Номер Каллена

В математике число Каллена является членом целочисленной последовательности. $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ (где $n$ является натуральным числом ). Числа Каллена были впервые изучены Джеймсом Калленом в 1905 году. Числа представляют собой частные случаи чисел Прота .

Характеристики

В 1976 году Кристофер Хули показал, что естественная плотность натуральных чисел $n\leq x$ для которого C _n — простое число, имеет порядок o ( x ) для $x\to \infty$ . В этом смысле почти все числа Каллена являются составными . ^[1] Доказательство Хули было переработано Хироми Суямой, чтобы показать, что оно работает для любой последовательности чисел n · 2. ^{н + а} + b , где a и b — целые числа, и, в частности, также для чисел Вудала . Единственные известные простые числа Каллена - это те, для которых n равно:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (последовательность A005849 в ОЭИС ).

Тем не менее предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Каллена.

Число Каллена C _n делится p на p = 2 n − 1, если — простое число вида 8 k − 3; следует кроме того, из малой теоремы Ферма , что если p — нечетное простое число, то p делит C _{m ( k )} для каждого m ( k ) = (2 ^к - к ) ( p − 1) − k (при k > 0). Также было показано, что простое число p делит C _{( p + 1)/2} , когда символ Якоби (2 | p ) равен −1, и что p делит C _{(3 p − 1)/2,} когда символ Якоби ( 2 | р ) равно +1.

Неизвестно, существует ли такое простое число p , что C _p также является простым.

C _p следует рекуррентному соотношению

C_{p}=4(C_{p-1}+C_{p-2})+1

.

Обобщения

Иногда обобщенная база чисел Каллена b определяется как число вида n · b ^н + 1, где n + 2 > b ; если простое число можно записать в такой форме, оно называется обобщенным простым числом Каллена . Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода . ^[2]

По состоянию на октябрь 2021 года наибольшее известное обобщенное простое число Каллена составляет 2525532·73. ^2525532 + 1. Он имеет 4 705 888 цифр и был обнаружен Томом Гриром, участником PrimeGrid . ^[3]^[4]

Согласно малой теореме Ферма , если существует простое число p такое, что n делится на p − 1 и n + 1 делится на p (особенно, когда n = p − 1) и p не делит b , то b ^н должно быть конгруэнтно 1 по модулю p (поскольку b ^н это степень b ^{п - 1} и б ^{п - 1} конгруэнтно 1 mod p ). Таким образом, n · b ^н + 1 делится на p , поэтому оно не является простым. Например, если некоторое n соответствует 2 по модулю 6 (т. е. 2, 8, 14, 20, 26, 32, ...), n · b ^н + 1 — простое число, то b должно делиться на 3 (кроме b = 1).

Наименьшее n такое, что n · b ^н + 1 — простое число (со знаками вопроса, если этот термин в настоящее время неизвестен) ^[5]^[6]

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, ?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1, ?, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1, ?, 3, ?, 9665, 62, 1, 1341174, 3, ?, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897, ?, 1, 13948, 1, ?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 298, 14, 101670, 9, 2, 775, 202, 1, 1374, 63, 2, 1, ... (последовательность A240234 в OEIS )

б	Числа n такие, что n × b ^н + 1 — простое число ^[5]	OEIS Последовательность
3	2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, ...	А006552
4	1, 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, 1740349, ...	А007646
5	1242, 18390, ...
6	1, 2, 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, 515516, ..., 4582770	А242176
7	34, 1980, 9898, 474280, ...	А242177
8	5, 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, ..., 749130, ...	А242178
9	2, 12382, 27608, 31330, 117852, ...	А265013
10	1, 3, 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, ...	А007647
11	10, ...
12	1, 8, 247, 3610, 4775, 19789, 187895, 345951, ...	А242196
13	...
14	3, 5, 6, 9, 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, 1198433, 1486287, 1909683, ...	А242197
15	8, 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, ...	А242198
16	1, 3, 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, ...	А242199
17	19650, 236418, ...
18	1, 3, 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, 612497, ...	А007648
19	6460, ...
20	3, 6207, 8076, 22356, 151456, 793181, 993149, ...	А338412

Ссылки

^ Эверест, Грэм; ван дер Портен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Математические обзоры и монографии. Том. 104. Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 94. ИСБН 0-8218-3387-1 . Збл 1033.11006 .
^ Маркес, Диего (2014). «Об обобщенных числах Каллена и Вудала, которые также являются числами Фибоначчи» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 17 .
^ «Официальное объявление PrimeGrid» (PDF) . Праймгрид . 28 августа 2021 г. Проверено 14 ноября 2021 г.
^ «Простые числа PrimePage: 2525532 · 73^2525532 + 1» . primes.utm.edu . Архивировано из оригинала 04 сентября 2021 г. Проверено 14 ноября 2021 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лё, Гюнтер (6 мая 2017 г.). «Обобщенные простые числа Каллена» .
^ Харви, Стивен (6 мая 2017 г.). «Список обобщенных простых чисел Каллена по основанию от 101 до 10000» .

Дальнейшее чтение

Каллен, Джеймс (декабрь 1905 г.), «Вопрос 15897», Educ. Раз : 534 .
Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Verlag , Раздел B20, ISBN 0-387-20860-7 , Збл 1058.11001 .
Хули, Кристофер (1976), Применение ситовых методов , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 70, Издательство Кембриджского университета , стр. 115–119, ISBN. 0-521-20915-3 , Збл 0327.10044 .
Келлер, Уилфрид (1995), «Новые простые числа Каллена» (PDF) , Mathematics of Computing , 64 (212): 1733–1741, S39–S46, doi : 10.2307/2153382 , ISSN 0025-5718 , JSTOR 2153382 , Zbl 0851.110 03 .

Внешние ссылки

Крис Колдуэлл, «Двадцатка лучших»: Каллен занимает первое место на сайте The Prime Pages .
Главный глоссарий: номер Каллена на The Prime Pages.
Крис Колдуэлл, Двадцатка лучших: обобщенный Каллен на сайте Prime Pages.
Вайсштейн, Эрик В. «Число Каллена» . Математический мир .
Прайм Каллена: определение и статус (устарело), Поиск Каллена Прайм теперь размещен на PrimeGrid.
Пол Лейланд, (обобщенные) числа Каллена и Вудалла

[EPSW94-1] Эверест, Грэм; ван дер Портен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Математические обзоры и монографии. Том. 104. Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 94. ИСБН 0-8218-3387-1 . Збл 1033.11006 .

[2] Маркес, Диего (2014). «Об обобщенных числах Каллена и Вудала, которые также являются числами Фибоначчи» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 17 .

[3] «Официальное объявление PrimeGrid» (PDF) . Праймгрид . 28 августа 2021 г. Проверено 14 ноября 2021 г.

[4] «Простые числа PrimePage: 2525532 · 73^2525532 + 1» . primes.utm.edu . Архивировано из оригинала 04 сентября 2021 г. Проверено 14 ноября 2021 г.

[loeh-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лё, Гюнтер (6 мая 2017 г.). «Обобщенные простые числа Каллена» .

[6] Харви, Стивен (6 мая 2017 г.). «Список обобщенных простых чисел Каллена по основанию от 101 до 10000» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers