1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

Архимеда с = Фигура ⁠ 3 / 4 ⁠

В математике бесконечный ряд ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⁠ 1 / 64 ⁠ + ⁠ 1/256 — математики ⁠ + ⋯ пример одного из первых суммируемых бесконечных рядов в истории ; его использовал Архимед около 250–200 гг. до н.э. Поскольку это геометрическая прогрессия с первым членом ⁠ 1/4 ⁠ обыкновенное и соотношение ⁠ 1/4 , ⁠ равна его сумма $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{3}}.$$

Визуальные демонстрации

3 с = 1.

Серия ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⁠ 1 / 64 ⁠ + ⁠ 1/256 квадрат подходит ⁠ + ⋯ для некоторых особенно простых визуальных демонстраций, поскольку и треугольник делятся на четыре одинаковых части, каждая из которых содержит ⁠ 1/4 ⁠ площади . оригинала

На рисунке слева если взять площадь большого квадрата 1, то площадь самого большого черного квадрата будет равна ⁠ 1 / 2 ⁠  ×  ⁠ 1 / 2 ⁠  =  ⁠ 1/4 ​ ⁠ ​ . Аналогично, второй по величине черный квадрат имеет площадь ⁠ 1/16 квадрата ⁠ , а площадь третьего по величине чёрного ⁠ 1/64 ​ ​ ⁠ . Таким образом, площадь, занимаемая всеми черными квадратами вместе взятыми, равна ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⁠ 1/64 и это также площадь , , ⁠ + ⋯ занимаемая серыми и белыми квадратами. Поскольку эти три области покрывают единичный квадрат, на рисунке показано, что $$3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.$$

Собственная иллюстрация Архимеда, адаптированная вверху, было немного другим, будучи ближе к уравнению

3 с = 1 снова

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{4^{n}}}={\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\cdots =1.$$ Подробную информацию об интерпретации Архимеда см. ниже.

Та же геометрическая стратегия работает и для треугольников , как на рисунке справа: если площадь большого треугольника равна 1, то площадь самого большого черного треугольника равна ⁠ 1/4 ⁠ и так далее. Фигура в целом имеет самоподобие между большим треугольником и его верхним подтреугольником. Сходная конструкция, делающая фигуру похожей на все три ее угловые части, образует треугольник Серпинского .

Доказательство Архимеда

Эта кривая является параболой. Точки на секущей линии AE расположены на равном расстоянии друг от друга. Архимед показал, что сумма площадей треугольников ABC и CDE равна ⁠ 1/4 ​ ⁠ . площади ACE треугольника Затем он строит еще один слой из четырех треугольников поверх тех, сумма площадей которых равна ⁠ 1/4 из ⁠ , а затем еще один слой суммы площадей ABC и CDE восьми треугольников поверх него, имея ⁠ 1/4 этой и ⁠ площади так далее. Он пришел к выводу, что площадь между секущей линией и кривой равна ⁠ 4/3 ​ ⁠ . площадь ACE треугольника

Архимед встречается с этим рядом в своей работе «Квадратура параболы» . Методом исчерпывания он находит площадь внутри параболы и получает ряд треугольников; каждый этап строительства добавляет площадь ⁠ 1/4 . ⁠ раза больше площади предыдущего этапа Его желаемый результат состоит в том, что общая площадь равна ⁠ ⁠ 4/3 превышает ⁠ раза площадь первой ступени. Чтобы добиться этого, он делает перерыв в параболах и вводит алгебраическую лемму:

Предложение 23. Дан ряд площадей A , B , C , D , ... , Z , из которых A наибольшая и каждая в четыре раза равна следующей по порядку, то $$A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.$$

Архимед доказывает это положение, предварительно вычислив $${\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}$$ С другой стороны, $${\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).$$

Вычитание этого уравнения из предыдущего уравнения дает $$B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A$$ и добавление A к обеим сторонам дает желаемый результат.

Сегодня более стандартная формулировка предложения Архимеда состоит в том, что частичные суммы ряда 1 + ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1/16 это ⋯ ⁠ + : $$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.$$

Эту форму можно доказать, умножив обе части на 1 — ⁠ 1/4 и заметив , ⁠ . что все члены левой части уравнения, кроме первого и последнего, сокращаются попарно Та же стратегия работает для любой конечной геометрической прогрессии .

Предел

Предложение Архимеда 24 применяет конечную (но неопределенную) сумму из предложения 23 к площади внутри параболы путем двойного приведения к абсурду . Он не совсем возьмем предел приведенных выше частичных сумм, но в современном исчислении этот шаг достаточно прост: $$\lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.$$

Поскольку сумма бесконечного ряда определяется как предел его частичных сумм, $$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}.$$

Ссылки

• Ахосе, воскресенье; Нельсен, Роджер (июнь 1994 г.). «Доказательство без слов: геометрический ряд». Журнал «Математика» . 67 (3): 230. дои : 10.2307/2690617 . JSTOR   2690617 .
• Хит, TL (1953) [1897]. Работы Архимеда . Издательство Кембриджского университета . Изображения страниц на Кассельман, Билл. «Квадратура параболы Архимеда» . Архивировано из оригинала 20 марта 2012 г. Проверено 22 марта 2007 г. HTML с рисунками и комментариями по адресу Отеро, Дэниел Э. (2002). «Архимед Сиракузский» . Архивировано из оригинала 7 марта 2007 года . Проверено 22 марта 2007 г.
• Мабри, Рик (февраль 1999 г.). «Доказательство без слов: ${\textstyle {\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{4}}\right)^{3}+\dots ={\frac {1}{3}}}$". Журнал Mathematics . 72 (1): 63. doi : 10.1080/0025570X.1999.11996702 . JSTOR   2691318 .
• Нельсен, Роджер Б.; Альсина, Клауди (2006). Математика стала визуальной: создание изображений для понимания математики . Математическая ассоциация Америки . ISBN  0-88385-746-4 .
• Шойер, Брюс; Уотсон, Брюс (1994). Методы суммирования Бореля: теория и приложения . Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-853585-6 .
• Штейн, Шерман К. (1999). Архимед: что он делал, кроме крика «Эврика»? . Математическая ассоциация Америки . ISBN  0-88385-718-9 .
• Суэйн, Гордон; Денс, Томас (апрель 1998 г.). «Возвращение к квадратуре параболы Архимеда». Журнал «Математика» . 71 (2): 123–30. дои : 10.2307/2691014 . JSTOR   2691014 .