)$ для любого подмножества делителей $m$ числа $n$ ; единственное другое такое число - 240: ^[252]
$19344 \div 26 = 744$
$9672 \div 13 = 744$
$1488 \div 2 = 744$
Где также $19344 \div 78 = 248$ , где 248 и 744 соответственно являются 24-м и 30-м по величине делителями (где между ними находится $403 = 13 \times 31$ , что является средним индексированным составным числом, конгруэнтным $\pm1 по модулю 6$ меньше, чем 744, что не является часть его составной суммы); 2418, 35-е по величине, — это седьмое число $n$ после 744, такое что $σ (φ (n))$ равно $n$ . ^[131]Более того, в этой последовательности целых чисел в теореме Робина между 240 и 5040 лежат четыре числа, причем сумма первых трех из этих $360 + 720 + 840 = 1920$ эквивалентна $σ (744).$ Первое число, которое делится на все положительные ненулевые целые числа меньше 11, — это предпоследнее число в этой последовательности 2520 , где $2520 — 840 — 720 = 960$ представляет собой половину Цумкеллера из набора делителей 744, ^[80] с $σ(720) = 2418$ ^[14] (и при этом $720+24=744=6!+24$ , где 720 — наименьшее число с тридцатью делителями, ^[12]равно $1176 - 456$ , разнице между суммой аликвот 744 и единственным числом, сумма аликвот которого равна 744; где 720 также эквивалентно $σ(264) = 456 + 264$ ). ^[14]^[32] $5040 = 7! = 10 \times 9 \times 8 \times 7$ делится на первые двенадцать ненулевых целых чисел, кроме 11.

[56] $19344 \div 26 = 744$

[57] $9672 \div 13 = 744$

[58] $1488 \div 2 = 744$

[287] 163 также является суммой простых индексов ( 81 , 82 ) , принадлежащих числам, соседним с двадцать вторым промежуточным числом $420 = 101 + 103 + 107 + 109$ , двадцать шестым числом, которое представляет собой сумму четырех последовательных простых чисел. ^[253] это также 45-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса. ^[92] Это шестое такое промежуточное число, в котором простые значения получаются из сумм простых индексов соседних чисел после (138, 72, 12, 6, 4) и перед 432, т. е. изобилия 744. ^[24] 420, с коэффициентом Эйлера 96, ^[5] половина от 840 , наименьшего числа, имеющего ровно тридцать два делителя, ^[12] и дважды 210 , четвертый первоначальный код $(2 \times 3 \times 5 \times 7)$ , где сумма предыдущих трех первоначальных чисел равна $2 + 6 + 30 = 38$ , ^[254] что эквивалентно простому индексу 163. ^[9] Кроме того, 163 -е составное число равно 210, ^[28]где 210 — это трижды 70 . Семьдесят — пятое пентатопное число , ^[255]которая представляет собой сумму простых факторов (включая кратности) в так называемой наименее взаимосвязанной спорадической группе, группе Янко $J 3$ , по сравнению со всеми другими спорадическими группами (включая группы-изгои) и их соответствующими алгебраическими структурами. . 70 в основном используется при построении решетки Лича в двадцати четырех измерениях, которая включает в себя единственное нетривиальное решение (т. е. 1 ) задачи о пушечном ядре , равное сумме квадратов первых двадцати четырех целых чисел; 70 также равно числу конформных теорий поля в виде алгебр вершинных операторов с центральным зарядом 1 $24$ и весом $($ и помимо $V 0$ , см. § E8 и решетку Лича ), укорененных в решетке Лича, из которых два крупнейших существуют в измерении семьсот сорок четыре. 210, кроме того, является первым нетривиальным 71 - угольным числом вида $P (s, n) = (с - 2) п 2 - (s - 4) n / 2$ (для $n$ -го многоугольного числа со $сторонами s$ ), предшествующего 418 , суммы целых чисел от 13 до 31 включительно. Важно отметить, что 210 — это наибольшее число $n$ , где количество различных представлений $n$ в виде суммы двух простых чисел не превышает количества простых чисел в интервале $(п / 2, п -2)$ . ^[256]
420 , что является одиннадцатой самосверткой чисел Фибоначчи, ^[226]предшествующее 744, является общим значением 473 , первого нетривиального числа, содержащего это значение (после 421). Дважды 744 — это 1488 , которое лежит между 50 -й парой простых чисел-близнецов ( 1487, 1489 ), ^[8] чьи последовательные простые индексы (236, 237) в сумме дают 473. 1488 — это 235 -е среднее число последовательных нечетных простых чисел, ^[59] где 235 — шестая самосвертка чисел Фибоначчи, предшествующая 420, ^[226] причем 298 — 235-й составной, где 372 (половина 744) — 298-й (235 — также 183 -й составной). ^[28] С другой стороны, пятидесятое составное число — 70 . ^[28]

[298] Стоит отметить, что 126 — это сумма простых индексов первого класса трехзначных перестановочных простых чисел в десятичной системе счисления $(113, 131, 311)$ , ^[264] соответственно тридцатое, тридцать второе и шестьдесят четвертое простые числа. ^[9] (где 64 — это дважды 32 , а 45-я составная, а сама 45 — 30-я составная); ^[28]и эта сумма простых чисел эквивалентна 555 . Более того, 126 — это седьмой последовательный составной индекс, начинающийся с 13 (т.е. 13, 22 , 34, 50, 70, 95, 126 ). ^[265]
126 равно сумме составного индекса 22 ( 13 ) и двадцать второго составного и простого чисел $(34, 79)$ , сумма которых, полученная между двумя последними, равна 113 . 13 и 79 также являются первыми членами соответствующих парных перестановочных простых чисел по основанию десять $(13, 31)$ и $(79, 97)$ , соответственно наименьших и наибольших двузначных пар, где 11 — единственное двузначное перестановочное простое число без отдельная двойственная пара с разными перестановочными цифрами. ^[7]
Где 555 генерируется из первого класса трехзначных перестановочных простых чисел в десятичном формате, а простые и составные индексы, связанные с 22 , 131 и 126, в сумме дают 257 , что является 55 -м индексированным простым числом. ^[9] и десятое простое число, не являющееся простым числом кластера ^[89] (и где 131 ₁₀ имеет цифр сумму 5 ).
Кроме того, $126 + 125 = 351$ , значение, эквивалентное двадцать шестому треугольному числу, ^[6] 125 куб 5 . с

[310] Что касается 992 , то числа 336 (общая сумма 1176, ^[5] которое является суммой делителей 744), 496 (31-е треугольное число и третье совершенное число), ^[6]^[81] и 525 — сумма всех простых чисел, разделяющих порядки двадцати шести (или двадцати семи) спорадических групп, ^[272] равна сумме размерностей всех пяти исключительных алгебр Ли ^[273] — первые три из четырех составных чисел, сумма делителей которых равна 992. ^[32] Кроме того, пятое такое число — 775, чей составной индекс — 637 , равный сумме всех простых множителей ( включая кратности ) в порядке наибольшей спорадической группы, $\mathbb {F}$ $\times 23 \times 29 \times 31 \times 41 \times 47 \times 59 \times 71$ . ^[235]^{: стр. 244–246.} В функции Чоулы (которая подсчитывает сумму делителей $n$ , за исключением 1 и $n)$ , 525 содержит значение 466. ^[274] это простой индекс 3313 , ^[9] равен сумме всех семи чисел (240, 350, 366, 368, 575, 671 и 743), чтобы содержать сумму делителей 744; ^[32] с 240 также всего 525 (13-е из 31 числа, содержащее это значение). ^[5]

[349] Если наименьшее неунитарное пятиугольное пирамидальное число равно 6 , то одиннадцатое — 726 = 6! +6, а двадцать четвёртый — 7200 , ^[308] это число с общим значением Эйлера 1920, ^[5] и уменьшенное значение 120. ^[26]

[352] Так что его можно выразить, используя только цифры (которые используются только один раз и слева направо) вместе с операторами $+, -, \times, \div, a б, \sqrt, !$ (с возможностью конкатенации).
Это по подобию $144 = (1 + 4)! + 4!$ , это эйлеровский коэффициент 456. ^[5] Если сумма 744 равна 240, то сумма 456 равна 144. ^[5] 187 — составной индекс 240, где 187 — 144-е составное число. ^[28] В свою очередь, сумма делителей 187 равна $216 = 6. 3$ , ^[32] что является 168- м составным числом.
Кроме того, сокращенное число 456 равно 36 . ^[26]

[361] Магический квадрат:
${\begin{bmatrix}139&113&151&131&83&127\\223&149&89&47&157&79\\173&103&181&167&59&61\\67&137&53&97&211&179\\101&199&73&109&71&191\\41&43&197&193&163&107\end{bmatrix}}$
Это вторая по величине магическая константа для $магического квадрата 6 \times 6$ , состоящего из тридцати шести последовательных простых чисел, где сумма между наименьшим и наибольшим простыми числами в этом квадрате равна $41 + 223 = 264$ . Наименьшая такая константа — $484 = 22. 2$ ^[312] чья аликвотная сумма 447 представляет собой обратную перестановку цифр 744 в десятичной системе счисления; ^[14] в частности, 22 и 264 — это соответственно двенадцатое и четырнадцатое числа $n$ , квадраты которых являются волнистыми в десятичной системе счисления, а тринадцатое и предпоследнее такое известное число — 26 . ^[313]^[314]^[315]^{: стр.159, 160} Наименьшая возможная магическая константа $магического квадрата n \times n$ , состоящего только из различных простых чисел, равна 120, из $n$ = $4$ , ^[316]^[317] значение, равное среднему арифметическому всех шестнадцати делителей числа 744; ^[10]^[11] в противном случае, для $n = 6$ , наименьшая магическая константа для квадрата шесть на шесть с различными простыми числами равна 432 , ^[316] также численность 744. ^[24]
11 $\times 11 имеет$ Обычный магический квадрат магическую константу 671 . ^[318] это шестое и самое большое составное число, сумма делителей которого равна 744. ^[32]

[364] В противном случае $992 = 248 + 744$ — наименьшее возможное число простого выпуклого многогранника диагоналей с тридцатью шестью гранями ; для шестнадцати и двадцати граней соответственно минимум 132 и 240 диагоналей ^[320] (значения, которые представляют собой простой индекс наибольшего простого числа 744 и количество всех его итоговых чисел), ^[5] где $132 + 240 = 372$ или половина 744 (наряду с соответствующими индексами, которые генерируют сумму 36).

