Штерн Прайм

Простое число Штерна , названное в честь Морица Абрахама Штерна , представляет собой простое число , которое не является суммой меньшего простого числа и удвоенного квадрата ненулевого целого числа . То есть, если для простого числа q не существует меньшего простого числа p и ненулевого целого числа b таких, что q = p + 2 b ² , то q — простое число Штерна. Известные простые числа Штерна:

2 , 3 , 17 , 137 , 227 , 977, 1187, 1493 (последовательность А042978 в OEIS ).

Так, например, если мы попытаемся вычесть из 137 первые несколько квадратов, удвоенных по порядку, мы получим {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9}, ни один из которых не является простым. Это означает, что 137 — простое число Штерна. С другой стороны, 139 не является простым числом Штерна, поскольку мы можем выразить его как 137 + 2(1 ² ), или 131 + 2(2 ² ), и т. д.

Фактически, многие простые числа имеют более одного такого представления. Учитывая простое число-близнец , большее простое число пары имеет представление Гольдбаха (а именно, представление в виде суммы двух простых чисел) числа p + 2(1 ² ). Если это простое число является наибольшим из простой четверки p + 8, то p + 2(2 ² ) также допустимо. Слоана OEIS : A007697 перечисляет нечетные числа, по крайней мере, с n представлениями Гольдбаха. Леонард Эйлер заметил, что по мере увеличения чисел у них появляется больше представлений вида $p+2b^{2}$, предполагая, что может быть наибольшее количество без таких представлений; т. е. приведенный выше список простых чисел Штерна может быть не только конечным, но и полным. По мнению Джада МакКрэни, это единственные простые числа Стерна из первых 100 000 простых чисел. Все известные простые числа Штерна имеют более эффективные представления Уоринга , чем можно было бы предположить из их представлений Гольдбаха.

Существуют также нечетные составные числа Штерна: известны только 5777 и 5993. Гольдбах однажды ошибочно предположил, что все числа Штерна простые. (См. OEIS : A060003 для нечетных номеров Штерна)

Кристиан Гольдбах в письме Леонарду Эйлеру предположил, что каждое нечетное целое число имеет вид p + 2 b ² для целого числа b и простого числа p . Лоран Ходжес полагает, что Штерн заинтересовался этой проблемой после прочтения книги переписки Гольдбаха. В то время 1 считалось простым числом, поэтому 3 не считалось простым числом Штерна, учитывая представление 1 + 2(1 ² ). Остальная часть списка остается неизменной при любом определении.

Ссылки

• Ходжес, Лоран (1993). «Малоизвестная гипотеза Гольдбаха». Журнал «Математика» . 66 (1): 45–47. дои : 10.2307/2690477 .