Аликвотная последовательность

Нерешенная задача по математике :

Все ли аликвотные последовательности в конечном итоге заканчиваются простым числом, совершенным числом или набором дружественных или общительных чисел? (гипотеза Каталана о последовательности аликвот)

(еще нерешенные задачи по математике)

В математике аликвотная последовательность — это последовательность натуральных чисел, в которой каждый член представляет собой сумму собственных делителей предыдущего члена. Если последовательность достигает числа 1, она заканчивается, поскольку сумма собственных делителей 1 равна 0.

Определение и обзор

Последовательность аликвот, начинающаяся с положительного целого числа $k,$ может быть формально определена в терминах функции суммы делителей $σ 1$ или суммы аликвот функции $s$ следующим образом: ^[1]

{\begin{aligned}s_{0}&=k\\[4pt]s_{n}&=s(s_{n-1})=\sigma _{1}(s_{n-1})-s_{n-1}\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}>0\\[4pt]s_{n}&=0\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}=0\\[4pt]s(0)&={\text{undefined}}\end{aligned}}

Если

добавить условие s n -1 = 0

, то все члены после 0 равны 0, и все аликвотные последовательности будут бесконечными, и мы можем предположить, что все аликвотные последовательности сходятся , предел этих последовательностей обычно равен 0 или 6. .

Например, аликвотная последовательность из 10 равна 10, 8, 7, 1, 0 , потому что:

{\begin{aligned}\sigma _{1}(10)-10&=5+2+1=8,\\[4pt]\sigma _{1}(8)-8&=4+2+1=7,\\[4pt]\sigma _{1}(7)-7&=1,\\[4pt]\sigma _{1}(1)-1&=0.\end{aligned}}

Многие аликвотные последовательности оканчиваются на нуле; все такие последовательности обязательно заканчиваются простым числом, за которым следует 1 (поскольку единственным собственным делителем простого числа является 1), за которым следует 0 (поскольку 1 не имеет собственных делителей). См. список таких номеров до 75 (последовательность A080907 в OEIS ). Существует множество способов, которыми последовательность аликвоты может не прерываться:

Совершенное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 1. Аликвотная последовательность 6, например, равна 6, 6, 6, 6,...
Дружественное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 2. Например, аликвотная последовательность 220 равна 220, 284, 220, 284,...
Общительный номер имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 3 или больше. (Иногда термин « социальное число» используется также для обозначения дружественных чисел.) Например, аликвотная последовательность 1264460 равна 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460,…
Некоторые числа имеют аликвотную последовательность, которая в конечном итоге является периодической, но само число не является идеальным, дружелюбным или общительным. Например, аликвотная последовательность 95 равна 95, 25, 6, 6, 6, 6,... Числа типа 95, которые не являются идеальными, но имеют в конечном итоге повторяющуюся аликвотную последовательность периода 1, называются стремящимися числами . ^[2]

Аликвотные последовательности от 0 до 47
$n$	Aliquot sequence of $n$	Length (OEIS: A098007)
0	0	1
1	1, 0	2
2	2, 1, 0	3
3	3, 1, 0	3
4	4, 3, 1, 0	4
5	5, 1, 0	3
6	6	1
7	7, 1, 0	3
8	8, 7, 1, 0	4
9	9, 4, 3, 1, 0	5
10	10, 8, 7, 1, 0	5
11	11, 1, 0	3
12	12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
13	13, 1, 0	3
14	14, 10, 8, 7, 1, 0	6
15	15, 9, 4, 3, 1, 0	6
16	16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	7
17	17, 1, 0	3
18	18, 21, 11, 1, 0	5
19	19, 1, 0	3
20	20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	8
21	21, 11, 1, 0	4
22	22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	7
23	23, 1, 0	3
24	24, 36, 55, 17, 1, 0	6
25	25, 6	2
26	26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
27	27, 13, 1, 0	4
28	28	1
29	29, 1, 0	3
30	30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	16
31	31, 1, 0	3
32	32, 31, 1, 0	4
33	33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	7
34	34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	9
35	35, 13, 1, 0	4
36	36, 55, 17, 1, 0	5
37	37, 1, 0	3
38	38, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	8
39	39, 17, 1, 0	4
40	40, 50, 43, 1, 0	5
41	41, 1, 0	3
42	42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	15
43	43, 1, 0	3
44	44, 40, 50, 43, 1, 0	6
45	45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
46	46, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	9
47	47, 1, 0	3

Длины аликвотных последовательностей, начинающихся с $n,$ равны

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (последовательность A044050 в OEIS )

Конечные члены (исключая 1) аликвотных последовательностей, начинающихся с $n,$ равны

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (последовательность A115350 в OEIS )

Числа, последовательность аликвот которых заканчивается на 1:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A080907 в ОЭИС )

Числа, последовательность аликвот которых, как известно, оканчивается совершенным числом , отличным от самих совершенных чисел (6, 28, 496, ...), являются

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (последовательность A063769 в OEIS )

Числа, последовательность аликвот которых заканчивается циклом длиной не менее 2, называются числами.

