Центрированное десятиугольное число

Центрированное десятиугольное число — это центрированное фигурное число , которое представляет собой десятиугольник с точкой в ​​центре и всеми остальными точками, окружающими центральную точку, в последовательных десятиугольных слоях. Центрированное десятиугольное число для n определяется формулой

$5n^{2}-5n+1\,$

Таким образом, первые несколько центрированных десятиугольных чисел равны

1 , 11 , 31 , 61 , 101 , 151 , 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911 , 1051, ... (последовательность A062786 в OEIS )

Как и любое другое центрированное k -угольное число, n -е центрированное десятиугольное число можно вычислить, умножив ( n - 1)-е треугольное число на k , в данном случае 10, а затем прибавив 1. В результате выполнения вычислений в системе счисления 10, центрированные десятиугольные числа можно получить, просто добавив 1 справа от каждого треугольного числа. Следовательно, все центрированные десятиугольные числа нечетны и по основанию 10 всегда оканчиваются на 1.

Другим следствием этого отношения к треугольным числам является простое рекуррентное соотношение для центрированных десятиугольных чисел:

$CD_{n}=CD_{n-1}+10n,$

где

$CD_{0}=1.$

Связь с другими последовательностями

• N — центрированное десятиугольное число тогда и только тогда, когда 20N + 5 — квадратное число .

Генерирующая функция

Производящая функция центрированного десятиугольного числа равна ${\frac {x*(1+8x+x^{2})}{(1-x)^{3}}}$

Формы цепных дробей

${\sqrt {5CD_{n}}}$ имеет непрерывное фракционное разложение [5n-3;{2,2n-2,2,10n-6}].

См. также

• [обычное] десятиугольное число

Ссылки

Деза, Елена; Деза, Мишель Мари (20 ноября 2011 г.). «1,6». Фигурные числа . МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. дои : 10.1142/8188 . ISBN  978-981-4355-48-3 .