Идеальный цифро-цифровой инвариант

В теории чисел — идеальный инвариант от цифры к цифре ( PDDI ; также известный как число Мюнхгаузена). ) — натуральное число в заданной системе счисления $b$ это равно сумме его цифр, каждая из которых возведена в степень самого себя. Примером в десятичной системе является 3435, потому что $3435=3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}$. Термин «число Мюнхгаузена» был придуман голландским математиком и инженером-программистом Дааном ван Беркелем в 2009 году. поскольку это напоминает историю о бароне Мюнхгаузене, поднимающемся за свой хвост, потому что каждая цифра возведена в степень самой себя.

Определение

Позволять $n$ быть натуральным числом, которое можно записать в системе счисления $b$ как k-значное число $d_{k-1}d_{k-2}...d_{1}d_{0}$ где каждая цифра $d_{i}$ находится между $0$ и $b-1$ включительно, и $n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}$. Определим функцию $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ как $F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d_{i}}^{d_{i}}$. (Как 0 ⁰ обычно не определено, обычно используются два соглашения: одно, где оно считается равным единице, и другое, где оно принимается равным нулю. ) Натуральное число $n$ определяется как совершенный цифро-цифровой инвариант по основанию b, если $F_{b}(n)=n$. Например, число 3435 является идеальным инвариантом от цифры к цифре по основанию 10, потому что $3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435$.

$F_{b}(1)=1$ для всех $b$, и, таким образом, 1 является тривиальным совершенным цифро-цифровым инвариантом во всех основаниях, а все остальные совершенные цифро-цифровые инварианты нетривиальны . Для второй конвенции, где $0^{0}=0$, оба $0$ и $1$ являются тривиальными совершенными цифро-цифровыми инвариантами.

Натуральное число $n$ является общительным цифро-цифровым инвариантом, если это периодическая точка для $F_{b}$, где $F_{b}^{k}(n)=n$ для положительного целого числа $k$, и образует цикл периода $k$. Совершенный цифро-цифровой инвариант — это общительный цифро-цифровой инвариант с $k=1$. Дружественный с цифро-цифровой инвариант — это общительный цифро-цифровой инвариант $k=2$.

Все натуральные числа $n$ являются предпериодическими точками для $F_{b}$, независимо от базы. Это потому, что все натуральные числа по основанию $b$ с $k$ цифры удовлетворяют $b^{k-1}\leq n\leq (k){(b-1)}^{b-1}$. Однако, когда $k\geq b+1$, затем $b^{k-1}>(k){(b-1)}^{b-1}$, так что любой $n$ удовлетворит $n>F_{b}(n)$ до $n<b^{b+1}$. Существует конечное число натуральных чисел, меньших $b^{b+1}$, поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше, чем $b^{b+1}$, что делает ее предпериодической точкой. Это также означает, что существует конечное число совершенных цифро-цифровых инвариантов и циклов для любой заданной базы. $b$.

Количество итераций $i$ необходимо для $F_{b}^{i}(n)$ достичь фиксированной точки - это $b$ функции постоянство факторной $n$и неопределенным, если он никогда не достигает фиксированной точки.

Совершенные цифровые инварианты и циклы F _b для конкретного b

Все числа представлены в базе $b$.

Конвенция 0 ⁰ = 1

База	Нетривиальные совершенные цифро-цифровые инварианты ( $n\neq 1$)	Циклы
2	10	$\varnothing$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	131, 313	2 → 10 → 2
5	$\varnothing$	2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104
6	22352, 23452	4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445
7	13454	12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066
8		405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405
9	31, 156262, 1656547
10	3435
11
12	3А67А54832

Конвенция 0 ⁰ = 0

База	Нетривиальные совершенные цифро-цифровые инварианты ( $n\neq 0$, $n\neq 1$)	Циклы
2	$\varnothing$	$\varnothing$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	130, 131, 313	$\varnothing$
5	103, 2024	2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9
6	22352, 23452	5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53
7	13454
8	400, 401
9	30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084
10	3435, 438579088
11	$\varnothing$	$\varnothing$
12	3А67А54832

Примеры программирования

Следующая программа на Python определяет, является ли целое число числом Мюнхгаузена/инвариантом совершенной цифры к цифре или нет, следуя соглашению $0^{0}=1$.

num = int(input("Enter number:"))
temp = num
s = 0.0
while num > 0:
     digit = num % 10
     num //= 10
     s+= pow(digit, digit)
     
if s == temp:
    print("Munchausen Number")
else:
    print("Not Munchausen Number")

В приведенных ниже примерах реализована идеальная функция инварианта от цифры к цифре, описанная в приведенном выше определении, для поиска идеальных инвариантов от цифры к цифре и циклов в Python для двух соглашений.

Конвенция 0 ⁰ = 1

def pddif(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + pow(x % b, x % b)
        x = x // b
    return total

def pddif_cycle(x: int, b: int) -> list[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = pddif(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = pddif(x, b)
    return cycle

Конвенция 0 ⁰ = 0

def pddif(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        if x % b > 0:
            total = total + pow(x % b, x % b)
        x = x // b
    return total

def pddif_cycle(x: int, b: int) -> list[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = pddif(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = pddif(x, b)
    return cycle

См. также

• Арифметическая динамика
• Число Дюдени
• Факторион
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Мертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

Внешние ссылки

• Паркер, Мэтт. «3435» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 13 апреля 2017 г. Проверено 1 апреля 2013 г.