Пирпон Прайм

Пирпон Прайм
Назван в честь	Джеймс Пирпонт
Количество известных терминов	Тысячи
Предполагаемый нет. терминов	бесконечный
Последовательность	Номер Пирпонта
Первые сроки	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
Самый большой известный термин	81 × 2 20,498,148 + 1
ОЭИС Индекс	А005109

В теории чисел простое число Пьерпонта — это простое число вида

2^{u}\cdot 3^{v}+1\,

для некоторых неотрицательных целых чисел

u

и

v

. То есть это простые числа

p,

для которых

p - 1

является 3-гладким . Они названы в честь математика Джеймса Пирпонта , который использовал их для характеристики правильных многоугольников , которые можно построить с помощью конических сечений . Та же характеристика применима к многоугольникам, которые можно построить с помощью линейки, циркуля и трисектора угла или с помощью складывания бумаги .

За исключением 2 и простых чисел Ферма , каждое простое число Пьерпона должно быть 1 по модулю 6. Первые несколько простых чисел Пьерпона:

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3 457, 3889, 10369,12289,17497,18433,39367,52489,65537,139969,147457,209953,331777,472393,629857,746497,786433,839809, 9 95329, ... (последовательность A005109 в OEIS )

Высказывалось предположение, что существует бесконечно много простых чисел Пьерпона, но это остается недоказанным.

Распространение [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел Пьерпона?

(еще нерешенные задачи по математике)

Простое число Пьерпона с $v = 0$ имеет вид $2^{u}+1$ и, следовательно, является простым числом Ферма (если только $u = 0$ ). Если $v$ положительно , то $u$ также должно быть положительным (поскольку $3^{v}+1$ было бы четным числом, большим 2 и, следовательно, не простым), и поэтому все неферма-простые числа Пьерпона имеют форму $6 k + 1$ , когда $k$ - положительное целое число (за исключением 2, когда $u = v = 0$ ).

Эмпирически простые числа Пьерпона не кажутся особенно редкими или редко распространенными; существует 42 простых числа Пьерпона меньше 10 ⁶, 65 меньше 10 ⁹, 157 меньше 10 ²⁰, и 795 меньше 10 ¹⁰⁰. Существует несколько ограничений на алгебраическую факторизацию простых чисел Пьерпона, поэтому нет никаких требований, таких как условие простого числа Мерсенна , согласно которому показатель степени должен быть простым. Таким образом, ожидается, что среди $n$ -значных чисел правильного вида $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ , доля простых чисел должна быть пропорциональна $1/ n$ , пропорция, аналогичная доле простых чисел среди всех $n$ -значных чисел.Как есть $\Theta (n^{2})$ числа правильного вида в этом диапазоне должны быть $\Theta (n)$ Простые числа Пьерпонта.

Эндрю М. Глисон ясно выразил это рассуждение, предположив, что существует бесконечно много простых чисел Пьерпона, а точнее, что должно быть примерно $9 n$ простых чисел Пьерпона до $10. н$ . ^[1] Согласно гипотезе Глисона, существуют $\Theta (\log N)$ Простые числа Пьерпонта, меньшие N , в отличие от меньшего предположительного числа. $O(\log \log N)$ простых чисел Мерсенна в этом диапазоне.

Тестирование на примитивность [ править ]

Когда $2^{u}>3^{v}$ , $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ является числом Прота , и поэтому его простота может быть проверена с помощью теоремы Прота . С другой стороны, когда $2^{u}<3^{v}$ альтернативные тесты на простоту для $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ возможны на основе факторизации $M-1$ как небольшое четное число, умноженное на большую степень 3 . ^[2]

Ферма числа Пьерпона найдены как факторы чисел Простые

В рамках продолжающегося во всем мире поиска факторов чисел Ферма некоторые простые числа Пьерпона были объявлены факторами. Следующая таблица ^[3] дает значения m , k и n такие, что

2^{2^{m}}+1

делится на

3^{k}\cdot 2^{n}+1.

Левая часть представляет собой число Ферма; правая часть представляет собой простое число Пьерпона.


м	к	н	Год	Первооткрыватель
38	1	41	1903	Каллен , Каннингем и Вестерн
63	2	67	1956	Робинсон
207	1	209	1956	Робинсон
452	3	455	1956	Робинсон
9428	2	9431	1983	Келлер
12185	4	12189	1993	Дубнер
28281	4	28285	1996	Таура
157167	1	157169	1995	Молодой
213319	1	213321	1996	Молодой
303088	1	303093	1998	Молодой
382447	1	382449	1999	Косгрейв и Галлот
461076	1	461081	2003	Нохара, Джоблинг, Вольтман и Галлот
495728	5	495732	2007	Кайзер, Джоблинг, Пенне и Фужерон
672005	3	672007	2005	Купер , Джоблинг, Вольтман и Галлот
2145351	1	2145353	2003	Косгрейв, Джоблинг, Вольтман и Галлот
2478782	1	2478785	2003	Косгрейв, Джоблинг, Вольтман и Галлот
2543548	2	2543551	2011	Браун, Рейнольдс, Пенне и Фужерон

По состоянию на 2023 год ^[update]самое большое известное простое число Пьерпона равно 81 × 2. ^20498148 + 1 (6 170 560 десятичных цифр), простота которого была обнаружена в июне 2023 года. ^[4]

Построение полигона [ править ]

В математике складывания бумаги аксиомы Хузиты определяют шесть из семи возможных типов складывания. Было показано, что этих складок достаточно, чтобы можно было построить точки, решающие любое кубическое уравнение . ^[5]Отсюда следует, что они позволяют сформировать любой правильный многоугольник с $N$ сторонами, если $N \geq 3$ и имеет вид $2 м 3 н ρ$ , где $ρ$ — произведение различных простых чисел Пьерпона. Это тот же класс правильных многоугольников, что и те, которые можно построить с помощью циркуля , линейки и трисектора . ^[1] Правильные многоугольники, которые можно построить только с помощью циркуля и линейки ( конструируемые многоугольники ), представляют собой особый случай, когда $n = 0$ и $ρ$ является произведением различных простых чисел Ферма , которые сами являются подмножеством простых чисел Пьерпона.

В 1895 году Джеймс Пирпонт изучил тот же класс правильных многоугольников; именно его работа дала название простым числам Пьерпона. Пьерпон по-другому обобщил конструкции циркуля и линейки, добавив возможность рисовать конические сечения , коэффициенты которых берутся из ранее построенных точек. Как он показал, правильными $N$ -угольниками, которые можно построить с помощью этих операций, являются те, у которых тотент N $является$ 3-гладким. Поскольку тотент простого числа образуется путем вычитания из него единицы, простые числа $N$ , для которых работает конструкция Пьерпона, являются в точности простыми числами Пьерпона. Однако Пьерпон не описал форму составных чисел с 3-гладкими частями. ^[6] Как позже показал Глисон, эти числа в точности имеют вид $2 м 3 н ρ,$ указанный выше. ^[1]

Наименьшее простое число, не являющееся простым числом Пьерпона (или Ферма), равно 11; следовательно, десятиугольник - это первый правильный многоугольник, который нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла (или оригами, или конических сечений). Все остальные правильные $N$ -угольники с $3 \leq N \leq 21$ можно построить с помощью циркуля, линейки и трисектора. ^[1]

Обобщение [ править ]

Простое число Пьерпона второго рода — это простое число вида 2 ^в3 ^v − 1. Эти числа

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 78 6431, 995327, ... (последовательность A005105 в OEIS )

Самые большие известные простые числа этого типа — простые числа Мерсенна ; в настоящее время самым крупным из известных является $2^{82589933}-1$ (24 862 048 десятичных цифр). Самое большое известное простое число Пьерпона второго рода, не являющееся простым числом Мерсенна, равно $3\cdot 2^{20928756}-1$ , найденный PrimeGrid . ^[7]

