Теорема Евклида – Эйлера

Теорема Евклида -Эйлера — это теорема теории чисел , которая связывает совершенные числа с простыми числами Мерсенна . Он утверждает, что четное число является совершенным тогда и только тогда, когда оно имеет форму $2. р -1 (2 п - 1)$ , где $2 п - 1$ — простое число . Теорема названа в честь математиков Евклида и Леонарда Эйлера , которые соответственно доказали аспекты теоремы «если» и «только если».

Было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна. Хотя истинность этой гипотезы остается неизвестной, по теореме Евклида-Эйлера она эквивалентна гипотезе о том, что существует бесконечно много даже совершенных чисел. Однако также неизвестно, существует ли хотя бы одно нечетное совершенное число. ^{[ 1 ]}

Заявление и примеры

Совершенное число — это натуральное число , которое равно сумме своих собственных делителей , чисел, которые меньше его и делят его поровну (с остатком нулевым ). Например, правильные делители числа 6 — это 1, 2 и 3, что в сумме дает 6, поэтому 6 — идеальное число.

Простое число Мерсенна — это простое число вида $M p = 2 п - 1$ , на единицу меньше степени двойки . Чтобы числа этой формы были простыми, $само p$ также должно быть простым, но не все простые числа таким образом порождают простые числа Мерсенна. Например, 2 ³ − 1 = 7 — простое число Мерсенна, а 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 — нет.

Теорема Евклида–Эйлера утверждает, что четное натуральное число является совершенным тогда и только тогда, когда оно имеет вид $2. р -1 M p$ , где $M p$ — простое число Мерсенна. ^{[ 1 ]} Совершенное число 6 получается из $p = 2$ таким образом, как 2 ²⁻¹ $M$ ₂ = 2 × 3 = 6 , а простое число Мерсенна 7 таким же образом соответствует совершенному числу 28.

История

Евклид доказал, что $2 р -1 (2 п - 1)$ является четным совершенным числом, если $2 п - 1$ — простое число. Это окончательный результат по теории чисел в » Евклида «Началах ; более поздние книги «Элементов» вместо этого посвящены иррациональным числам , твердой геометрии и золотому сечению . Евклид выражает результат, утверждая, что если конечный геометрический ряд, начинающийся с 1 с отношением 2, имеет простую сумму $q$ , то эта сумма, умноженная на последний член $t,$ ряда является идеальной. Выраженная в этих терминах сумма $q$ конечного ряда представляет собой простое число Мерсенна $2 п - 1$ , а последний член $t$ ряда $представляет собой степень двойки 2 р -1$ . Евклид доказывает, что $qt$ совершенен, наблюдая, что геометрическая серия с соотношением 2, начинающимся с $q$ , с тем же количеством членов пропорциональна исходной серии; следовательно, поскольку сумма исходного ряда равна $q = 2 t - 1$ , сумма второго ряда равна $q (2 t - 1) = 2 qt - q$ , что в два раза превышает $, и обе серии вместе в сумме дают 2 qt$ предполагаемое идеальное число. Однако эти две серии не пересекаются друг с другом и (из-за простоты $q$ ) исчерпывают все делители $qt$ , поэтому $qt$ имеет делители, сумма которых равна $2 qt$ , что показывает, что она совершенна. ^{[ 2 ]}

Спустя тысячелетие после Евклида Альхазен ок. В 1000 г. н. э. предположили, что каждое четное совершенное число имеет вид $2. р -1 (2 п - 1)$ где $2 п - 1$ простое число, но ему не удалось доказать этот результат. ^{[ 3 ]} Лишь в XVIII веке, более чем через 2000 лет после Евклида, ^{[ 4 ]} что Леонард Эйлер доказал, что формула $2 р -1 (2 п - 1)$ даст все четные совершенные числа. ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]} Таким образом, между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна существует связь один к одному; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. После доказательства Эйлером теоремы Евклида-Эйлера другие математики опубликовали различные доказательства, в том числе Виктор-Амеде Лебег , Роберт Дэниел Кармайкл , Леонард Юджин Диксон , Джон Кнопфмахер и Уэйн Л. МакДэниел. Доказательство Диксона, в частности, широко использовалось в учебниках. ^{[ 6 ]}

Эта теорема была включена в веб-список «100 лучших математических теорем», датируемый 1999 годом, который позже стал использоваться Фриком Видийком в качестве эталонного набора для проверки возможностей различных помощников по доказательству . К 2024 году доказательство теоремы Евклида-Эйлера было формализовано в 7 из 12 помощников по доказательству, записанных Видийком. ^{[ 7 ]}

Доказательство

Доказательство Эйлера короткое. ^{[ 1 ]} и зависит от того, что делителей суммы $σ$ мультипликативна функция ; то есть, если $a$ и $b$ — любые два относительно простых целых числа, то $σ (ab) = σ (a) σ (b)$ . Чтобы эта формула была верной, сумма делителей числа должна включать само число, а не только правильные делители. Число является совершенным тогда и только тогда, когда сумма его делителей вдвое превышает его значение.

Достаточность

Одно направление теоремы (часть, уже доказанная Евклидом) непосредственно следует из мультипликативного свойства: каждое простое число Мерсенна порождает четное совершенное число. Когда $2 п - 1$ — простое число, $\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).$ Делители $2 р -1$ это $1, 2, 4, 8, ..., 2 р -1$ . Сумма этих делителей представляет собой геометрическую прогрессию , сумма которой равна $2 п - 1$ . Далее, поскольку $2 п - 1$ простое число, его единственные делители — $1$ и оно само, поэтому сумма его делителей равна $2. п$ .

