Идеальное число

В теории чисел совершенное число — это целое положительное число , равное сумме своих положительных собственных делителей , то есть делителей, исключающих само число. Например, число 6 имеет собственные делители 1, 2 и 3, а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 — совершенное число. Следующее совершенное число — 28, поскольку 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Сумма собственных делителей числа называется его аликвотной суммой , поэтому совершенное число — это то, которое равно его аликвотной сумме. Эквивалентно, совершенное число — это число, которое составляет половину суммы всех своих положительных делителей; в символах, $\sigma _{1}(n)=2n$ где $\sigma _{1}$ — функция суммы делителей .

Это определение древнее и появляется еще в Евклида «Началах» (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός ( совершенное , идеальное или полное число ). Евклид также доказал правило образования (IX.36), согласно которому $q(q+1)/2$ является четным совершенным числом всякий раз, когда $q$ является простым числом формы $2^{p}-1$ для положительного целого числа $p$ — то, что сейчас называется простым числом Мерсенна . Два тысячелетия спустя Леонард Эйлер доказал, что все даже совершенные числа имеют именно такой вид. ^[1] Это известно как теорема Евклида-Эйлера .

Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел — 6 , 28 , 496 и 8128 . ^[2]

История [ править ]

Примерно в 300 г. до н.э. Евклид показал, что если 2 ^п − 1 простое, тогда 2 ^{р -1}(2 ^п− 1) идеально. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными ранней греческой математике , а математик Никомах заметил число 8128 еще около 100 г. н.э. ^[3] Говоря современным языком, Никомах без доказательства утверждает, что каждое совершенное число имеет вид $2^{n-1}(2^{n}-1)$ где $2^{n}-1$ является простым. ^[4]^[5]Похоже, он не осознает, что $n$ само должно быть простым. Он также говорит (ошибочно), что совершенные числа попеременно оканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел оканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестое также оканчивается на 6.) Филон Александрийский в своей книге первого века «О сотворении мира» упоминает совершенные числа, утверждая, что мир была создана за 6 дней, а луна обращается по орбите за 28 дней, потому что 6 и 28 идеальны. За Филоном следует Ориген , ^[6]и Дидимом Слепым , который добавляет наблюдение, что существует только четыре совершенных числа, меньших 10 000. (Комментарий к Бытие 1. 14–19). ^[7]Святой Августин дает определение совершенных чисел в «Городе Божьем» (книга XI, глава 30) в начале V века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог сотворил мир за 6 дней, потому что 6 — наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336; 8 589 869 056 и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, являются неверными. ^[8] Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе — это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. ^[9] В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестое (8 589 869 056) и седьмое (137 438 691 328) совершенные числа, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное по правилу Евклида, оканчивается цифрой 6 или 8. ^[10]^[11]^[12]

Даже совершенные числа [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много совершенных чисел?

(еще нерешенные задачи по математике)

Евклид доказал, что $2^{p-1}(2^{p}-1)$ является четным совершенным числом всякий раз, когда $2^{p}-1$ является простым ( Элементы , предлож. IX.36).

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле $2^{p-1}(2^{p}-1),$ где $p —$ , простое число а именно: ${\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}$

Простые числа формы $2^{p}-1$ известны как простые числа Мерсенна , в честь монаха семнадцатого века Марина Мерсенна , который изучал теорию чисел и совершенные числа. Для $2^{p}-1$ чтобы быть простым, необходимо, чтобы $p$ само было простым. Однако не все числа вида $2^{p}-1$ с простым числом $p$ являются простыми; например, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом. ^[а] На самом деле простые числа Мерсенна очень редки — из 2 610 944 простых чисел $p$ до 43 112 609 , $2^{p}-1$ является простым только для 47 из них. ^{[ нужна цитата ]}

Хотя Никомах заявил (без доказательства), что все совершенные числа имеют вид $2^{n-1}(2^{n}-1)$ где $2^{n}-1$ является простым (хотя он заявил это несколько по-другому), Ибн аль-Хайсам (Альхазен) около 1000 г. н.э. не пожелал заходить так далеко, заявив вместо этого (также без доказательства), что эта формула дает только каждое четное совершенное число. ^[13] Лишь в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что формула $2^{p-1}(2^{p}-1)$ даст все четные совершенные числа. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида-Эйлера .

Исчерпывающий поиск, проведенный проектом распределенных вычислений GIMPS, показал, что первые 48 четных совершенных чисел $2^{p-1}(2^{p}-1)$ для

р

= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 и 57885161 (последовательность A000043 в ОЭИС ). ^[14]

Также были обнаружены три высших совершенных числа, а именно те, для которых $p$ = 74207281, 77232917 и 82589933. Хотя все еще возможно, что в этом диапазоне могут быть и другие, первоначальные, но исчерпывающие тесты GIMPS не выявили других совершенных чисел для $p$ ниже. 109332539. По состоянию на декабрь 2018 г. ^[update], известно 51 простое число Мерсенна, ^[15] и, следовательно, 51 четное совершенное число (самое большое из которых 2 ^82589932 × (2 ^82589933− 1) с 49 724 095 цифр). Неизвестно , существует ли бесконечно много совершенных чисел, а также бесконечно много простых чисел Мерсенна.

А также иметь форму $2^{p-1}(2^{p}-1)$ , каждое четное совершенное число является $(2^{p}-1)$ -е треугольное число (и, следовательно, равное сумме целых чисел от 1 до $2^{p}-1$ ) и $2^{p-1}$ -е шестиугольное число . Более того, каждое четное совершенное число, кроме 6, является ${\tfrac {2^{p}+1}{3}}$ -е центрированное девятиугольное число и равно сумме первого $2^{\frac {p-1}{2}}$ нечетные кубики (нечетные кубики до куба $2^{\frac {p+1}{2}}-1$ ):

${\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}$

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид $T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}$

при этом каждое полученное треугольное число T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9) заканчивается на 3 или 5, последовательность начинается с T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , Т ₄₂ = 903 , Т ₂₇₃₀ = 3727815,... ^[16]Отсюда следует, что путем сложения цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложения цифр полученного числа и повторения этого процесса до тех пор, пока не будет получена единственная цифра (называемая цифровым корнем ), всегда получается число 1. Ибо Например, цифровой корень числа 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1 . Это работает со всеми совершенными числами. $2^{p-1}(2^{p}-1)$ с нечетным простым числом $p$ и, фактически, со всеми числами вида $2^{m-1}(2^{m}-1)$ для нечетного целого числа (не обязательно простого) $m$ .

Благодаря своей форме, $2^{p-1}(2^{p}-1),$ каждое четное совершенное число представлено в двоичной форме как $p$ единиц, за которыми следует $p - 1$ нулей; например:

${\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}$

Таким образом, любое четное совершенное число является пагубным числом .

Каждое четное совершенное число также является практическим числом (см. Сопутствующие понятия ).

Нечетные совершенные числа [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли нечетные совершенные числа?

(еще нерешенные задачи по математике)

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа, хотя были получены различные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа: ^[17]тем самым подразумевая, что нечетного совершенного числа не существует. Эйлер заявил: «Существуют ли… нечетные совершенные числа — это самый трудный вопрос». ^[18] Совсем недавно Карл Померанс представил эвристический аргумент , предполагающий, что на самом деле не должно существовать нечетных совершенных чисел. ^[19] Все совершенные числа также являются числами гармонических делителей , и также было высказано предположение, что не существует нечетных чисел гармонических делителей, отличных от 1. Многие из доказанных свойств нечетных совершенных чисел также применимы к числам Декарта , и Пейс Нильсен предположил, что достаточно изучение этих чисел может привести к доказательству того, что нечетных совершенных чисел не существует. ^[20]

Любое нечетное совершенное число N должно удовлетворять следующим условиям:

Н > 10 ¹⁵⁰⁰. ^[21]
N не делится на 105. ^[22]
N имеет вид N ≡ 1 (по модулю 12) или N ≡ 117 (по модулю 468) или N ≡ 81 (по модулю 324). ^[23]
Наибольший простой делитель N больше 10. ⁸^[24] и меньше чем ${\sqrt[{3}]{3N}}.$ ^[25]
Второй по величине простой множитель больше 10. ⁴, ^[26] и меньше, чем ${\sqrt[{5}]{2N}}$ . ^[27]
Третий по величине простой множитель больше 100, ^[28] и меньше чем ${\sqrt[{6}]{2N}}.$ ^[29]
N имеет как минимум 101 простой делитель и как минимум 10 различных простых делителей. ^[21]^[30] Если 3 не является одним из сомножителей числа N , то N имеет по крайней мере 12 различных простых сомножителей. ^[31]
N имеет вид

N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},

где:

q , p ₁ , ..., p _k — различные нечетные простые числа (Эйлера).
q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Эйлер).
Наименьший простой делитель числа N не более ${\frac {k-1}{2}}.$ ^[32]
Хотя бы одна из степеней простых чисел, делящих n, превышает 10. ⁶². ^[21]
$N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$ ^[33]^[34]
$\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}$ . ^[32]^[35]^[36]
$qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$ . ^[37]
${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}<\ln 2$ . ^[38]^[39]

Кроме того, известно несколько второстепенных результатов об экспонентах е ₁ ..., ек _. ,

Не все e _i ≡ 1 ( mod 3). ^[40]
Не все e _i ≡ 2 ( mod 5). ^[41]
Если все e _i ≡ 1 ( mod 3) или 2 ( mod 5), то наименьший простой делитель числа N должен лежать между 10 ⁸ и 10 ¹⁰⁰⁰. ^[41]
В более общем смысле, если все 2 e _i +1 имеют простой множитель в данном конечном множестве S , то наименьший простой множитель числа N должен быть меньше эффективно вычислимой константы, зависящей только S. от ^[41]
Если ( e ₁ , ..., e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с t единицами и u двойками, то $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$ . ^[42]
( е ₁ , ..., е _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^[43] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6). ^[44]
Если e ₁ = ... = e _k = e , то
- е не может быть 3, ^[45] 5, 24, ^[46] 6, 8, 11, 14 или 18. ^[44]
- $k\leq 2e^{2}+8e+2$ и $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$ . ^[47]

В 1888 году Сильвестр заявил: ^[48]

... продолжительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] - его выход, так сказать, из сложной паутины условий, которые окружают его со всех сторон - будет немного коротким. чуда.

Незначительные результаты [ править ]

Все даже совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Существует ряд результатов о совершенных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, на первый взгляд они впечатляют; некоторые из них также подпадают под Ричарда Гая строгий закон малых чисел :

Единственное четное совершенное число вида n ³ +1 равно 28 ( Маковский 1962 ). ^[49]
28 также является единственным четным совершенным числом, которое представляет собой сумму двух положительных кубов целых чисел ( Галлардо 2010 ). ^[50]
Сумма обратных делителей совершенного числа N должна составлять 2 (чтобы получить это, возьмите определение совершенного числа, $\sigma _{1}(n)=2n$ $\sigma _{1}(n)=2n$ и разделим обе части на n ):
- На 6 у нас есть ${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2$ ;
- У нас есть 28 $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$ , и т. д.
Число делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, поскольку N не может быть полным квадратом. ^[51]
- Из этих двух результатов следует, что каждое совершенное число является гармоническим числом Оре .
Четные совершенные числа не являются трапециевидными числами ; то есть их нельзя представить в виде разности двух положительных непоследовательных треугольных чисел . Существует всего три типа нетрапециевидных чисел: четные совершенные числа, степени двойки и числа вида $2^{n-1}(2^{n}+1)$ образуется как произведение простого числа Ферма $2^{n}+1$ со степенью двойки аналогично построению четных совершенных чисел из простых чисел Мерсенна. ^[52]
Число совершенных чисел меньше n меньше, чем $c{\sqrt {n}}$ , где c > 0 — константа. ^[53] На самом деле это $o({\sqrt {n}})$ , используя обозначение Little-o . ^[54]
Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 по основанию десять; и, за единственным исключением 6, оканчивается на 1 по основанию 9. ^[55]^[56] Следовательно, в частности, цифровой корень любого четного совершенного числа, кроме 6, равен 1.
Единственное совершенное число без квадратов — 6. ^[57]

Связанные понятия [ править ]

Сумма собственных делителей дает различные другие виды чисел. Числа, у которых сумма меньше самого числа, называются недостаточными , а где она больше числа, — обильными . Эти термины, вместе с самим совершенством , происходят из греческой нумерологии . Пара чисел, представляющая собой сумму собственных делителей друг друга, называется дружественной , а более крупные циклы чисел называются общительной . Положительное целое число, каждое меньшее положительное целое число которого представляет собой сумму различных его делителей, является практическим числом .

По определению, совершенное число — это фиксированная точка ограниченной функции делителя s ( n ) = σ ( n ) − n , а последовательность аликвот, связанная с совершенным числом, является постоянной последовательностью. Все совершенные числа также ${\mathcal {S}}$ -совершенные числа, или числа Гранвилля .

Полусовершенное число — натуральное число, равное сумме всех или некоторых собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом. Наиболее распространенные числа также полусовершенны; Множество чисел, которые не являются полусовершенными, называются странными числами .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Все факторы $2^{p}-1$ конгруэнтны $1 mod 2 p$ . Например, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 , и 23, и 89 дают остаток 1 при делении на 22. Кроме того, всякий раз, когда $p$ является простым числом Софи Жермен , то есть $2 p + 1$ также является простым, и $2 p + 1$ конгруэнтно 1 или 7 по модулю 8, то $2 p + 1$ будет множителем $2^{p}-1,$ что справедливо для $p$ = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251,... OEIS : A002515 .

Ссылки [ править ]