Обобщенное простое число Пьерпона — это простое число вида $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ с k фиксированными простыми числами p ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _k . Обобщенное простое число Пьерпона второго рода — это простое число вида $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1$ с k фиксированными простыми числами p ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _k . Поскольку все простые числа больше 2 нечетны , в обоих видах p ₁ должно быть равно 2. Последовательности таких простых чисел в OEIS :

{ п ₁ , п ₂ , п ₃ , ..., п _k }	+ 1	− 1
{2}	ОЭИС : A092506	ОЭИС : A000668
{2, 3}	ОЭИС : A005109	ОЭИС : A005105
{2, 5}	ОЭИС : A077497	ОЭИС : A077313
{2, 3, 5}	ОЭИС : A002200	ОЭИС : A293194
{2, 7}	ОЭИС : A077498	ОЭИС : A077314
{2, 3, 5, 7}	ОЭИС : A174144	ОЭИС : A347977
{2, 11}	ОЭИС : A077499	ОЭИС : A077315
{2, 13}	ОЭИС : A173236	ОЭИС : A173062

См. также [ править ]

Простое число Прота , простые числа вида $N=k\cdot 2^{n}+1$ где k и n — положительные целые числа, $k$ это странно и $2^{n}>k.$

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Глисон, Эндрю М. (1988), «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон», American Mathematical Monthly , 95 (3): 185–194, doi : 10.2307/2323624 , MR 0935432 . Сноска 8, с. 191.
^ Кирфель, Кристоф; Родсет, Эйстейн Дж. (2001), «О простоте $2h\cdot 3^{n}+1$ ", Дискретная математика , 241 (1–3): 395–406, doi : 10.1016/S0012-365X(01)00125-X , MR 1861431 .
^ Уилфрид Келлер, Статус факторинга Fermat .
^ Колдуэлл, Крис, «Самые большие известные простые числа» , The Prime Pages , получено 17 июня 2023 г .; «The Prime Database: 81*2^20498148+1» , The Prime Pages , получено 17 июня 2023 г.
^ Халл, Томас К. (2011), «Решение кубиков со складками: работа Белоха и Лилла», American Mathematical Monthly , 118 (4): 307–315, doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 , МР 2800341 .
^ Пирпон, Джеймс (1895), «О непродемонстрированной теореме Disquisitiones Arithmeticæ», Бюллетень Американского математического общества , 2 (3): 77–83, doi : 10.1090/S0002-9904-1895-00317-1 , MR 1557414 .
^ 3*2^20928756 - 1 (6 300 184 десятичных цифры), из The Prime Pages .

[g98-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Глисон, Эндрю М. (1988), «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон», American Mathematical Monthly , 95 (3): 185–194, doi : 10.2307/2323624 , MR 0935432 . Сноска 8, с. 191.

[2] Кирфель, Кристоф; Родсет, Эйстейн Дж. (2001), «О простоте $2h\cdot 3^{n}+1$ ", Дискретная математика , 241 (1–3): 395–406, doi : 10.1016/S0012-365X(01)00125-X , MR 1861431 .

[3] Уилфрид Келлер, Статус факторинга Fermat .

[4] Колдуэлл, Крис, «Самые большие известные простые числа» , The Prime Pages , получено 17 июня 2023 г .; «The Prime Database: 81*2^20498148+1» , The Prime Pages , получено 17 июня 2023 г.

[5] Халл, Томас К. (2011), «Решение кубиков со складками: работа Белоха и Лилла», American Mathematical Monthly , 118 (4): 307–315, doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 , МР 2800341 .

[6] Пирпон, Джеймс (1895), «О непродемонстрированной теореме Disquisitiones Arithmeticæ», Бюллетень Американского математического общества , 2 (3): 77–83, doi : 10.1090/S0002-9904-1895-00317-1 , MR 1557414 .

[7] 3*2^20928756 - 1 (6 300 184 десятичных цифры), из The Prime Pages .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers