Остаточное картирование

В математике понятие результирующего отображения возникает в теории частично упорядоченных множеств . Он уточняет понятие монотонной функции .

Если A , B являются частично упорядоченными множествами , функция f : A → B определяется как монотонная, если она сохраняет порядок: то есть, если x ≤ y, то f ( x ) ≤ f ( y ). Это эквивалентно условию, что прообраз под f каждого нижнего множества B является нижним множеством A . Мы определяем главное нижнее множество в виде ↓{ b } = { b ' ∈ B : b ' ≤ b }. В общем, прообраз под f главного нижнего набора не обязательно должен быть главным даун-множеством. Если все они есть, f называется остаточным .

Понятие резидуированного отображения можно обобщить до бинарного оператора (или любого более высокого арного ) посредством покомпонентного остатка. Такой подход порождает представления о левом и правом разделении частично упорядоченной магмы , дополнительно наделяя ее квазигрупповой структурой. (Говорят только о резидуированной алгебре для высших арностей). Полученная двоичная карта (или более высокой арности) обычно не преобразуется в унарную карту.

Определение

Если A , B являются частично упорядоченными множествами, функция f : A → B восстанавливается тогда и только тогда, когда прообраз под f каждого главного нижнего множества B является главным нижним множеством A .

Последствия

Если B является частично упорядоченным множеством, множество функций A → B можно упорядочить поточечно: f ≤ g ↔ (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ).

Можно показать, что монотонная функция f получается тогда и только тогда, когда существует (обязательно единственная) монотонная функция f  ⁺ : B → A такой, что f   o   f  ⁺ ≤ id _B и f  ⁺  o   f ≥ id _A , где id — тождественная функция . Функция f  ⁺ является остатком f ​ . Остаточная функция и ее остаток образуют связь Галуа в соответствии с (более поздним) монотонным определением этого понятия, и для каждой (монотонной) связи Галуа получается нижний сопряженный элемент, а остаток является верхним сопряженным. Поэтому понятия монотонной связности Галуа и результирующего отображения по существу совпадают.

Кроме того, у нас есть f  ^-1 (↓{ б }) = ↓{ ж  ⁺ ( б )}.

Если B ° обозначает двойственный порядок (противоположный частично упорядоченному множеству) к B, то f : A → B является результирующим отображением тогда и только тогда, когда существует f  ^* такие, что f : A → B ° и f  ^* : B ° → A образуют связь Галуа при исходном антитонном определении этого понятия.

Если f : A → B и g : B → C являются остаточными отображениями, то то же самое относится и к композиции функций gf : A → C с остатком ( gf )  ⁺ = е  ⁺ г  ⁺ . Антитонные связи Галуа не обладают этим свойством.

Множество монотонных преобразований (функций) над чу-множеством представляет собой упорядоченный моноид с поточечным порядком, как и множество оставшихся преобразований.

Примеры

• Функция потолка $x\mapsto \lceil x\rceil$ из R в Z (с обычным порядком в каждом случае) остается, с остаточным отображением естественного вложения Z в R .
• Вложение Z в R также сохраняется. Его остаток является функцией пола $x\mapsto \lfloor x\rfloor$.

Остаточные бинарные операторы

Если • : P × Q → R — бинарное отображение, а P , Q и R — частично упорядоченные множества, то можно определить вычет покомпонентно для левого и правого переносов, т. е. умножения на фиксированный элемент. Для элемента x в P определите _x λ ( y ) = x • y , а для x в Q определите λ _x ( y ) = y • x . Тогда • называется результирующимся тогда и только тогда, когда _x λ и λ _x остаточные для всех x (в P и соответственно Q ). Левое (и соответственно правое) деление определяется путем взятия остатков левых (и соответственно правых) сдвигов: x \ y = ( _x λ ) ⁺ ( y ) и x / y знак равно ( λ _x ) ⁺ ( и )

Например, каждая упорядоченная группа восстанавливается, и разделение, определенное выше, совпадает с понятием разделения в группе . Менее тривиальный пример — множество Mat _n ( B ) квадратных матриц над булевой алгеброй B , где матрицы упорядочены поточечно . Поточечный порядок наделяет Mat _n ( B ) поточечными пересечениями, соединениями и дополнениями. Умножение матриц определяется обычным способом: «произведение» представляет собой соединение, а «сумма» — соединение. Это можно показать что X \ Y = ( Y ^т X ′)′ и X / Y = ( X ′ Y ^т )′ , где X ′ — дополнение к X , а Y ^т — транспонированная матрица ).

См. также

• Оставшаяся решетка

Ссылки

• Дж. К. Дердериан, «Связности Галуа и парные алгебры», Canadian J. Math. 21 (1969) 498-501.
• Джонатан С. Голан, Полукольца и аффинные уравнения над ними: теория и приложения , Kluwer Academic , 2003, ISBN   1-4020-1358-2 . Страница 49.
• Т. С. Блит, «Остаточные отображения», Заказ 1 (1984) 187-204.
• Т. С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры , Springer, 2005, ISBN   1-85233-905-5 . Страница 7.
• Т. С. Блит, М. Ф. Яновиц, Теория остатка , Pergamon Press , 1972, ISBN   0-08-016408-0 . Страница 9.
• М. Эрне, Дж. Козловски, А. Мелтон, Дж. Э. Стрекер, Букварь по связям Галуа , в: Материалы летней конференции 1991 года по общей топологии и приложениям в честь Мэри Эллен Рудин и ее работ, Анналы Нью-Йоркской академии. наук, Vol. 704, 1993, стр. 103–125. Доступно онлайн в различных форматах файлов: PS.GZ PS.
• Клаус Денеке, Марсель Эрне, Шелли Л. Висмат, Связи и приложения Галуа , Springer, 2004, ISBN   1402018975
• Галатос, Николаос, Питер Джипсен, Томаш Ковальски и Хироакира Оно (2007), Остаточные решетки. Алгебраический взгляд на субструктурную логику , Elsevier, ISBN   978-0-444-52141-5 .