Доступный номер

Аменабельное число — это положительное целое число , для которого существует мультимножество целых чисел, равное исходному числу, которые в сумме дают исходное число и при умножении дают исходное число. Алгебраически говоря, для натурального числа n существует мультимножество из n целых чисел {a ₁ , ..., a _n }, для которого выполняются равенства

$$n=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}$$

держать. В мультимножестве допускаются отрицательные числа. Например, 5 поддается, поскольку 5 = 1 + (-1) + 1 + (-1) + 5. Все и только те числа, которые соответствуют 0 или 1 (по модулю 4), кроме 4, поддаются. ( Тамвакис и неудачники, 1998 )

Первые несколько доступных чисел: 1, 5, 8, 9, 12, 13... OEIS : A100832.

Решение для целых чисел вида n = 4 k + 1 может быть задано набором из 2 k (+1) и 2 k (-1) и самого n . (Это обобщает пример 5, приведенный выше.)

Хотя это и не очевидно из определения, множество аменабельных чисел замкнуто при умножении (произведение двух аменабельных чисел является аменабельным числом).

Все составные числа были бы приемлемыми, если бы мультимножеству было разрешено иметь любую длину, потому что, даже если доступны другие решения, всегда можно получить решение, взяв простую факторизацию (выраженную с помощью повторяющихся множителей, а не показателей степени) и добавив столько же 1s при необходимости добавить до n . Произведение этого набора целых чисел даст n независимо от того, сколько единиц в наборе. Более того, даже при этом предположении любое целое число n будет приемлемым. Рассмотрим неэлегантное решение для n из {1, -1, 1, -1, n }. В сумме положительные компенсируются отрицательными, оставляя n , а в произведении два отрицательных компенсируют действие своих знаков.

Аменируемые числа не следует путать с дружественными числами , которые представляют собой пары целых чисел, делители которых складываются друг в друга.

Ссылки

• Запись Mathworld об изменяемых числах
• Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A100832 (Аменируемые номера)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
• Тамвакис, Х. (1995), «Проблема 10454», American Mathematical Monthly , 102 : 463, doi : 10.2307/2975042
• Тамвакис, Х.; Lossers, OP (1998), «Решение проблемы 10454. Аменируемые числа», American Mathematical Monthly , 105 : 368, doi : 10.2307/2589724