[369] С другой стороны, 456 (единственное число, аликвотная сумма которого равна 744) ^[14] — это максимальное количество единичных квадратов, соединенных только по углам, которые можно вписать внутрь $40\times 40$ квадрат (площадью $1600$ $м²) 2$ ). ^[322]
Прибавление 1 к значению этой площади, $1601 = 1600 + 1$ , является наибольшим из сорока счастливых чисел Эйлера , что также является разницей между $1804-203$ , значениями, которые представляют первую и третью по длине стороны примитивных героновских тетраэдров с четырьмя грани равных треугольников , причем второе такое число равно $144 + 744 = 888$ . ^[323]^[324]

[273] Самая маленькая спорадическая группа - это группа Матье $M 11$ с неприводимым комплексным представлением в десяти измерениях, ^[237] это одна из пяти первого поколения . спорадических групп ^[238] Его групповой порядок равен $7920 = 8 \times 9 \times 10 \times 11$ (на единицу меньше 10 ³ индексированное простое число), ^[235]^{: стр. 244–246.}^[9] с коэффициентом Эйлера $1920 = σ(744)$ . ^[5] $M 11$ также содержит самое низкое пятимерное точное представление над полем с тремя элементами, самое низкое из любой такой группы. ^[237] С другой стороны, $M 12$ является второй по величине группой Матье и спорадической группой по порядку. ^[235]^{: стр. 244–246.} и, более конкретно, тридцать первая по величине нециклическая группа (где $М 11$ является пятнадцатой по величине), ^[239]^[240] при групповом заказе $26 \times 3 3 \times 5 \times 11 = 95040,$ чей коэффициент Эйлера (23040) ^[5]делится на 1920 двенадцать раз (поскольку его 50-й по величине делитель больше 1). Девятнадцатая и двадцатая по величине нециклические группы — это $A 3 (2) ≃ A 8$ и $A 2 (4)$ порядков $20160 = 2. 6 \times 3 2 \times 5 \times 7$ , последний с большей внешней группой автоморфизмов $D 12$ ; 20160 — двадцать третье весьма составное число , ^[241] которое делится на оба 960 (половина Цумкеллера 744), ^[80] и 5040 (самое большое из двадцати семи чисел в теореме Робина, подтверждающее неравенство $σ(n) \geq e с n loglog n$ , см. последние пункты, обсуждающие эту последовательность). ^[242] Это на единицу меньше самого большого числа (20161, 1456 -е индексированное число), которое нельзя представить в виде суммы двух множественных чисел . ^[243] В противном случае группа Титса $T$ , единственная конечная простая группа, которую можно классифицировать как группу лиева типа или спорадическую, подходит как пятая по величине спорадическая группа, порядок группы которой равен $2. 11 \times 3 3 \times 5 2 \times 13 = 17971200$ имеет общую сумму 4423680, делящуюся на сумму делителей семьсот сорок четыре 2304 раза (где его 62-й по величине делитель равен 1728, за которым следует 1920).
Из всех (здесь двадцати семи) спорадических групп только седьмая по величине группа Янко $J 3$ имеет порядок, $| Дж 3 | = 2 7 \times 3 5 \times 5 \times 17 \times 19 = 50232960$ , ^[235]^{: стр. 244–246.}общее значение которого не делится на 1920: $11943936 \div 1920 = 6022,8$ ; где, в частности, его групповой порядок имеет сумму простых делителей (включая кратности), равную 70 .
Если $M 11$ и $M 12$ являются соответственно пятнадцатой и тридцать первой по величине индексированной нециклической группой по порядку группы, эти индексы в сумме составляют $15 + 31 = 46$ , где третья по величине группа Матье и четвертая по величине спорадическая $M 22$ группа сорок шестая такая крупнейшая нециклическая группа. ^[239]^[240] 46 — самое большое четное число, которое нельзя представить в виде суммы двух множественных чисел. ^[243] что также равно общему числу максимальных подгрупп Дружелюбного Гиганта. $\mathbb {F} _{1}$ , ^[244] который в совокупности содержит 20 из 26 спорадических групп в качестве подфакторов (строго). ^[235]^{: стр. 244–246.}
46 — тридцать первый составной, ^[28] чья аликвотная сумма равна 26 , единственное число, содержащее это значение. ^[14]

[294] Последовательность запутанных чисел Фибоначчи начинается с {0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71 , 130, 235, 420, 744 , 1308, 2285, 3970, 6865, 11822...} . ^[226]Сумма первых семи членов (с нулевого по шестое) равна 38, что эквивалентно члену $a(n) = 7$ в этой последовательности. Взяв сумму трёх слагаемых, лежащих между 71 ^[xxix] и 744 (т.е. 130, 235, 420) дает $785 = 28. 2 + 1$ , чья аликвотная сумма равна 163 , ^[14]^[ххх] тридцать восьмое простое число. ^[9] 785 — 60-е число, возвращающее $0$ для функции Мертенса , которая также включает 163, 13-е такое число. ^[92] 785 — это также количество несократимых посаженных деревьев (с корневой вершиной, имеющей степень один) с шестью листьями двух цветов . ^[257]
1106 , первый член суммы последовательных составных чисел (эквивалентно $2229 = 743 \times 3$ ), которые делятся на двадцать пятое простое число 97, ^[258] — наименьшее число, возвращающее значение 14 в обратной функции Мертенса , ^[183] где 1106 лежит между 81 -й парой сексуальных простых чисел $(1103, 1109)$ . ^[259] 14 — пол (и ближайшее целое число ) ^[260] мнимой части первого нетривиального нуля в дзета-функции Римана $ζ$ , а четырнадцатое индексированное значение пола равно 60 ^[261]^[262] — шестьдесят — наименьшее число, имеющее ровно двенадцать делителей, и есть только два числа, сумма делителей которых равна 60: 24 и 38 , ^[32]сумма которого равна 62 (что является десятым по величине делителем числа 744); кроме того, три из девяти чисел с суммами 60 также являются делителями 744 (93, 124 и 186, что в сумме дает 403 ). ^[5] С другой стороны, разность $38 - 24 = 14$ , где значение шестидесятого этажа в мнимой части своего нетривиального нуля в $ζ$ является наибольшим числом Хегнера 163 .

[299] 163 — тридцать восьмое индексированное простое число, а 67 — девятнадцатое (с двупростым числом $38 = 2 \times 19)$ для значений $d$ . В приближении почти целого числа, содержащего четырнадцатое простое число в качестве седьмого числа Хигнера 43 для $d$ , 960 — это наименьшее число, имеющее ровно двадцать восемь делителей, ^[12]эквивалентно сумме любого из двух наборов делителей числа 744, которые в совокупности дают $1920$ , как упомянуто в § Тотиентс . Аналогично, в приближении почти целого числа, содержащего восьмое число Хигнера 67 для $d$ , 5280 равно сумме между 240 и 5040 , которые являются единственными двумя числами в наборе из двадцати семи целых чисел в теореме Робина для гипотезы Римана. которые имеют набор делителей, суммы которых делятся на 744; ^[252] 5280 также лежит между 131-й парой простых чисел-близнецов $(5281, 5279)$ , ^[8] соответственно 701-е и 700-е простые числа, где 5281 — 126-е суперпростое число . ^[61]^[xxxi]

[305] В списке из тринадцати целых чисел $n \leq 1000$ , которые дают почти целые числа — с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ для значений $x \equiv e π \sqrt n$ — наименьшее $n$ из них равно 25, что также является наименьшим составным числом 744. Менее 10 ³, наибольшее такое $n$ равно $719 = 6! - 1$ , где 719 представляет 128-е индексированное простое число; ^[9] сумма, порожденная этими двумя $n$ , эквивалентна $719 + 25 = 744.$
Среднее индексированное значение между этими двумя границами равно 148 , двенадцатому положительному целому числу $d$ без квадратов над отрицательным мнимым квадратичным полем класса номер 2, за которым следуют 163 и 232 , последнее из которых является четырнадцатым положительным целым числом без квадратов $d.$ над мнимым квадратичным полем $\sqrt- d$ класса номер 2 (только эти два числа 148 и 232 для $d$ в этом поле класса номер 2 дают почти целые числа с $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ , где 163 — наибольшее значение по тому же полю с номером класса 1). ^[267] В этом же списке три различных несуперсингулярных простых числа (37, 43, 67), которые делят только порядки групп парий, также равны $n$ (меньше 148), что дает почти целые числа вида $e π \sqrt n$ . В почти целочисленном представлении для $e π \sqrt 148$ указано, $8 \times 10 3 знак равно j (\sqrt(2 я)) = 20 3$ , класс $1$ j −инвариант порядка $d = -8$ , ^[268] это также корень в $Ψ 2 (X, X) = -(X - 8000) \times (X + 3375) 2 \times (X - 1728)$ — полином для суперсингулярных 2-изогенных графов с петлями (он также является корнем в $Ψ 3$ ). ^[269]^[270]Остальные два $n$ (58, 74) в списке этих почти целых чисел с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -3$ из $n$ меньше 148 генерируют сумму $58 + 74 = 132,$ равную простому индексу 743, ^[9] наибольшее простое число в сумме 744 (и, где $2 \times 37 = 74 = 148 \div 2$ ).

