Недостаточное число
В теории чисел недостающее число или дефектное число — это целое положительное число n , для которого сумма делителей числа n меньше 2 n . Эквивалентно, это число, для которого сумма собственных делителей (или аликвотная сумма ) меньше n . Например, правильные делители числа 8 — это 1, 2 и 4 , а их сумма меньше 8, поэтому 8 — неполное.
Обозначая через σ ( n ) сумму делителей, величину – 2n σ ( n ) называют числа недостатком . В терминах аликвотной суммы s ( n ) дефицит равен n – s ( n ) .
Примеры [ править ]
Первые несколько недостающих чисел
- 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (последовательность A005100 в OEIS )
В качестве примера рассмотрим число 21. Его делители — 1, 3, 7 и 21, а их сумма — 32. Поскольку 32 меньше 42, число 21 является неполным. Его дефицит составляет 2 × 21 − 32 = 10.
Свойства [ править ]
Поскольку аликвотные суммы простых чисел равны 1, все простые числа являются дефектными. [1] В более общем смысле все нечетные числа с одним или двумя различными простыми множителями являются дефектными. Отсюда следует, что существует бесконечно много нечетных дефектных чисел. Существует также бесконечное количество четных неполных чисел, поскольку все степени двойки имеют сумму ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2). х -1 = 2 Икс - 1 ).
В более общем смысле, все основные степени являются несовершенными, поскольку их единственные собственные делители какая сумма , что максимум . [2]
Все собственные делители неполного числа являются дефектными. [3] Более того, все собственные делители совершенных чисел несовершенны. [4]
В интервале существует хотя бы одно неполное число для всех достаточно больших n . [5]
![{\displaystyle [n,n+(\log n)^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e4c49e65391a126244afffa7a3544a359cdfec)
Связанные понятия [ править ]
Тесно связаны с дефицитными числами совершенные числа с σ ( n ) = 2 n и обильные числа с σ ( n ) > 2 n .
Никомах был первым, кто разделил числа на недостающие, совершенные и обильные в своем «Введении в арифметику» (около 100 г. н.э.). Однако он применил эту классификацию только к четным числам . [6]
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Приелипп (1970) , Теорема 1, стр. 693–694.
- ^ Прилипп (1970) , Теорема 2, с. 694
- ^ Прилипп (1970) , Теорема 7, с. 695
- ^ Прилипп (1970) , Теорема 3, с. 694
- ^ Шандор, Митринович и Крстичи (2006) , с. 108.
- ^ Диксон (1919) , с. 3.
Ссылки [ править ]
- Диксон, Леонард Юджин (1919). История теории чисел, Том. Я: Делимость и первичность . Институт Карнеги в Вашингтоне.
- Приепп, Роберт В. (1970). «Совершенные числа, обильные числа и недостаточные числа». Учитель математики . 63 (8): 692–696. дои : 10.5951/MT.63.8.0692 . JSTOR 27958492 .
- Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел И. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9 . Збл 1151.11300 .
Внешние ссылки [ править ]
- Главный глоссарий: недостающее число
- Вайсштейн, Эрик В. «Недостаточное число» . Математический мир .
- недостающее число в PlanetMath .
Наборы целых чисел на основе делимости |
|---|
Классы натуральных чисел |
|---|
