Jump to content

Куб (алгебра)

Страница полузащищена
(Перенаправлено с номера Куба )

у = х 3 для значений 1 ≤ x ≤ 25 .

В арифметике и алгебре куб , числа n — это его третья степень то есть результат умножения трёх экземпляров числа n вместе.Куб числа или любого другого математического выражения обозначается верхним индексом 3, например 2. 3 = 8 или ( х + 1) 3 .

Куб — это также число, умноженное на его квадрат :

н 3 = п × п 2 знак равно п × п × п .

Функция куба — это функция x x 3 (часто обозначается y = x 3 ), который отображает число в его куб. Это нечетная функция , так как

(- п ) 3 = −( п 3 ) .

Объем . геометрического куба равен длине его стороны, отсюда и название Обратная n операция, заключающаяся в нахождении числа, куб которого равен , называется извлечением кубического корня числа n . Он определяет сторону куба заданного объема. Оно также возведено в третью степень.

График . кубической функции известен как парабола кубическая Поскольку функция куба является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .

В целых числах

Число куба , или идеальный куб , а иногда просто куб , — это число, которое является кубом целого числа .Неотрицательные совершенные кубы до 60 3 (последовательность A000578 в OEIS ):

0 3 = 0
1 3 = 1 11 3 = 1331 21 3 = 9261 31 3 = 29,791 41 3 = 68,921 51 3 = 132,651
2 3 = 8 12 3 = 1728 22 3 = 10,648 32 3 = 32,768 42 3 = 74,088 52 3 = 140,608
3 3 = 27 13 3 = 2197 23 3 = 12,167 33 3 = 35,937 43 3 = 79,507 53 3 = 148,877
4 3 = 64 14 3 = 2744 24 3 = 13,824 34 3 = 39,304 44 3 = 85,184 54 3 = 157,464
5 3 = 125 15 3 = 3375 25 3 = 15,625 35 3 = 42,875 45 3 = 91,125 55 3 = 166,375
6 3 = 216 16 3 = 4096 26 3 = 17,576 36 3 = 46,656 46 3 = 97,336 56 3 = 175,616
7 3 = 343 17 3 = 4913 27 3 = 19,683 37 3 = 50,653 47 3 = 103,823 57 3 = 185,193
8 3 = 512 18 3 = 5832 28 3 = 21,952 38 3 = 54,872 48 3 = 110,592 58 3 = 195,112
9 3 = 729 19 3 = 6859 29 3 = 24,389 39 3 = 59,319 49 3 = 117,649 59 3 = 205,379
10 3 = 1000 20 3 = 8000 30 3 = 27,000 40 3 = 64,000 50 3 = 125,000 60 3 = 216,000

С геометрической точки зрения, положительное целое число m является идеальным кубом тогда и только тогда, когда можно объединить m твердых единичных кубов в более крупный сплошной куб. Например, 27 маленьких кубиков можно скомпоновать в один более крупный с видом кубика Рубика , так как 3×3×3 = 27 .

Разницу между кубами последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:

н 3 - ( п - 1) 3 знак равно 3( п - 1) п + 1 .

или

( п + 1) 3 п 3 знак равно 3( п + 1) п + 1 .

Не существует минимально идеального куба, поскольку куб отрицательного целого числа отрицательен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

База десять

В отличие от идеальных квадратов , идеальные кубы не имеют небольшого количества возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, делящихся на 5, где только 25 , 75 и 00 могут быть последними двумя цифрами, любая пара цифр с последней нечетной цифрой может быть последними цифрами идеального куба. Для четных кубов существуют значительные ограничения: только 00 , o 2 , e 4 , o 6 и e 8 могут быть последними двумя цифрами идеального куба (где o означает любую нечетную цифру, а e - любую четную цифру). Некоторые кубические числа также являются квадратными числами; например, 64 — это квадратное число (8×8) и кубическое число (4×4×4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число представляет собой совершенную шестую степень (в данном случае 2). 6 ).

