Транспонируемое целое число

Цифры некоторых конкретных целых чисел циклически переставляются или сдвигаются , когда их умножают на число n . Примеры:

142857 × 3 = 428571 (циклически сдвигается на одну позицию влево)
142857 × 5 = 714285 (циклически сдвигается на одну позицию вправо)
128205 × 4 = 512820 (циклически сдвигается на одну позицию вправо)
076923 × 9 = 692307 (циклически сдвигается на две позиции влево)

Эти конкретные целые числа, известные как транспонируемые целые числа , могут быть, но не всегда, циклическими числами . Характеристика таких чисел может быть выполнена с помощью повторяющихся десятичных дробей (и, следовательно, связанных с ними дробей) или напрямую.

Общие [ править ]

Для любого целого числа, взаимно простого с 10, его обратная величина представляет собой повторяющуюся десятичную дробь без каких-либо неповторяющихся цифр. Например 1 ⁄ 143 = 0. 006993 006993 006993 ...

Хотя выражение одной серии с бороздкой наверху является адекватным, цель приведенного выше выражения состоит в том, чтобы показать, что шесть циклических перестановок 006993 могут быть получены из этой повторяющейся десятичной дроби, если мы выберем шесть последовательных цифр из повторяющейся десятичной дроби, начиная с разных цифры.

Это показывает, что циклические перестановки каким-то образом связаны с повторяющимися десятичными дробями и соответствующими им дробями.

Наибольший общий делитель (НОД) между любой циклической перестановкой m -значного целого числа и 10. ^м − 1 является постоянным. Выраженный в виде формулы,

\gcd \left(N,10^{m}-1\right)=\gcd \left(N_{c},10^{m}-1\right),

где N представляет собой m -значное целое число; и N _c — любая циклическая перестановка N .

Например,

   gcd(091575, 999999) = gcd(3²×5²×11×37, 3³×7×11×13×37)
                       = 3663
                       = gcd(915750, 999999)
                       = gcd(157509, 999999)
                       = gcd(575091, 999999)
                       = gcd(750915, 999999)
                       = gcd(509157, 999999)

Если N представляет собой m -значное целое число, число N _c , полученное путем циклического сдвига N влево, может быть получено из:

N_{c}=10N-d\left(10^{m}-1\right),\,

где d — первая цифра числа N , а m — количество цифр.

Это объясняет приведенный выше общий НОД, и это явление справедливо для любой базы, если 10 заменить на b , базу.

Таким образом, циклические перестановки связаны с повторяющимися десятичными дробями, соответствующими дробями и делителями 10. ^м−1. Например, дроби, связанные с вышеуказанными циклическими перестановками, таковы:

091575 ⁄ 999999 , 915750 ⁄ 999999 , 157509 ⁄ 999999 , 575091 ⁄ 999999 , 750915 ⁄ 999999 и 509157 ⁄ 999999 .

Сведенные к наименьшим значениям с использованием общего НОД, они таковы:

25 ⁄ 273 , 250 ⁄ 273 , 43 ⁄ 273 , 157 ⁄ 273 , 205/273 и 139 ⁄ 273 .

То есть эти дроби, выраженные в наименьшей степени , имеют одинаковый знаменатель. Это справедливо для циклических перестановок любого целого числа.

Метод дроби [ править ]

Интегральный множитель [ править ]

Целочисленный множитель означает, что множитель n является целым числом:

Целое число X циклически сдвигается вправо на k позиций при умножении на целое число n . X — это повторяющиеся цифры 1 ⁄ F , причем F представляет собой F ₀ = n 10 ^к − 1 ( F ₀ взаимно просто с 10) или множитель F ₀ ; исключая любые значения F , не превышающие n .
Целочисленный X сдвиг влево циклически на k позиций при умножении на целое число n . X — это повторяющиеся цифры 1 ⁄ F , причем F равно F ₀ = 10 ^к - n или коэффициент F ₀ ; исключая любые значения F , которые не больше n и не являются взаимно простыми с 10.

