Периодическая последовательность

В математике ( периодическая последовательность иногда называемая циклом или орбитой ) — это последовательность , для которой одни и те же члены повторяются снова и снова:

а ₁ , а ₂ , ..., а _р , а ₁ , а ₂ , ..., а _р , а ₁ , а ₂ , ..., а _р , ...

Число p повторяющихся членов называется периодом ( периодом ).

Определение

последовательность (Чисто) периодическая (с периодом p ) или p- периодическая последовательность — это последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... удовлетворяющая

а _{н + р} = а _н

для всех значений n . Если последовательность рассматривать как функцию , областью определения которой является множество натуральных чисел , то периодическая последовательность — это просто особый тип периодической функции . Наименьшее значение p , при котором периодическая последовательность является p -периодической, называется ее наименьшим периодом. или точный период .

Примеры

Любая постоянная функция 1-периодична.

Последовательность $1,2,1,2,1,2\dots$ является периодическим с наименьшим периодом 2.

Последовательность цифр в десятичном разложении 1/7 является периодической с периодом 6:

${\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots$

В более общем смысле, последовательность цифр в десятичном разложении любого рационального числа в конечном итоге является периодической (см. Ниже).

Последовательность степеней −1 является периодической с периодом два:

$-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$

В более общем смысле, последовательность степеней любого корня из единицы является периодической. То же самое справедливо и для степеней любого элемента конечного порядка в группе .

Периодической точкой для функции f : X → X называется точка x которой , орбита

$x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots$

представляет собой периодическую последовательность. Здесь, $f^{n}(x)$ означает n -кратную композицию , f примененную к x . Периодические точки играют важную роль в теории динамических систем . Каждая функция из конечного множества в себя имеет периодическую точку; Обнаружение цикла — это алгоритмическая задача поиска такой точки.

Личности

Частичные суммы

$\sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}$ Где k и m<p — натуральные числа.

Частичные продукты

$\prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}$ Где k и m<p — натуральные числа.

Периодические последовательности 0, 1

Любую периодическую последовательность можно построить путем поэлементного сложения, вычитания, умножения и деления периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности нуля и единицы можно выразить как суммы тригонометрических функций:

$\sum _{k=1}^{1}\cos \left(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots$

$\sum _{k=1}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}}\right)/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots$

$\sum _{k=1}^{3}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}}\right)/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\cdots$

$\cdots$

$\sum _{k=1}^{N}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}}\right)/N=0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{sequence with period }}N$

Один стандартный подход к доказательству этих тождеств — применить формулу Де Муавра к соответствующему корню из единицы . Такие последовательности являются основополагающими при изучении теории чисел .

Обобщения

Последовательность является в конечном итоге периодической или в конечном итоге периодической. если его можно сделать периодическим, исключив из начала некоторое конечное число членов. Эквивалентно последнее условие можно сформулировать как $a_{k+r}=a_{k}$ для некоторого r и достаточно большого k . Например, последовательность цифр в десятичном представлении 1/56 в конечном итоге является периодической:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

Последовательность является асимптотически периодической , если ее члены приближаются к членам периодической последовательности. То есть последовательность x ₁ , x ₂ , x ₃ ,... является асимптотически периодической, если существует периодическая последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... для которой

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.$

Например, последовательность

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

является асимптотически периодической, поскольку ее члены приближаются к членам периодической последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....