[316] Для почти целых чисел с близостью $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ , наименьшее такое число — $e π \sqrt 6$ с $n$ = 6, примерно равным 2197,99087. ^[271] В то время как 2198 содержит восемь делителей, которые дают среднее арифметическое 474. ^[10]^[11] (и где 474 содержит сумму делителей, равную 960, ^[32] также половина Цумкеллера из набора делителей числа 744), ^[80] 2199 — шестнадцатое совершенное число . ^[34] с аликвотной суммой 737 ^[14] эквивалент с наибольшей совокупной суммой 744. Кроме того, $2197 = 13 3$ .
Всего существует двадцать шесть почти целых чисел с $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ где $х \equiv е π \sqrt n$ и $n \leq 10 3$ , где наибольшее $n$ имеет значение 986 . ^[271] Сумма между верхней и нижней границами $n$ меньше тысячи при такой почти целой степени близости равна $6 + 986 = 992 = 744 + 248$ . ^[xxxii]
В противном случае разница между самыми большими $класса 1$ и $2$ целыми числами без квадратов $равна 427 - 163 = 264$ . Что касается целых чисел без квадратов с номером класса $h = 3$ , то их всего шестнадцать (или двадцать пять, если включать немаксимальные порядки), ^[275] самое большое со значением 907 , которое является 155- м индексированным простым числом, ^[9] равно сумме $163 + 744$ , что также является большим из последовательных простых чисел (887, 907), которые создают седьмой по величине рекордный разрыв между простыми числами ( 20 ). ^[75]^[76]^[77]^[78]^[79] Предыдущий наибольший разрыв между простыми числами составляет 18 , заданный (523, 541 ) (после тридцатого и тридцать первого простых чисел 113 и 127 с интервалом 14), 99- го и 100-го простых чисел, ^[9] у первого также индекс композиции 132 , ^[28] и последний десятый звездный номер ^[146] и 53-е число, чтобы вернуть $0$ для функции Мертенса (где 427 — 50 -е, а 163 — 13-е). ^[92] Из целых чисел без квадратов третьего класса только 59 дает почти целое число вида $x \equiv e π \sqrt n$ с $|nint(x) - x | \leq 10 -2$ (для целых чисел класса $h = 4$ наибольшее такое число — 1555 которого , квадрат делит $61554$ ^[276] — а девятый такой наибольший дискриминант равен 155). ^[277] В полном списке крупнейших натуральных чисел без квадратов с номерами классов $h \leq 100$ , ^[278]^[279]десять из этих максимальных значений сохраняются в больших целых числах, если включены немаксимальные порядки в соответствующих классах, причем девять из них являются уникальными двупростыми числами, делящимися на 163 (единственным исключением является наибольшее значение для целых чисел без квадратов класса номер 16) ; самый большой из них в этой оценке равен $821683 = 71. 2 \times 163$ номера класса $h = 70$ . ^[263]^: 18−20

[323] Полигон Петри $600$ –клетка и $120$ –ячейка, основанная на икосаэдрической симметрии, представляет собой тридцатигранный триаконтагон , а $24$ –cell имеет додекагон в качестве подобного многоугольника, центральный угол которого составляет тридцать градусов (и внутренний угол $150$ градусов). Двадцать четвёртое простое число — 89 , ^[9] что является индексом 120 в списке композитов. ^[28] В $600$ –клетка соответствует ровно семидесяти пяти $24$ – ячеек и семьдесят пять тессерактов , где также помещается двадцать пять $24$ –клетки. Где двадцать пять $24$ –ячейки также помещаются внутри сот из 24 ячеек как единое целое (с двадцатью четырьмя ячейками). $24$ –клетки, окружающие одну $24$ –клетки), симметрия которых основана на $\mathrm {F_{4}}$ , другое расположение двадцати пяти $24$ –клетки помещаются в $600$ –ячейка с $\mathrm {H_{4}}$ симметрия. $\mathbb {E_{8}}$ , в восьмимерном пространстве, имеет Кокстера число $30$ и симметрия, восходящая к $600$ –ячейка через икосианцы .

[335] $\mathbb {E}$ ₈Решетка содержит двести сорок корневых векторов , которые представлены расположением вершин многогранника $421$ которого , многоугольник Петри представляет собой тридцатисторонний триаконтагон . ^[293]^[294]где 30 — число Кокстера $h$ группы Кокстера $E 8$ . Кроме того, числа Кокстера простых рефлексов в $E 6$ и $E 7$ имеют порядки 12 и 18, что вместе эквивалентно числу Кокстера $E 8$ ; ^[285]^: 234где $Е 6$ и $Е 7$ встраиваются внутрь $Е 8$ . Четырехмерная $симметрия H 4$ гексадекахорная также содержит число Кокстера 30 , где $H 4$ является многомерным аналогом икосаэдрической симметрии $I h$ .
Этот $\mathbb {E}$ _8- решетчатая структура с 240 корневыми векторами может быть построена с помощью 120 кватернионных единичных икосианов , которые образуют вершины четырехмерной 600-ячейки , симметрии которой основаны на трехмерной икосаэдрической симметрии $I h$ порядка 120, ^[295] значение, равное общему числу отражений группы Кокстера $E 8$ . ^[285]^{: 226–232}Всего правильный икосаэдр и додекаэдр содержат тридцать одну ось симметрии; шесть пятикратных, десять трехкратных и пятнадцать двукратных. ^[296]
Если среднее арифметическое делителей числа 744 равно 120, ^[10]^[11] с наибольшим простым коэффициентом и 31 коэффициентом $λ (n)$ 30 , приведенным ^[26] количество относительно простых целых чисел до 744 равно 240, ^[5] с суммой делителей $σ(240) = 744$ . ^[287]^{: стр.21}

[343] $В Е ‍ 3 8$ изоморфно тензорному произведению $V E 8 \otimes V E 8 \otimes V E 8$ ; также аффинная структура $D 16$ отличается от $D ‍ + 16$ , что соответствует четной положительно определенной унимодулярной решетке $\mathbb {D}$ . ^[300]^[301]
$И ‍ 3 8,1$ и $D 16,1 E 8,1$ связаны с кодами $e ‍ 3 8$ и $d 16 e 8$ , которые являются двумя из девяти неэквивалентных двоякочетных самодуальных кодов длины 24 и веса 4. ^[302]^[303] Самый большой из этих VOA $V D 24$ реализован в $dim 1128$ , где последовательное уменьшение вдвое его размерного пространства приводит к 70 + 1 / 2 –мерное пространство.

[pqr3-1] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A189975 (Числа с простой факторизацией pqr^3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[N-CF-2] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060112 (Суммы непоследовательных факториалов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[3] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034963 (Сумма четырех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[4] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083539 (a(n) равна сигма(n) * сигма(n+1) как произведение сигма-значений для последовательных целых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[Etot-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах ^есть ^также Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000010 (функция Эйлера phi(n): считать числа, меньшие или равные n, и простые числа n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[TriangNum-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000217 (Треугольное число: a(n) — это бином (n+1,2), эквивалентный n*(n+1)/2, то есть 0 + 1 + 2 + ... + n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[PermP-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003459 (Абсолютные простые числа (или перестановочные простые числа): каждая перестановка цифр является простым числом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.

[TwinPs-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001359 (Меньшее из простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.

[PNum-9] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах ^есть ^также ^и ^аль ^{являюсь} ^а ^к ^ап ^ак ^С ^как ^в ^В ^из ^хорошо Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 сентября 2023 г.

[ArithNum0-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003601 (Числа n такие, что среднее значение делителей n является целым числом: sigma_0(n) делит sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[ArithNum-11] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A102187 (Средние арифметические делителей арифметических чисел (арифметические числа A003601 — это те, для которых среднее значение делителей является целым числом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[LeastD-12] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005179 (Наименьшее число ровно с n делителями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 ноября 2023 г.

[13] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000005 (d(n) (также называемая tau(n) или sigma_0(n)), количество делителей n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.

[AliSum-14] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001065 (Сумма собственных делителей (или аликвотных частей) n: сумма делителей n, меньших n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[3x+1-15] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Проблема 3x+1» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 сентября 2023 г.

[ColOrb-16] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006577 (Количество шагов деления пополам и утраивания для достижения 1 в задаче «3x+1» или -1, если 1 никогда не достигается.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 сентября 2023 г.

[PartNPP-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000607 (Количество разбиений n на простые части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[19] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A347586 (Количество разделов n не более чем на 4 отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[RadN-20] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007947 (Наибольшее бесквадратное число, делящее n: бесквадратное ядро n, рад (n), радикал n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 31 декабря 2023 г.

[nontot-21] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005277 (Неточности: четные числа k такие, что phi(m), равное k, не имеет решения.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[22] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005278 (Некотоенты: числа k такие, что x - phi(x), равное k, не имеют решения.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[23] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001207 (Количество фиксированных шестиугольных полимино с n ячейками.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[25] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005101 (Многочисленные числа (сумма делителей m превышает 2m).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.

[AbunoN-26] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033880 (Обилие n, или (сумма делителей n) — 2n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 декабря 2023 г.

[FullRepP-27] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001913 (Полное повторение простых чисел: простые числа с примитивным корнем 10.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[redTot-28] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002322 (приведенная функция psi(n): наименьшее k такое, что x^k конгруэнтно 1 (по модулю n) для всех x, простых к n; также известная как лямбда-функция Кармайкла (показатель степени единичной группы по модулю n); также называется универсальным показателем n.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[InterP-29] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014574 (Среднее число пар простых чисел-близнецов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[CompNum-30] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из ^в ^ах Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n вида x*y для x > 1 и y > 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 сентября 2023 г.

[31] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A217843 (Числа, представляющие собой сумму одного или нескольких последовательных неотрицательных кубов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[32] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001694 (Мощные числа, определение (1): если простое число p делит n, то p^2 также должно делить n (также называемые квадратными, полными квадратами, квадратными или 2-степенными числами)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[33] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A052486 (ахиллесовы числа — мощные, но несовершенные: если n равно Product(p_i^e_i), то все e_i меньше 1 (т. е. мощные), но наивысший общий делитель e_i равен 1, т. е. не является идеальной степенью .)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 декабря 2023 г.

[SigmaSoD-34] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^О ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^Икс ^и ^С Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (a(n) равна сигме(n), сумме делителей n. Также называется sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 сентября 2023 г.

[36] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005835 (Псевдосовершенные (или полусовершенные) числа n: некоторое подмножество собственных делителей n в сумме дает n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.

[PerfTot-37] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A082897 (Совершенные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 21 октября 2023 г.

[38] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006531 (Полупорядки из n элементов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.

[CentPolN-39] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002061 (Центральные многоугольные числа: a(n) равно n^2 – n + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.

[40] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A139250 (Последовательность Зубочистки (определение см. в строках комментариев).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 02 января 2024 г.

[41] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003136 (Лешовы числа: числа вида x^2 + xy + y^2; нормы векторов в решетке A2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 января 2023 г.

[42] Митчелл, Дэвид (25 февраля 2017 г.). «Тесселяция номера такси Рамануджана-Харди, 1729, основа целочисленной последовательности A198775» . Решетчатые лабиринты . Проверено 19 июля 2018 г.

[43] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198775 (Числа, имеющие ровно четыре представления в квадратичной форме x^2+xy+y^2 с 0, меньшим или равным x, меньшим или равным y.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.

[44] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A198773 (Числа, имеющие ровно два представления квадратичной формы x^2+xy+y^2 с 0, меньшим или равным x, меньшим или равным y.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.

[45] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118886 (Числа, выражаемые как x^2 + x*y + y^2, 0 меньше или равно x, меньше или равно y 2 или более способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г. ,

[46] Маршалл, Джон У. (1975). «Числа Леша как проблема теории чисел» (PDF) . Географический анализ . 7 (4): 421–426. Бибкод : 1975ГеоАн...7..421М . doi : 10.1111/j.1538-4632.1975.tb01054.x – через OEIS .

[47] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001107 (10-угольные (или десятиугольные) числа: a(n) равно n*(4*n-3).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.

[DoSCP-48] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090785 (Числа, которые можно выразить как разность квадратов последовательных простых чисел только одним способом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.

[Repd-49] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010785 (Числа повторов или числа, все цифры которых равны.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.

[50] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000048 (Количество n-бусин с бусинами 2-х цветов и примитивным периодом n, при переворачивании не допускается, но два цвета можно поменять местами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 января 2023 г.

[51] Диаконис, Персия ; Грэм, Рон (2011). «Глава 5: От принципа Гилбрета к множеству Мандельброта» (PDF) . Магическая математика: математические идеи, которые вдохновляют великие магические трюки . Издательство Принстонского университета . стр. 61–83. дои : 10.1515/9781400839384-007 . ISBN 978-1-4008-3938-4 . МР 2858033 . .

[DoSP-52] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090788 (Числа, которые можно выразить как разность квадратов простых чисел двумя разными способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 января 2024 г.

[PractNum-54] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005153 (Практические числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 03 апреля 2023 г.

[55] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A345547 (Числа, представляющие собой сумму девяти кубов восемью или более способами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[56] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A075308 (Количество n-значных совершенных степеней.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[PalindB7-57] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A029954 (палиндром по основанию 7.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[58] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A052294 (Пагубные числа: числа с простым числом 1 в их двоичном представлении.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 августа 2023 г.

[59] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078392 (Сумма НОД частей во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[60] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A064986 (Количество разбиений n на факториальные части (0! не допускается).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[61] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A316433 (Количество целочисленных разделов n, длина которых равна LCM всех частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[62] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000166 (Субфакториал или повторяющиеся числа, или нарушения: количество перестановок n элементов без фиксированных точек.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[AvgCP-63] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A024675 (Среднее двух последовательных нечетных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[64] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002804 ((Предполагаемое) решение проблемы Уоринга: g(n) равно 2^n +floor((3/2)^n) - 2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 октября 2023 г.

[SupP-65] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006450 (Простые числа с простыми индексами: простые числа с простыми индексами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.

[WSymes-67] Перейти обратно: ^а ^б Эндрюс, Уильям Саймс (1917). Магические квадраты и кубики (PDF) . Чикаго, Иллинойс: Издательская компания Open Court . стр. 176, 177. ISBN. 9780486206585 . МР 0114763 . ОСЛК 1136401 . Збл 1003.05500 .

[68] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A021023 (десятичное расширение 1/19.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[FPRMS10-69] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A072359 (простые числа p такие, что p-1 цифр десятичного разложения k/p (для k, равного 1,2,3,...,p-1) помещаются в k-ю строку магического квадратная сетка порядка p-1)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[71] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A015723 (Количество частей во всех разделах n на отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 декабря 2023 г.

[RecSigm-73] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034885 (Запись значений сигмы (n)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[74] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006002 (a(n) равна n*(n+1)^2/2 (Сумма нетреугольных чисел между последовательными треугольными числами. 1, (2), 3, (4, 5), 6, (7 , 8, 9), 10, (11, 12, 13, 14), 15, ...))" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[76] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A081377 (Числа n такие, что набор простых делителей числа phi(n) равен набору простых делителей числа сигма(n)).» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[77] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002822 (Числа m такие, что 6m-1, 6m+1 являются простыми числами-близнецами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.

[78] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A161680 (a(n) — это бином (n,2): количество подмножеств размера 2 из {0,1,...,n}, которые не содержат последовательных целых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.

[79] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000931 (последовательность Падована (или числа Падована)...)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 октября 2023 г.

[80] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007304 (Сфенические числа: произведения трех различных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 января 2024 г.

[RecAmpMF-81] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A304241 (Индексы, в которых функция Мертенса A002321 достигает рекордных амплитуд между нулями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 января 2024 г.

[82] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса: Sum_{k равна 1..n} mu(k), где mu — функция Мебиуса.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 января 2024 г.

[RecPG-83] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005250 (Запишите промежутки между простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[IoPG-84] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005669 (Индексы простых чисел, в которых возникает наибольший разрыв.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[PG-85] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001223 (Пробелы в простых числах: различия между последовательными простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[IoLPGP-86] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002386 (простые числа (нижний конец) с рекордными пробелами до следующего последовательного простого числа: простые числа p(k), где p(k+1) – p(k) превышает p(j+1) – p(j) для всех j <к.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[IoGPGP-87] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000101 (Запишите промежутки между простыми числами (верхний конец) (сравните A002386, который дает нижние концы этих промежутков).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 11 января 2024 г.

[Zumk-89] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A083207 (Цумкеллера или целочисленные совершенные числа: числа n, делители которых можно разделить на два непересекающихся множества с одинаковой суммой.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[PerfN-90] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[91] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000372 (Числа Дедекинда или проблема Дедекинда: количество монотонных булевых функций от n переменных, количество антицепей подмножеств n-множества, количество элементов в свободной дистрибутивной решетке на n образующих, количество семейств Спернера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[92] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006880 (количество простых чисел меньше 10^n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 30 декабря 2023 г.

[93] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001013 (числа Жордана-Пойя: произведения факториальных чисел A000142.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 ноября 2023 г.

[94] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127333 (Числа, являющиеся суммой 6 последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[95] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000009 (Расширение Product_{m больше или равно 1} (1 + x^m); количество разделов n на отдельные части; количество разделов n на нечетные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[96] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A228486 (Ближайшие к первоначальным простым числам: простые числа p такие, что p+1 или p-1 является простым числом (A002110).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[98] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038509 (Составные числа, соответствующие +-1 по модулю 6.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[ClustP-99] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038133 (Из субтрактивной гипотезы Гольдбаха: нечетные простые числа, не являющиеся кластерными простыми числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.

[100] Блексмит, Ричард; Эрдеш, Пол ; Селфридж, Дж.Л. (1999). «Кластерные простые числа». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 43. дои : 10.2307/2589585 . JSTOR 2589585 . Збл 0985.11041 .

[101] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002476 (Простые числа вида 6m + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.

[Mert0-102] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A028442 (Числа k такие, что функция Мертенса M(k) (A002321) равна нулю.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[104] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034961 (Сумма трех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[105] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005894 (Центрированные тетраэдрические числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[106] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A056107 (Третья спица шестиугольной спирали.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[107] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A257750 (числа Квази-Кармайкла.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[108] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A092269 (функция Spt: общее количество наименьших частей (с учетом кратности) во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[109] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A045931 (Количество разделов n с равным количеством четных и нечетных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[110] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000096 (a(n) равна n*(n+3)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[LongPP-112] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006883 (простые числа с длинным периодом: десятичное разложение 1/p имеет период p-1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[113] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001567 (псевдопростые числа Ферма по основанию 2, также называемые числами Сарруса или числами Пуле.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[114] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005898 (Центрированные номера куба: n^3 + (n+1)^3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[115] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A047966 (a(n) равна Sum_{d делит n } q(d), где q(d) равно A000009, равному количеству разбиений d на отдельные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[116] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000695 (последовательность Мозера-де Брейна: суммы различных степеней 4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[117] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A053699 (a(n) равна n^4 + n^3 + n^2 + n + 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[118] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000567 (Восьмиугольные числа: n*(3*n-2). Также называются звездными числами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[119] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007569 (Количество узлов в правильном n-угольнике со всеми нарисованными диагоналями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[120] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001045 (последовательность Якобсталя (или числа Якобсталя)...)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[121] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046746 (Сумма наименьших частей всех разделов n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 сентября 2023 г.

[123] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003215 (Шестнадцатеричные (или центрированные шестиугольные) числа: 3*n*(n+1)+1 (последовательность хрустального шара для гексагональной решетки)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[124] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051624 (12-угольных (или двенадцатиугольных) чисел: a(n) равно n*(5*n-4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[125] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A195316 (Центрированные 36-угольные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[126] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005936 (псевдопростые числа по основанию 5.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[127] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016105 (Целые числа Блюма: числа вида p * q, где p и q — различные простые числа, конгруэнтные 3 (по модулю 4).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[128] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A055233 (Составные числа, равные сумме простых чисел от наименьшего простого множителя до наибольшего простого множителя.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[129] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000019 (Количество примитивных групп перестановок степени n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[130] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002817 (Дважды треугольные числа: a(n) равно n*(n+1)*(n^2+n+2)/8.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 24 сентября 2023 г.

[132] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A202018 (a(n) равна n^2 + n + 41.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[133] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005846 (Простые числа вида n^2 + n + 41.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[134] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A152658 (Начала максимальных цепочек простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[135] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033664 (Каждый суффикс является простым.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[136] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A066967 (Общая сумма нечетных частей во всех разделах n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[137] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007279 (Количество разделов n на номера разделов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[138] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A032032 (Количество способов разделить n помеченных элементов на наборы размером не менее 2 и упорядочить наборы.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[139] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A343377 (Количество строгих целочисленных разделов n, ни одна часть которых не делится на все остальные.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[140] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A285900 (Сумма всех частей всех разделов всех натуральных чисел, меньших или равных n, на последовательные части.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[Osiris-142] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A319274 (Осирис или числа повторной сборки цифр: числа, равные сумме перестановок подвыборок своих собственных цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[143] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A088825 (Числа n такие, что сумма наибольших простых делителей чисел от 1 до n делится на n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 25 сентября 2023 г.

[145] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A321719 (Количество ненормальных полумагических квадратов с суммой элементов, равной n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 27 августа 2023 г.

[146] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A020994 (простые числа, которые усекаются как слева, так и справа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 декабря 2023 г. .

[SigmPhi-148] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A018784 (Числа n такие, что sigma(phi(n)) равно n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[149] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A017765 (Биномиальные коэффициенты C(49,n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[150] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A029600 (Числа в треугольнике (2,3)-Паскаля (по ряду).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.
Строка: {2, 23, 120, 375, 780, 1134, 1176 , 870, 450, 155, 32, 3}.

[151] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001263 (Треугольник чисел Нараяны T(n,k) равен C(n-1,k-1)*C(n,k-1)/k, где 1 меньше или равно k, меньше или равно n , читается по строкам. Также называется каталонским треугольником.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[152] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A105278 (Triangle read by rows: T(n,k) equal to binomial(n,k)*(n-1)!/(k-1)!.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-02.

[153] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A127787 (Numbers n such that F(n) divides F(F(n)), where F(n) is a Fibonacci number.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-02.

[154] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A046306 (Numbers that are divisible by exactly 6 primes with multiplicity.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-02.

[QuartSq-156] Jump up to: ^a ^b ^c Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002620 (Quarter-squares: a(n) equal to floor(n/2)*ceiling(n/2). Equivalently, a(n) is floor(n^2/4).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-30.

[LogcMap-157] Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A118454 (Algebraic degree of the onset of the logistic map n-bifurcation.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-29.

[158] Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; Weisstein, E. W. (2006). "Ten Problems in Experimental Mathematics" (PDF). American Mathematical Monthly. 113 (6). Taylor & Francis: 482–485. doi:10.2307/27641975. JSTOR 27641975. MR 2231135. S2CID 13560576. Zbl 1153.65301 – via JSTOR.

[159] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A091517 (Decimal expansion of the value of r corresponding to the onset of the period 16-cycle in the logistic map.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-29.

[161] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A006562 (Balanced primes (of order one): primes which are the average of the previous prime and the following prime.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.

[162] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A046119 (Middle member of a sexy prime triple: value of p+6 such that p, p+6 and p+12 are all prime, but p+18 is not (although p-6 might be).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.

[163] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A046117 (Primes p such that p-6 is also prime. (Upper of a pair of sexy primes.))". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.

[164] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A023201 (Primes p such that p + 6 is also prime (Lesser of a pair of sexy primes.))". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.

[StarN-165] Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A003154 (Centered 12-gonal numbers, or centered dodecagonal numbers: numbers of the form 6*k*(k-1) + 1.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.

[166] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A083577 (Prime star numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-06.

[IcosaN-169] Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A006564 (Icosahedral numbers: a(n) equal to n*(5*n^2 - 5*n + 2)/2.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-23.

[StllOct-170] Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A007588 (Stella octangula numbers: a(n) equal to n*(2*n^2 - 1).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-17.

[UntouchN-171] Jump up to: ^a ^b ^c Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005114 (Untouchable numbers, also called nonaliquot numbers: impossible values for the sum of aliquot parts function (A001065))". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-17.

[172] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A051177 (Perfectly partitioned numbers: numbers k that divide the number of partitions p(k).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-23.

[173] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005432 (Number of permutation groups of degree n (or, number of distinct subgroups of symmetric group S_n, counting conjugates as distinct).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-30.

[174] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A067659 (Number of partitions of n into distinct parts such that number of parts is odd.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-30.

[175] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A067661 (Number of partitions of n into distinct parts such that number of parts is even.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-30.

[176] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A127337 (Numbers that are the sum of 10 consecutive primes.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-16.

[HAKM-177] Jump up to: ^a ^b ^c Beeler, M.; Gosper, R.W.; Schroeppel, R. (1972-02-29). HAKMEM (PDF) (Report). MIT Computer Science and Artificial Intelligence Laboratory. p. 24 (ITEM 63). AIM 239. Retrieved 2023-12-19 – via Princeton Plasma Physics Laboratory.

"The joys of 239 are as follows:

pi = 16 arctan (1/5) − 4 arctan(1/239),

which is related to the fact that 2 * 13⁴ − 1 = 239²,

which is why 239/169 is an approximant (the 7th) of √2.

arctan(1/239) = arctan(1/70) − arctan(1/99)

= arctan(1/408) + arctan(1/577)

239 needs 4 squares (the maximum) to express it.

239 needs 9 cubes (the maximum, shared only with 23) to express it.

239 needs 19 fourth powers (the maximum) to express it.

(Although 239 doesn't need the maximum number of fifth powers.)

1/239 = .00418410041841..., which is related to the fact that

1,111,111 = 239 * 4,649.

The 239th Mersenne number, 2²³⁹ − 1, is known composite,

but no factors are known.

239 = 11101111 base 2.

239 = 22212 base 3.

239 = 3233 base 4.

There are 239 primes < 1500.

K239 is Mozart's only work for 2 orchestras.

Guess what memo this is.

And 239 is prime, of course."

[178] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A078125 (Number of partitions of 3^n into powers of 3)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[179] Siksek, Samir (1995). Descents on Curves of Genus I (PDF) (Ph.D. thesis). Exeter, UK: University of Exeter. pp. 16–17. hdl:10871/8323. S2CID 118846642.

[180] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A229384 (Positive integer solutions y1, x1, y2, x2 to Ljunggren's equation x^2 + 1 equal to 2y^4.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-19.

[181] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001333 (Numerators of continued fraction convergents to sqrt(2).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-19.

[182] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000110 (Bell or exponential numbers: number of ways to partition a set of n labeled elements.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-19.

[183] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A074902 (Known friendly numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-27.

[184] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A072938 (Highly composite numbers that are half of the next highly composite number.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-19.

[186] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A350028 (Number of Euler tours of the complete graph on n vertices (minus a matching if n is even).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.

[187] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A232545 (Number of Euler tours of the complete digraph on n vertices.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[188] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A027683 (Number of independent vertex sets of the n X n torus grid graph.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-15.

[189] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A027624 (Number of independent vertex sets in the n-hypercube graph Q_n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-15.

[190] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A198303 (Irregular triangle C(n,g) counting connected trivalent simple graphs on 2n vertices with girth exactly g.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-15.

[191] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A186734 (Треугольный массив C(n,k), считающий связные k-регулярные простые графы на n вершинах с обхватом ровно 4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 декабря 2023 г.

[192] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006924 (Количество связных трехвалентных графов с 2n узлами и обхватом ровно 4)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[193] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A098623 (Рассмотрим семейство ориентированных мультиграфов, обогащенное видами разбиений множеств. Последовательность дает количество этих мультиграфов с n помеченными дугами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[194] Гилберт, Лабелль (2000). «Подсчет обогащенных мультиграфов по числу их ребер (или дуг)» . Дискретная математика . 217 (1–3). Амстердам: Эльзевир : 237–248. дои : 10.1016/S0012-365X(99)00265-4 . МР 1766269 . S2CID 22434588 . Збл 0959.05061 .

[195] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A022801 (n-е число Люка (A000204(n)) + n-е число не-Люкаса (A090946(n+1)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[196] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000204 (числа Люка (начинаются с 1): L(n) равно L(n-1) + L(n-2), где L(1) равно 1, L(2) равно 3.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[197] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A090946 (числа, не относящиеся к Люкасу: дополнение к A000204.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[198] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A114312 (Количество разделов n с различным количеством нечетных и четных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[199] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A171967 (Количество разделов n с различным количеством нечетных и четных частей.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[200] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A253927 (Количество многогексов (без отверстий) размера 6*n+1 с 6-кратной вращательной симметрией.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[201] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A212789 (Количество эндофункций на [n] с различной длиной цикла.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[202] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074127 (Сгруппируйте составные числа так, чтобы сумма n-й группы была кратна n-му простому числу: (4), (6), (8, 9, 10, 12, 14, 15, 16). , 18, 20, 21, 22), (24, 25), (26, 27, 28, 30, 32), (33, 34, ...), ... Последовательность дает сумму группы, разделенную на n- -е простое число для n-й группы.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[203] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060354 (N-ое n-угольное число: a(n) равно n*(n^2 - 3*n + 4)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[204] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051866 (14-угольных (или тетрадекагональных) чисел: a(n) равна n*(6*n-5).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[InvMert-205] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051402 (обратная функция Мертенса: наименьшее k такое, что |M(k)| равно n, где M(x) — функция Мертенса A002321.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[206] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A051890 (a(n) равна 2*(n^2 - n + 1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[207] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001111 (Количество неэквивалентных планов Адамара порядка 4n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[208] Спенс, Эдвард. «Матрицы Адамара» . Эдвард Спенс (домашняя страница) . Университета Глазго Математический факультет . Проверено 22 января 2024 г.