Объединив это, ${\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1).\end{aligned}}$ Следовательно, $2 р -1 (2 п - 1)$ идеально. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Необходимость

В другом направлении предположим, что дано четное совершенное число, и частично разложим его на $2. к x$ , где $x$ нечетно. Для $двоих к Чтобы x$ был идеальным, сумма его делителей должна быть вдвое больше его значения:

2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x).

(∗)

Странный фактор $2 к +1 - 1$ в правой части (∗) не меньше 3, и оно должно делить $x$ , единственный нечетный множитель в левой части, поэтому $x /(2 к +1 - 1)$ является собственным делителем $x$ . Разделив обе части (∗) на общий множитель $2 к +1 - 1$ и учитывая известные делители $x$ и $x /(2 к +1 - 1)$ от $x$ дает

2^{k+1}x/(2^{k+1}-1)=\sigma (x)=x+x/(2^{k+1}-1)+{}

другие делители

{}=2^{k+1}x/(2^{k+1}-1)+{}

другие делители.

Чтобы это равенство было истинным, не может быть других делителей. Следовательно, $x /(2 к +1 - 1)$ должно быть $1$ , а $x$ должно быть простым числом вида $2 к +1 - 1$ . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Стиллвелл, Джон (2010), Математика и ее история , Тексты для студентов по математике , Springer, стр. 40, ISBN 978-1-4419-6052-8 .
^ Евклид (1956), Тринадцать книг Элементов, перевод с введением и комментариями сэра Томаса Л. Хита, Vol. 2 (Книги III–IX) (2-е изд.), Дувр, стр. 421–426 . См., в частности, Предложение IX.36.
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Поллак, Пол; Шевелев, Владимир (2012), «О совершенных и почти совершенных числах», Журнал теории чисел , 132 (12): 3037–3046, arXiv : 1011.6160 , doi : 10.1016/j.jnt.2012.06.008 , MR 2965207 , S2CID 13607242
^ Эйлер, Леонард (1849), «De numeris amicibilibus» [О дружественных числах], Commentationes arithmeticae (на латыни), vol. 2, стр. 627–636 . Первоначально прочитано в Берлинской академии 23 февраля 1747 года и опубликовано посмертно. См., в частности, раздел 8, с. 88.
^ Коэн, Грэм Л. (март 1981 г.), «Даже совершенные числа», The Mathematical Gazette , 65 (431): 28–30, doi : 10.2307/3617930 , JSTOR 3617930 , S2CID 125868737
^ Видейк, Фрик, Формализация 100 теорем , Институт вычислительных и информационных наук Университета Радбауд , получено 20 февраля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б Герштейн, Ларри (2012), Введение в математические структуры и доказательства , Тексты для студентов по математике, Спрингер, Теорема 6.94, стр. 339, ISBN 978-1-4614-4265-3 .
^ Jump up to: ^а ^б Колдуэлл, Крис К., «Доказательство того, что все четные совершенные числа являются степенью, умноженной на удвоенное простое число Мерсенна» , Prime Pages , получено 2 декабря 2014 г.
^ Jump up to: ^а ^б Траваглини, Джанкарло (2014), Теория чисел, анализ Фурье и геометрическое несоответствие , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 81, Издательство Кембриджского университета, стр. 26–27, ISBN. 978-1-107-04403-6 .

[stillwell-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Стиллвелл, Джон (2010), Математика и ее история , Тексты для студентов по математике , Springer, стр. 40, ISBN 978-1-4419-6052-8 .

[2] Евклид (1956), Тринадцать книг Элементов, перевод с введением и комментариями сэра Томаса Л. Хита, Vol. 2 (Книги III–IX) (2-е изд.), Дувр, стр. 421–426 . См., в частности, Предложение IX.36.

[3] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[4] Поллак, Пол; Шевелев, Владимир (2012), «О совершенных и почти совершенных числах», Журнал теории чисел , 132 (12): 3037–3046, arXiv : 1011.6160 , doi : 10.1016/j.jnt.2012.06.008 , MR 2965207 , S2CID 13607242

[5] Эйлер, Леонард (1849), «De numeris amicibilibus» [О дружественных числах], Commentationes arithmeticae (на латыни), vol. 2, стр. 627–636 . Первоначально прочитано в Берлинской академии 23 февраля 1747 года и опубликовано посмертно. См., в частности, раздел 8, с. 88.

[6] Коэн, Грэм Л. (март 1981 г.), «Даже совершенные числа», The Mathematical Gazette , 65 (431): 28–30, doi : 10.2307/3617930 , JSTOR 3617930 , S2CID 125868737

[7] Видейк, Фрик, Формализация 100 теорем , Институт вычислительных и информационных наук Университета Радбауд , получено 20 февраля 2024 г.

[imsp-8] Jump up to: ^а ^б Герштейн, Ларри (2012), Введение в математические структуры и доказательства , Тексты для студентов по математике, Спрингер, Теорема 6.94, стр. 339, ISBN 978-1-4614-4265-3 .

[pp-9] Jump up to: ^а ^б Колдуэлл, Крис К., «Доказательство того, что все четные совершенные числа являются степенью, умноженной на удвоенное простое число Мерсенна» , Prime Pages , получено 2 декабря 2014 г.

[ntfagd-10] Jump up to: ^а ^б Траваглини, Джанкарло (2014), Теория чисел, анализ Фурье и геометрическое несоответствие , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 81, Издательство Кембриджского университета, стр. 26–27, ISBN. 978-1-107-04403-6 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]