Глоссарий теории порядка

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в различных областях математики , связанных с областями порядка , решетки и теории областей . структурированный список тем заказов Обратите внимание, что также доступен . Другими полезными ресурсами могут быть следующие обзорные статьи:

• свойства полноты частичных заказов
• законы дистрибутивности теории порядка
• сохранение свойств функций между частично упорядоченными множествами.

Далее частичные заказы обычно будут обозначаться просто наборами несущих. Если предполагаемый смысл ясен из контекста, $\,\leq \,$ будет достаточно для обозначения соответствующего реляционного символа даже без предварительного введения. Более того, < будет обозначать строгий порядок , индуцированный $\,\leq .$

А

• Ациклический . Бинарное отношение если оно не содержит «циклов»: эквивалентно, его транзитивное замыкание антисимметрично является ациклическим , .
• Заместитель . См. Связь с Галуа .
• Топология Александрова . Для предупорядоченного множества P любое верхнее множество O является открытым по Александрову . И наоборот, топология Александрова, если любое пересечение открытых множеств открыто.
• Алгебраический частичное множество . ЧУ-множество называется алгебраическим, если оно имеет базу из компактных элементов.
• Антицепь . Антицепь — это частично упорядоченное множество, в котором никакие два элемента не сравнимы, т. е. не существует двух различных элементов x и y таких, что x ≤ y . Другими словами, отношение порядка антицепи — это не что иное, как отношение тождества.
• Аппроксимирующее отношение . См . отношение ниже .
• Антисимметричное отношение . Однородное отношение R на множестве X является антисимметричным , если из xRy и yRx следует x = y для всех x , y в X. элементов
• Антитон . Функция антитона — это f между частично упорядоченными множествами P и Q функция, для которой для всех элементов x , y из P , x ≤ y (в P ) влечет f ( y ) ≤ f ( x ) (в Q ). Другое название этого свойства — изменение порядка . В анализе при наличии полных порядков такие функции часто называют монотонно убывающими , но это не очень удобное описание при работе с несуммарными порядками. Двойственное понятие называется монотонным или сохраняющим порядок .
• Асимметричное отношение . Однородное отношение R на множестве X является асимметричным, если из x R y не следует y R x для всех элементов x , y в X .
• Атом . Атом в частично упорядоченном множестве P с наименьшим элементом 0 — это элемент, который является минимальным среди всех элементов, не равных 0.
• Атомный . Атомное ЧУ-множество P с наименьшим элементом 0 — это такое, в котором для каждого ненулевого элемента x из P существует атом a из P с a ≤ x .

Б

• База . См. непрерывный посет .
• Бинарное отношение . Бинарное отношение над двумя множествами $X{\text{ and }}Y$ является подмножеством их декартова произведения $X\times Y.$
• Булева алгебра . Булева алгебра — это дистрибутивная решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1, в которой каждый элемент x имеет дополнение ¬ x , такое что x ∧ ¬ x = 0 и x ∨ ¬ x = 1.
• Ограниченное частичное множество . Ограниченное ЧУМ — это такое множество, которое имеет наименьший и наибольший элементы.
• Ограниченный полный . ЧУ-множество называется ограниченно полным, если каждое из его подмножеств с некоторой верхней границей также имеет наименьшую такую ​​верхнюю границу. Двойное понятие не является распространенным.

С

• Цепь . Цепочка — это полностью упорядоченное множество или полностью упорядоченное подмножество частичного множества. См. также общий порядок .
• Цепочка завершена . , Частично упорядоченное множество в котором каждая цепь имеет наименьшую верхнюю границу .
• Оператор закрытия . Оператор замыкания в частично упорядоченном множестве P — это функция C : P → P которая является монотонной, идемпотентной и удовлетворяет условию C ( x ) ≥ x для всех x в P. ,
• Компактный . Элемент x частично упорядоченного набора является компактным, если он находится намного ниже самого себя, т. е. x << x . Говорят также, что x конечен такой .
• Сопоставимо . Два элемента x и y частично упорядоченного множества P сравнимы, если либо x ≤ y , либо y ≤ x .
• График сопоставимости . Граф сравнимости частичного множества ( P , ≤) — это граф с множеством вершин P , в котором ребрами являются те пары различных элементов P , которые сравнимы при условии ≤ (и, в частности, при его рефлексивной редукции <).
• Полная булева алгебра . , Булева алгебра представляющая собой полную решетку.
• Полная алгебра Гейтинга . Алгебра Гейтинга , представляющая собой полную решетку, называется полной алгеброй Гейтинга. Это понятие совпадает с понятиями фрейм и локаль .
• Полная решетка . Полная решетка — это частично упорядоченное множество, в котором существуют произвольные (возможно, бесконечные) соединения (верхние точки) и пересечения (нижние точки).
• Полный частичный заказ . Полный частичный порядок, или cpo , — это направленный полный частичный порядок (см.) с наименьшим элементом.
• Полное отношение . Синоним связанного отношения .
• Полная полурешетка . Понятие полной полурешетки определяют по-разному. Как объясняется в статье о полноте (теория порядка) , любое ЧУМ, для которого существуют либо все верхние, либо все нижние точки, уже является полной решеткой. Поэтому понятие полной полурешетки иногда используется для совпадения с понятием полной решетки. В других случаях полные (встречающиеся) полурешетки определяются как ограниченные полные cpos , которые, возможно, являются наиболее полным классом частично упорядоченных множеств, которые еще не являются полными решетками.
• Полностью распределительная решетка . Полная решетка является полностью дистрибутивной, если произвольные соединения распределяются по произвольным пересечениям.
• Завершение . Пополнение ЧУ множества — это упорядоченное вложение ЧУ множества в полную решетку.
• Доработка разрезами . Синоним завершения Дедекинда-МакНила .
• Связное отношение . Полное или полное отношение R на множестве X обладает тем свойством, что для всех элементов x , y из X выполняется хотя бы один из x R y или y R x .
• Непрерывный посет . ЧУ-множество является непрерывным, если оно имеет базу , т. е. подмножество B в P такое, что каждый элемент x из P является верхней границей ориентированного множества, содержащегося в { y в B | у << х }.
• Непрерывная функция . См. Скотт-непрерывный .
• Конверс . Обратный <° порядка < — это порядок, при котором х <° у всякий раз, когда у < х.
• Крышка . элемент y частичного множества P Говорят, что покрывает элемент x из P (и называется покрытием x ), если x < y и не существует элемента z из P такого, что x < z < y .
• ЦПО . Посмотреть полный частичный заказ .

Д

• dcpo . См. направленный полный частичный заказ .
• Завершение Дедекинда-МакНила . Пополнение Дедекинда – МакНила частично упорядоченного множества — это наименьшая полная решетка , содержащая его.
• Плотный порядок . Плотное частично упорядоченное множество P — это такое, в котором для всех элементов x и y в P с x < y существует элемент z в P , такой что x < z < y . Подмножество Q из P является плотным в P, если для любых элементов x < y в P существует элемент z в Q такой, что x < z < y .
• Расстройство . Перестановка элементов множества, при которой ни один элемент не появляется в исходном положении.
• Режиссерский набор . подмножество Непустое X существует частичного множества P называется направленным, если для всех элементов x и y из X элемент z из X такой, что x ⩽ z и y ⩽ z . Двойственное понятие называется фильтрованным .
• Направлен полный частичный порядок . ЧУ-множество D называется направленным полным ЧУМ, или dcpo , если каждое направленное подмножество D имеет верхнюю грань.
• Распределительный . Решетка L называется дистрибутивной, если для всех x , y и z в L мы находим, что x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ). Известно, что это условие эквивалентно двойственному ему по порядку. Встреча- полурешетка является дистрибутивной, если для всех элементов a , b и x из a ∧ b ⩽ x следует существование элементов a' ≥ a и b' ≥ b таких, что a' ∧ b' = x . См. также полностью дистрибутив .
• Домен . Домен — это общий термин для объектов, подобных тем, которые изучаются в теории доменов . Если он используется, он требует дальнейшего определения.
• Вниз . См. нижний комплект .
• Двойной . Для частичного множества ( P , ≤) двойственный порядок P ^д = ( P , ≥) определяется установкой x ≥ y тогда и только тогда, когда y ≤ x . Двойственный порядок P иногда обозначается P ^на , а также называется противоположным или обратным порядком. Любое понятие теории порядка порождает двойственное понятие, определяемое путем применения исходного утверждения к двойственному порядку данного множества. Это меняет местами ≤ и ≥, встречается и объединяется, ноль и единицу.

И

• Расширение . Для частичных порядков ≤ и ≤′ на множестве X ≤′ является расширением ≤ при условии, что для всех элементов x и y из X из x ≤ y следует, что x ≤′ y .

Ф

• Фильтр . Подмножество X частичного множества P называется фильтром, если оно является отфильтрованным верхним множеством. Двойственное понятие называется идеальным .
• Отфильтровано . подмножество Непустое X x частичного множества P называется фильтруемым, если для всех элементов и y из X существует элемент z из X такой, что z ⩽ x и z ⩽ y . Двойственное понятие называется направленным .
• Конечный элемент . См . компактный .
• Рамка . Фрейм F представляет собой полную решетку, в которой для каждого x в F и каждого подмножества Y из F действует бесконечный дистрибутивный закон x ∧ $\bigvee$Y = $\bigvee${ Икс ∧ у | y в Y } выполняется. Фреймы также известны как локали и полные алгебры Гейтинга .

Г

• Связь с Галуа . Учитывая два частично упорядоченных множества P и Q , пара монотонных функций F : P → Q и G : Q → P называется связностью Галуа, если F ( x ) ≤ y эквивалентно x ≤ G ( y ), для всех x в P и y в Q. ​ F называется нижним сопряженным к G а G называется верхним сопряженным к F. ,
• Величайший элемент . Для подмножества X частично упорядоченного множества P элемент a из X называется наибольшим элементом X , если x ≤ a для каждого x в X. элемента Двойственное понятие называется наименьшим элементом .
• Наземный набор . Основное множество частично упорядоченного множества ( X , ≤ ) — это множество X , на котором определен частичный порядок ≤.

ЧАС

• Алгебра Гейтинга . Алгебра Гейтинга H — это ограниченная решетка, в которой функция f _a : H → H , заданная формулой f _a ( x ) = a ∧ x, является нижним сопряженным связностью Галуа для каждого a из H. элемента Тогда верхний сопряженный элемент f _a обозначается g _a , причем g _a ( x ) = a ⇒; х . Каждая булева алгебра является гейтинговой алгеброй.
• Схема Хассе . Диаграмма Хассе — это тип математической диаграммы, используемой для представления конечного частично упорядоченного множества в форме рисунка его транзитивной редукции .
• Однородное отношение . Однородное отношение на множестве $X$ является подмножеством $X\times X.$ Другими словами, это бинарное отношение над $X$ и сам.

я

• Идеально . Идеал — это подмножество X частичного множества P , которое является направленным нижним множеством. Двойственное понятие называется фильтром .
• Алгебра инцидентности . Алгебра инцидентности чу-множества - это ассоциативная алгебра всех скалярнозначных функций на интервалах со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно, и умножением, определяемым как определенная свертка; см . в алгебре инцидентности . подробности
• Инфимум . Для частично упорядоченного множества P и подмножества X из P наибольший элемент в наборе нижних границ X называется инфимумом , встречей или наибольшей нижней границей X. (если он существует, чего может и не быть ) Обозначается inf X или $\bigwedge$Х. ​Нижняя грань двух элементов может быть записана как inf{ x , y } или x ∧ y . Если множество X конечно, говорят о конечном инфимуме . Двойственное понятие называется супремумом .
• Интервал . Для двух элементов a , b множества P интервал | [ a , b ] является подмножеством { x в P частично упорядоченного a ≤ x ≤ b } из P . Если a ≤ b не выполняется, интервал будет пустым.
• Интервальный конечный частично упорядоченный набор . Частично упорядоченное множество P является интервально конечным , если каждый интервал вида {x в P | x ≤ a} — конечное множество.
• Инверсия . См . обратное .
• Иррефлексивно . Отношение что R на множестве X нет такого элемента x, иррефлексивно, если в X x R x .
• Изотон . Смотри монотонный .

Дж

• Присоединиться . См . супремум .

л

• Решетка . Решетка — это частично упорядоченное множество, в котором существуют все непустые конечные соединения (супремы) и пересечения (инфима).
• Наименьший элемент . Для подмножества X частично упорядоченного множества P элемент a из X называется наименьшим элементом X , если a ≤ x для каждого x в X. элемента Двойственное понятие называется величайшим элементом .
• Длина цепочки равна количеству элементов минус один. Цепочка из 1 элемента имеет длину 0, цепочка из 2 элементов имеет длину 1 и т. д.
• Линейный . Посмотреть общий заказ .
• Линейное расширение . Линейное расширение частичного порядка — это расширение, которое представляет собой линейный порядок или полный порядок.
• Локаль . Локаль — это полная алгебра Гейтинга . Локали также называются фреймами и появляются в двойственности Стоуна и бессмысленной топологии .
• Локально конечное частично упорядоченное множество . Частично упорядоченное множество P если локально конечно, каждый интервал [ a , b ] = { x в P | a ⩽ x ⩽ b } — конечное множество.
• Нижняя граница . Нижняя граница подмножества X частичного множества P — это элемент b из P , такой, что ⩽ x , для всех x в X. b Двойственное понятие называется верхней границей .
• Нижний комплект . Подмножество X частичного множества P называется нижним множеством, если для всех элементов в X и p в P p p ⩽ x подразумевает , что содержится в X. x Двойственное понятие называется верхним множеством .

М

• Максимальная цепочка . Цепочка в частично упорядоченном наборе , к которой нельзя добавить ни один элемент без потери свойства полной упорядоченности. Это сильнее, чем насыщенная цепочка, поскольку также исключает существование элементов, меньших, чем все элементы цепочки, или больших, чем все ее элементы. Конечная насыщенная цепь является максимальной тогда и только тогда, когда она содержит как минимальный, так и максимальный элемент частично упорядоченного множества.
• Максимальный элемент . Максимальный элемент подмножества X частичного множества P — это элемент m из X , такой, что ≤ x влечет m = x для всех x в X. m Двойственное понятие называется минимальным элементом .
• Максимальный элемент . Синоним величайшего элемента. Для подмножества X частично упорядоченного множества P элемент a из X называется максимальным элементом X, x ≤ a для каждого элемента x в X. если Максимальный элемент обязательно является максимальным , но обратное не обязательно верно.
• MeetЗнакомьтесь низ См.
• Минимальный элемент . Минимальный элемент подмножества X частичного множества P — это элемент m из X , такой, что ⩽ m влечет m = x для всех x в X. x Двойственное понятие называется максимальным элементом .
• Минимальный элемент . Синоним наименьшего элемента. Для подмножества X частичного множества P элемент a из X называется минимальным элементом X, x ≥ a для каждого элемента x в X. если Минимальный элемент обязательно является минимальным , но обратное не обязательно верно.
• Монотонный . Функция f между частично упорядоченными множествами P и Q является монотонной, если для всех элементов x , y из P , x ⩽ y (в P ) влечет f ( x ) ⩽ f ( y ) (в Q ). Другие названия этого свойства — изотон и сохранение порядка . В анализе при наличии полных порядков такие функции часто называют монотонно возрастающими , но это не очень удобное описание при работе с несуммарными порядками. Двойственное понятие называется антитоном или изменением порядка .

ТО

• Орден-двойственный . Двойственный порядок частично упорядоченного набора — это тот же набор, в котором отношение частичного порядка заменено его обратным.
• Встраивание порядка . Функция f между частично упорядоченными множествами и Q является вложением порядка, если для всех элементов x , y из P x P ⩽ y (в P ) эквивалентно f ( x ) ⩽ f ( y ) (в Q ).
• Порядковый изоморфизм . Отображение f : P → Q между двумя частично упорядоченными множествами P и Q называется порядковым изоморфизмом, если оно взаимно однозначно и оба f и f ⁻¹ являются монотонными функциями . Эквивалентно, изоморфизм порядка — это сюръективное вложение порядка .
• Сохранение порядка . Смотри монотонный .
• Изменение порядка . См . антитон .

П

• Частичный заказ . Частичный порядок — это бинарное отношение , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . Из-за небольшого злоупотребления терминологией этот термин иногда также используется для обозначения не такого отношения, а соответствующего ему частично упорядоченного множества.
• Частично заказанный комплект . Частично упорядоченный набор $(P,\leq ),$ или для краткости poset , это набор $P$ вместе с частичным заказом $\,\leq \,$ на $P.$
• Посет . Частично упорядоченный набор.
• Предварительный заказ . Предварительный порядок — это бинарное отношение , которое является рефлексивным и транзитивным . Такие заказы также можно назвать квазипорядками или нестрогим предпорядком . Термин предварительный порядок также используется для обозначения ациклического бинарного отношения (также называемого ациклическим орграфом ).
• Предзаказной набор . Предзаказной набор $(P,\leq )$ это набор $P$ вместе с предзаказом $\,\leq \,$ на $P.$
• Сохранение . функция f между частично упорядоченными множествами P и Q Говорят, что сохраняет супремумы (соединения), если для всех подмножеств X из P , которые имеют супремум sup X в P , мы находим, что существует sup{ f ( x ): x in X } и равен f (sup X ). Такая функция еще называется join-preserving . Аналогично говорят, что f сохраняет конечные, непустые, направленные или произвольные соединения (или встречи). Обратное свойство называется отражением соединения .
• Основной . Идеал из I в решетке L называется простым, если для всех x и y в L I x ∧ y в следует в x в I или y I элементов . Двойственное понятие называется фильтром простых чисел . Эквивалентно, множество является простым фильтром тогда и только тогда, когда его дополнение является простым идеалом.
• Главный . Фильтр называется основным фильтром, если он имеет наименьший элемент. Двойственным образом главный идеал — это идеал с наибольшим элементом. В этих ситуациях наименьшие или наибольшие элементы также можно назвать главными элементами .
• Проекция (оператор) . Самоотображение на частично упорядоченном множестве , которое является монотонным и идемпотентным относительно композиции функций . Проекции играют важную роль в теории предметной области .
• Псевдодополнение . В алгебре Гейтинга элемент x ⇒; 0 называется псевдодополнением к x . Он также задается выражением sup{ y : y ∧ x = 0}, т.е. как наименьшая верхняя граница всех элементов y с y ∧ x = 0.

вопрос

• Квазипорядок . Смотрите предзаказ .
• Квазитранзитивный . Отношение является квазитранзитивным, если отношение к различным элементам транзитивно. Транзитивное подразумевает квазитранзитивное, а квазитранзитивное подразумевает ациклическое.

Р

• Отражая . функция f между частично упорядоченными множествами P и Q Говорят, что отражает супремумы (соединения), если для всех подмножеств X из P , для которых супремум sup{ f ( x ): x in X } существует и имеет вид f ( s ) для некоторого s из P мы находим, что sup X существует и что sup X = s . Аналогично говорят, что f отражает конечные, непустые, направленные или произвольные соединения (или встречи). Обратное свойство называется сохранением соединения .
• Рефлексивный . Бинарное отношение R на множестве X является рефлексивным, если x R x выполняется для каждого элемента x в X .
• Остаток . Двойная карта, прикрепленная к остаточному отображению .
• Остаточное картирование . Монотонное отображение, для которого прообраз главного даун-множества снова является главным. Эквивалентно, один из компонентов связи Галуа.

С

• Насыщенная цепочка . Цепочка между в частично упорядоченном наборе, в которой ни один элемент не может быть добавлен двумя ее элементами без потери свойства полной упорядоченности. Если цепочка конечна, это означает, что в каждой паре последовательных элементов больший накрывает меньший. См. также максимальную цепь.
• Разбросанный . Полный порядок является разбросанным, если у него нет плотно упорядоченного подмножества.
• Скотт-непрерывный . Монотонная функция f : P → Q между частично упорядоченными множествами P и Q является непрерывной по Скотту, если для каждого направленного множества D , имеющего верхнюю грань sup D в P , множество { fx | x in D } имеет верхнюю грань f (sup D ) в Q . Другими словами, непрерывная по Скотту функция — это функция, сохраняющая все направленные супремамы. Фактически это эквивалентно непрерывности относительно топологии Скотта на соответствующих частично упорядоченных множествах.
• Домен Скотта . Область Скотта — это частично упорядоченное множество, которое представляет собой ограниченное полное алгебраическое cpo .
• Скотт открыт . См. топологию Скотта .
• Топология Скотта . Для частично упорядоченного множества P подмножество O является открытым по Скотту, оно является верхним множеством и все направленные множества D , имеющие верхнюю границу в O, имеют непустое пересечение с O. если Совокупность всех открытых по Скотту множеств образует топологию — топологию Скотта .
• Полурешетка . Полурешетка — это частично упорядоченное множество, в котором существуют либо все конечные непустые соединения (супремы), либо все конечные непустые пересечения (инфимы). Соответственно, говорят о соединении-полурешетке или встрече-полурешетке .
• Самый маленький элемент . См. наименьший элемент .
• Спернеровское свойство частично упорядоченного множества.
• Спернер позирует
• Строго постановка Спернера
• Сильно Спернеровская посет
• Строгий порядок . См. строгий частичный порядок .
• Строгий частичный порядок . Строгий частичный порядок — это однородное бинарное отношение , которое является транзитивным , иррефлексивным и антисимметричным .
• Строгий предзаказ . См. строгий частичный порядок .
• Супремум . Для частичного множества P и подмножества X из P наименьший элемент в наборе верхних границ ( X чего может и не быть) называется супремумом , соединением или наименьшей верхней границей X. если он существует , Его обозначают sup X или $\bigvee$Х. ​Верхняя грань двух элементов может быть записана как sup{ x , y } или x ∨ y . Если множество X конечно, говорят о конечной супремуме . Двойственное понятие называется инфимумом .
• Консистенция Сузумура . Бинарное отношение R является непротиворечивым по Сузумуре, если x R ^∗ y подразумевает, что x R y или нет y R x .
• Симметричное отношение . Однородное отношение R на множестве X является симметричным, если x R y влечет за собой y R x для всех элементов x , y в X .

Т

• Вершина . См. единицу .
• Общий порядок . Полный порядок T — это частичный порядок, в котором для каждого x и y в T мы имеем x ≤ y или y ≤ x . Суммарные заказы также называются линейными заказами или цепочками .
• Полное отношение . Синоним связанного отношения .
• Транзитивное отношение . Отношение x R на множестве X является транзитивным, если R y и y R z влекут за собой x R z для всех элементов x , y , z в X .
• Транзитивное замыкание . Транзитивное замыкание R ^∗ отношения R состоит из всех пар x , y, для которых существует конечная цепочка x R a , a R b , ..., z R y .

В

• Единица . Наибольший элемент ЧУ множества P можно назвать единицей или просто 1 (если он существует). Другой распространенный термин для этого элемента — top . Это нижняя грань пустого множества и верхняя P. грань Двойственное понятие называется нулем .
• Расстройство . См. верхний комплект .
• Верхняя граница . Верхняя граница подмножества X частичного множества P — это элемент b из P что x ≤ b , для всех x в X. , такой , Двойственное понятие называется нижней границей .
• Верхний комплект . Подмножество X частичного множества P называется верхним множеством, если для всех элементов x в X и p в P из x ⩽ p следует, что содержится в X. p Двойственное понятие называется нижним множеством .

V

• Оценка . Учитывая решетку $X$, оценка $\nu :X\to [0,1]$ является строгим (т. $\nu (\varnothing )=0$), монотонный, модульный (т.е. $\nu (U)+\nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)$) и позитивный. Непрерывные оценки представляют собой обобщение мер.

В

• Отношение намного ниже . В частично упорядоченном множестве P некоторый элемент x находится намного ниже y , обозначаемый x << y , если для всех направленных подмножеств D из P , имеющих верхнюю грань, y ⩽ sup D влечет за собой x ⩽ d для некоторого d в D . Также говорят, что x приближает y . См. также теорию предметной области .
• Слабый заказ . Частичный порядок ≤ на множестве X является слабым порядком при условии, что частично упорядоченное множество (X, ≤) изоморфно счетному набору множеств, упорядоченных сравнением мощности .

С

• Ноль . Наименьший элемент ЧУМ P можно назвать нулем или просто 0 (если он существует). Другой распространенный термин для этого элемента — «дно» . Ноль — это верхняя грань пустого множества и нижняя P. грань Двойственное понятие называется единицей .

Ссылки

Приведенные здесь определения согласуются с теми, которые можно найти в следующих стандартных справочниках:

• Б. А. Дэйви и Х. А. Пристли, Введение в решетки и порядок , 2-е издание, Cambridge University Press, 2002.
• Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислов и Д. С. Скотт, Непрерывные решетки и области , В энциклопедии математики и ее приложений , Vol. 93, Издательство Кембриджского университета, 2003.

Конкретные определения:

• Дэн, Бангмин (2008), Конечномерные алгебры и квантовые группы , Математические обзоры и монографии, вып. 150, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-4186-0