Необходимо, чтобы F было взаимно простым с 10, чтобы 1 ⁄ F — повторяющаяся десятичная дробь без предшествующих неповторяющихся цифр (см. несколько разделов « Повторяющаяся десятичная дробь» ). Если есть цифры не в точке, то соответствующего решения нет.

Для этих двух случаев числа, кратные X , то есть ( j X ), также являются решениями при условии, что целое число i удовлетворяет условию n j ⁄ F < 1. Чаще всего удобно выбирать наименьшее F, соответствующее приведенному выше. Решения можно выразить формулой:

X=j{\frac {10^{p}-1}{F}}

где p — длина периода 1 ⁄ Ф ; и F является множителем F _0, взаимно простым с 10.

Например, F ₀ = 1260 = 2 ² × 3 ² × 5 × 7. Множители, исключающие 2 и 5, складываются в F = 3 ² × 7 = 63. Альтернативно вычеркните все конечные нули от 1260 до 126, а затем итеративно разделите его на 2 (или 5), пока частное не перестанет делиться на 2 (или 5). Результат также F = 63.

Чтобы исключить из решений целые числа, начинающиеся с нулей, выберите целое число j такое, что j ⁄ F > 1 ⁄ 10 , т.е. j > F ⁄ 10 .

Не существует решения, когда n > F .

Дробный множитель [ править ]

Целочисленный X сдвиг влево циклически на k позиций при его умножении на дробь п ⁄ с . X — это повторяющиеся цифры s ⁄ F , причем F представляет собой F ₀ = s 10 ^к - n или коэффициент F ₀ ; и F должно быть взаимно простым с 10.

В этом третьем случае кратные X , то есть ( j X ), снова являются решениями, но условие, которое должно быть выполнено для целого числа j, состоит в том, что n j ⁄ F < 1. Опять же удобно выбрать наименьшее F , соответствующее приведенному выше.

Решения можно выразить формулой:

X=js{\frac {10^{p}-1}{F}}

где p определяется аналогично; и F становится взаимно простым с 10 тем же процессом, что и раньше.

Чтобы исключить из решений целые числа, начинающиеся с нулей, выберите целое число j такое, что j s ⁄ F > 1 ⁄ 10 , т.е. j > F ⁄ 10 s .

Опять же, если j s ⁄ F > 1, решения нет.

Прямое представительство [ править ]

Подход прямой алгебры к вышеуказанным случаям интегрального множителя приводит к следующей формуле:

$X=D{\frac {10^{m}-1}{n10^{k}-1}},$
где m — количество цифр X , а D — k -значное число, сдвинутое от нижнего конца X к верхнему концу n X , удовлетворяет D < 10 ^к.

Если числа не должны иметь ведущих нулей, то n 10 ^{к - 1} ≤ Д.
$X=D{\frac {10^{m}-1}{10^{k}-n}},$ $X=D{\frac {10^{m}-1}{10^{k}-n}},$
где m — количество цифр X , а D — k -значное число, сдвинутое от верхнего конца X к нижнему концу n X , удовлетворяет:
1. $D<{\frac {10^{k}}{n}}-1,$
2. и 10-часть (произведение членов, соответствующих простым числам 2 и 5 факторизации ) из 10 ^к − n делит D.
  Десятая часть целого числа t часто сокращается $\operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).$
Если числа не должны иметь ведущих нулей, то 10 ^{к - 1} ≤ Д.

