постоянная Миллса

В теории чисел константа Миллса определяется как наименьшее положительное действительное число A такое, что нижняя функция двойной экспоненциальной функции

\lfloor A^{3^{n}}\rfloor

является простым числом для всех положительных натуральных чисел n . Эта константа названа в честь Уильяма Гарольда Миллса , который доказал в 1947 году существование A на основе результатов Гвидо Хохайзеля и Альберта Ингэма о простых пробелах . ^{[ 1 ]} Его значение недоказано, но если гипотеза Римана верна, оно составляет примерно 1,3063778838630806904686144926... (последовательность A051021 в OEIS ).

Простые числа Миллса

Простые числа, порождаемые константой Миллса, известны как простые числа Миллса; если гипотеза Римана верна, последовательность начинается

2,11,1361,2521008887,16022236204009818131831320183,

4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499,\ldots

(последовательность A051254 в OEIS ).

Если a _i обозначает i ^й простое число в этой последовательности, то a _i можно вычислить как наименьшее простое число, большее $a_{i-1}^{3}$ . Чтобы обеспечить округление $A^{3^{n}}$ , для n = 1, 2, 3, ..., дает эту последовательность простых чисел, должно быть так, что $a_{i}<(a_{i-1}+1)^{3}$ . Результаты Хохайзеля–Ингама гарантируют, что существует простое число между любыми двумя достаточно большими кубическими числами , чего достаточно для доказательства этого неравенства, если мы начнем с достаточно большого первого простого числа. $a_{1}$ . что между любыми двумя последовательными кубами существует простое число, что позволяет удалить условие достаточно большого размера и позволяет последовательности простых чисел Миллса начинаться с 1 _{Гипотеза Римана подразумевает ,} = 2.

Для всех > $e^{e^{34}}$ , существует хотя бы одно простое число между $a^{3}$ и $(a+1)^{3}$ . ^{[ 2 ]} Эта верхняя граница слишком велика, чтобы быть практичной, поскольку невозможно проверить каждое число ниже этой цифры. Однако значение константы Миллса можно проверить, вычислив первое простое число в последовательности, которое больше этой цифры.

По состоянию на апрель 2017 года 11-е число в последовательности является самым большим из доказанных простых чисел . Это

\displaystyle (((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220

и имеет 20562 цифры. ^{[ 3 ]}

По состоянию на 2024 год ^[update], самое большое известное вероятное простое число Миллса (согласно гипотезе Римана) равно

\displaystyle (((((((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220)^{3}+66768)^{3}+300840)^{3}+1623568)^{3}+8436308

(последовательность A108739 в OEIS ), длина которой составляет 1 665 461 цифра.

Численный расчет

Вычислив последовательность простых чисел Миллса, можно аппроксимировать константу Миллса как

A\approx a(n)^{1/3^{n}}.

Колдуэлл и Ченг использовали этот метод для вычисления 6850-значной константы Миллса по основанию 10 в предположении, что гипотеза Римана верна. ^{[ 4 ]} Не существует известной формулы для постоянной Миллса, и даже неизвестно, является ли это число рациональным . ^{[ 5 ]}

Обобщения

В значении среднего показателя степени 3 нет ничего особенного. Можно создать аналогичные функции, генерирующие простые числа , для разных значений среднего показателя степени. Фактически, для любого действительного числа выше 2,106... можно найти другую константу A , которая будет работать с этим средним показателем, чтобы всегда создавать простые числа. Более того, если гипотеза Лежандра верна, средний показатель степени можно заменить ^{[ 6 ]} со значением 2 (последовательность A059784 в OEIS ).

Матомяки безоговорочно показал (не допуская гипотезы Лежандра) существование постоянной A (возможно, большой) такой, что $\lfloor A^{2^{n}}\rfloor$ является простым для всех n . ^{[ 7 ]}

Кроме того, Тот доказал, что функцию пола в формуле можно заменить функцией потолка , так что существует константа $B$ такой, что

\lceil B^{r^{n}}\rceil

также является основным представителем для $r>2.106\ldots$ . ^{[ 8 ]} В случае $r=3$ , значение константы $B$ начинается с 1,24055470525201424067... Первые несколько сгенерированных простых чисел:

2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots

Не принимая гипотезу Римана, Эльшольц доказал, что $\lfloor A^{10^{10n}}\rfloor$ является простым для всех натуральных чисел $n$ , где $A\approx 1.00536773279814724017$ , и это $\lfloor B^{3^{13n}}\rfloor$ является простым для всех натуральных чисел $n$ , где $B\approx 3.8249998073439146171615551375$ . ^{[ 9 ]}

