168 (число)

← 167 168 169 →
← 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 → Список номеров ; Целые числа ; ← 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 →
Кардинал	сто шестьдесят восемь
Порядковый номер	168-е место ; (сто шестьдесят восьмой)
Факторизация	2 3 × 3 × 7
Делители	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168
Греческая цифра	ΡΞΗ´
Римская цифра	CLXVIII
Двоичный	10101000 2
тройной	20020 3
Сенарий	440 6
Восьмеричный	250 8
Двенадцатеричный	120 12
Шестнадцатеричный	А8 16

168 ( сто шестьдесят восемь ) — натуральное число, следующее за 167 и предшествующее 169 .

Это количество часов в неделе , или 7 х 24 часа .

Математика [ править ]

Теория чисел [ править ]

168 — четвертое число Дедекинда . ^[1] и одно из шестидесяти пяти идонеальных чисел . ^[2] Это на единицу меньше квадрата (13 ²), равный произведению первых двух совершенных чисел ^[3]

168=6\times 28.

Существует 168 простых чисел меньше 1000 . ^[а]

Составной индекс [ править ]

128-е составное число — 168, ^[4] одно из немногих чисел $n$ в списке составных элементов, индексы которых являются произведением цифр строк $n$ в десятичном представлении.

Первые девять $n$ с этим свойством следующие: ^[4]

48 как 32 -е $(4 \times 8 = 32)$ ^[б]
68 как 48-е $(6 \times 8 = 48)$
78 — это 56-е число $(7 \times 8 = 56).$
88 как 64-й $(82 = 64)$
98 как 72-й $(9 \times 8 = 72)$
128 как 96-е $(12 \times 8 = 96)$
138 как 104-е $(13 \times 8 = 104)$
158 как 120-е $(15 \times 8 = 120)$
168 как 128 -й $(16 \times 8 = 128)$ ^[с]

Следующее такое число — 198, где $19 \times 8 = 152$ . Медиана между двадцатью одним целым числом $[48, 68]$ равна 58 , где 148 — это медиана сорока одного целого числа $[168, 128]$ .

Значения Totient [ править ]

Для Эйлера $\varphi (n)$ есть $\varphi (168)=48$ , ^[5] где $\varphi (48)=16$ также эквивалентно числу делителей 168; ^[6] только одиннадцать чисел имеют общую сумму 48: ${65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210}$ . ^[5]^[д]

408 , ^[и] с другой перестановкой цифр ${0, 4, 8}$ , где 048 равно 48, имеет значение 128. То же самое делает сумма делителей 168, ^[9]

\sigma (168)=480=2^{5}\times 3\times 5

как одно из девяти чисел, общее число которых равно 128. ^[5]

Идеальный номер [ править ]

Леонард Эйлер отметил 65 идонеальных чисел (наиболее известное из еще двух максимально возможных), таких что $x^{2}+Dy^{2}$ для целого числа $D$ , выражаемый только одним способом, дает степень простого числа или удвоенную степень простого числа. ^[2]^[10]

Из них 168 — это сорок четвертое, причем наименьшее число, которое не должно быть идонеальным, — это пятое простое число 11 . ^[2] что эквивалентно количеству ребер в объединении двух графов циклов порядка 42 Наибольшее такое число 1848 ( ) ^[11] содержит в общей сложности тридцать два делителя, среднее арифметическое которых равно 180. ^[12]^[13] (второе по величине число, общее число которого равно 48). ^[5] Перед 1848 в списке идонических чисел стоит 1365 , ^[ф] среднее арифметическое делителей которого равно 168 ^[12]^[13] (в то время как 1365 имеет общую сумму 576 = 24 ²).

Где 48 — 27-е идейное число, 408 — 58-е. ^[2]^[г] С другой стороны, общее количество известных идонеальных чисел (65), которое также равно сумме десяти целых чисел $[2, ..., 11]$ , имеет сумму делителей 84 (или единицу). половина 168). ^[9]

Числа формы 2 ^н[ редактировать ]

В системе счисления 10 число 168 — самое большое из девяноста двух известных чисел. $n$ такой, что $2^{n}$ не содержит все числовые цифры из этой базы (т.е. 0 , 1 , 2 , ..., 9 ). ^[15]

$2^{68}$ - первое число, имеющее такое выражение, где между следующими двумя $n$ — интервал из десяти целых чисел: $[70, 79]$ ; ^[15] медианное значение между ними составляет 74 , а совокупный индекс равен 100 . ^[4]^[час]

Число Каннингема [ править ]

Как число формы $b^{n}\pm 1$ для положительных целых чисел $n$ , $b$ и $b$ не идеальная степень , 168 — это тридцать второе число Каннингема , ^[19] где оно на единицу меньше квадрата :

168=13^{2}-1.

С другой стороны, 168 на единицу больше, чем третий член четвертой цепочки почти удвоенных простых чисел первого рода ${41, 83, 167}$ , ^[20]^[21] где 167 представляет тридцать девятое простое число ^[22] (при 39 × 2 =78). Наименьшая такая цепочка — ${2, 5, 11, 23, 47}$ .

Серия Эйзенштейна [ править ]

168 также является коэффициентом четыре в разложении ряда Эйзенштейна. $E_{2}$ , ^[23] который также включает 144 и 96 (или 48 × 2) в качестве пятого и третьего коэффициентов соответственно — их сумма равна 240 , что следует за 144 и 187 в списке последовательных составных чисел. $A(n+1)=A(n)$ ; ^ср.^[4] последний содержит сумму делителей 216 = 6 ³, ^[9] что является 168-м составным числом. ^[4]

Абстрактная алгебра [ править ]

168 — число максимальных цепей в порядке Брюа симметрической группы. $\mathrm {S} _{4},$ ^[24] которая является крупнейшей разрешимой симметричной группой с общей суммой $4!=24$ элементы .

168 - это порядок второй наименьшей неабелевой простой группы. $\mathrm {PSL} (2,7).$ Согласно теореме Гурвица об автоморфизмах , 168 — это максимально возможное число автоморфизмов римановой поверхности рода 3 , причем этот максимум достигается квартикой Клейна , группа симметрии которой равна $\mathrm {PSL} (2,7)$ ; ^[25] Плоскость Фано , изоморфная группе Клейна, имеет 168 симметрий .

В других областях [ править ]

Домино [ править ]

«двойная шестерка» 168 очков В наборе домино .

В игре в домино плитки отмечены количеством точек или точек . Набор Double 6 из 28 плиток содержит в общей сложности 168 очков.

Нумерология [ править ]

Некоторые китайцы считают 168 счастливым числом , поскольку оно примерно соответствует фразе «一路發», что означает «полная удача», или, как утверждает Монетный двор США , «вечное процветание». ^[26]

Примечания [ править ]

^ $(168, 1000)$ без включения соответствует диапазону из 831 целого числа , что является значением, эквивалентным составному индексу 1000 = 10. ³. ^[4]
^ 32 — двадцатый состав.
^ 128 = 64 × 2 = 32 × 4, причем 96 = 48 × 2, где также 168 ₁₀ = 120 ₁₂ (в двенадцатеричном формате ).
С другой стороны, 28 — 18-е составное число. ^[4]
^ Последнее (210) — 20-е число треугольника . ^[7]
^ 505 , константа магическая $10\times 10$ магический квадрат , ^[8] — 408-е составное число.
^ $1365 \div 3 = 455$ — это сумма (первых) десяти членов последовательности чисел $k$ ∈ ${1, 2, 3, 4, 7, 8, 16, 31, 127, 256}$ таких, что $k$ и $k + 1$ — основные степени. ^[14]
^ 840 с тридцатью двумя делителями (число с наибольшим количеством делителей меньше 1000) является четвертым по величине идонеальным числом. 88, 78, 58, 28 и 18 также являются идонеальными числами, в том числе 210 и 105 (числа с общей суммой 48). ^[2]
^ В итеративном списке $A (n)$ -го составного числа с $A (1) = 11,$ где $A (n + 1) = A (n)$ , первые несколько элементов
$11, 20, 32, 48, 68, 93, 124, ...$ ^[16]
которому предшествует номер 11 с аналогичным списком последовательных суперпростых чисел ^[17] и простые числа ^[18] $11, 5, 3, 2, 1$ (если единица — нулевое простое число).
Сумма этих элементов $1, 2, 3, 5, 11, 20, 32$ равна 74, а $32 + 68 = 100$ и $48 .$ между ними

