Центрированное октаэдрическое число

Центрированное октаэдрическое число

Построение Гаюи октаэдра из 129 кубов.
Назван в честь	Рене Жюст Аюи
Год публикации	1801
Всего нет. терминов	Бесконечность
Последовательность ​	Многогранные числа , Delannoy numbers
Формула	${\frac {(2n+1)\left(2n^{2}+2n+3\right)}{3}}$
Первые сроки	1 , 7 , 25 , 63 , 129 , 231 , 377
ОЭИС Индекс	А001845 Центрированный октаэдр

или Центрированное октаэдрическое число октаэдрическое число Гаюи — это фигурное число , подсчитывающее точки трёхмерной целочисленной решётки , лежащие внутри октаэдра с центром в начале координат. Эти же числа являются частными случаями чисел Деланного , подсчитывающих определенные двумерные пути решетки. Октаэдрические числа Гаюи названы в честь Рене Жюста Гаюи .

История

Название «октаэдрическое число Гаюи» происходит от работы Рене Жюста Гаюи , французского минералога, работавшего в конце 18 — начале 19 веков. Его «конструкция Гаюи» аппроксимирует октаэдр как поликуб , образованный путем сращивания концентрических слоев кубов на центральный куб. Центрированные октаэдрические числа подсчитывают количество кубов, использованных в этой конструкции. Гаюи предложил эту конструкцию и несколько связанных с ней конструкций других многогранников в качестве модели строения кристаллических минералов .

Формула

Число точек трехмерной решетки в пределах n шагов от начала координат определяется формулой

${\frac {(2n+1)\left(2n^{2}+2n+3\right)}{3}}$

Первые несколько из этих чисел (для n = 0, 1, 2,...) равны

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, ...

центрированных Производящая функция октаэдрических чисел равна

${\frac {(1+x)^{3}}{(1-x)^{4}}}.$

Центрированные октаэдрические числа подчиняются рекуррентному соотношению

$C(n)=C(n-1)+4n^{2}+2.$

Они также могут быть вычислены как суммы пар последовательных октаэдрических чисел .

интерпретации

63 пути Деланной через сетку 3 × 3

Октаэдр в трехмерной целочисленной решетке, число точек решетки которого подсчитывается по центрированному октаэдрическому числу, представляет собой метрический шар для трехмерной геометрии такси , геометрии, в которой расстояние измеряется суммой координатных расстояний, а не суммой координатных расстояний. по евклидову расстоянию . По этой причине Лютер и Мертенс (2011) называют центрированные октаэдрические числа «объемом хрустального шара».

Те же числа можно рассматривать как фигурные числа по-другому, как центрированные фигурные числа, порожденные пятиугольной пирамидой . То есть, если сформировать последовательность концентрических оболочек в трех измерениях, где первая оболочка состоит из одной точки, вторая оболочка состоит из шести вершин пятиугольной пирамиды, а каждая последующая оболочка образует большую пятиугольную пирамиду с треугольной вершиной. количество точек на каждой треугольной грани и пятиугольное количество точек на пятиугольной грани, то общее количество точек в этой конфигурации представляет собой центрированное октаэдрическое число.

Центрированные октаэдрические числа также являются числами Деланной вида D (3, n ). Что касается чисел Деланнуа в более общем плане, эти числа подсчитывают пути от юго-западного угла сетки 3 × n до северо-восточного угла, используя шаги, которые идут на одну единицу востока, севера или северо-востока.