Последние цифры каждой третьей степени:

0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Однако легко показать, что большинство чисел не являются идеальными кубами, поскольку все идеальные кубы должны иметь цифровой корень 1 , 8 или 9 . То есть их значения по модулю 9 могут быть только 0, 1 и 8. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, который дает число при делении на 3:

  • Если число x делится на 3, его куб имеет цифровой корень 9; то есть,
  • Если при делении на 3 остаток равен 1, его куб имеет цифровой корень 1; то есть,
  • Если при делении на 3 остаток равен 2, его куб имеет цифровой корень 8; то есть,

Суммы двух кубов

Суммы трёх кубиков

Предполагается, что каждое целое число (положительное или отрицательное), не соответствующее по ±4 модулю 9, можно записать в виде суммы трех (положительных или отрицательных) кубов бесконечным числом способов. [1] Например, . по Целые числа, конгруэнтные ±4 модулю 9, исключаются, поскольку их нельзя записать в виде суммы трех кубов.

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, - 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известной суммы трех кубов, 42, удовлетворяет этому уравнению: [2]

Одно из решений приведено в таблице ниже для n ≤ 78 и n не соответствует 4 или 5 по модулю 9 . Выбранное решение является примитивным ( gcd( x , y , z ) = 1 ), не имеет вида или (поскольку они представляют собой бесконечные семейства решений), удовлетворяет условию 0 ≤ | х | ≤ | й | ≤ | г | , и имеет минимальные значения | г | и | й | (проверено в таком порядке). [3] [4] [5]

Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения можно тривиально вывести из решений для меньшего значения n . Например, для n = 24 решение результат решения умножив все на Поэтому выбрано другое решение. Аналогично, для n = 48 решение ( x , y , z ) = (-2, -2, 4) исключается , и это решение ( x , y , z ) = (-23, -26, 31 ), который выбран.


Великая теорема Ферма для кубов.

Уравнение х 3 + и 3 = г 3 не имеет нетривиальных (т.е. xyz ≠ 0 ) решений в целых числах. На самом деле его нет в целых числах Эйзенштейна . [6]

Оба эти утверждения верны и для уравнения [7] х 3 + и 3 = 3z 3 .

Сумма первых n кубиков

Сумма первых n кубиков равна квадрату числа n- го треугольника :

Визуальное доказательство того, что 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) 2 .

Доказательства. Чарльз Уитстон ( 1854 ) дает особенно простой вывод, разлагая каждый куб суммы на набор последовательных нечетных чисел. Он начинает с указания личности

Это тождество связано с треугольными числами. следующим образом:

и, таким образом, слагаемые, образующие начните сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения до .Применение этого свойства вместе с другим известным тождеством:

мы получаем следующий вывод:

Наглядная демонстрация того, что квадрат треугольного числа равен сумме кубов.

В более поздней математической литературе Штейн (1971) использует интерпретацию этих чисел с помощью подсчета прямоугольников для формирования геометрического доказательства тождества (см. также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); он отмечает, что это также можно легко (но неинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Тёплиц (1963) предоставляет «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставляют два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубиков равна квадрату 5-го треугольного числа,

Аналогичный результат можно получить для суммы первых y нечетных кубов:

но x , y должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелля x 2 − 2 года 2 = −1 . Например, для y = 5 и 29 тогда

и так далее. Кроме того, каждое четное совершенное число , кроме наименьшего, является суммой первых двух. p −1 / 2
нечетные кубики ( p = 3, 5, 7, ...):

Сумма кубов чисел в арифметической прогрессии

Одна из интерпретаций числа Платона 3. 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

Есть примеры кубов чисел в арифметической прогрессии , сумма которых равна кубу:

причем первое из них иногда называют загадочным числом Платона . Формула F для нахождения суммы n кубы чисел в арифметической прогрессии с общей разностью d и исходным кубом a 3 ,

дается

Параметрическое решение

известен для частного случая d = 1 или последовательных кубов, найденного Пальяни в 1829 году. [8]

Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел

В последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... первым является куб ( 1 = 1 3 ); сумма следующих двух и есть следующий куб ( 3 + 5 = 2 3 ); сумма следующих трёх и есть следующий куб ( 7 + 9 + 11 = 3 3 ); и так далее.

Задача Уоринга для кубов

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньше) положительных кубов. Этот верхний предел в девять кубов нельзя уменьшить, потому что, например, 23 нельзя записать как сумму менее девяти положительных кубов:

23 = 2 3 + 2 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 .

В рациональных числах

Каждое положительное рациональное число представляет собой сумму трёх положительных рациональных кубов. [9] и есть рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. [10]

В действительных числах, других полях и кольцах

у = х 3 построенный на декартовой плоскости

В действительных числах функция куба сохраняет порядок: большие числа имеют большие кубы. Другими словами, кубы (строго) монотонно увеличиваются . Кроме того, ее кодомен — это вся вещественная линия : функция x x 3 : R R — сюръекция ( принимает все возможные значения). Только три числа равны своим кубам: −1 , 0 и 1 . Если −1 < x < 0 или 1 < x , то x 3 > х . Если x < −1 или 0 < x < 1 , то x 3 < х . Все вышеупомянутые свойства относятся также к любой более высокой нечетной степени ( x 5 , х 7 , ...) действительных чисел. Равенства и неравенства верны также в любом упорядоченном кольце .

Объемы подобных евклидовых тел связаны как кубы их линейных размеров.

В комплексных числах куб чисто мнимого числа также является чисто мнимым. Например, я 3 знак равно - я .

Производная x 3 равно 3 х 2 .

Кубы иногда обладают сюръективным свойством в других полях , например, в F p для такого простого числа p , что p ≠ 1 (mod 3) , [11] но не обязательно: см. контрпример с рациональными аргументами выше . Также в F 7 только три элемента 0, ±1 являются совершенными кубами из семи. −1, 0 и 1 — идеальные кубы в любом месте и единственные элементы поля, равные их собственным кубам: x 3 - Икс знак равно Икс ( Икс - 1)( Икс + 1) .

История

Определение кубов больших чисел было очень распространено во многих древних цивилизациях . создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней . Месопотамские математики к старовавилонскому периоду (20-16 вв. до н.э.) [12] [13] Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту . [14] Герой Александрийский разработал метод вычисления кубических корней в I веке нашей эры. [15] Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней появляются в «Девяти главах математического искусства» , китайском математическом тексте, составленном примерно во 2 веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в 3 веке нашей эры. [16]

См. также

Ссылки

  1. ^ Хейсман, Сандер Г. (27 апреля 2016 г.). «Новые суммы трех кубов». arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].
  2. ^ Букер, Эндрю Р.; Сазерленд, Эндрю В. (2021). «К вопросу о Морделле» . Труды Национальной академии наук . 118 (11). arXiv : 2007.01209 . дои : 10.1073/pnas.2022377118 . ПМЦ   7980389 . ПМИД   33692126 .
  3. ^ Последовательности A060465 , A060466 и A060467 в OEIS.
  4. ^ Трикубы
  5. ^ n=x^3+y^3+z^3
  6. ^ Харди и Райт, Thm. 227
  7. ^ Харди и Райт, Thm. 232
  8. ^ Беннетт, Майкл А.; Патель, Вандита; Сиксек, Самир (2017), «Совершенные степени, являющиеся суммами последовательных кубов», Mathematika , 63 (1): 230–249, arXiv : 1603.08901 , doi : 10.1112/S0025579316000231 , MR   3610012
  9. ^ Харди и Райт, Thm. 234
  10. ^ Харди и Райт, Thm. 233
  11. ^ Мультипликативная группа F групповой p является циклической порядка p − 1 , и если она не делится на 3, то кубы определяют автоморфизм .
  12. ^ Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики . Джон Уайли и сыновья. п. 63. ИСБН  978-1-118-46029-0 .
  13. ^ Немет-Нежат, Карен Рея (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Издательская группа Гринвуд. п. 306 . ISBN  978-0-313-29497-6 .
  14. ^ Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих, 1983 г. ISBN   0-387-12159-5
  15. ^ Смили, Дж. Гилбарт (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . 19 (42). Тринити-колледж в Дублине: 64–67. JSTOR   23037103 .
  16. ^ Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лунь, Энтони (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. стр. 176, 213. ISBN.  978-0-19-853936-0 .

Источники

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ac0183dc5833ac1a064761f603673378__1720373460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ac/78/ac0183dc5833ac1a064761f603673378.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Cube (algebra) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)