Тангенциальный многоугольник

Тангенциальная трапеция

В евклидовой геометрии , касательный многоугольник также известный как описанный многоугольник , представляет собой выпуклый многоугольник , содержащий вписанную окружность (также называемую вписанной окружностью ). Это окружность, касающаяся каждой стороны многоугольника. Двойной многоугольник касательного многоугольника — это циклический многоугольник , которого проходит описанная окружность через каждую из вершин .

Все треугольники касательные, как и все правильные многоугольники с любым количеством сторон. Хорошо изученной группой касательных многоугольников являются касательные четырехугольники , к которым относятся ромбы и коршуны .

Характеристики

Выпуклый многоугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда его внутренние биссектрисы совпадают все . Эта общая точка и есть центр вписанной окружности (центр вписанной окружности).

Существует касательный многоугольник с n последовательными сторонами a ₁ , ..., an _n тогда и только тогда, когда система уравнений

$x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}$

имеет решение ( x1 _xn ,..., ) _числах в положительных действительных . Если такое решение существует, то x ₁ , ..., x _n — касательные длины многоугольника (длины от вершин до точек, где вписанная окружность касается сторон).

Уникальность и неуникальность

Если число сторон n нечетно, то для любого заданного набора длин сторон $a_{1},\dots ,a_{n}$ удовлетворяющий приведенному выше критерию существования, существует только один касательный многоугольник. Но если n четно, то их бесконечное множество. Например, в четырехугольнике, где все стороны равны, у ромба может быть любое значение острых углов, и все ромбы касаются вписанной окружности.

Инрадиус

Если n сторон касательного многоугольника равны a ₁ , ..., a _n , внутренний радиус ( радиус вписанной окружности) равен

$r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$

где K — площадь многоугольника, а s — полупериметр . (Поскольку все треугольники касательные, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другая недвижимость

• У касательного многоугольника с нечетным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда все углы равны (поэтому многоугольник правильный). Касательный многоугольник с четным числом сторон имеет все стороны равными тогда и только тогда, когда равны альтернативные углы (то есть углы A , C , E ,... равны, а углы B , D , F ,... равны).
• В касательном многоугольнике с четным числом сторон сумма длин нечетных сторон равна сумме длин четных сторон.
• Касательный многоугольник имеет большую площадь, чем любой другой многоугольник с тем же периметром и такими же внутренними углами в той же последовательности.
• Центр тяжести любого касательного многоугольника, центр тяжести его граничных точек и центр вписанной окружности коллинеарны , при этом центр тяжести многоугольника находится между остальными и в два раза дальше от центра центра тяжести, чем от центра тяжести границы.

Тангенциальный треугольник

Хотя все треугольники касаются некоторой окружности, треугольник называется касательным треугольником опорного треугольника, если касания касательного треугольника с окружностью также являются вершинами опорного треугольника.

Тангенциальный четырехугольник

Основная статья: Тангенциальный четырехугольник

Тангенциальный шестиугольник

Параллельные главные диагонали

• В касательном шестиугольнике ABCDEF главные диагонали AD , BE и CF совпадают теореме согласно Брианшона .

См. также

• Циркумгон