Рефакторизуемый номер

Рефакторизуемое число или тау-число — это целое число n , которое делится на количество своих делителей , или, выражаясь алгебраически, n таково, что $\tau (n)\mid n$ . Первые несколько номеров, подлежащих рефакторингу, перечислены в (последовательность A033950 в OEIS ) как

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 , 104 , 108 , 128 , 132 , 136 , 152 , 156 , 180 , 184 , 204 , 225 , 228 , 232 , 240 , 248 , 252 , 276 , 288 , 296 , ...

Например, число 18 имеет 6 делителей (1 и 18, 2 и 9, 3 и 6) и делится на 6. Существует бесконечно много рефакторируемых чисел.

Свойства [ править ]

Купер и Кеннеди доказали, что числа, поддающиеся рефакторингу, имеют нулевую естественную плотность . Зелинский доказал, что никакие три последовательных целых числа не подлежат рефакторингу. ^[1]Колтон доказал, что ни одно число, поддающееся рефакторингу, не является идеальным . Уравнение $\gcd(n,x)=\tau (n)$ имеет решения, только если $n$ — число, поддающееся рефакторингу, где $\gcd$ – функция наибольшего общего делителя .

Позволять $T(x)$ быть числом рефакторируемых чисел, которые не более чем $x$ . Задача определения асимптотики для $T(x)$ открыт. Спиро доказал, что $T(x)={\frac {x}{{\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{1+o(1)}}}$ ^[2]

Есть еще нерешенные проблемы, связанные с рефакторингуемыми числами. Колтон спросил, есть ли там сколь угодно большие $n$ такой, что оба $n$ и $n+1$ являются рефакторингуемыми. Зелинский задался вопросом, существует ли число, поддающееся рефакторингу. $n_{0}\equiv a\mod m$ , обязательно ли существует $n>n_{0}$ такой, что $n$ поддается рефакторингу и $n\equiv a\mod m$ .

История [ править ]

Впервые определено Кертисом Купером и Робертом Кеннеди. ^[3] где они показали, что числа тау имеют нулевую естественную плотность , позже они были заново открыты Саймоном Колтоном с помощью созданной им компьютерной программы, которая изобретает и оценивает определения из различных областей математики, таких как теория чисел и теория графов . ^[4]Колтон назвал такие числа «рефакторизуемыми». Хотя компьютерные программы и раньше обнаруживали доказательства, это открытие было одним из первых случаев, когда компьютерная программа обнаружила новую или ранее неясную идею. Колтон доказал множество результатов о числах, поддающихся рефакторингу, показав, что их бесконечно много, и доказав множество ограничений на их распределение. Лишь позже Колтона предупредили, что Кеннеди и Купер ранее исследовали эту тему.

См. также [ править ]

Функция делителя

Ссылки [ править ]

^ Дж. Зелински, « Числа Тау: частичное доказательство гипотезы и другие результаты », Журнал целочисленных последовательностей , Vol. 5 (2002 г.), статья 02.2.8.
^ Спиро, Клаудия (1985). «Как часто число делителей числа n делит число n?» . Журнал теории чисел . 21 (1): 81–100. дои : 10.1016/0022-314X(85)90012-5 .
^ Купер, К.Н. и Кеннеди, RE «Числа Тау, естественная плотность и теорема Харди и Райта 437». Интерн. Дж. Математика. Математика. наук. 13, 383–386, 1990 г.
^ С. Колтон, « Рефакторинг чисел — машинное изобретение », Журнал целочисленных последовательностей , Vol. 2 (1999 г.), статья 99.1.2.

[1] Дж. Зелински, « Числа Тау: частичное доказательство гипотезы и другие результаты », Журнал целочисленных последовательностей , Vol. 5 (2002 г.), статья 02.2.8.

[2] Спиро, Клаудия (1985). «Как часто число делителей числа n делит число n?» . Журнал теории чисел . 21 (1): 81–100. дои : 10.1016/0022-314X(85)90012-5 .

[3] Купер, К.Н. и Кеннеди, RE «Числа Тау, естественная плотность и теорема Харди и Райта 437». Интерн. Дж. Математика. Математика. наук. 13, 383–386, 1990 г.

[4] С. Колтон, « Рефакторинг чисел — машинное изобретение », Журнал целочисленных последовательностей , Vol. 2 (1999 г.), статья 99.1.2.

[1]

[2]

[3]

[4]