Ленстерская группа
В математике группа Ленстера — это конечная группа которой , порядок равен сумме порядков ее собственных нормальных подгрупп . [1] [2]
Группы Ленстера названы в честь Тома Ленстера, математика из Эдинбургского университета , который написал о них в статье, написанной в 1996 году, но опубликованной только в 2001 году. [3] Он назвал их «идеальными группами». [3] а позже «безупречные группы», [4] в группы Ленстера, но они были переименованы Де Медтсом и Мароти (2013) поскольку « идеальная группа » уже имела другое значение ( группа , равная своему коммутатору ). [2]
Группы Ленстера дают теоретико-групповой способ анализа совершенных чисел и подход к все еще нерешенной проблеме существования нечетных совершенных чисел .Для циклической группы порядки подгрупп являются просто делителями порядка группы:поэтому циклическая группа является группой Ленстера тогда и только тогда, когда ее порядок является совершенным числом. [2] Более строго, как доказал Ленстер , абелева группа является группой Ленстера тогда и только тогда, когда это циклическая группа, порядок которой является совершенным числом. [3] Более того, Ленстер показал, что диэдральные группы Ленстера находятся во взаимно однозначном соответствии с нечетными совершенными числами, поэтому существование нечетных совершенных чисел эквивалентно существованию диэдральных групп Ленстера.
Примеры
[ редактировать ]Циклические группы, порядок которых является совершенным числом, являются группами Ленстера. [3]
группа Ленстера может Неабелева иметь нечетный порядок; пример заказа 355433039577 был построен Франсуа Брюно. [1] [4]
Другие примеры неабелевых групп Ленстера включают определенные группы вида , где представляет собой знакопеременную группу и является циклической группой. Например, группы , [4] , и [5] являются ленстеровскими группами. Те же примеры можно построить и с симметрическими группами , т. е. группами вида , такой как . [3]
Возможные порядки групп Ленстера образуют целочисленную последовательность
- 6, 12, 28, 30, 56, 360, 364, 380, 496, 760, 792, 900, 992, 1224, ... (последовательность A086792 в OEIS )
Неизвестно, существует ли бесконечно много ленстерских групп.
Характеристики
[ редактировать ]- Не существует симметричных или знакопеременных групп Ленстера. [3]
- не существует. Ленстеровской группы порядка p 2 д 2 где p , q — простые числа . [1]
- Ни одна конечная полупростая группа не является ленстерской. [1]
- Ни одна p -группа не может быть ленстеровской группой. [4]
- Все абелевы группы Ленстера цикличны с порядком, равным совершенному числу. [3]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Байшья, Сехар Джьоти (2014), «Возвращаясь к группам Ленстера», Comptes Rendus Mathématique , 352 (1): 1–6, doi : 10.1016/j.crma.2013.11.009 , MR 3150758 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Де Медтс, Том; Мароти, Аттила (2013), «Совершенные числа и конечные группы» (PDF) , Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova , 129 : 17–33, doi : 10.4171/RSMUP/129-2 , MR 3090628 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г Ленстер, Том (2001), «Совершенные числа и группы» (PDF) , Eureka , 55 : 17–27, arXiv : math/0104012 , Bibcode : 2001math......4012L
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Ленстер, Том (2011), «Существует ли группа нечетного порядка, порядок которой является суммой порядков собственных нормальных подгрупп?» , MathOverflow . Принят ответ Франсуа Брюно, цитируется Байшьей (2014) .
- ^ Вег, Яниор (2018), «Решения уравнения ( m ! + 2) σ ( n ) = 2 n ⋅ m ! где 5 ≤ m » , math.stackexchange.com . Принят ответ Джулиана Агирре.