[RecMert-209] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A304241 (Индексы, в которых функция Мертенса A002321 достигает рекордных амплитуд между нулями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 22 января 2024 г.

[sopfr-211] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001414 (Целый журнал n: сумма простых чисел, делящих n (с повторением). Также называется sopfr(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 февраля 2024 г.

[212] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A046197 (Фиксированные точки для операции многократной замены числа суммой кубов его цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.

[213] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005188 (числа Армстронга (или плюс совершенные, или плюс совершенные, или нарциссические) числа: m-значные положительные числа, равные сумме m-х степеней их цифр.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.

[RuthA-214] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006145 (числа Рут-Аарона (1): сумма простых делителей n равна сумме простых делителей n+1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.

[RuthAPS-215] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006146 (Суммы простых делителей чисел Рут-Аарон (A006145).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 января 2024 г.

[217] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A018818 (Количество разбиений n на делители n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.

[218] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007629 (Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) числа (или числа Кита).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.

[220] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A357886 (Треугольник, читаемый по строкам: T(n,k) — это количество открытых путей длины k, начинающихся и заканчивающихся в фиксированных различных вершинах в полном неориентированном графе на n помеченных вершинах, для n больше или равного 1 и k равно 0 .. n*(n-1)/2.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[221] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000014 (Количество последовательно сокращенных деревьев с n узлами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[222] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054502 (Счетная последовательность для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[223] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054500 (Индикаторная последовательность для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[224] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054501 (Последовательность кратности для классификации неатакующих ферзей на тороидальной доске n X n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[225] И. Ривин, И. Варди и П. Циммерманн (1994). Проблема n ферзей. Американский математический ежемесячник . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . 101 (7): 629–639. doi : 10.1080/00029890.1994.11997004 JSTOR 2974691

[227] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A135388 (Количество (направленных) эйлеровых контуров на полном графе K_{2n+1}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[228] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007082 (Количество эйлеровых схем на полном графе K_{2n+1}, разделенное на (n-1)!^(2n+1).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[229] Слоан, Нью-Джерси (ред.). "Последовательность A357887 (Треугольник читается по строкам: T(n,k) — количество контуров длины k в полном неориентированном графе на n помеченных вершинах, для n больше или равного 1 и k равного 0 .. n( n-1)/2.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 декабря 2023 г.

[230] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A327070 (Количество несвязных простых помеченных графов, охватывающих n вершин.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 августа 2023 г.

[231] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A141580 (Количество непомеченных несопряженных графов с n вершинами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[232] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A290056 (Количество клик в n-треугольном графе.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[233] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000568 (Количество результатов немаркированных круговых турниров n-команд)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 15 января 2024 г.

[234] Ройл, Гордон Ф.; Прегер, Шерил Э.; Глэсби, СП; Фридман, Сол Д.; Девиллерс, Алиса (2023). «Турниры и графики равномногочисленны» . Журнал алгебраической комбинаторики . 57 (2). Гейдельберг: Springer : 515–524. arXiv : 2204.01947 . дои : 10.1007/s10801-022-01197-0 . МР 4570411 . S2CID 247958071 . Збл 1512.05199 .

[235] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002190 (Sum_{n больше или равна 0} a(n)*x^n/n!^2 равна -log(BesselJ(0,2*sqrt(x))).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[236] Аваль, Жан-Кристоф; Буссико, Адриан; Делькруа-Оже, Беренис; и другие. (2021). «Однозначные деревья: новые результаты и обобщения» . Европейский журнал комбинаторики . 95 . Амстердам: Эльзевир : 1–28. arXiv : 1511.09455 . дои : 10.1016/j.ejc.2021.103331 . МР 4111347 . S2CID 265038614 . Артикул 1440.05061 .

[237] Аваль, Жан-Кристоф; Буссико, Адриан; Бувель, Матильда; Силимбани, Маттео (2014). «Комбинаторика однозначных деревьев» . Достижения прикладной математики . 56 . Амстердам: Эльзевир : 78–108. arXiv : 1305.3716 . дои : 10.1016/j.aam.2013.11.004 . МР 3194208 . S2CID 14989102 . Збл 1300.05127 .

[238] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A186725 (Количество связных регулярных графов с n узлами и обхватом не менее 5.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[239] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A093134 (Трисекция Якобсталя.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[240] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A367707 (Количество вершин степени 6 в n-губчатом графе Менгера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[241] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A078469 (Количество различных композиций лестничного графа L_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[242] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A137883 (Количество (направленных) гамильтоновых путей в n-лестничном графе Мёбиуса.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[243] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A124350 (a(n) равна 4*n*(floor(n^2/2)+1). Для n больше или равного 3 это количество направленных гамильтоновых путей на графе n-призмы. .)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[244] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A160172 (последовательность Т-образных зубочисток (определение см. в строках комментариев).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[245] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A118746 (Десятичное расширение начала логистической карты 7-бифуркации.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 29 февраля 2024 г.

[PrimPPerf-247] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A054377 (Первичные псевдосовершенные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[248] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007304 (Сфенические числа: произведения трех различных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 февраля 2024 г.

[249] Келлнер, Бернд К. (2005). «Уравнение denom(B _n ) = n имеет только одно решение» (PDF) . Бернулли (Препринт). Геттинген, Германия. стр. 1, 2. S2CID 124553392 .

[250] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A027642 (Знаменатель числа Бернулли B_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.

[UnitPerf-251] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002827 (Унитарные совершенные числа: числа k такие, что usigma(k) – k равно k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 12 февраля 2024 г.

[253] Мори, Питер (2004). «Свернутые числа Фибоначчи» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 7 (2). Ватерлоо, Онтарио, Калифорния: Университета Ватерлоо Школа компьютерных наук Дэвида Р. Черитона : 13 (статья 04.2.2). arXiv : math.CO/0311205 . Бибкод : 2004JIntS...7...22M . МР 2084694 . S2CID 14126332 . Збл 1069.11004 .

[ConvFib-254] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001629 (Самосвертка чисел Фибоначчи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[255] Бельбачир, Хачене; Джеллал, Туфик; Люк, Джон Габриэль (2023). «О самосвертке обобщенных чисел Фибоначчи» . Вопросы по математике 46 (5). Оксфордшир, Великобритания: Тейлор и Фрэнсис : 841–854. arXiv : 1703.00323 . дои : 10.2989/16073606.2022.2043949 . МР 4592901 . S2CID 119150217 . Збл 07707543 . {{cite journal}}:CS1 maint: Zbl ( ссылка )

[256] Берндт, Брюс С .; Чан, Хэн Хуат (1999). «Рамануджан и модульный j-инвариант» . Канадский математический бюллетень . 42 (4): 427–440. дои : 10.4153/CMB-1999-050-1 . МР 1727340 . S2CID 1816362 .

[257] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004009 (Разложение ряда Эйзенштейна E_4 (q) (альтернативное соглашение E_2 (q)); тета-ряд решетки E_8.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.

[258] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013973 (Расширение ряда Эйзенштейна E_6(q) (альтернативное соглашение E_3(q)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.

[259] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006352 (Коэффициенты разложения ряда Эйзенштейна E_2 (также называемого E_1 или G_2).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.

[260] Хартшорн, Робин (1977). «Глава 4: Кривые». Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. Берлин: Springer-Verlag . стр. 316–321. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8 . МР 1567149 . OCLC 13348052 . S2CID 5695770 . Збл 0367.14001 .

[261] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A060295 (Десятичное расширение exp(Pi*sqrt(163)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 августа 2023 г.

[262] Барроу, Джон Д. (2002). «Константы природы» . Фундаментальные константы . Лондон: Джонатан Кейп . п. 72. дои : 10.1142/9789812818201_0001 . ISBN 0-224-06135-6 . S2CID 125272999 .

[MarkR-263] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Ронан, Марк (2006). Симметрия и чудовище: одно из величайших поисков математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . стр. 1–255. ISBN 978-0-19-280722-9 . МР 2215662 . OCLC 180766312 . Збл 1113.00002 .

[264] Ронан, Марк (6 марта 2013 г.). «163 и Монстр» . Марк Ронан . Проверено 17 августа 2023 г.

[JanChr-265] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Янсен, Кристоф (2005). «Минимальные степени точных представлений спорадических простых групп и их накрывающих групп» . LMS Журнал вычислений и математики . 8 . Лондон: Лондонское математическое общество : 122–123. дои : 10.1112/S1461157000000930 . МР 2153793 . S2CID 121362819 . Збл 1089.20006 .

[Gr1998-266] Грисс-младший, Роберт Л. (1998). Двенадцать спорадических групп . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . стр. 54–79. ISBN 9783540627784 . МР 1707296 . ОСЛК 38910263 . Збл 0908.20007 .

[OrdNCG-267] Перейти обратно: ^а ^б Мадор, Дэвид Александр (22 января 2003 г.). «Порядки неабелевых простых групп» . www.madore.org . Проверено 10 января 2024 г.

[OEISONCG-268] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A109379 (Порядки нециклических простых групп (с повторением).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 января 2024 г.

[269] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[RobTh-270] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A067698 (Положительные целые числа, такие, что сигма(n) больше или равна exp(gamma) * n * log(log(n)).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 октября 2023 г.

[NSumAbN-271] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A048242 (Числа, которые не являются суммой двух множественных чисел (не обязательно различных).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[272] Дитрих, Хайко; Ли, Мелисса; Попель, Томаш (6 декабря 2023 г.). «Максимальные подгруппы Монстра». стр. 1–23. arXiv : 2304.14646 [ GR математика. ГР ]. Бибкод : 2023arXiv230414646D .

[274] Грисс-младший, Роберт Л. (1982). «Дружелюбный великан » изобретения Математические 69 : 91−96. Бибкод : 1982InMat..69.... 1G дои : 10.1007/BF01389186 . hdl : 2027.42/46608 . МР 0671653 . S2CID 123597150 . Збл 0498.20013 .

