Номер Гранвилля

В математике , особенно в теории чисел , числа Гранвилля , также известные как ${\mathcal {S}}$ -совершенные числа являются продолжением совершенных чисел .

Набор Гранвилля

В 1996 году Эндрю Грэнвилл предложил следующую конструкцию набора ${\mathcal {S}}$ : ^[1]

Позволять

1\in {\mathcal {S}}

, и для любого целого числа

n

больше 1, пусть

n\in {\mathcal {S}}

если

\sum _{d\mid n,\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d\leq n.

Число Гранвилля элементом является ${\mathcal {S}}$ для которого имеет место равенство, т. е. $n$ является числом Гранвилля, если оно равно сумме своих собственных делителей, также находящихся в ${\mathcal {S}}$ . Числа Гранвилля еще называют числами Гранвилля. ${\mathcal {S}}$ -совершенные числа. ^[2]

Общие свойства

Элементы ${\mathcal {S}}$ может быть $k$ -дефицитным, $k$ -идеальным или $k$ -избыточным. В частности, 2-совершенные числа являются собственным подмножеством ${\mathcal {S}}$ . ^[1]

S-дефицитные числа

Числа, которые удовлетворяют строгой форме неравенства в приведенном выше определении, известны как ${\mathcal {S}}$ -недостаточные цифры. То есть ${\mathcal {S}}$ -дефицитные числа – это натуральные числа, у которых сумма их делителей ${\mathcal {S}}$ строго меньше их самих:

\sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d<{n}

S-совершенные числа

Числа, которые удовлетворяют равенству в приведенном выше определении, известны как ${\mathcal {S}}$ -совершенные числа. ^[1] То есть ${\mathcal {S}}$ -совершенные числа – это натуральные числа, равные сумме своих делителей в ${\mathcal {S}}$ . Первые несколько ${\mathcal {S}}$ -совершенные числа:

6, 24, 28, 96, 126, 224, 384, 496, 1536, 1792, 6144, 8128, 14336, ... (последовательность A118372 в OEIS )

Каждое совершенное число также ${\mathcal {S}}$ -идеальный. ^[1] Однако есть числа, например 24, которые являются ${\mathcal {S}}$ - идеально, но не идеально. Единственный известный ${\mathcal {S}}$ -совершенное число с тремя различными простыми множителями: 126 = 2 · 3. ² · 7. ^[2]

Каждое число формы 2^(n - 1) * (2^n - 1) * (2^n)^m, где m >= 0, где 2^n - 1 — простое число, является числом Гранвилля. Итак, чисел Гранвилля бесконечно много, и бесконечное семейство имеет 2 простых делителя — 2 и простое число Мерсенна. Другие включают 126, 5540590, 9078520, 22528935, 56918394 и 246650552, имеющие 3, 5, 5, 5, 5 и 5 простых делителей.

S-обильные числа

Числа, нарушающие неравенство в приведенном выше определении, известны как ${\mathcal {S}}$ -обильное количество. То есть ${\mathcal {S}}$ -обильные числа – это натуральные числа, у которых сумма их делителей ${\mathcal {S}}$ строго больше их самих:

\sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d>{n}

к дополнению Они принадлежат ${\mathcal {S}}$ . Первые несколько ${\mathcal {S}}$ -обильные числа:

12, 18, 20, 30, 42, 48, 56, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 102, 104, ... (последовательность A181487 в OEIS )

Примеры

Каждое неполное число и каждое совершенное число находятся в ${\mathcal {S}}$ поскольку ограничение суммы делителей членами ${\mathcal {S}}$ либо уменьшает сумму делителей, либо оставляет ее неизменной. Первое натуральное число, которого нет в ${\mathcal {S}}$ — наименьшее многочисленное число , равное 12. Следующие два избыточных числа, 18 и 20, также не входят в число ${\mathcal {S}}$ . Однако четвертое число, 24, находится в ${\mathcal {S}}$ потому что сумма его собственных делителей в ${\mathcal {S}}$ является:

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 = 24

Другими словами, 24 — это много, но не ${\mathcal {S}}$ -обильно, потому что 12 не входит ${\mathcal {S}}$ . На самом деле 24 ${\mathcal {S}}$ -perfect – это наименьшее число, которое есть ${\mathcal {S}}$ - идеально, но не идеально.

Наименьшее нечетное обильное число, входящее в ${\mathcal {S}}$ равно 2835, а наименьшая пара последовательных чисел, не входящих в ${\mathcal {S}}$ 5984 и 5985. ^[1]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Де Конинк Дж. М., Ивич А. (1996). «О задаче о сумме делителей» (PDF) . Публикации математического института . 64 (78): 9–20 . Проверено 27 марта 2011 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б де Конинк, Жан-Мари (2008). Эти очаровательные цифры . Перевод де Конинка, Дж. М. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 40. ISBN 978-0-8218-4807-4 . МР 2532459 . OCLC 317778112 .

[De_Koninck_(1998)-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Де Конинк Дж. М., Ивич А. (1996). «О задаче о сумме делителей» (PDF) . Публикации математического института . 64 (78): 9–20 . Проверено 27 марта 2011 г.

[De_Koninck_2009-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б де Конинк, Жан-Мари (2008). Эти очаровательные цифры . Перевод де Конинка, Дж. М. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 40. ISBN 978-0-8218-4807-4 . МР 2532459 . OCLC 317778112 .

[1]

[2]