Число Цейзеля

Число Цейзеля , названное в честь Гельмута Цейзеля , представляет собой без квадратов, целое число k по крайней мере, с тремя простыми множителями , попадающими в шаблон.

p_{x}=ap_{x-1}+b

где a и b — некоторые целочисленные константы, а x — порядковый номер каждого простого множителя в факторизации, отсортированный от наименьшего к наибольшему. Для определения чисел Цейзеля $p_{0}=1$ . Первые несколько чисел Цейзеля

105 , 1419 , 1729 , 1885, 4505, 5719, 15387, 24211, 25085, 27559, 31929, 54205, 59081, 114985, 207177, 208681, 233569, 2879, 79, 294409, 336611, 353977, 448585, 507579, 982513, 1012121, 1073305, 1242709, 1485609, 2089257, 2263811, 2953711, … (последовательность A051015 в OEIS ).

Например, 1729 — это число Цейзеля с константами a = 1 и b = 6, его множители равны 7, 13 и 19, что соответствует закономерности

{\begin{aligned}p_{1}=7,&{}\quad p_{1}=1p_{0}+6\\p_{2}=13,&{}\quad p_{2}=1p_{1}+6\\p_{3}=19,&{}\quad p_{3}=1p_{2}+6\end{aligned}}

1729 год является примером чисел Кармайкла . таких $(6n+1)(12n+1)(18n+1)$ , что удовлетворяет шаблону $p_{x}=ap_{x-1}+b$ с a = 1 и b = 6n, так что каждое число Кармайкла вида (6n+1)(12n+1)(18n+1) является числом Цейзеля.

Другие числа Кармайкла такого типа: 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601, 2301745249, 9624742921, … (последовательность A033502 в ОЭИС ).

Название «числа Цейзеля», вероятно, было введено Кевином Брауном, который искал числа, которые при включении в уравнение

2^{k-1}+k

давать простые числа . В сообщении в группе новостей sci.math от 24 февраля 1994 г. Хельмут Цайзель отметил, что 1885 — одно из таких чисел. Позже было обнаружено (Кевином Брауном?), что число 1885 года дополнительно имеет простые множители с описанным выше соотношением, поэтому более подходящим может быть такое название, как «Числа Брауна-Цейзеля».

Число Харди-Рамануджана 1729 также является числом Цейзеля.

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]