Циклическая перестановка путем умножения [ править ]

Длинное деление 1 на 7 дает:

        0.142857...
    7 ) 1.000000
         .7
          3
          28
           2
           14
            6
            56
             4
             35
              5
              49
               1

На последнем шаге в качестве остатка снова появляется 1. Циклические остатки: {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Перепишем частное с соответствующими делимыми/остатками над ними на всех шагах:

    Dividend/Remainders    1 3 2 6 4 5
    Quotients              1 4 2 8 5 7

а также обратите внимание, что:

1 ⁄ 7 = 0.142857...
3 ⁄ 7 = 0.428571...
2 ⁄ 7 = 0.285714...
6 ⁄ 7 = 0.857142...
4 ⁄ 7 = 0.571428...
5 ⁄ 7 = 0.714285...

Таким образом, наблюдая за остатками на каждом шаге, мы можем выполнить желаемую циклическую перестановку путем умножения. Например,

Целое число 142857, соответствующее остатку 1, превращается в 428571 при умножении на 3, соответствующий остаток последнего.
Целое число 142857, соответствующее остатку 1, превращается в 857142 при умножении на 6, соответствующий остаток последнего.
Целое число 857142, соответствующее остатку 6, превращается в 571428 при умножении на 5 ⁄ 6 ; т.е. разделить на 6 и умножить на 5, соответствующий остаток последнего.

Таким образом может быть выполнен циклический сдвиг влево или вправо на любое количество позиций.

Что менее важно, этот метод можно применить к любому целому числу для циклического сдвига вправо или влево на любое заданное количество позиций по следующей причине:

Каждую повторяющуюся десятичную дробь можно выразить как рациональное число (дробь).
Каждое целое число, добавленное с десятичной точкой впереди и объединенное само с собой бесконечное количество раз, может быть преобразовано в дробь, например, мы можем преобразовать 123456 таким образом в 0,123456123456..., что, таким образом, может быть преобразовано в дробь. 123456 ⁄ 999999 . Эту дробь можно еще упростить, но здесь мы этого делать не будем.
Чтобы переставить целое число 123456 в 234561, все, что нужно сделать, это умножить 123456 на 234561 ⁄ 123456 . Это похоже на мошенничество, но если 234561/123456 целое число ( — в данном случае это не так), миссия выполнена.

Доказательство формулы для циклического сдвига вправо [ править ]

Целое число X циклически сдвигается вправо на k позиций, когда оно умножается на целое число n . Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала осознайте, что X — это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда имеет циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное n X будут иметь следующую связь:

Целое число X — это повторяющиеся цифры дроби. 1 ⁄ F , скажем, d _p d _p-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ , где d _p , d _p-1 , ..., d ₃ , d ₂ и d ₁ каждый представляет цифру, а p - это цифра. количество цифр.
Таким образом, кратное n X представляет собой повторяющиеся цифры дроби. n ⁄ F , скажем, d _k d _k-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ...d _k+2 d _k+1 , представляя результаты после циклического сдвига вправо на k позиций.
F должно быть взаимно простым с 10, чтобы при 1 ⁄ F выражается в десятичной дроби, нет предшествующих неповторяющихся цифр, в противном случае повторяющаяся десятичная дробь не обладает циклическим поведением при умножении.
Если первый остаток принимается равным n, то 1 будет ( k + 1)-м остатком в длинном делении для n ⁄ F , чтобы произошла эта циклическая перестановка.
Для того, чтобы n × 10 ^к = 1 (mod F ), то F должно быть либо F ₀ = ( n × 10 ^к - 1), или коэффициент F ₀ ; но исключая любые значения не более n и любые значения, имеющие нетривиальный общий делитель с 10, как указано выше.

Это завершает доказательство.

сдвига влево для циклического Доказательство формулы

Целое число X циклически сдвигается влево на k позиций при умножении на целое число n . Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала осознайте, что X — это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда имеет циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное n X будут иметь следующую связь:

Целое число X — это повторяющиеся цифры дроби. 1 ⁄ F , скажем, d _p d _p-1 ...d ₃ d ₂ d ₁ .
Таким образом, кратное n X представляет собой повторяющиеся цифры дроби. n ⁄ F , скажем , d _p-k d _p-k-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ... d _p-k+1 ,

который представляет результаты после циклического сдвига влево на k позиций.

F должно быть взаимно простым с 10, чтобы 1 ⁄ F не имеет предшествующих неповторяющихся цифр, иначе повторяющаяся десятичная дробь не обладает циклическим поведением при умножении.
Если первый остаток принимается равным 1, то n должно быть ( k + 1)-м остатком в длинном делении для 1 ⁄ F , чтобы произошла эта циклическая перестановка.
Для того, чтобы 1 × 10 ^к = n (режим F ), то F должно быть либо F ₀ = (10 ^к - n ), или коэффициент F ₀ ; но исключая любое значение, не превышающее n , и любое значение, имеющее нетривиальный общий делитель с 10, как указано выше.

Это завершает доказательство. Доказательство для нецелого множителя, такого как n ⁄ s может быть получено аналогичным способом и здесь не описано.

Циклическое смещение целого числа [ править ]

Перестановки могут быть:

Циклический сдвиг вправо на одну позицию ( паразитные числа );
Циклическое смещение вправо на двойные позиции;
Циклический сдвиг вправо на любое количество позиций;
Циклическое смещение влево на одну позицию;
Сдвиг влево циклически на двойные позиции; и
Циклический сдвиг влево на любое количество позиций

Паразитические числа [ править ]

Когда паразитное число умножается на n, оно не только демонстрирует циклическое поведение, но и перестановка такова, что последняя цифра паразитного числа теперь становится первой цифрой кратного. Например, 102564 x 4 = 410256. Обратите внимание, что 102564 — это повторяющиеся цифры числа. 4 ⁄ 39 и 410256 повторяющиеся цифры 16 ⁄ 39 .

Циклическое смещение вправо на двойные позиции [ править ]

Целое число X циклически сдвигается вправо на двойные позиции, когда оно умножается на целое число n . X — это повторяющиеся цифры 1 ⁄ F , при этом $F$ = n × 10 ² - 1; или его фактор; но исключая значения, для которых 1 ⁄ F имеет длину периода, делящую 2 (или, что то же самое, меньше 3); и $F$ должно быть взаимно простым с 10.

Чаще всего удобно выбирать наименьшую $F$ , подходящую к вышеперечисленному.

Сводка результатов [ править ]

Следующее умножение перемещает последние две цифры каждого исходного целого числа к первым двум цифрам и сдвигает все остальные цифры вправо:

Умножить n	Решение	Представлено	Другие решения
2	0050251256 2814070351 7587939698 4924623115 5778894472 3618090452 2613065326 6331658291 4572864321 608040201	1 ⁄ 199 х 2 = 2 ⁄ 199 период = 99 т.е. 99 повторяющихся цифр.	2 ⁄ 199 , 3 ⁄ 199 , ..., 99 ⁄ 199
3	0033444816 0535117056 8561872909 6989966555 1839464882 9431438127 090301	1 ⁄ 299 х 3 = 3 ⁄ 299 период = 66 299 = 13×23	2 ⁄ 299 , 3 ⁄ 299 , ..., 99 ⁄ 299 некоторые особые случаи показаны ниже
3	076923	1 ⁄ 13 х 3 = 3 ⁄ 13 период = 6	2 ⁄ 13 , 3 ⁄ 13 , 4 ⁄ 13
3	0434782608 6956521739 13	1 ⁄ 23 х 3 = 3 ⁄ 23 период = 22	2 ⁄ 23 , 3 ⁄ 23 , ..., 7 ⁄ 23
4	0025062656 64160401	1 ⁄ 399 х 4 = 4 ⁄ 399 период = 18 399 = 3×7×19	2 ⁄ 399 , 3 ⁄ 399 , ..., 99 ⁄ 399 некоторые особые случаи показаны ниже
4	142857	1 ⁄ 7 х 4 = 4 ⁄ 7 период = 6	-
4	0526315789 47368421	1 ⁄ 19 х 4 = 4 ⁄ 19 период = 18	2 ⁄ 19 , 3 ⁄ 19 , 4 ⁄ 19
5	( циклическое число с периодом 498)	1 ⁄ 499 х 5 = 5 ⁄ 499 499 – это полная страховая премия.	2 ⁄ 499 , 3 ⁄ 499 , ..., 99 ⁄ 499