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2172, 2362, ... ( последовательность A121507 в OEIS )

Числа, чья аликвотная последовательность не является конечной или периодической, называются

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 13 50, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (последовательность A131884 в OEIS )

Число, которое никогда не является преемником в аликвотной последовательности, называется неприкасаемым числом .

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246, 248 , 262 , , 268, 276 , 288 , 290 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS )

Гипотеза Каталана – Диксона

Важная гипотеза Каталана , заключается в том , , иногда называемая гипотезой Каталана- Диксона что каждая аликвотная последовательность заканчивается одним из указанных выше способов: простым числом, совершенным числом или набором дружественных или общительных чисел. ^[3]Альтернативой может быть существование числа, последовательность аликвот которого бесконечна, но никогда не повторяется. Таким числом может быть любое из многих чисел, последовательность аликвот которых не была полностью определена. Первые пять чисел-кандидатов часто называют пятёркой Лемера (названной в честь Д. Х. Лемера ): 276 , 552, 564, 660 и 966. ^[4]Однако стоит отметить, что 276 может достигать высокой вершины в своей аликвотной последовательности, а затем опускаться; число 138 достигает пика 179931895322, а затем возвращается к 1.

Гай и Селфридж полагают, что гипотеза Каталана-Диксона ложна (поэтому они предполагают, что некоторые аликвотные последовательности неограничены сверху (т. е. расходятся)). ^[5]

Систематический поиск аликвотных последовательностей

Последовательность аликвот можно представить в виде ориентированного графа , $G_{n,s}$ , для данного целого числа $n$ , где $s(k)$ обозначает сумму собственных делителей $k$ . ^[6] Циклы в $G_{n,s}$ обозначают общительные числа в интервале $[1,n]$ . Двумя особыми случаями являются циклы, представляющие совершенные числа , и циклы длины два, представляющие дружественные пары .

Смотрите также

Арифметическая динамика

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. «Аликвотная последовательность» . Математический мир .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A063769 (Стремительные числа: числа, аликвотная последовательность которых заканчивается идеальным числом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталана об аликвотной последовательности» . Математический мир .
^ Креяуфмюллер, Вольфганг (24 мая 2014 г.). «Лемер Пять» . Проверено 14 июня 2015 г.
^ А.С. Мосунов, Что мы знаем об аликвотных последовательностях?
^ Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Обнаружение распределенных циклов в крупномасштабных разреженных графах , Бразильский симпозиум по эксплуатационным исследованиям (SBPO), doi : 10.13140/RG.2.1.1233.8640

Внешние ссылки

Текущий статус аликвотных последовательностей с начальным сроком менее 2 миллионов
Таблицы аликвотных циклов (JOM Pedersen)
Аликвотная страница (Вольфганг Креяуфмюллер)
Аликвотные последовательности (Кристоф Клавье)
Форум по расчету аликвотных последовательностей (MersenneForum)
Страница сводки аликвотных последовательностей для последовательностей до 100 000 (есть аналогичные страницы для более высоких диапазонов) (Карстен Бонат)
Активный исследовательский центр аликвотных последовательностей (Жан-Люк Гарамбуа) (на французском языке)

[mw-1] Вайсштейн, Эрик В. «Аликвотная последовательность» . Математический мир .

[2] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A063769 (Стремительные числа: числа, аликвотная последовательность которых заканчивается идеальным числом.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталана об аликвотной последовательности» . Математический мир .

[4] Креяуфмюллер, Вольфганг (24 мая 2014 г.). «Лемер Пять» . Проверено 14 июня 2015 г.

[5] А.С. Мосунов, Что мы знаем об аликвотных последовательностях?

[6] Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Обнаружение распределенных циклов в крупномасштабных разреженных графах , Бразильский симпозиум по эксплуатационным исследованиям (SBPO), doi : 10.13140/RG.2.1.1233.8640

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т Это Наборы целых чисел на основе делимости
Overview	Integer factorization Divisor Unitary divisor Divisor function Prime factor Fundamental theorem of arithmetic
Factorization forms	Prime Composite Semiprime Pronic Sphenic Square-free Powerful Perfect power Achilles Smooth Regular Rough Unusual
Constrained divisor sums	Perfect Almost perfect Quasiperfect Multiply perfect Hemiperfect Hyperperfect Superperfect Unitary perfect Semiperfect Practical Erdős–Nicolas
With many divisors	Abundant Primitive abundant Highly abundant Superabundant Colossally abundant Highly composite Superior highly composite Weird
Aliquot sequence-related	Untouchable Amicable (Triple) Sociable Betrothed
Base-dependent	Equidigital Extravagant Frugal Harshad Polydivisible Smith
Other sets	Arithmetic Deficient Friendly Solitary Sublime Harmonic divisor Descartes Refactorable Superperfect