^ Колдуэлл, Крис, «Доказательство того, что все четные совершенные числа являются степенью, умноженной на удвоенное простое число Мерсенна» .
^ «А000396 - ОЭИС» . oeis.org . Проверено 21 марта 2024 г.
^ Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 4.
^ «Идеальные числа» . www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 9 мая 2018 г.
↑ В «Введении в арифметику» , глава 16, он говорит о совершенных числах: «Существует метод их получения, аккуратный и безошибочный, который не пропускает ни одно из совершенных чисел и не дает возможности дифференцировать ни одно из тех, которые не являются таковыми, которые осуществляется следующим образом». Затем он продолжает объяснять процедуру, которая эквивалентна поиску треугольного числа на основе простого числа Мерсенна.
^ Комментарий к Евангелию от Иоанна 28.1.1–4, с дальнейшими ссылками в издании Sources Chrétiennes : vol. 385, 58–61.
^ Роджерс, Джастин М. (2015). Рецепция филоновской арифмологической экзегезы в комментариях Дидима Слепого к Бытию (PDF) . Национальное собрание Общества библейской литературы, Атланта, Джорджия .
^ Рошди Рашед, Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй (Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, 1994), стр. 328–329.
^ Баварская государственная библиотека , Clm 14908. См. Дэвид Юджин Смит (1925). История математики: Том II . Нью-Йорк: Дувр. п. 21. ISBN 0-486-20430-8 .
^ Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 10.
^ Пиковер, К. (2001). Чудеса чисел: приключения в области математики, разума и смысла . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 360. ИСБН 0-19-515799-0 .
^ Петерсон, я (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел к волшебным кругам . Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. п. 132. ИСБН 88-8358-537-2 .
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Отчет об основных этапах работы GIMPS . Проверено 27 февраля 2018 г.
^ «Дом КИМПС» . Мерсенн.орг . Проверено 21 июля 2022 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число» . Математический мир .
^ Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 6.
^ «Старейшая открытая задача математики» (PDF) . Гарвард.edu . Проверено 16 июня 2023 г.
^ Oddperfect.org . Архивировано 29 декабря 2006 г. в Wayback Machine.
^ Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней проблемы чисел» . Журнал Кванта . Проверено 10 сентября 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Охем, Паскаль; Рао, Майкл (2012). «Нечетные совершенные числа больше 10». ¹⁵⁰⁰ . (PDF) Математика вычислений . 81 (279): 1869–1877. doi : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . ISSN 0025-5718 . Zbl 1263.11005 .
^ Кюнель, Ульрих (1950). «Ужесточение необходимых условий существования нечетных совершенных чисел». Математический журнал (на немецком языке). 52 :202-211. дои : 10.1007/BF02230691 . S2CID 120754476 .
^ Робертс, Т. (2008). «О форме нечетного совершенного числа» (PDF) . Австралийский математический вестник . 35 (4): 244.
^ Гото, Т; Оно, Ю (2008). «Нечетные совершенные числа имеют простой делитель, превышающий 10. ⁸» (PDF) . Математика вычислений . 77 (263): 1859–1868. Бибкод : 2008MaCom..77.1859G . doi : 10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . Проверено 30 марта 2011 г.
^ Конягин, Сергей; Акваа, Питер (2012). «О простых факторах нечетных совершенных чисел». Международный журнал теории чисел . 8 (6): 1537–1540. дои : 10.1142/S1793042112500935 .
^ Яннуччи, Делавэр (1999). «Второй по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает десять тысяч» (PDF) . Математика вычислений . 68 (228): 1749–1760. Бибкод : 1999MaCom..68.1749I . дои : 10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . Проверено 30 марта 2011 г.
^ Зелинский, Джошуа (июль 2019 г.). «Верхние границы второго по величине простого множителя нечетного совершенного числа». Международный журнал теории чисел . 15 (6): 1183–1189. arXiv : 1810.11734 . дои : 10.1142/S1793042119500659 . S2CID 62885986 . .
^ Яннуччи, DE (2000). «Третий по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает сто» (PDF) . Математика вычислений . 69 (230): 867–879. Бибкод : 2000MaCom..69..867I . дои : 10.1090/S0025-5718-99-01127-8 . Проверено 30 марта 2011 г.
^ Бибби, Шон; Винке, Питер; Зелинский, Джошуа (23 ноября 2021 г.). «О третьем по величине простом делителе нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Проверено 6 декабря 2021 г.
^ Нильсен, Пейс П. (2015). «Нечетные совершенные числа, диофантовы уравнения и верхние границы» (PDF) . Математика вычислений . 84 (295): 2549–2567. дои : 10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . Проверено 13 августа 2015 г.
