Очень многочисленное количество
В теории чисел очень распространенное число — это натуральное число , обладающее тем свойством, что сумма его делителей (включая само себя) больше суммы делителей любого меньшего натурального числа.
Числа с большим количеством чисел и несколько подобных классов чисел были впервые введены Пиллаем ( 1943 ) , а ранние работы по этой теме были выполнены Алаоглу и Эрдешем ( 1944 ). Алаоглу и Эрдеш свели в таблицу все очень распространенные числа до 10. 4 и показал, что количество очень распространенных чисел, меньших любого N , по крайней мере пропорционально log 2 Н.
Формальное определение и примеры [ править ]
Формально натуральное число n называется весьма обильным тогда и только тогда, когда всех натуральных чисел m < n для
где σ обозначает функцию суммы делителей . Первые несколько очень обильных чисел
- 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 18 , 20 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 60 , ... (последовательность A002093 в OEIS ).
Например, 5 не является очень распространенным, потому что σ(5) = 5+1 = 6 меньше, чем σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, тогда как 8 является очень распространенным, потому что σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 больше всех предыдущих значений σ.
Единственные нечетные числа, встречающиеся в большом количестве, — это 1 и 3. [1]
Отношения с другими наборами чисел [ править ]
Хотя первых восьми факториалов очень много, не все факториалы очень многочисленны. Например,
- σ(9!) = σ(362880) = 1481040,
но есть меньшее число с большей суммой делителей,
- σ(360360) = 1572480,
итак 9! не отличается большим обилием.
Алаоглу и Эрдеш отметили, что все сверхизобилующие числа очень многочисленны, и задали вопрос, существует ли бесконечно много весьма избыточных чисел, которые не являются избыточными. На этот вопрос утвердительно ответил Жан-Луи Николя ( 1969 ).
Несмотря на терминологию, не все числа с высокой численностью являются избыточными числами . В частности, ни одно из первых семи наиболее распространенных чисел (1, 2, 3, 4, 6, 8 и 10) не является многочисленным. Наряду с 16, девятым весьма многочисленным числом, это единственные весьма многочисленные числа, которые не являются многочисленными.
7200 — самое большое мощное число , которое также очень распространено: все большие числа с большим количеством изобилия имеют простой делитель, который делит их только один раз. Следовательно, 7200 также является самым большим весьма многочисленным числом с нечетной суммой делителей. [2]
Примечания [ править ]
- ^ См. Алаоглу и Эрдеш (1944) , с. 466. Алаоглу и Эрдеш более решительно утверждают, что все весьма распространенные числа, большие чем 210, делятся на 4, но это не так: 630 очень распространено и не делится на 4. (Фактически, 630 является единственным контрпримером ; все более крупные, очень распространенные числа делятся на 12.)
- ^ Алаоглу и Эрдеш (1944) , стр. 464–466.
Ссылки [ править ]
- Алаоглу, Л. ; Эрдеш, П. (1944). «О весьма составных и подобных числах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 56 (3): 448–469. дои : 10.2307/1990319 . JSTOR 1990319 . МР 0011087 .
- Николя, Жан-Луи (1969). «Максимальный порядок элемента группы Sn перестановок и «высокосоставных чисел» » . Бык. Соц. Математика. Франция . 97 : 129–191. дои : 10.24033/bsmf.1676 . МР 0254130 .
- Пиллаи, СС (1943). «Очень большое количество». Бык. Калькуттская математика. Соц . 35 : 141–156. МР 0010560 .
Наборы целых чисел на основе делимости |
|---|
Классы натуральных чисел |
|---|