Обратите внимание, что:

299 = 13 х 23, а период 1 ⁄ 299 точно определяется по формуле LCM(6, 22) = 66 в соответствии с Повторяющейся десятичной дробью#Обобщение .
399 = 3 х 7 х 19, а период 1 ⁄ 399 точно определяется по формуле НОК(1, 6, 18) = 18.

Есть много других возможностей.

Циклический сдвиг влево на одну позицию [ править ]

Задача: Целочисленный сдвиг X циклически влево на одну позицию при умножении на 3. Найти X .

Решение: Сначала осознайте, что X — это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда имеет интересное циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное будут иметь следующую связь:

Целое число X — это повторяющиеся цифры дроби. 1 ⁄ F , скажем ab*** .
Таким образом, кратное — это повторяющиеся цифры дроби. 3 ⁄ F , скажем, б***а .
Чтобы эта циклическая перестановка имела место, тогда 3 должно быть следующим остатком в длинном делении для 1 ⁄ Ф. Таким образом, $F$ должно быть 7, поскольку 1 × 10 ÷ 7 дает остаток 3.

Это дает такие результаты:

X = повторяющиеся цифры 1 ⁄ 7

=142857, и

кратное = 142857 × 3 = 428571, повторяющиеся цифры 3 ⁄ 7

Другое решение представлено 2 ⁄ 7 х 3 = 6 ⁄ 7 :

285714 х 3 = 857142

Других решений нет ^[1] потому что:

Целое число n должно быть последующим остатком при длинном делении дроби. 1 ⁄ Ф. Учитывая, что n = 10 - F и F взаимно просто с 10, для того чтобы 1 ⁄ F — повторяющаяся десятичная дробь, тогда n должно быть меньше 10.
Для n = 2 F должно быть 10 - 2 = 8. Однако 1 ⁄ 8 не образует повторяющуюся десятичную дробь, аналогично n = 5.
Для n = 7 F должно быть 10 - 7 = 3. Однако 7 > 3 и 7/3 > = 2,333 1 и не соответствует цели.
Аналогично не существует решения для любого другого целого числа n меньше 10, кроме n = 3.

Однако, если множитель не ограничен целым числом (хотя и некрасиво), существует множество других решений этого метода. Например, если целое число X циклически сдвигается вправо на одну позицию при его умножении на 3 ⁄ 2 , то 3 будет следующим остатком после 2 при длинном делении дроби. 2 ⁄ Ф. Отсюда следует, что F = 2 x 10 - 3 = 17, что дает X как повторяющиеся цифры числа. 2/17 , то есть 1176470588235294 , а его кратное число 1764705882352941.

Ниже суммированы некоторые результаты, полученные таким образом:

Множитель n ⁄ s	Решение	Представлено	Другие решения
1 ⁄ 2	105263157894736842	2 ⁄ 19 × 1 ⁄ 2 = 1 ⁄ 19 2- паразитное число	Другие 2-паразитические числа: 4 ⁄ 19 , 6 ⁄ 19 , 8 ⁄ 19 , 10 ⁄ 19 , 12 ⁄ 19 , 14 ⁄ 19 , 16 ⁄ 19 , 18 ⁄ 19
3 ⁄ 2	1176470588235294	2 ⁄ 17 × 3 ⁄ 2 = 3 ⁄ 17	4 ⁄ 17 , 6 ⁄ 17 , 8 ⁄ 17 , 10 ⁄ 17
7 ⁄ 2	153846	2 ⁄ 13 × 7 ⁄ 2 = 7 ⁄ 13	-
9 ⁄ 2	18	2 ⁄ 11 × 9 ⁄ 2 = 9 ⁄ 11	-
7 ⁄ 3	1304347826086956521739	3 ⁄ 23 × 7 ⁄ 3 = 7 ⁄ 23	6 ⁄ 23 , 9 ⁄ 23 , 12 ⁄ 23 , 15 ⁄ 23 , 18 ⁄ 23 , 21 ⁄ 23
19 ⁄ 4	190476	4 ⁄ 21 × 19 ⁄ 4 = 19 ⁄ 21	-

Циклический сдвиг влево на двойные позиции [ править ]

Целочисленный сдвиг X циклически влево на двойные позиции при умножении на целое число n . X — это повторяющиеся цифры 1 ⁄ F , при этом $F$ равно $R$ = 10 ² - n или коэффициент $R$ ; исключая значения $F,$ для которых 1 ⁄ F имеет длину периода, делящую 2 (или, что то же самое, меньше 3); и F должно быть взаимно простым с 10.

Чаще всего удобно выбирать наименьшую $F$ , подходящую к вышеперечисленному.

Сводка результатов [ править ]

Ниже суммированы некоторые результаты, полученные таким образом, когда пробелы между цифрами делят цифры на группы по 10 цифр:

Умножить n	Решение	Представлено	Другие решения
2	142857	1 ⁄ 7 × 2 = 2 ⁄ 7	2 ⁄ 7 , 3 ⁄ 7
3	0103092783 5051546391 7525773195 8762886597 9381443298 9690721649 4845360824 7422680412 3711340206 185567	1 ⁄ 97 х 3 = 3 ⁄ 97	2 ⁄ 97 , 3 ⁄ 97 , 4 ⁄ 97 , 5 ⁄ 97 , ...., 31 ⁄ 97 , 32 ⁄ 97
4	Нет решения	-	-
5	0526315789 47368421	1 ⁄ 19 х 5 = 5 ⁄ 19	2 ⁄ 19 , 3 ⁄ 19
6	0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617	1 ⁄ 47 х 6 = 6 ⁄ 47	2 ⁄ 47 , 3 ⁄ 47 , 4 ⁄ 47 , 5 ⁄ 47 , 6 ⁄ 47 , 7 ⁄ 47
7	0322580645 16129	1 ⁄ 31 х 7 = 7 ⁄ 31	2 ⁄ 31 , 3 ⁄ 31 , 4 ⁄ 31 1 ⁄ 93 , 2 ⁄ 93 , 4 ⁄ 93 , 5 ⁄ 93 , 7 ⁄ 93 , 8 ⁄ 93 , 10 ⁄ 93 , 11 ⁄ 93 , 13 ⁄ 93
8	0434782608 6956521739 13	1 ⁄ 23 х 8 = 8 ⁄ 23	2 ⁄ 23
9	076923	1 ⁄ 13 х 9 = 9 ⁄ 13	1 ⁄ 91 , 2 ⁄ 91 , 3 ⁄ 91 , 4 ⁄ 91 , 5 ⁄ 91 , 6 ⁄ 91 , 8 ⁄ 91 , 9 ⁄ 91 , 10 ⁄ 91
10	Нет решения	-	-
11	0112359550 5617977528 0898876404 4943820224 7191	1 ⁄ 89 х 11 = 11 ⁄ 89	2 ⁄ 89 , 3 ⁄ 89 , 4 ⁄ 89 , 5 ⁄ 89 , 6 ⁄ 89 , 7 ⁄ 89 , 8 ⁄ 89
12	Нет решения	-	-
13	0344827586 2068965517 24137931	1 ⁄ 29 х 13 = 13 ⁄ 29	2 ⁄ 29 1 ⁄ 87 , 2 ⁄ 87 , 4 ⁄ 87 , 5 ⁄ 87 , 6 ⁄ 87
14	0232558139 5348837209 3	1 ⁄ 43 х 14 = 14 ⁄ 43	2 ⁄ 43 , 3 ⁄ 43
15	0588235294 117647	1 ⁄ 17 х 15 = 15 ⁄ 17	-