[275] Огг, AP (1981). «Модульные функции». В Куперштейне, Брюс; Мейсон, Джеффри (ред.). Конференция в Санта-Крусе по конечным группам . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 37. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 521–532. дои : 10.1090/PSPUM/037 . ISBN 0-8218-1440-0 . МР 0604631 . Збл 0443.00007 .

[276] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002267 (15 суперсингулярных простых чисел: простые числа, разделяющие порядок простой группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 сентября 2023 г.

[277] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A216071 (задача Брокара: положительные целые числа m такие, что m^2 равно n! +1 для некоторого n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.

[278] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A085692 (Задача Брокара: квадраты, которые можно записать как n!+1 для некоторого n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.

[279] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004394 (Сверхизбыточные [или сверхизбыточные] числа: n такие, что сигма(n)/n больше, чем сигма(m)/m для всех m меньше n, сигма(n) равна A000203(n), сумма делители n.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.

[280] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа, определение (1): числа n, где d(n), количество делителей n (A000005), увеличивается до записи.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 10 октября 2023 г.

[RobThRieH-281] Перейти обратно: ^а ^б Кавени, Джеффри; Николя, Жан-Луи ; Сондоу, Джонатан (2011). «Теорема Робина, простые числа и новая элементарная формулировка гипотезы Римана» . Целые числа . 11 (6). Берлин: Де Грюйтер : 755 (A33). arXiv : 1110.5078 . дои : 10.1515/INTEG.2011.057 . МР 2798609 . S2CID 14573608 . Збл 1235.11082 .

[283] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A034963 (Сумма четырех последовательных простых чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.

[Primor-284] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002110 (Первоначальные числа (первое определение): произведение первых n простых чисел. Иногда пишется prime(n)#.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.

[285] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000332 (Биномиальный коэффициент биномиал(n,4), равный n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.

[286] Дешуйе, Жан-Марк ; Гранвилл, Эндрю ; Наркевич, Владислав; Померанс, Карл (1993). «Верхняя оценка проблемы Гольдбаха» . Математика вычислений . 61 (203). Вашингтон, округ Колумбия: Американское математическое общество : 209–213. Бибкод : 1993MaCom..61..209D . дои : 10.1090/S0025-5718-1993-1202609-9 . МР 1202609 . S2CID 51831845 . Збл 0780.11047 .

[288] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A050381 (Количество последовательно уменьшенных посаженных деревьев с n листьями 2 цветов.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 сентября 2023 г.

[CompGDivP-289] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A074127 (Сгруппируйте составные числа так, чтобы сумма n-й группы была кратна n-му простому числу: (4), (6), (8, 9, 10, 12, 14, 15, 16). , 18, 20, 21, 22), (24, 25), (26, 27, 28, 30, 32), (33, 34, ...), ... Последовательность дает сумму группы, разделенную на n- -е простое число для n-й группы.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 января 2024 г.

[LessSP-290] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A023201 (Простые числа p такие, что p + 6 также является простым (меньшее из пары сексуальных простых чисел.))» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 6 января 2024 г.

[291] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002410 (ближайшее целое число к мнимой части n-го нуля дзета-функции Римана.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 января 2024 г.

[292] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013629 (Пол мнимых частей нетривиальных нулей дзета-функции Римана.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 7 февраля 2024 г.

[293] Одлизко, Андрей . «Первые 100 (нетривиальных) нулей дзета-функции Римана [AT&T Labs]» . Андрей Одлыжко: Домашняя страница . УМН ЦСЕ . Проверено 16 января 2024 г.

[KlaiJan-295] Перейти обратно: ^а ^б Клэйз, Янис (2012). Порядки в квадратичных мнимых полях малого класса (PDF) (диссертация по математике). Уорикского университета Центр науки о сложности . стр. 1–24. S2CID 126035072 .

[296] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A258706 (Абсолютные простые числа: каждая перестановка цифр является простым числом. Показан только наименьший представитель каждого класса перестановок.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 13 декабря 2023 г.

[297] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A059408 (a(n+1) как a(n)-я составная часть и a(1) равна 13.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 января 2024 г.

[300] Вайсштейн, Эрик В. «Почти целое число» . MathWorld — WolframAlpha ресурс . Проверено 18 октября 2023 г.
В списке ниже приведены числа вида $x \equiv e. π \sqrt n$ для $n \leq 1000,$ для которого $| нинт (Икс) - Икс | \leq 10 -3$ .

$н$ $|nint(Икс) - Икс |$

25 −0.00066

37 −0.000022

43 −0.00022

58 −1.8×10 ⁻⁷

67 −1.3×10 ⁻⁶

74 −0.00083

148 0.00097

163 −7.5×10 ⁻¹³

232 −7.8×10 ⁻⁶

268 0.00029

522 −0.00015

652 1.6×10 ⁻¹⁰

719 −0.000013

[Cls2-301] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014603 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 2 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 18 октября 2023 г.

[302] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A032354 (j-инварианты для порядков класса № 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 26 октября 2023 г.

[303] Загер, Дон (2008). «Эллиптические модульные формы и их приложения» . В Ранестаде, Кристиан (ред.). 1-2-3 модульных форм . Университетский текст (1-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . стр. 70−71. дои : 10.1007/978-3-540-74119-0_1 . ISBN 978-3-540-74117-6 . МР 2409678 . OCLC 173239471 . Збл 1259.11042 .

[304] Арпин, Сара; Камачо-Наварро, Каталина; и другие. (2021). «Приключения в Суперсингулярной стране» . Экспериментальная математика . 32 (2). Оксфордшир, Великобритания: Тейлор и Фрэнсис : 245–256. arXiv : 1909.07779 . Бибкод : 2019arXiv190907779A . дои : 10.1080/10586458.2021.1926009 . МР 4592945 . S2CID 202583238 . Збл 1517.94057 .

[CRCEncyc-306] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (2003). Вайсштейн, Эрик В. (ред.). CRC Краткая математическая энциклопедия (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC . стр. 57–59. дои : 10.1201/9781420035223 . ISBN 9781584883470 . JSTOR 20453513 . МР 1944431 . OCLC 50252094 . S2CID 116679721 . Збл 1079.00009 .

[307] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A329191 (Простые делители порядков спорадических конечных простых групп.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[308] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A113907 (Размеры пяти спорадических групп Ли.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[Chowla-309] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A048050 (функция Чоулы: сумма делителей n, кроме 1 и n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 января 2024 г.

[311] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006203 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 3 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 октября 2023 г.

[312] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A127106 (Числа n такие, что n^2 делит 6^n-1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.

[313] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A013658 (Дискриминанты мнимых квадратичных полей с номером класса 4 (отрицаны).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 14 декабря 2023 г.

[314] Уоткинс, Марк (2004). «Числа классов мнимых квадратичных полей» . Математика вычислений . 73 (246). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 907–938. дои : 10.1090/S0025-5718-03-01517-5 . JSTOR 4099810 . МР 2031415 . Збл 1050.11095 .

[315] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A038552 (Наибольшее бесквадратное число k такое, что Q(sqrt(-k)) имеет номер класса n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 октября 2023 г.

[ThD4-317] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004011 (Тэта-ряд решетки D_4; коэффициенты Фурье ряда Эйзенштейна E_{gamma,2}.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.

[JiH-318] Перейти обратно: ^а ^б Чун, Джи Хун (2019). «Сферические упаковки [2013]» (PDF) . В Цфасман, Михаил; и другие. (ред.). Коды алгебраической геометрии: главы для продвинутого уровня . Математические обзоры и монографии . Том. 238. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 229−278. дои : 10.1090/surv/238 . ISBN 978-1-4704-5263-6 . МР 3966406 . S2CID 182109921 . Збл 1422.14004 .

[F4Latt-319] Перейти обратно: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004013 (Тэта-серия объемноцентрированной кубической (ОЦК) решетки.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.

[F4N-320] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность А004014 (Нормы векторов в ОЦК-решетке.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 декабря 2023 г.

[ThZ4-321] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000118 (Количество способов записи n в виде суммы 4 квадратов; также тэта-ряд четырехмерной кубической решетки Z^4.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 23 декабря 2023 г.

[HSMRP-322] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники (1-е изд.). Лондон: Метуэн и компания. стр. 100-1 1–321. ISBN 9780521201254 . МР 0027148 . ОСЛК 472190910 .

[324] Пеконен, Осмо (2018). «Какое целое число самое загадочное?» . В Сарханги, Реза (ред.). Мосты: Математика, Искусство, Музыка, Архитектура, Образование, Культура . Материалы конференции по мостам . п. 441. ИСБН 9781938664274 . ISSN 1590-5896 . OCLC 7788577569 . S2CID 133028298 .

[HeMcKay-325] Перейти обратно: ^а ^б Хэ, Ян-Хуэй ; Маккей, Джон (2015). «Спорадический и исключительный». стр. 1–49. arXiv : 1505.06742 [ math.AG ]. S2CID 117030188 .
«Особый интерес вызывает менее известный факт – параллельно приведенному выше тождеству – что постоянный член j-инварианта, а именно 744, удовлетворяет условию $744 = 3 \times 248.$ Число 248, конечно, является размерность сопряженной наибольшей исключительной алгебры [ $𝖊 8$ ]. Фактически, то, что j должно кодировать представления [ $𝖊 8$ ], было установлено задолго до окончательного доказательства гипотезы Муншайна. Эта связь между самой большой спорадической группой и самой большой. исключительная алгебра соединила бы «Переписку Маккея» с «Самогоном» и тем самым вплела бы еще одну прекрасную нить в панорамный гобелен математики». ^{: стр.4}

" ¹⁶ Кстати, читателя также насторожил курьезный факт, что $σ 1 (240) = 744$ ». ^{: стр.21 (примечание)}

[326] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A007245 (серия Маккея-Томпсона класса 3C для группы Monster.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.
$j (𝜏) 1/3 = q -1/3 (1 + 248 д + 4124 д 2 + 34752 q 3 + ...)$

[TGann-327] Перейти обратно: ^а ^б Ганнон, Терри (2006). «Введение: краткий обзор теории, лежащей в основе чудовищного самогона» (PDF) . Самогон за пределами монстра: Мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж, Массачусетс: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–15. ISBN 978-0-521-83531-2 . МР 2257727 . OCLC 1374925688 . Збл 1146.11026 .
«В частности, $4124 = 3875 + 248 + 1$ и $34752 = 30380 + 3875 + 2 \cdot 248 + 1$ , где 248, 3875 и 30380 — все размерности неприводимых представлений $\mathbb {C}$ ". ^{: стр.6}

[328] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121732 (Размеры неприводимых представлений простой алгебры Ли типа E8 над комплексными числами, перечислены в порядке возрастания.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 октября 2023 г.

