Хендекагон

Обычный Hendecagon
Обычный Hendecagon
	Обычный Hendecagon
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	11
Символ Шлефли	{11}
Диаграммы Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	Двугранник (Д 11 ), заказ 2×11
Внутренний угол ( градусы )	≈147.273°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии шестнадцатеричный ) (также недесятиугольник ^[1]^[2] или концеугольник ^[3]) или 11-угольник — это одиннадцатисторонний многоугольник . (Название hendecagon , от греческого hendeka «одиннадцать» и –gon «угол», часто предпочтительнее гибридного ундекагона , первая часть которого образована от латинского undecim «одиннадцать». ^[4])

Обычный Hendecagon

Правильный . девятиугольник представлен символом Шлефли {11}

Правильный девятиугольник имеет внутренние углы 147,27 . градусов (=147) ${\tfrac {3}{11}}$ градусов). ^[5] Площадь правильного десятиугольника со стороной a определяется выражением ^[2]

A={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}.

Поскольку 11 не является простым числом Ферма , правильный девятиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки . ^[6] Поскольку 11 не является простым числом Пьерпона , построение правильного девятиугольника пока невозможно даже с использованием трисектора угла .

Могут быть построены близкие приближения к правильному десятиугольнику. Например, древнегреческие математики оценили длину стороны десятиугольника, вписанного в единичный круг, как 14/25 единиц. ^[7]

Гендекагон можно построить именно с помощью конструкции neusis. ^[8] а также с помощью двойного оригами. ^[9]

Примерная конструкция

Хендекагон, вписанный в круг, является продолжением базовой конструкции по Т. Драммонду как анимации.
Соответствует гравюре на меди Антона Эрнста Буркхарда из Биркенштейна.

Хендекагон, гравюра на меди 1698 года работы Антона Эрнста Буркхарда из Биркенштейна.

Следующее описание конструкции дано Т. Драммондом от 1800 г.: ^[10]

« Нарисуйте радиус AB , разделите его пополам по C — с раскрытием циркуля, равным половине радиуса, по A и C, поскольку центры описывают дуги CDI и AD — с расстоянием ID по я описываю дугу DO и рисую линию CO , что будет достаточно точной для практики длиной одной стороны девятиугольника » .

На единичном круге:

Длина стороны построенного шестиугольника $b=0.563692\ldots$
Теоретическая длина стороны шестиугольника $a=2\sin({\frac {\pi }{11}})=0.563465\ldots$
Абсолютная ошибка $\delta =b-a=2.27\ldots \cdot 10^{-4}$ – если АВ составляет 10 м, то эта ошибка составляет примерно 2,3 мм.

Симметрия

Правильный десятиугольник имеет Dih ₁₁ симметрию , порядок 22. Поскольку 11 - простое число, существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: Dih ₁ и 2 циклических групп симметрии _{: Z 11} и Z ₁ .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на десятиугольнике. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. ^[11] Полная симметрия правильной формы — это r22 , а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g11 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Использование в чеканке монет

Монета канадского доллара , канадка , похожа, но не совсем, на правильную шестиугольную призму . ^[12] как и индийская номиналом 2 рупии. монета ^[13] и несколько других менее используемых монет других стран. ^[14] Поперечное сечение канады на самом деле представляет собой hendecagon Reuleaux . Доллар США Сьюзан Б. Энтони имеет шестиугольный контур по внутренней стороне. ^[15]

Связанные цифры

Гендекагон имеет тот же набор из 11 вершин, что и четыре обычные гендекаграммы :

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}

См. также

10-симплекс - можно рассматривать как полный граф в правильной шестиугольной ортогональной проекции.

Ссылки

^ Холдеман, Сайрус Б. (1922), «Построение правильного ундекагона с помощью секстической кривой», Обсуждения, American Mathematical Monthly , 29 (10), doi : 10.2307/2299029 , JSTOR 2299029 .
^ Jump up to: ^а ^б Лумис, Элиас (1859), Элементы плоской и сферической тригонометрии: с их применением к измерениям, геодезии и навигации , Харпер, стр. 65 .
^ Брюэр, Эбенезер Кобэм (1877), Речевые и орфографические ошибки , Лондон: У. Тегг и компания, стр. iv .
^ Hendecagon - из Wolfram MathWorld
^ Макклейн, Кей (1998), Математика Гленко: приложения и связи , Glencoe/McGraw-Hill, с. 357 , ISBN 9780028330549 .
^ Как доказал Гаусс , многоугольник с простым числом p сторон можно построить тогда и только тогда, когда p - 1 является степенью двойки , что неверно для 11. См. Клайн, Моррис (1990), Математическая мысль от древности до современности , том. 2, Oxford University Press, стр. 753–754, ISBN. 9780199840427 .
^ Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики, Vol. II: От Аристарха до Диофанта , The Clarendon Press, стр. 329 .
^ Бенджамин, Эллиот; Снайдер, К. Математические труды Кембриджского философского общества 156.3 (май 2014 г.): 409–424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
^ Лусеро, JC (2018). «Построение правильного пятиугольника с помощью двустворчатого оригами» . Crux Mathematicorum . 44 : 207–213. Архивировано из оригинала 20 июня 2018 года . Проверено 20 июня 2018 г.
^ Т. Драммонд, (1800) ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА для молодых леди и джентльменов, в книге «Измерение высоты и расстояний ...», Описание конструкции, стр. 15–16. Рис. 40: прокрутите со страницы 69 ... на страницу 76. Часть I. Второе издание. , получено 26 марта 2016 г.
^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
^ Моссингхофф, Майкл Дж. (2006), «Проблема в 1 доллар» (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385–402, doi : 10.2307/27641947 , JSTOR 27641947
^ Кухай, Джордж С.; Майкл, Томас (2012), Стандартный каталог монет мира с 2001 г. по настоящее время , 2013 г., Krause Publications, стр. 402, ISBN 9781440229657 .
^ Кухай, Джордж С.; Майкл, Томас (2011), Необычные монеты мира (6-е изд.), Krause Publications, стр. 23, 222, 233, 526, ISBN 9781440217128 .
^ Палата представителей США, 1978 , с. 7.

Цитируемые работы

Палата представителей США (1978 г.). Предлагаемая монета достоинством в один доллар меньшего размера . Вашингтон, округ Колумбия: Государственная типография.

Внешние ссылки

Свойства ундекагона (hendecagon) С интерактивной анимацией
Вайсштейн, Эрик В. «Хендекагон» . Математический мир .
Обычные десятиугольники
Правильный Hendecagon, примерная конструкция

[1] Холдеман, Сайрус Б. (1922), «Построение правильного ундекагона с помощью секстической кривой», Обсуждения, American Mathematical Monthly , 29 (10), doi : 10.2307/2299029 , JSTOR 2299029 .

[loomis-2] Jump up to: ^а ^б Лумис, Элиас (1859), Элементы плоской и сферической тригонометрии: с их применением к измерениям, геодезии и навигации , Харпер, стр. 65 .

[3] Брюэр, Эбенезер Кобэм (1877), Речевые и орфографические ошибки , Лондон: У. Тегг и компания, стр. iv .

[4] Hendecagon - из Wolfram MathWorld

[5] Макклейн, Кей (1998), Математика Гленко: приложения и связи , Glencoe/McGraw-Hill, с. 357 , ISBN 9780028330549 .

[6] Как доказал Гаусс , многоугольник с простым числом p сторон можно построить тогда и только тогда, когда p - 1 является степенью двойки , что неверно для 11. См. Клайн, Моррис (1990), Математическая мысль от древности до современности , том. 2, Oxford University Press, стр. 753–754, ISBN. 9780199840427 .

[7] Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики, Vol. II: От Аристарха до Диофанта , The Clarendon Press, стр. 329 .

[8] Бенджамин, Эллиот; Снайдер, К. Математические труды Кембриджского философского общества 156.3 (май 2014 г.): 409–424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753

[9] Лусеро, JC (2018). «Построение правильного пятиугольника с помощью двустворчатого оригами» . Crux Mathematicorum . 44 : 207–213. Архивировано из оригинала 20 июня 2018 года . Проверено 20 июня 2018 г.

[10] Т. Драммонд, (1800) ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА для молодых леди и джентльменов, в книге «Измерение высоты и расстояний ...», Описание конструкции, стр. 15–16. Рис. 40: прокрутите со страницы 69 ... на страницу 76. Часть I. Второе издание. , получено 26 марта 2016 г.

[11] Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)

[12] Моссингхофф, Майкл Дж. (2006), «Проблема в 1 доллар» (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385–402, doi : 10.2307/27641947 , JSTOR 27641947

[13] Кухай, Джордж С.; Майкл, Томас (2012), Стандартный каталог монет мира с 2001 г. по настоящее время , 2013 г., Krause Publications, стр. 402, ISBN 9781440229657 .

[14] Кухай, Джордж С.; Майкл, Томас (2011), Необычные монеты мира (6-е изд.), Krause Publications, стр. 23, 222, 233, 526, ISBN 9781440217128 .

[FOOTNOTEU.S._House_of_Representatives,_19787-15] Палата представителей США, 1978 , с. 7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]