Другие базы [ править ]

В двенадцатеричной системе переносимые целые числа: (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати соответственно)

Умножить n	Наименьшее решение, такое, что при умножении последняя цифра перемещается влево.	Цифры	Представлено	Наименьшее решение, такое, что при умножении первая цифра сдвигается вправо.	Цифры	Представлено
2	06316948421	Э	1 ⁄ 1Ɛ х 2 = 2 ⁄ 1Ɛ	2497	4	1 ⁄ 5 х 2 = 2 ⁄ 5
3	2497	4	1 ⁄ 5 х 3 = 3 ⁄ 5	нет решения
4	0309236Бр8820 61647195441	1Ɛ	1 ⁄ 3Ɛ х 4 = 4 ⁄ 3Ɛ	нет решения
5	025355ВУ94330 73В458409919 Е7151	25	1 ⁄ 4Ɛ х 5 = 5 ⁄ 4Ɛ	186Б35	6	1 ⁄ 7 х 5 = 5 ⁄ 7
6	020408142854 BO997732650Vo1 83469163061	2Ɛ	1 ⁄ 5Ɛ х 6 = 6 ⁄ 5Ɛ	нет решения
7	01899E864406 E33Fuu1542391 374594930525 5E171	35	1 ⁄ 6Ɛ х 7 = 7 ⁄ 6Ɛ	нет решения
8	076Ɛ45	6	1 ⁄ 17 х 8 = 8 ⁄ 17	нет решения
9	014196486344 59E9384E26E5 33040547216ВУ 1155E3E12978 BJ3991	45	1 ⁄ 8Ɛ х 9 = 9 ⁄ 8Ɛ	нет решения
ᘔ	08579214E364 29Eo7	14	1 ⁄ 15 х ᘔ = ᘔ ⁄ 15	нет решения
Э	011235930336 БО53909БО873А3 25819А997505 5А54БО3145БО42 694157078404 491А1	55	1 ⁄ 𝒔 х 𝐸 = Ɛ ⁄ ᘔƐ	нет решения

Обратите внимание, что задача «Циклический сдвиг влево на одну позицию» не имеет решения для множителя меньше 12, кроме 2 и 5, та же задача в десятичной системе не имеет решения для множителя меньше 10, кроме 3.

Примечания [ править ]

^ П. Ю, k-переносимые вправо целые числа, глава 18.1 «Развлекательная математика»

Ссылки [ править ]

П. Ю, k-перемещаемые вправо целые числа, k-перемещаемые влево целые числа. Глава 18.1, 18.2, стр. 168/360 в «Рекреационная математика», https://web.archive.org/web/20090901180500/http:/ /math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
К.А. Пиковер , Чудеса чисел , глава 28, Oxford University Press UK, 2000.
Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A092697 (Для 1 <= n <= 9, a(n) = наименьшее число m такое, что произведение n*m получается простым сдвигом самой правой цифры m в левый конец)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Гарднер, Мартин. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от Scientific American. Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки, 1979. стр. 111–122.
Кальман, Дэн; «Дроби с цикличным набором цифр», Журнал College Mathematics Journal, Vol. 27, № 2. (Март 1996 г.), стр. 109–115.
Лесли, Джон. «Философия арифметики: демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику…» , Лонгман, Херст, Рис, Орм и Браун, 1820 г., ISBN 1-4020-1546-1
Уэллс, Дэвид ; « Словарь любопытных и интересных чисел Penguin » , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5

[1] П. Ю, k-переносимые вправо целые числа, глава 18.1 «Развлекательная математика»

[1]