Центрированное девятиугольное число

Центрированное девятиугольное число (или центрированное эннеагональное число ) — это центрированное фигурное число , которое представляет собой девятиугольник с точкой в ​​центре и всеми остальными точками, окружающими центральную точку, в последовательных девятагональных слоях. Центрированное девятиугольное число для n слоев определяется формулой

$Nc(n)={\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}.$

Умножение ( n - 1)-го треугольного числа на 9 и последующее добавление 1 дает n - е центрированное девятиугольное число, но центрированные девятиугольные числа имеют еще более простое отношение к треугольным числам: каждое третье треугольное число (1-е, 4-е, 7-е и т. д.) .) также является центрированным девятиугольным числом.

Таким образом, первые несколько центрированных девятиугольных чисел равны

1 , 10 , 28 , 55 , 91 , 136 , 190 , 253, 325, 406, 496 , 595, 703, 820, 946.

В приведенный выше список входят совершенные числа 28 и 496.Все четные совершенные числа являются треугольными числами, индекс которых представляет собой нечетное простое число Мерсенна . Поскольку каждое простое число Мерсенна больше 3 конгруэнтно 1 по модулю 3, отсюда следует, что каждое четное совершенное число больше 6 является центрированным девятиугольным числом.

В 1850 году сэр Фредерик Поллок предположил, что каждое натуральное число представляет собой сумму не более одиннадцати центрированных девятиугольных чисел. Гипотеза Поллока подтвердилась в 2023 году.

Отношения конгруэнтности

• Все центрированные девятиугольные числа конгруэнтны 1 по модулю 3.
  • Следовательно, сумма любых трехцентрированных девятиугольных чисел и разность любых двух центрированных девятиугольных чисел делятся на 3.

См. также

• Неугольное число