Октаэдрическое число

146 магнитных шариков , упакованных в форме октаэдра.

В теории чисел октаэдрическое число — фигурное число , обозначающее количество сфер в октаэдре, образованном из плотноупакованных сфер . $n$октаэдрическое число $O_{n}$ можно получить по формуле:

$O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.$

Первые несколько октаэдрических чисел:

1 , 6 , 19 , 44 , 85 , 146, 231, 344, 489, 670, 891 (последовательность А005900 в OEIS ).

Свойства и приложения

Октаэдрические числа имеют производящую функцию

${\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .$

Сэр Фредерик Поллок в 1850 году предположил, что каждое положительное целое число представляет собой сумму не более 7 октаэдрических чисел. Это утверждение, гипотеза Поллока об октаэдрических числах , оказалось верным для всех чисел, кроме конечного числа.

В химии октаэдрические числа могут использоваться для описания количества атомов в октаэдрических кластерах; в этом контексте их называют магическими числами .

Связь с другими фигурными числами

Квадратные пирамиды

Октаэдрическую упаковку сфер можно разделить на две квадратные пирамиды , одну перевернутую под другой, разделив ее по квадратному поперечному сечению. Поэтому,тот $n$октаэдрическое число $O_{n}$ можно получить сложением двух последовательных квадратно-пирамидальных чисел :

$O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.$

Тетраэдры

Если $O_{n}$ это $n$октаэдрическое число и $T_{n}$ это $n$тетраэдрическое число тогда

$O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.$

Это представляет собой геометрический факт, что приклеивание тетраэдра к каждой из четырех несмежных граней октаэдра дает тетраэдр вдвое большего размера.

Возможна и другая связь между октаэдрическими числами и тетраэдрическими числами, основанная на том факте, что октаэдр можно разделить на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две смежные исходные грани (или, альтернативно, основанный на том факте, что каждое квадратное пирамидальное число представляет собой сумму двух тетраэдрических чисел). цифры):

$O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.$

Кубики

Если к противоположным граням октаэдра присоединить два тетраэдра, то получится ромбоэдр . Число плотноупакованных сфер в ромбоэдре равно кубу , что подтверждает уравнение

$O_{n}+2T_{n-1}=n^{3}.$

Центрированные квадраты

Квадратные пирамиды, в которых каждый слой имеет центрированное квадратное количество кубов. Общее количество кубиков в каждой пирамиде представляет собой октаэдрическое число.

Разница между двумя последовательными октаэдрическими числами представляет собой центрированное квадратное число :

$O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.$

Следовательно, октаэдрическое число также представляет собой количество точек в квадратной пирамиде, образованной сложением центрированных квадратов; по этой причине в своей книге Arithmeticorum libri duo (1575 г.) Франческо Мауролико назвал эти числа «пирамидами квадратными секундами».

Число кубов в октаэдре, образованном сложением центрированных квадратов, представляет собой центрированное октаэдрическое число , сумму двух последовательных октаэдрических чисел. Эти цифры

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (последовательность A001845 в OEIS )

заданной формулой

$O_{n}+O_{n-1}={\frac {(2n-1)(2n^{2}-2n+3)}{3}}$ для n = 1, 2, 3,...

История

Первое исследование октаэдрических чисел, по-видимому, было проведено Рене Декартом около 1630 года в его «De Solidorum Elementis» . До Декарта фигурные числа изучались древними греками и Иоганном Фаульхабером , но только для многоугольных чисел , пирамидальных чисел и кубов . Декарт ввёл изучение фигурных чисел, основанное на Платоновых телах и некоторых полуправильных многогранниках ; его работа включала октаэдрические числа. Однако De Solidorum Elementis был утерян и открыт только в 1860 году. Тем временем октаэдрические числа снова изучались другими математиками, в том числе Фридрихом Вильгельмом Марпургом в 1774 году, Георгом Симоном Клюгелем в 1808 году и сэром Фредериком Поллоком в 1850 году.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Октаэдрическое число» , MathWorld