См. также

Формула простых чисел

Ссылки

^ Миллс, штат Вашингтон (1947). «Функция, представляющая простые числа» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 53 (6): 604. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08849-2 .
^ Дудек, Адриан В. (2016). «Явный результат для простых чисел между кубами». Функции и аппроксимация математических комментариев . 55 (2): 177–197. arXiv : 1401.4233 . дои : 10.7169/facm/2016.55.2.3 . МР 3584567 . S2CID 119143089 .
^ Колдуэлл, Крис (7 июля 2006 г.). «База данных Прайм» . Простые числа . Проверено 11 мая 2017 г.
^ Колдуэлл, Крис К.; Ченг, Юанью (2005). «Определение постоянной Миллса и примечания к проблеме Хонакера» . Журнал целочисленных последовательностей . 8 . п. 5.4.1. МР 2165330 .
^ Финч, Стивен Р. (2003). «Константа Миллса». Математические константы . Издательство Кембриджского университета. стр. 130–133 . ISBN 0-521-81805-2 .
^ Уоррен младший, Генри С. (2013). Хакерское наслаждение (2-е изд.). Аддисон-Уэсли Профессионал. ISBN 9780321842688 .
^ Матомаки, К. (2010). «Функции, представляющие простые числа» (PDF) . Акта Математика Венгрия 128 (4): 307–314. дои : 10.1007/s10474-010-9191-x . S2CID 18960874 .
^ Тот, Ласло (2017). «Вариация функций, представляющих простые числа, подобных Миллсу» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 20 . п. 17.9.8. arXiv : 1801.08014 .
^ Эльшольц, Кристиан (2020). «Безусловные функции, представляющие простые числа, по Миллсу». Американский математический ежемесячник . 127 (7): 639–642. arXiv : 2004.01285 . дои : 10.1080/00029890.2020.1751560 . S2CID 214795216 .

Дальнейшее чтение

Ченг, Юанью Фуруи 2010 (2010). «Явная оценка простых чисел между последовательными кубами». Математический журнал Роки Маунтин . 40 (1): 117–153. arXiv : 0810.2113 . дои : 10.1216/RMJ-2010-40-1-117 . МР 2607111 . S2CID 15502941 . {{cite journal}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Константа Миллса» . Математический мир .
Кто помнит число Миллса? , Э. Ковальский.
Потрясающая константа простого числа , числофил.

[Mills1947-1] Миллс, штат Вашингтон (1947). «Функция, представляющая простые числа» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 53 (6): 604. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08849-2 .

[Dudek2016-2] Дудек, Адриан В. (2016). «Явный результат для простых чисел между кубами». Функции и аппроксимация математических комментариев . 55 (2): 177–197. arXiv : 1401.4233 . дои : 10.7169/facm/2016.55.2.3 . МР 3584567 . S2CID 119143089 .

[Caldwell2006-3] Колдуэлл, Крис (7 июля 2006 г.). «База данных Прайм» . Простые числа . Проверено 11 мая 2017 г.

[CaldwellCheng2005-4] Колдуэлл, Крис К.; Ченг, Юанью (2005). «Определение постоянной Миллса и примечания к проблеме Хонакера» . Журнал целочисленных последовательностей . 8 . п. 5.4.1. МР 2165330 .

[Finch2003-5] Финч, Стивен Р. (2003). «Константа Миллса». Математические константы . Издательство Кембриджского университета. стр. 130–133 . ISBN 0-521-81805-2 .

[WarrenJr2013-6] Уоррен младший, Генри С. (2013). Хакерское наслаждение (2-е изд.). Аддисон-Уэсли Профессионал. ISBN 9780321842688 .

[Matomäki2010-7] Матомаки, К. (2010). «Функции, представляющие простые числа» (PDF) . Акта Математика Венгрия 128 (4): 307–314. дои : 10.1007/s10474-010-9191-x . S2CID 18960874 .

[Tóth2017-8] Тот, Ласло (2017). «Вариация функций, представляющих простые числа, подобных Миллсу» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 20 . п. 17.9.8. arXiv : 1801.08014 .

[9] Эльшольц, Кристиан (2020). «Безусловные функции, представляющие простые числа, по Миллсу». Американский математический ежемесячник . 127 (7): 639–642. arXiv : 2004.01285 . дои : 10.1080/00029890.2020.1751560 . S2CID 214795216 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

v т и Классы простых чисел
По формуле	Ферма ( $2 2 н + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Вагстафф $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 н + 1$ ) Факториал ( $n! \pm 1$ ) Первобытный ( $p n # \pm 1$ ) Евклид ( $p n # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 n + 1$ ) Пьерпон ( $2 м \cdot3 н + 1$ ) Квартан ( $х 4 + и 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 н \pm 1$ ) Каллен ( $n \cdot2 н + 1$ ) Вудалл ( $n \cdot2 н - 1$ ) Кубинский ( $х 3 - и 3)/(Икс - у$ ) Лейланд ( $x и + и х$ ) Сабит ( $3\cdot2 н - 1$ ) Уильямс ( $(b -1)\cdot b н - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 н ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман–Шэнкс–Уильямс Перрин
По свойству	Виферих ( пара ) Стена–Солнце–Солнце Вулстенхолм Уилсон Удачливый удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Стерн Суперсингулярная (эллиптическая кривая) Суперсингулярная (теория самогона) Хороший Супер Хиггс Высокий коэффициент Уникальный
Базово -зависимый	палиндромный Эмирп Репунит $(10 н - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Нежный Первобытный Полный отчет Уникальный Счастливый Себя Смарандаш-Веллин Стробограмматический двугранный тетрадный
Узоры	Твин ( $р, р + 2$ ) Двойная цепь ( $n \pm1, 2n \pm 1, 4n \pm 1, \dots$ ) Тройка ( $p, p +2 или p +4, p +6$ ) Четверка ( $р, р +2, р +6, р +8$ ) k -кортеж Двоюродный брат ( $п, р + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен/Сейф ( $п, 2п +1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательные p - n, p, p + n$ )
По размеру	Мега (1 000 000+ цифр) Самый крупный известный список
Комплексные числа	простое число Эйзенштейна Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопростой каталанский Эллиптический Эйлер Эйлер-Якоби Ферма Фробениус Лукас Перрин Сомер-Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростые числа Сфеническое число Интерпрайм Пагубный
Связанные темы	Вероятное простое число Промышленный класс Prime Незаконный премьер Формула простых чисел Премьер-разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел