Число Лейланда

В теории чисел число Лейланда — это число вида

x^{y}+y^{x}

где x и y — целые числа больше 1. ^[1] Они названы в честь математика Пола Лейланда . Первые несколько чисел Лейланда

8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320 , 368 , 512 , 593 , 945 , 1124 (последовательность A076980 в OEIS ).

Требование, чтобы x и y были больше 1, важно, поскольку без него каждое положительное целое число было бы числом Лейланда формы x ¹ + 1 ^х. Кроме того, из-за коммутативного свойства сложения обычно добавляется условие x ≥ y , чтобы избежать двойного покрытия множества чисел Лейланда (поэтому мы имеем 1 < y ≤ x ).

Простые числа Лейланда [ править ]

Простое число Лейланда — это число Лейланда, которое также является простым. Первые такие простые числа:

17 , 593 , 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600 193, ... (последовательность A094133 в OEIS )

соответствующий

3 ²+2 ³, 9 ²+2 ⁹, 15 ²+2 ¹⁵, 21 ²+2 ²¹, 33 ²+2 ³³, 24 ⁵+5 ²⁴, 56 ³+3 ⁵⁶, 32 ¹⁵+15 ³². ^[2]

Можно также зафиксировать значение y и рассмотреть последовательность значений x , которая дает простые числа Лейланда, например x ² + 2 ^х является простым для x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ... ( OEIS : A064539 ).

К ноябрю 2012 года наибольшее число Лейланда, которое оказалось простым, составляло 5122. ⁶⁷⁵³ + 6753 ⁵¹²² с 25050 цифрами. С января 2011 по апрель 2011 года это было самое большое простое число, простота которого была доказана методом доказательства простоты эллиптической кривой . ^[3] В декабре 2012 года это было улучшено, доказав простоту двух чисел 3110. ⁶³ + 63 ³¹¹⁰ (5596 цифр) и 8656 ²⁹²⁹ + 2929 ⁸⁶⁵⁶ (30008 цифр), последний из которых превзошел предыдущий рекорд. ^[4] В феврале 2023 года 104824 ⁵ + 5 ¹⁰⁴⁸²⁴ (73269 цифр) оказалось простым, ^[5] и это также было самое большое простое число, подтвержденное с помощью ECPP, пока три месяца спустя с использованием ECPP не было доказано большее простое число (не Лейланда). ^[6] Есть много более крупных известных вероятных простых чисел, таких как 314738. ⁹ + 9 ³¹⁴⁷³⁸, ^[7] но доказать простоту больших чисел Лейланда трудно. Пол Лейланд пишет на своем веб-сайте: «Еще совсем недавно стало понятно, что числа этой формы являются идеальными тестовыми примерами для программ проверки простоты общего назначения. Они имеют простое алгебраическое описание, но не имеют очевидных циклических свойств, которые могли бы использовать алгоритмы специального назначения».

Существует проект под названием XYYXF для факторизации составных чисел Лейланда. ^[8]

Число Лейланда второго рода [ править ]

Число Лейланда второго рода — это число вида

x^{y}-y^{x}

где x и y — целые числа больше 1. Первые такие числа:

0, 1, 7 , 17 , 28, 79 , 118, 192, 399, 431 , 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 3, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ... (последовательность A045575 в OEIS )

Простое число Лейланда второго рода — это число Лейланда второго рода, которое также является простым. Первые несколько таких простых чисел:

7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 3757002684 13577, 2251799813682647, ... (последовательность A123206 в OEIS )

Чтобы узнать о возможных простых числах, см. Анри Лифшиц и Рено Лифшиц, поиск PRP Top Records. ^[7]

Ссылки [ править ]

^ Ричард Крэндалл и Карл Померанс (2005), Простые числа: вычислительная перспектива , Springer
^ «Простые числа и сильные псевдопростые числа вида x ^и + и ^хПол Лейланд . Архивировано из оригинала 10 февраля 2007 г. Проверено 14 января 2007 г.
^ «Доказательство простоты эллиптической кривой» . Крис Колдуэлл . Проверено 3 апреля 2011 г.
^ «СИДЕ Михайлеску» . mersenneforum.org. 11 декабря 2012 г. Проверено 26 декабря 2012 г.
^ «Простое число Лейланда формы 104824 ⁵+5 ¹⁰⁴⁸²⁴" . Prime Wiki . Получено 26 ноября 2023 г.
^ «Доказательство простоты эллиптической кривой» . Прайм страницы . Проверено 26 ноября 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Анри Лифшиц и Рено Лифшиц, поиск лучших рекордов PRP .
^ «Факторизация x ^и + и ^х для 1 < y < x < 151" . Андрей Кульша . Проверено 24 июня 2008 г.

Внешние ссылки [ править ]

Числа Лейланда - Numberphile на YouTube

[CP2005-1] Ричард Крэндалл и Карл Померанс (2005), Простые числа: вычислительная перспектива , Springer

[Leyland-2] «Простые числа и сильные псевдопростые числа вида x ^и + и ^хПол Лейланд . Архивировано из оригинала 10 февраля 2007 г. Проверено 14 января 2007 г.

[ECPP-3] «Доказательство простоты эллиптической кривой» . Крис Колдуэлл . Проверено 3 апреля 2011 г.

[4] «СИДЕ Михайлеску» . mersenneforum.org. 11 декабря 2012 г. Проверено 26 декабря 2012 г.

[5] «Простое число Лейланда формы 104824 ⁵+5 ¹⁰⁴⁸²⁴" . Prime Wiki . Получено 26 ноября 2023 г.

[6] «Доказательство простоты эллиптической кривой» . Прайм страницы . Проверено 26 ноября 2023 г.

[PRP-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Анри Лифшиц и Рено Лифшиц, поиск лучших рекордов PRP .

[Kulsha-8] «Факторизация x ^и + и ^х для 1 < y < x < 151" . Андрей Кульша . Проверено 24 июня 2008 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers