Число Дюдени

В теории чисел число Дюдени в данной системе счисления $b$ — натуральное число, равное идеальному кубу другого натурального числа, такое, что сумма цифр первого натурального числа равна второму. Название происходит от Генри Дьюдени , который отметил существование этих чисел в одной из своих головоломок «Извлечение корней» , где профессор на пенсии в Колни-Хэтч постулирует это как общий метод извлечения корней.

Математическое определение

Позволять $n$ быть натуральным числом. Определим функцию Дюдени для базы $b>1$ и власть $p>0$ $F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ быть следующим:

$F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {n^{p}{\bmod {b^{i+1}}}-n^{p}{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}$

где $k=p\left(\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1\right)$ это $p$ умножить количество цифр числа в базе $b$.

Натуральное число $n$ является корнем Дюдени, если это фиксированная точка для $F_{p,b}$, что происходит, если $F_{p,b}(n)=n$. Натуральное число $m=n^{p}$ — обобщенное число Дюдени , и для $p=3$эти числа известны как числа Дюдени . $0$ и $1$ являются тривиальными числами Дюдени для всех $b$ и $p$все остальные тривиальные числа Дюдени являются нетривиальными числами Дюдени .

Для $p=3$ и $b=10$таких целых чисел ровно шесть (последовательность A061209 в OEIS ): $1,512,4913,5832,17576,19683$

Натуральное число $n$ является общительным корнем Дюдени, если он является периодической точкой для $F_{p,b}$, где $F_{p,b}^{k}(n)=n$ для положительного целого числа $k$, и образует цикл периода $k$. Корень Дьюдени — это общительный корень Дьюдени с $k=1$, а дружественный корень Дьюдени — это общительный корень Дьюдени с $k=2$. Общительные числа Дюдени и дружелюбные числа Дьюдени являются степенями своих корней.

Количество итераций $i$ необходимо для $F_{p,b}^{i}(n)$ функции достижения фиксированной точки — это сохранение Дьюдени $n$и неопределенным, если он никогда не достигает фиксированной точки.

Можно показать, что, учитывая основание счисления $b$ и власть $p$, максимальный корень Дюдени должен удовлетворять этой границе:

$n\leq (b-1)(1+p+\log _{b}{n^{p}})=(b-1)(1+p+p\log _{b}{n}))$

подразумевая конечное число корней Дюдени и чисел Дьюдени для каждого порядка $p$ и база $b$.

$F_{1,b}$ это сумма цифр . Единственные числа Дюдени — это однозначные числа в основании. $b$, и нет периодических точек с простым периодом больше 1.

Числа Дюдени, корни и циклы F _{p , b} для конкретных p и b

Все числа представлены в базе $b$.

$p$	$b$	Нетривиальные корни Дюдени $n$	Нетривиальные числа Дюдени $m=n^{p}$	Циклы $F_{p,b}(n)$	Дружелюбные/общительные числа Дьюдени
2	2	$\varnothing$	$\varnothing$	$\varnothing$	$\varnothing$
2	3	2	11	$\varnothing$	$\varnothing$
2	4	3	21	$\varnothing$	$\varnothing$
2	5	4	31	$\varnothing$	$\varnothing$
2	6	5	41	$\varnothing$	$\varnothing$
2	7	3, 4, 6	12, 22, 51	$\varnothing$	$\varnothing$
2	8	7	61	2 → 4 → 2	4 → 20 → 4
2	9	8	71	$\varnothing$	$\varnothing$
2	10	9	81	13 → 16 → 13	169 → 256 → 169
2	11	5, 6, А	23, 33, 91	$\varnothing$	$\varnothing$
2	12	Б	А1	9 → 13 → 14 → 12	69 → 169 → 194 → 144
2	13	4, 9, С, 13	13, 63, Б1, 1Е6	$\varnothing$	$\varnothing$
2	14	Д	С1	9 → 12 → 9	5Б → 144 → 5Б
2	15	7, 8, Е, 16	34, 44, Д1, 169	2 → 4 → 2 9 → Б → 9	4 → 11 → 4 56 → 81 → 56
2	16	6, А, Ф	24, 64, Е1	$\varnothing$	$\varnothing$
3	2	$\varnothing$	$\varnothing$	$\varnothing$	$\varnothing$
3	3	11, 22	2101, 200222	12 → 21 → 12	11122 → 110201 → 11122
3	4	2, 12, 13, 21, 22	20, 3120, 11113, 23121, 33220	$\varnothing$	$\varnothing$
3	5	3, 13, 14, 22, 23	102, 4022, 10404, 23403, 32242	12 → 21 → 12	2333 → 20311 → 2333
3	6	13, 15, 23, 24	3213, 10055, 23343, 30544	11 → 12 → 11	1331 → 2212 → 1331
3	7	2, 4, 11, 12, 14, 15, 21, 22	11, 121, 1331, 2061, 3611, 5016, 12561, 14641	25 → 34 → 25	25666 → 63361 → 25666
3	8	6, 15, 16	330, 4225, 5270	17 → 26 → 17	6457 → 24630 → 6457
3	9	3, 7, 16, 17, 25	30, 421, 4560, 5551, 17618	5 → 14 → 5 12 → 21 → 12 18 → 27 → 18	148 → 3011 → 148 1738 → 6859 → 1738 6658 → 15625 → 6658
3	10	8, 17, 18, 26, 27	512, 4913, 5832, 17576, 19683	19 → 28 → 19	6859 → 21952 → 6859
3	11	5, 9, 13, 15, 18, 22	104, 603, 2075, 3094, 5176, А428	8 → 11 → 8 А → 19 → А 14 → 23 → 14 16 → 21 → 16	426 → 1331 → 426 82А → 6013 → 82А 2599 → 10815 → 2599 3767 → 12167 → 3767
3	12	19, 1А, 1Б, 28, 29, 2А	5439, 61Б4, 705Б, 16Б68, 18969, 1А8Б4	8 → 15 → 16 → 11 → 8 13 → 18 → 21 → 14 → 13	368 → 2А15 → 3460 → 1331 → 368 1Б53 → 4768 → 9061 → 2454 → 1Б53
4	2	11, 101	1010001, 1001110001	$\varnothing$	$\varnothing$
4	3	11	100111	22 → 101 → 22	12121201 → 111201101 → 12121201
4	4	3, 13, 21, 31	1101, 211201, 1212201, 12332101	$\varnothing$	$\varnothing$
4	5	4, 14, 22, 23, 31	2011, 202221, 1130421, 1403221, 4044121	$\varnothing$	$\varnothing$
4	6	24, 32, 42	1223224, 3232424, 13443344	14 → 23 → 14	114144 → 1030213 → 114144
5	2	110, 111, 1001	1111001100000, 100000110100111, 1110011010101001	$\varnothing$	$\varnothing$
5	3	101	12002011201	22 → 121 → 112 → 110 → 22	1122221122 → 1222021101011 → 1000022202102 → 110122100000 → 1122221122
5	4	2, 22	200, 120122200	21 → 33 → 102 → 30 → 21	32122221 → 2321121033 → 13031110200 → 330300000 → 32122221
6	2	110	1011011001000000	111 → 1001 → 1010 → 111	11100101110010001 → 10000001101111110001 → 11110100001001000000 → 11100101110010001
6	3	$\varnothing$	$\varnothing$	101 → 112 → 121 → 101	1212210202001 → 112011112120201 → 1011120101000101 → 1212210202001

Расширение для отрицательных целых чисел

Числа Дьюдени можно расширить до отрицательных целых чисел, используя представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Пример программирования

В приведенном ниже примере реализована функция Дьюдени, описанная в определении выше, для поиска корней, чисел и циклов Дьюдени в Python .

def dudeneyf(x: int, p: int, b: int) -> int:    """Dudeney function."""    y = pow(x, p)    total = 0    while y > 0:        total = total + y % b        y = y // b    return totaldef dudeneyf_cycle(x: int, p: int, b: int) -> List:    seen = []    while x not in seen:        seen.append(x)        x = dudeneyf(x, p, b)    cycle = []    while x not in cycle:        cycle.append(x)        x = dudeneyf(x, p, b)    return cycle

См. также

• Арифметическая динамика
• Факторион
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Мертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный цифро-цифровой инвариант
• Идеальный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

Ссылки

• Х. Э. Дьюдени, 536 головоломок и любопытных задач , Souvenir Press, Лондон, 1968, стр. 36, № 120.

Внешние ссылки

• Обобщенные числа Дюдени
• Доказательство того, что существует только шесть номеров Дьюдени, заархивированных 20 октября 2013 г. в Wayback Machine