Ограниченное множество

В математическом анализе и смежных областях математики множество , называется ограниченным если все его точки находятся на определенном расстоянии друг от друга. И наоборот, множество, которое не ограничено, называется неограниченным . Слово «ограниченный» не имеет смысла в общем топологическом пространстве без соответствующей метрики .

Граница — это отдельная концепция: например, круг изолированный представляет собой ограниченное множество без границ, тогда как полуплоскость неограничена, но имеет границу.

Ограниченное множество не обязательно является замкнутым , и наоборот. Например, подмножество S двумерного реального пространства R ² ограничен двумя параболическими кривыми x ² + 1 и х ² - 1, определенная в декартовой системе координат , замкнута кривыми, но не ограничена (то есть неограничена).

Определение в действительных числах [ править ]

Множество S действительных чисел называется ограниченным сверху если существует такое вещественное число k (не обязательно из S ), что k ≥ s для всех s из S. , Число k называется границей S . верхней члены, ограниченные снизу и нижняя граница Аналогично определяются .

Множество S ограничено , если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границы. Следовательно, множество действительных чисел ограничено, если оно содержится в конечном интервале .

Определение в метрическом пространстве [ править ]

Подмножество , S метрического пространства ( M , d ) ограничено если существует r > 0 такое, что для всех s и t в S мы имеем d(s , t ) < r . Метрическое пространство ( M , d ) является ограниченным метрическим пространством (или d является ограниченной метрикой), если M ограничено как подмножество самого себя.

Тотальная ограниченность подразумевает ограниченность. Для подмножеств R ^н они эквивалентны.
Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
Подмножество евклидова пространства R ^н компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Это еще называют теоремой Гейне-Бореля .

Ограниченность в топологических векторных пространствах [ править ]

В топологических векторных пространствах существует другое определение ограниченных множеств, которое иногда называют ограниченностью фон Неймана . Если топология топологического векторного пространства индуцирована метрикой однородной , как в случае метрики, индуцированной нормой нормированных векторных пространств , то два определения совпадают.

в порядка теории Ограниченность

Множество действительных чисел ограничено тогда и только тогда, когда оно имеет верхнюю и нижнюю границы. Это определение распространяется на подмножества любого частично упорядоченного множества . Обратите внимание, что это более общее понятие ограниченности не соответствует понятию «размер».

Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным сверху , если существует элемент k из P такой, что k ≥ s для всех s из S . Элемент k называется границей S . верхней Понятия ограниченной снизу и нижней границы определяются аналогично. (См. также верхнюю и нижнюю границы .)

Подмножество S частично упорядоченного множества P называется ограниченным , если оно имеет как верхнюю, так и нижнюю границу или, что то же самое, если оно содержится в интервале . Обратите внимание, что это не просто свойство множества S , но также свойство множества S как подмножества P .

Ограниченное ЧУ-множество P (то есть само по себе, а не как подмножество) — это такое, которое имеет наименьший элемент и наибольший элемент . Обратите внимание, что эта концепция ограниченности не имеет ничего общего с конечным размером и что подмножество S ограниченного ЧУ множества P с ограничением порядка на P не обязательно является ограниченным ЧУ множеством.

Подмножество S из R ^н ограничено относительно евклидова расстояния тогда и только тогда, когда оно ограничено как подмножество R ^н с заказом товара . Однако S может быть ограничено как подмножество R ^н с лексикографическим порядком , но не относительно евклидового расстояния.

Класс порядковых чисел называется неограниченным или конфинальным : если задан любой порядковый номер, всегда существует некоторый элемент класса, больший его. Таким образом, в данном случае «неограниченный» означает не неограниченный сам по себе, а неограниченный как подкласс класса всех порядковых чисел.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1982). Введение в реальный анализ . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-05944-7 .
Рихтмайер, Роберт Д. (1978). Основы высшей математической физики . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-08873-3 .