Ссылки [ править ]

^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000372 (Числа Дедекинда: количество монотонных булевых функций от n переменных, количество антицепей подмножеств n-множества, количество элементов в свободной дистрибутивной решетке на n образующих, количество семейств Спернера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 апреля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и «A000926 Слоана: «numerus idoneus» Эйлера (или «numeri idonei», или idoneal, или подходящие, или удобные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 мая 2016 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 апреля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n в форме x*y для x больше 1 и y больше 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 апреля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000010 (функция Эйлера phi(n): считать числа, меньшие или равные n, и простые числа n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000005 (d(n) (также называемая tau(n) или sigma_0(n)), количество делителей n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность А000217 (Треугольные числа: 0+1+2+…+n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006003 (a(n) как n*(n^2 + 1)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (Сумма делителей n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 апреля 2024 г.
^ Эйлер, Леонард (1806). «Иллюстрация парадокса относительно развития подходящих или подходящих чисел». Новые известия Императорской Петропольской академии наук . 15 . Российская академия наук : 29–32. arXiv : math/0507352 . S2CID 118287274 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005563 (a(n) как n*(n+2), равная (n+1)^2 - 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 апреля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003601 (Числа n такие, что среднее значение делителей n является целым числом: sigma_0(n) делит sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A102187 (Средние арифметические делителей арифметических чисел (арифметические числа, A003601, — это те, для которых среднее значение делителей является целым числом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006549 (Числа k такие, что k и k+1 являются простыми степенями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 апреля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б «A130696 Слоана: числа k такие, что 2^k не содержит все десять десятичных цифр» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 декабря 2022 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A059407 (a(n+1) как a(n)-е составное число, где a(1) равно 11.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006450 (Простые числа с простыми индексами: простые числа с простыми индексами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A080262 (числа Каннингема: вида a^b +- 1, где a, b больше или равны 2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005602 (Наименьшее простое число, начинающее полную цепочку Каннингема длины n (первого рода).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A348855 (a(1) равна 1. Если a(n) простое число, a(n+1) равно 2*a(n) + 1. Если a(n) не простое число, a(n+1) является наименьшим простым числом, которого еще нет в последовательности.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006352 (Коэффициенты разложения ряда Эйзенштейна E_2 (также называемого E_1 или G_2).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 апреля 2024 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A061710 (Количество максимальных цепей в порядке Брюа S_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 апреля 2024 г.
^ «неделя214» . math.ucr.edu . Проверено 9 апреля 2023 г.
^ «Баннота 168 долларов «Процветание навсегда» — Монетный двор США» . Проверено 9 апреля 2023 г.

Внешние ссылки [ править ]

[5] $(168, 1000)$ без включения соответствует диапазону из 831 целого числа , что является значением, эквивалентным составному индексу 1000 = 10. ³. ^[4]

[6] 32 — двадцатый состав.

[7] 128 = 64 × 2 = 32 × 4, причем 96 = 48 × 2, где также 168 ₁₀ = 120 ₁₂ (в двенадцатеричном формате ).
С другой стороны, 28 — 18-е составное число. ^[4]

[11] Последнее (210) — 20-е число треугольника . ^[7]

[13] 505 , константа магическая $10\times 10$ магический квадрат , ^[8] — 408-е составное число.

[20] $1365 \div 3 = 455$ — это сумма (первых) десяти членов последовательности чисел $k$ ∈ ${1, 2, 3, 4, 7, 8, 16, 31, 127, 256}$ таких, что $k$ и $k + 1$ — основные степени. ^[14]

[21] 840 с тридцатью двумя делителями (число с наибольшим количеством делителей меньше 1000) является четвертым по величине идонеальным числом. 88, 78, 58, 28 и 18 также являются идонеальными числами, в том числе 210 и 105 (числа с общей суммой 48). ^[2]

[26] В итеративном списке $A (n)$ -го составного числа с $A (1) = 11,$ где $A (n + 1) = A (n)$ , первые несколько элементов
$11, 20, 32, 48, 68, 93, 124, ...$ ^[16]
которому предшествует номер 11 с аналогичным списком последовательных суперпростых чисел ^[17] и простые числа ^[18] $11, 5, 3, 2, 1$ (если единица — нулевое простое число).
Сумма этих элементов $1, 2, 3, 5, 11, 20, 32$ равна 74, а $32 + 68 = 100$ и $48 .$ между ними

[1] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000372 (Числа Дедекинда: количество монотонных булевых функций от n переменных, количество антицепей подмножеств n-множества, количество элементов в свободной дистрибутивной решетке на n образующих, количество семейств Спернера.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 апреля 2024 г.

[IdonealN-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и «A000926 Слоана: «numerus idoneus» Эйлера (или «numeri idonei», или idoneal, или подходящие, или удобные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 28 мая 2016 г.

[3] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000396 (Совершенные числа k: k равно сумме собственных делителей k.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 апреля 2024 г.

[CompNum-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002808 (Составные числа: числа n в форме x*y для x больше 1 и y больше 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 апреля 2024 г.

[EulerToti-8] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000010 (функция Эйлера phi(n): считать числа, меньшие или равные n, и простые числа n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 апреля 2024 г.

[9] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000005 (d(n) (также называемая tau(n) или sigma_0(n)), количество делителей n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 5 апреля 2024 г.

[10] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность А000217 (Треугольные числа: 0+1+2+…+n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 апреля 2024 г.

[12] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006003 (a(n) как n*(n^2 + 1)/2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2024 г.

[A000203-14] Jump up to: ^а ^б ^с Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000203 (Сумма делителей n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 апреля 2024 г.

[15] Эйлер, Леонард (1806). «Иллюстрация парадокса относительно развития подходящих или подходящих чисел». Новые известия Императорской Петропольской академии наук . 15 . Российская академия наук : 29–32. arXiv : math/0507352 . S2CID 118287274 .

[16] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005563 (a(n) как n*(n+2), равная (n+1)^2 - 1.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 апреля 2024 г.

[ArithNumO-17] Jump up to: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003601 (Числа n такие, что среднее значение делителей n является целым числом: sigma_0(n) делит sigma_1(n).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[ArithNum1-18] Jump up to: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A102187 (Средние арифметические делителей арифметических чисел (арифметические числа, A003601, — это те, для которых среднее значение делителей является целым числом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 16 июля 2023 г.

[19] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006549 (Числа k такие, что k и k+1 являются простыми степенями.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 9 апреля 2024 г.

[2nb10-22] Jump up to: ^а ^б «A130696 Слоана: числа k такие, что 2^k не содержит все десять десятичных цифр» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 19 декабря 2022 г.

[23] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A059407 (a(n+1) как a(n)-е составное число, где a(1) равно 11.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2024 г.

[24] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006450 (Простые числа с простыми индексами: простые числа с простыми индексами.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2024 г.

[25] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 8 апреля 2024 г.

[27] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A080262 (числа Каннингема: вида a^b +- 1, где a, b больше или равны 2.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 апреля 2024 г.

[28] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A005602 (Наименьшее простое число, начинающее полную цепочку Каннингема длины n (первого рода).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 апреля 2024 г.

[29] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A348855 (a(1) равна 1. Если a(n) простое число, a(n+1) равно 2*a(n) + 1. Если a(n) не простое число, a(n+1) является наименьшим простым числом, которого еще нет в последовательности.)" . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 апреля 2024 г.

[30] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000040 (Простые числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 20 апреля 2024 г.

[31] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006352 (Коэффициенты разложения ряда Эйзенштейна E_2 (также называемого E_1 или G_2).)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 2 апреля 2024 г.

[32] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A061710 (Количество максимальных цепей в порядке Брюа S_n.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 1 апреля 2024 г.

[33] «неделя214» . math.ucr.edu . Проверено 9 апреля 2023 г.

[34] «Баннота 168 долларов «Процветание навсегда» — Монетный двор США» . Проверено 9 апреля 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[а]

[4]

[б]

[с]

[5]

[6]

[д]

[и]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[ф]

[г]

[15]

[час]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[7]

[8]

[14]

[16]

[17]

[18]