[GebMatt-329] Gaberdiel, Matthias R. (2007). "Constraints on extremal self-dual CFTs". Journal of High Energy Physics. 2007 (11, 087). Springer: 10–11. arXiv:0707.4073. Bibcode:2007JHEP...11..087G. doi:10.1088/1126-6708/2007/11/087. MR 2362062. S2CID 16635058.

[330] Conway, John H.; Sloane, N. J. A. (1988). "Algebraic Constructions for Lattices". Sphere Packings, Lattices and Groups. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2016-7. eISSN 2196-9701. ISBN 978-1-4757-2016-7. MR 1541550.

[331] Coxeter, H. S. M. (1998). "Seven Cubes and Ten 24-Cells" (PDF). Discrete & Computational Geometry. 19 (2): 156–157. doi:10.1007/PL00009338. S2CID 206861928. Zbl 0898.52004.

[332] Coxeter, H. S. M.; Shephard, G.C. (1992). "Portraits of a Family of Complex Polytopes". Leonardo. 25 (3/4): 243–244. doi:10.2307/1575843. JSTOR 1575843. S2CID 124245340. Zbl 0803.51023.

[333] Baez, John C. (2018). "From the Icosahedron to E₈". London Mathematical Society Newsletter. 476: 18–23. arXiv:1712.06436. MR 3792329. S2CID 119151549. Zbl 1476.51020.

[334] Hart, George W. (1998). "Icosahedral Constructions" (PDF). In Sarhangi, Reza (ed.). Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science. Proceedings of the Bridges Conference. Winfield, Kansas. p. 196. ISBN 978-0966520101. OCLC 59580549. S2CID 202679388.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[336] Wilson, Robert A. (2009). "Octonions and the Leech lattice". Journal of Algebra. 322 (6): 2186–2190. doi:10.1016/j.jalgebra.2009.03.021. MR 2542837.

[337] Schellekens, Adrian Norbert (1993). "Meromorphic c = 24 conformal field theories". Communications in Mathematical Physics. 153 (1). Berlin: Springer: 159–185. arXiv:hep-th/9205072. Bibcode:1993CMaPh.153..159S. doi:10.1007/BF02099044. MR 1213740. S2CID 250425623. Zbl 0782.17014.

[338] Möller, Sven; Scheithauer, Nils R. (2023). "Dimension formulae and generalised deep holes of the Leech lattice vertex operator algebra". Annals of Mathematics. 197 (1). Princeton University & the Institute for Advanced Study: 261–285. arXiv:1910.04947. Bibcode:2019arXiv191004947M. doi:10.4007/annals.2023.197.1.4. MR 4513145. S2CID 204401905. Zbl 1529.17040.

[339] Griess, Jr., Robert L.; Lam, Ching Hung (2011). "A moonshine path from E8 to the Monster" (PDF). Journal of Pure and Applied Algebra. 215 (5): 930–931. doi:10.1016/j.jpaa.2010.07.001. MR 2747229. S2CID 123613651. Zbl 1213.17028.

[340] Griess Jr., Robert L.; Lam, Ching Hung (2011). "A moonshine path for 5 A and associated lattices of ranks 8 and 16". Journal of Algebra. 331. Amsterdam: Elsevier: 348. arXiv:1006.3907. Bibcode:2010arXiv1006.3907G. doi:10.1016/j.jalgebra.2010.11.013. MR 2774662. S2CID 119679255. Zbl 1283.20009.

[341] Harada, Masaaki; Lam, Ching Hung; Munemasa, Akihiro (2013). "Residue codes of extremal Type II Z₄-codes and the moonshine vertex operator algebra". Mathematische Zeitschrift. 274 (1). Springer: 691, 698–699. arXiv:1005.1144. Bibcode:2010arXiv1005.1144H. doi:10.1007/s00209-012-1091-z. MR 3054350. S2CID 253730965. Zbl 1283.94112.

[342] Pless, V.; Sloane, N. J. A. (1975). "On the classification and enumeration of self-dual codes". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 18 (3). Amsterdam: Elsevier: 313–335. doi:10.1016/0097-3165(75)90042-4. MR 0376232. S2CID 16303075. Zbl 0305.94011.

[344] Van Ekeren, Jethro; Lam, Ching Hung; Möller, Sven; Shimakura, Hiroki (2021). "Schellekens' list and the very strange formula". Advances in Mathematics. 380. Amsterdam: Elsevier: 1–34 (107567). arXiv:2005.12248. doi:10.1016/j.aim.2021.107567. MR 4200469. S2CID 218870375. Zbl 1492.17027.

[345] Betsumiya, Koichi; Lam, Ching Hung; Shimakura, Hiroki (2023). "Automorphism Groups and Uniqueness of Holomorphic Vertex Operator Algebras of Central Charge 24". Communications in Mathematical Physics. 399 (3). Berlin: Springer: 1773–1810. arXiv:2203.15992. Bibcode:2023CMaPh.399.1773B. doi:10.1007/s00220-022-04585-6. MR 4580534. S2CID 247793117. Zbl 1523.17056.

[346] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A129863 (Sums of three consecutive pentagonal numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.

[347] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000326 (Pentagonal numbers.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.

[348] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002411 (Pentagonal pyramidal numbers: a(n) equal to n^2*(n+1)/2.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-11-09.

[350] Taneja, Inder J. (2016). "Selfie Numbers - IV: Addition, Subtraction and Factorial" (PDF). RGMIA Research Report Collection. 19: 1−4 (Article 163).

[351] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A193069 (Pretty wild narcissistic numbers - numbers that pwn: - an integer n that can be expressed using just the digits of n (each digit used once only and in order from left to right) and the operators + - * / ^ ! and the radical symbol. Concatenation is allowed.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-12.

[353] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A177434 (The magic constants of 6 X 6 magic squares composed of consecutive primes.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.

[PrimeMS-354] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A177434 (The magic constants of 6 X 6 magic squares composed of consecutive primes.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-11.

[355] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A122875 (Numbers whose square is undulating.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-11-02.

[356] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A016073 (Undulating squares.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-11-02.

[357] Pickover, Clifford A. (1995). "Chapter 20: The Undulation of the Monks". Keys to Infinity. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. pp. xviii, 1−332. ISBN 978-0471193340. OCLC 31710129. S2CID 121761396.

[MagPS-358] Jump up to: ^a ^b Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A164843 (The smallest magic constant of an n X n magic square with distinct prime entries.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-11-05.

[359] Makarova, Natalia V. "Least Magic Squares of Prime Numbers (Part I)". klassikpoez.narod.ru (in Russian). Archived from the original on 2023-12-08. Archived translation in English. Retrieved 2023-12-07.

[360] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A006003 (a(n) equal to n*(n^2 + 1)/2)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-09-11.

[362] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A187781 (Number of noncongruent polygonal regions in a regular n-gon with all diagonals drawn.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-12-23.

[363] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A279019 (Least possible number of diagonals of simple convex polyhedron with n faces.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-10.

[365] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002839 (Number of simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-07-16.

[366] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A326118 (a(n) is the largest number of squares of unit area connected only at corners and without holes that can be inscribed in an n X n square.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-01-20.

[367] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A272390 (Longest side of primitive Heronian tetrahedron with 4 congruent triangle faces.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-03-09.

[368] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A272388 (Longest side of Heronian tetrahedron.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-03-09.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[я]

[17]

[18]

[ii]

[23]

[24]

[iii]

[33]

[iv]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[мы]

[VII]

[66]

[viii]

[68]

[26]

[ix]

[80]

[Икс]

[88]

[кси]

[xii]

[xiii]

[xiv]

[xv]

[127]

[xvi]

[XVII]

[131]

[14]

[132]

[восемнадцатый]

[xix]

[32]

[хх]

[xxi]

[xxii]

[164]

[165]

[166]

[167]

[168]

[169]

[170]

[xxiii]

[xxiv]

[ххв]

[25]

[195]

[196]

[xxvi]

[201]

[202]

[203]

[204]

[205]

[206]

[207]

[208]

[xxvii]

[xxviii]

[225]

[226]

[227]

[228]

[229]

[230]

[231]

[232]

[233]

[234]

[235]

[236]

[237]

[а]

[245]

[246]

[247]

[б]

[263]

[с]

[266]

[267]

[д]

[э]

v t e Number theory
Fields	Algebraic number theory (class field theory, non-abelian class field theory, Iwasawa theory, Iwasawa–Tate theory, Kummer theory) Analytic number theory (analytic theory of L-functions, probabilistic number theory, sieve theory) Geometric number theory Computational number theory Transcendental number theory Diophantine geometry (Arakelov theory, Hodge–Arakelov theory) Arithmetic combinatorics (additive number theory) Arithmetic geometry (anabelian geometry, P-adic Hodge theory) Arithmetic topology Arithmetic dynamics
Key concepts	Numbers 0 Natural numbers Unity Prime numbers Composite numbers Rational numbers Irrational numbers Algebraic numbers Transcendental numbers P-adic numbers (P-adic analysis) Arithmetic Modular arithmetic Chinese remainder theorem Arithmetic functions
Advanced concepts	Quadratic forms Modular forms L-functions Diophantine equations Diophantine approximation Continued fractions
Category List of topics List of recreational topics Wikibook Wikiversity