^ Нильсен, Пейс П. (2007). «Нечетные совершенные числа имеют как минимум девять различных простых делителей» (PDF) . Математика вычислений . 76 (260): 2109–2126. arXiv : math/0602485 . Бибкод : 2007MaCom..76.2109N . дои : 10.1090/S0025-5718-07-01990-4 . S2CID 2767519 . Проверено 30 марта 2011 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Зелинский, Джошуа (3 августа 2021 г.). «Об общем количестве простых делителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Проверено 7 августа 2021 г.
^ Чен, Юн-Гао; Тан, Цуй-Э (2014). «Улучшены верхние границы для нечетных мультисовершенных чисел» . Бюллетень Австралийского математического общества . 89 (3): 353–359. дои : 10.1017/S0004972713000488 .
^ Нильсен, Пейс П. (2003). «Верхняя граница нечетных совершенных чисел» . Целые числа . 3 : А14–А22 . Проверено 23 марта 2021 г.
^ Охем, Паскаль; Рао, Майкл (2014). «О количестве простых делителей нечетного совершенного числа» . Математика вычислений . 83 (289): 2435–2439. дои : 10.1090/S0025-5718-2013-02776-7 .
^ Грэм Клейтон, Коди Хансен (2023). «О неравенствах, связанных с подсчетом простых множителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 23 . arXiv : 2303.11974 . Проверено 29 ноября 2023 г.
^ Померанс, Карл; Лука, Флориан (2010). «О радикале совершенного числа» . Нью-Йоркский математический журнал . 16 :23–30 . Проверено 7 декабря 2018 г.
^ Коэн, Грэм (1978). «О нечетных совершенных числах». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 16 (6): 523–527.
^ Сурьянараяна, Д. (1963). «О нечетных совершенных числах II». Труды Американского математического общества . 14 : 896–904.
^ Макдэниел, Уэйн Л. (1970). «Несуществование нечетных совершенных чисел определенного вида». Архив математики . 21 (1): 52–53. дои : 10.1007/BF01220877 . ISSN 1420-8938 . МР 0258723 . S2CID 121251041 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Флетчер, С. Адам; Нильсен, Пейс П.; Охем, Паскаль (2012). «Ситовые методы для нечетных совершенных чисел» (PDF) . Математика вычислений . 81 (279): 1753–1776. дои : 10.1090/S0025-5718-2011-02576-7 . ISSN 0025-5718 . МР 2904601 .
^ Коэн, GL (1987). «О наибольшей компоненте нечетного совершенного числа» . Журнал Австралийского математического общества, серия A. 42 (2): 280–286. дои : 10.1017/S1446788700028251 . ISSN 1446-8107 . МР 0869751 .
^ Канольд, Ханс-Иоахим [на немецком языке] (1950). «Теоремы о полиномах кругового деления и их приложения к некоторым теоретико-числовым задачам. II». Журнал чистой и прикладной математики . 188 (1): 129–146. дои : 10.1515/crll.1950.188.129 . ISSN 1435-5345 . MR0044579 . S2CID 122452828 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Коэн, Г.Л.; Уильямс, Р.Дж. (1985). «Расширение некоторых результатов, касающихся нечетных совершенных чисел» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 23 (1): 70–76. ISSN 0015-0517 . МР 0786364 .
^ Хагис, Питер младший; Макдэниел, Уэйн Л. (1972). «Новый результат о строении нечетных совершенных чисел» . Труды Американского математического общества . 32 (1): 13–15. дои : 10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5 . ISSN 1088-6826 . МР 0292740 .
^ Макдэниел, Уэйн Л.; Хагис, Питер младший (1975). «Некоторые результаты, касающиеся отсутствия нечетных совершенных чисел вида $p^{\alpha }M^{2\beta }$ . (PDF) Fibonacci Quarterly . 13 (1): 25–28. ISSN 0015-0517 . MR 0354538 .
^ Ямада, Томохиро (2019). «Новая верхняя оценка нечетных совершенных чисел специального вида». Коллоквиум Математикум . 156 (1): 15–21. arXiv : 1706.09341 . дои : 10.4064/см7339-3-2018 . ISSN 1730-6302 . S2CID 119175632 .
^ Сборник математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра с. 590, тр. из «О так называемых числах Гамильтона», Compte Rendu de l'Association Française (Тулуза, 1887), стр. 164–168.
^ Маковский, А. (1962). «Замечание о совершенных числах». Элем. Математика . 17 (5): 109.
^ Галлардо, Луис Х. (2010). «К замечанию Маковского о совершенных числах» . Элем. Математика . 65 (3): 121–126. дои : 10.4171/EM/149 . .
^ Ян, Сонг Ю. (2012), Вычислительная теория чисел и современная криптография , John Wiley & Sons, раздел 2.3, упражнение 2 (6), ISBN 9781118188613 .
^ Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999). «Характеристика нетрапециевидных чисел». Математический вестник . 83 (497). Математическая ассоциация: 262–263. дои : 10.2307/3619053 . JSTOR 3619053 . S2CID 125545112 .
^ Хорнфек, Б. (1955). «О плотности множества совершенных чисел». Арх . 6 (6): 442–443. дои : 10.1007/BF01901120 . S2CID 122525522 .
^ Канольд, HJ (1956). «Замечание о множестве совершенных чисел». Математика . 131 (4): 390–392. дои : 10.1007/BF01350108 . S2CID 122353640 .
^ Х. Новарезе. Примечание о совершенных числах Тексейра Дж. VIII (1886), 11–16.
^ Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 25.
^ Редмонд, Дон (1996). Теория чисел: введение в чистую и прикладную математику . Чепмен и Холл / CRC Чистая и прикладная математика. Том. 201. ЦРК Пресс. Задача 7.4.11, с. 428. ИСБН 9780824796969 . .

Источники [ править ]

Евклид, «Начала» , Книга IX, Предложение 36. См. на сайте Д.Э. Джойса перевод и обсуждение этого предложения и его доказательства.
Канольд, Х.-Дж. (1941). «Исследования нечетных совершенных чисел». Журнал чистой и прикладной математики . 1941 (183): 98–109. дои : 10.1515/crll.1941.183.98 . S2CID 115983363 .
Стойервальд, Р. «Ужесточение необходимого условия существования нечетного совершенного числа». С.-Б. Баварский. Академическая наука . 1937 : 69–72.

Дальнейшее чтение [ править ]

Нанкар, М.Л.: «История совершенных чисел», Ганита Бхарати 1, вып. 1–2 (1979), 7–8.
Хагис, П. (1973). «Нижняя граница множества нечетных совершенных простых чисел» . Математика вычислений . 27 (124): 951–953. дои : 10.2307/2005530 . JSTOR 2005530 .
Риле, HJJ «Совершенные числа и аликвотные последовательности» в книге HW Lenstra и R. Tijdeman (ред.): Вычислительные методы в теории чисел , Vol. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации , Биркхаузер, 1985.
Шандор, Йожеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 15 –98. ISBN 1-4020-2546-7 . Збл 1079.11001 .

Внешние ссылки [ править ]

«Совершенное число» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Дэвид Мьюз: Идеальные, дружелюбные и общительные числа
Совершенные числа – история и теория
Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число» . Математический мир .
Последовательность OEIS A000396 (Совершенные числа)
OddPerfect.org Проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
Отличный интернет-поиск простых чисел Мерсенна (GIMPS)
Perfect Numbers , математический форум в Дрекселе.
Граймс, Джеймс. «8128: Совершенные числа» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 31 мая 2013 г. Проверено 2 апреля 2013 г.

[13] Все факторы $2^{p}-1$ конгруэнтны $1 mod 2 p$ . Например, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 , и 23, и 89 дают остаток 1 при делении на 22. Кроме того, всякий раз, когда $p$ является простым числом Софи Жермен , то есть $2 p + 1$ также является простым, и $2 p + 1$ конгруэнтно 1 или 7 по модулю 8, то $2 p + 1$ будет множителем $2^{p}-1,$ что справедливо для $p$ = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251,... OEIS : A002515 .

[The_Euclid–Euler_theorem-1] Колдуэлл, Крис, «Доказательство того, что все четные совершенные числа являются степенью, умноженной на удвоенное простое число Мерсенна» .

[2] «А000396 - ОЭИС» . oeis.org . Проверено 21 марта 2024 г.

[Dickinson_LE_(1919)-3] Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 4.

[4] «Идеальные числа» . www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 9 мая 2018 г.

[5] В «Введении в арифметику» , глава 16, он говорит о совершенных числах: «Существует метод их получения, аккуратный и безошибочный, который не пропускает ни одно из совершенных чисел и не дает возможности дифференцировать ни одно из тех, которые не являются таковыми, которые осуществляется следующим образом». Затем он продолжает объяснять процедуру, которая эквивалентна поиску треугольного числа на основе простого числа Мерсенна.

[6] Комментарий к Евангелию от Иоанна 28.1.1–4, с дальнейшими ссылками в издании Sources Chrétiennes : vol. 385, 58–61.

[7] Роджерс, Джастин М. (2015). Рецепция филоновской арифмологической экзегезы в комментариях Дидима Слепого к Бытию (PDF) . Национальное собрание Общества библейской литературы, Атланта, Джорджия .

[8] Рошди Рашед, Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй (Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, 1994), стр. 328–329.

[9] Баварская государственная библиотека , Clm 14908. См. Дэвид Юджин Смит (1925). История математики: Том II . Нью-Йорк: Дувр. п. 21. ISBN 0-486-20430-8 .

[10] Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 10.

[Pickover_C_(2001)-11] Пиковер, К. (2001). Чудеса чисел: приключения в области математики, разума и смысла . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 360. ИСБН 0-19-515799-0 .

[Peterson_I_(2002)-12] Петерсон, я (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел к волшебным кругам . Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. п. 132. ИСБН 88-8358-537-2 .

[14] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[15] Отчет об основных этапах работы GIMPS . Проверено 27 февраля 2018 г.

[mersenne-16] «Дом КИМПС» . Мерсенн.орг . Проверено 21 июля 2022 г.

[mathworld-17] Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число» . Математический мир .

[18] Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 6.

[19] «Старейшая открытая задача математики» (PDF) . Гарвард.edu . Проверено 16 июня 2023 г.

[oddperfect-20] Oddperfect.org . Архивировано 29 декабря 2006 г. в Wayback Machine.

[21] Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней проблемы чисел» . Журнал Кванта . Проверено 10 сентября 2020 г.

[Ochem_and_Rao_(2012)-22] Перейти обратно: ^а ^б ^с Охем, Паскаль; Рао, Майкл (2012). «Нечетные совершенные числа больше 10». ¹⁵⁰⁰ . (PDF) Математика вычислений . 81 (279): 1869–1877. doi : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . ISSN 0025-5718 . Zbl 1263.11005 .

[Kühnel_U-23] Кюнель, Ульрих (1950). «Ужесточение необходимых условий существования нечетных совершенных чисел». Математический журнал (на немецком языке). 52 :202-211. дои : 10.1007/BF02230691 . S2CID 120754476 .

