Правый змей

Правый змей с описанной и вписанной окружностями. Самая левая и самая правая вершины имеют прямые углы.

В евклидовой геометрии правый воздушный змей — это воздушный змей ( четырехугольник , четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары сторон одинаковой длины, примыкающих друг к другу), который можно вписать в круг. То есть это воздушный змей с описанной окружностью (т.е. циклический воздушный змей). Таким образом, правый змей представляет собой выпуклый четырехугольник и имеет два противоположных прямых угла . Если существует ровно два прямых угла, каждый из них должен находиться между сторонами разной длины. Все правые воздушные змеи представляют собой бицентрические четырехугольники (четырехугольники как с описанной, так и с вписанной окружностью), поскольку все воздушные змеи имеют вписанную окружность . Одна из диагоналей (та, которая является линией симметрии ) делит правый змей на два прямоугольных треугольника и также является диаметром описанной окружности.

В касательном четырехугольнике (с вписанной окружностью) четыре отрезка между центром вписанной окружности и точками, где он касается четырехугольника, делят четырехугольник на четыре правых змея.

Особый случай

Частным случаем правильных воздушных змеев являются квадраты , где диагонали имеют равные длины, а вписанная и описанная окружности концентричны .

Характеристики

Воздушный змей является правильным тогда и только тогда, когда у него есть описанная окружность (по определению). Это эквивалентно тому, что это воздушный змей с двумя противоположными прямыми углами.

Метрические формулы

Поскольку прямоугольный змей можно разделить на два прямоугольных треугольника, из известных свойств прямоугольных треугольников легко следуют следующие метрические формулы. В прямоугольном воздушном змее ABCD , где противоположные углы B и D являются прямыми, два других угла можно вычислить по формуле

$\tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b}}$

где а = AB = AD и b = BC = CD . Площадь равна правого воздушного змея

$\displaystyle K=ab.$

Диагональ длину AC , являющаяся линией симметрии, имеет

$p={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

и, поскольку диагонали перпендикулярны (поэтому правый воздушный змей представляет собой ортодиагональный четырехугольник с площадью $K={\frac {pq}{2}}$), другая диагональ BD имеет длину

$q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Радиус описанной окружности равен (согласно теореме Пифагора )

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

и, поскольку все воздушные змеи представляют собой тангенциальные четырехугольники , радиус вписанной окружности определяется выражением

$r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}$

где s — полупериметр.

Площадь выражается через радиус описанной окружности R и внутренний радиус r как

$K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).$

Если мы возьмем отрезки, идущие от пересечения диагоналей к вершинам по часовой стрелке, за $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$, и $d_{4}$, затем,

$d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4}$

Это прямой результат теоремы о среднем геометрическом .

Двойственность

Двойной многоугольник для правого воздушного змея представляет собой равнобедренную касательную трапецию .

Альтернативное определение

Иногда прямой змей определяется как змей хотя бы с одним прямым углом. Если есть только один прямой угол, он должен находиться между двумя сторонами одинаковой длины; в этом случае приведенные выше формулы не применяются.