[Roberts_T_(2008)-24] Робертс, Т. (2008). «О форме нечетного совершенного числа» (PDF) . Австралийский математический вестник . 35 (4): 244.

[Goto_and_Ohno_(2008)-25] Гото, Т; Оно, Ю (2008). «Нечетные совершенные числа имеют простой делитель, превышающий 10. ⁸» (PDF) . Математика вычислений . 77 (263): 1859–1868. Бибкод : 2008MaCom..77.1859G . doi : 10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . Проверено 30 марта 2011 г.

[AK_2012-26] Конягин, Сергей; Акваа, Питер (2012). «О простых факторах нечетных совершенных чисел». Международный журнал теории чисел . 8 (6): 1537–1540. дои : 10.1142/S1793042112500935 .

[Ianucci_DE_(1999)-27] Яннуччи, Делавэр (1999). «Второй по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает десять тысяч» (PDF) . Математика вычислений . 68 (228): 1749–1760. Бибкод : 1999MaCom..68.1749I . дои : 10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . Проверено 30 марта 2011 г.

[Zelinsky_2019-28] Зелинский, Джошуа (июль 2019 г.). «Верхние границы второго по величине простого множителя нечетного совершенного числа». Международный журнал теории чисел . 15 (6): 1183–1189. arXiv : 1810.11734 . дои : 10.1142/S1793042119500659 . S2CID 62885986 . .

[Ianucci_DE_(2000)-29] Яннуччи, DE (2000). «Третий по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает сто» (PDF) . Математика вычислений . 69 (230): 867–879. Бибкод : 2000MaCom..69..867I . дои : 10.1090/S0025-5718-99-01127-8 . Проверено 30 марта 2011 г.

[Zelinsky_2021a-30] Бибби, Шон; Винке, Питер; Зелинский, Джошуа (23 ноября 2021 г.). «О третьем по величине простом делителе нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Проверено 6 декабря 2021 г.

[Nielsen_Pace_P._(2015)-31] Нильсен, Пейс П. (2015). «Нечетные совершенные числа, диофантовы уравнения и верхние границы» (PDF) . Математика вычислений . 84 (295): 2549–2567. дои : 10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . Проверено 13 августа 2015 г.

[Nielsen_Pace_P._(2007)-32] Нильсен, Пейс П. (2007). «Нечетные совершенные числа имеют как минимум девять различных простых делителей» (PDF) . Математика вычислений . 76 (260): 2109–2126. arXiv : math/0602485 . Бибкод : 2007MaCom..76.2109N . дои : 10.1090/S0025-5718-07-01990-4 . S2CID 2767519 . Проверено 30 марта 2011 г.

[Zelinsky_2021-33] Перейти обратно: ^а ^б Зелинский, Джошуа (3 августа 2021 г.). «Об общем количестве простых делителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 21 . Проверено 7 августа 2021 г.

[Chen_and_Tang-34] Чен, Юн-Гао; Тан, Цуй-Э (2014). «Улучшены верхние границы для нечетных мультисовершенных чисел» . Бюллетень Австралийского математического общества . 89 (3): 353–359. дои : 10.1017/S0004972713000488 .

[Nielsen_(2003)-35] Нильсен, Пейс П. (2003). «Верхняя граница нечетных совершенных чисел» . Целые числа . 3 : А14–А22 . Проверено 23 марта 2021 г.

[Ochem_and_Rao_(2014)-36] Охем, Паскаль; Рао, Майкл (2014). «О количестве простых делителей нечетного совершенного числа» . Математика вычислений . 83 (289): 2435–2439. дои : 10.1090/S0025-5718-2013-02776-7 .

[ClayotonHansen-37] Грэм Клейтон, Коди Хансен (2023). «О неравенствах, связанных с подсчетом простых множителей нечетного совершенного числа» (PDF) . Целые числа . 23 . arXiv : 2303.11974 . Проверено 29 ноября 2023 г.

[LucaPomerance-38] Померанс, Карл; Лука, Флориан (2010). «О радикале совершенного числа» . Нью-Йоркский математический журнал . 16 :23–30 . Проверено 7 декабря 2018 г.

[Cohen1978-39] Коэн, Грэм (1978). «О нечетных совершенных числах». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 16 (6): 523–527.

[40] Сурьянараяна, Д. (1963). «О нечетных совершенных числах II». Труды Американского математического общества . 14 : 896–904.

[McDaniel_(1970)-41] Макдэниел, Уэйн Л. (1970). «Несуществование нечетных совершенных чисел определенного вида». Архив математики . 21 (1): 52–53. дои : 10.1007/BF01220877 . ISSN 1420-8938 . МР 0258723 . S2CID 121251041 .

[Fletcher,_Nielsen_and_Ochem_(2012)-42] Перейти обратно: ^а ^б ^с Флетчер, С. Адам; Нильсен, Пейс П.; Охем, Паскаль (2012). «Ситовые методы для нечетных совершенных чисел» (PDF) . Математика вычислений . 81 (279): 1753–1776. дои : 10.1090/S0025-5718-2011-02576-7 . ISSN 0025-5718 . МР 2904601 .

[Cohen_(1987)-43] Коэн, GL (1987). «О наибольшей компоненте нечетного совершенного числа» . Журнал Австралийского математического общества, серия A. 42 (2): 280–286. дои : 10.1017/S1446788700028251 . ISSN 1446-8107 . МР 0869751 .

[Kanold_(1950)-44] Канольд, Ханс-Иоахим [на немецком языке] (1950). «Теоремы о полиномах кругового деления и их приложения к некоторым теоретико-числовым задачам. II». Журнал чистой и прикладной математики . 188 (1): 129–146. дои : 10.1515/crll.1950.188.129 . ISSN 1435-5345 . MR0044579 . S2CID 122452828 .

[Cohen_and_Williams_(1985)-45] Перейти обратно: ^а ^б Коэн, Г.Л.; Уильямс, Р.Дж. (1985). «Расширение некоторых результатов, касающихся нечетных совершенных чисел» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 23 (1): 70–76. ISSN 0015-0517 . МР 0786364 .

[Hagis_and_McDaniel_(1972)-46] Хагис, Питер младший; Макдэниел, Уэйн Л. (1972). «Новый результат о строении нечетных совершенных чисел» . Труды Американского математического общества . 32 (1): 13–15. дои : 10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5 . ISSN 1088-6826 . МР 0292740 .

[McDaniel_and_Hagis_(1975)-47] Макдэниел, Уэйн Л.; Хагис, Питер младший (1975). «Некоторые результаты, касающиеся отсутствия нечетных совершенных чисел вида $p^{\alpha }M^{2\beta }$ . (PDF) Fibonacci Quarterly . 13 (1): 25–28. ISSN 0015-0517 . MR 0354538 .

[Yamada_(2019)-48] Ямада, Томохиро (2019). «Новая верхняя оценка нечетных совершенных чисел специального вида». Коллоквиум Математикум . 156 (1): 15–21. arXiv : 1706.09341 . дои : 10.4064/см7339-3-2018 . ISSN 1730-6302 . S2CID 119175632 .

[49] Сборник математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра с. 590, тр. из «О так называемых числах Гамильтона», Compte Rendu de l'Association Française (Тулуза, 1887), стр. 164–168.

[50] Маковский, А. (1962). «Замечание о совершенных числах». Элем. Математика . 17 (5): 109.

[51] Галлардо, Луис Х. (2010). «К замечанию Маковского о совершенных числах» . Элем. Математика . 65 (3): 121–126. дои : 10.4171/EM/149 . .

[52] Ян, Сонг Ю. (2012), Вычислительная теория чисел и современная криптография , John Wiley & Sons, раздел 2.3, упражнение 2 (6), ISBN 9781118188613 .

[53] Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999). «Характеристика нетрапециевидных чисел». Математический вестник . 83 (497). Математическая ассоциация: 262–263. дои : 10.2307/3619053 . JSTOR 3619053 . S2CID 125545112 .

[Hornfeck_(1955)-54] Хорнфек, Б. (1955). «О плотности множества совершенных чисел». Арх . 6 (6): 442–443. дои : 10.1007/BF01901120 . S2CID 122525522 .

[55] Канольд, HJ (1956). «Замечание о множестве совершенных чисел». Математика . 131 (4): 390–392. дои : 10.1007/BF01350108 . S2CID 122353640 .

[56] Х. Новарезе. Примечание о совершенных числах Тексейра Дж. VIII (1886), 11–16.

[57] Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел, Vol. Я. Вашингтон: Вашингтонский Институт Карнеги. п. 25.

[58] Редмонд, Дон (1996). Теория чисел: введение в чистую и прикладную математику . Чепмен и Холл / CRC Чистая и прикладная математика. Том. 201. ЦРК Пресс. Задача 7.4.11, с. 428. ИСБН 9780824796969 . .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[а]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

v т Это Наборы целых чисел на основе делимости
Overview	Integer factorization Divisor Unitary divisor Divisor function Prime factor Fundamental theorem of arithmetic
Factorization forms	Prime Composite Semiprime Pronic Sphenic Square-free Powerful Perfect power Achilles Smooth Regular Rough Unusual
Constrained divisor sums	Perfect Almost perfect Quasiperfect Multiply perfect Hemiperfect Hyperperfect Superperfect Unitary perfect Semiperfect Practical Erdős–Nicolas
With many divisors	Abundant Primitive abundant Highly abundant Superabundant Colossally abundant Highly composite Superior highly composite Weird
Aliquot sequence-related	Untouchable Amicable (Triple) Sociable Betrothed
Base-dependent	Equidigital Extravagant Frugal Harshad Polydivisible Smith
Other sets	Arithmetic Deficient Friendly Solitary Sublime Harmonic divisor Descartes Refactorable Superperfect