Суммы трёх кубиков

Нерешенная задача по математике :

Существует ли число, которое не равно 4 или 5 по модулю 9 и которое нельзя выразить в виде суммы трех кубов?

(еще нерешенные задачи по математике)

Полулогарифмический график решений $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ для целого числа $x$, $y$, и $z$, и $0\leq n\leq 100$. Зеленые полосы обозначают значения $n$ доказано, что не имеет решения.

В математике сумм степеней открыта проблема характеристики чисел, которые можно выразить в виде суммы трех кубов целых чисел, допуская в сумме как положительные, так и отрицательные кубы. Необходимое условие целого числа $n$ равняться такой сумме является то, что $n$ не может равняться 4 или 5 по модулю 9, потому что кубы по модулю 9 равны 0, 1 и -1, и никакие три из этих чисел не могут в сумме давать 4 или 5 по модулю 9. Неизвестно, является ли это необходимое условие достаточным.

Варианты задачи включают суммы неотрицательных кубов и суммы рациональных кубов. Все целые числа имеют представление в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой натуральной плотностью .

Маленькие случаи

Нетривиальное представление 0 как суммы трех кубов дало бы контрпример Великой теореме Ферма для показателя три, поскольку один из трех кубов имел бы знак, противоположный двум другим, и его отрицание было бы равно сумме двух других. . Следовательно, согласно доказательству Леонарда Эйлера этого случая последней теоремы Ферма, есть только тривиальные решения

$a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.$

Для представлений 1 и 2 существуют бесконечные семейства решений.

$(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1$ (обнаруженный К. Малера в 1936 г.)

и

$(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2$ (обнаруженный А. С. Веребрусова в 1908 г., цитирует Л. Дж. Морделла. ).

Их можно масштабировать для получения представлений для любого куба или любого числа, которое в два раза превышает куб. Существуют также другие известные представления числа 2, не заданные этими бесконечными семействами:

$1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,$

$37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,$

$3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.$

Однако 1 и 2 — единственные числа, представления которых можно параметризовать полиномами четвертой степени , как указано выше. Даже в случае представлений числа 3 Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «Я не знаю ничего», кроме его небольших решений.

$1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3$

и тот факт, что каждое из трех кубов чисел должно быть равно по модулю 9.

Результаты вычислений

Начиная с 1955 года и по инициативе Морделла, многие авторы осуществили компьютерный поиск этих представлений. Элсенханс и Джанел (2009) использовали метод Ноама Элкиса ( 2000 ), включающий редукцию решетки , для поиска всех решений диофантового уравнения.

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$

для позитива $n$ максимум 1000 и за $\max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}$, оставив только 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 и 975 открытыми проблемами в 2009 г. $n\leq 1000$, а 192, 375 и 600 остаются без примитивных решений (т.е. $\gcd(x,y,z)=1$). После того, как Тимоти Браунинг осветил проблему на сайте Numberphile в 2016 году, Хьюсман (2016) расширил эти поиски до $\max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}$ решение случая 74 с решением

$74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^{3}+66\ 229\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 697\ 727^{3}.$

В ходе этих поисков было обнаружено, что все $n<100$ которые не равны 4 или 5 по модулю 9, имеют решение, не более чем с двумя исключениями: 33 и 42.

Однако в 2019 году Эндрю Букер. дело урегулировал $n=33$ обнаружив, что

$33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}.$

Чтобы добиться этого, Букер использовал альтернативную стратегию поиска со временем выполнения, пропорциональным $\min(|x|,|y|,|z|)$ а не до максимума, подход, первоначально предложенный Heath-Brown et al. Он также обнаружил, что

$795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3},$

и установил, что не существует решений для $n=42$ или любой другой неразрешенный $n\leq 1000$ с $|z|\leq 10^{16}$.

Вскоре после этого, в сентябре 2019 года, Букер и Эндрю Сазерленд наконец урегулировали спор. $n=42$ случае, используя 1,3 миллиона часов вычислений в глобальной сети Charity Engine, чтобы обнаружить, что

$42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3},$

а также решения для нескольких других ранее неизвестных случаев, включая $n=165$ и $579$ для $n\leq 1000$.

Букер и Сазерленд также нашли третье представление числа 3, используя еще 4 миллиона вычислительных часов на Charity Engine:

$3=569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}.$

Это открытие разрешило 65-летний вопрос Луиса Дж. Морделла , который стимулировал большую часть исследований по этой проблеме.

Представляя третье изображение числа 3 во время своего появления в видео на Youtube-канале Numberphile , Букер также представил изображение числа 906:

$906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.$

Единственными оставшимися нерешенными случаями до 1000 являются семь чисел 114, 390, 627, 633, 732, 921 и 975, и нет известных примитивных решений (т.е. $\gcd(x,y,z)=1$) для 192, 375 и 600.

показывать Примитивные решения для n от 1 до 78
n	x	y	z		n	x	y	z
1	9	10	−12		39	117367	134476	−159380
2	1214928	3480205	−3528875		42	12602123297335631	80435758145817515	−80538738812075974
3	1	1	1		43	2	2	3
6	−1	−1	2		44	−5	−7	8
7	0	−1	2		45	2	−3	4
8	9	15	−16		46	−2	3	3
9	0	1	2		47	6	7	−8
10	1	1	2		48	−23	−26	31
11	−2	−2	3		51	602	659	−796
12	7	10	−11		52	23961292454	60702901317	−61922712865
15	−1	2	2		53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626		54	−7	−11	12
17	1	2	2		55	1	3	3
18	−1	−2	3		56	−11	−21	22
19	0	−2	3		57	1	−2	4
20	1	−2	3		60	−1	−4	5
21	−11	−14	16		61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827		62	2	3	3
25	−1	−1	3		63	0	−1	4
26	0	−1	3		64	−3	−5	6
27	−4	−5	6		65	0	1	4
28	0	1	3		66	1	1	4
29	1	1	3		69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932		70	11	20	−21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	8866128975287528		71	−1	2	4
34	−1	2	3		72	7	9	−10
35	0	2	3		73	1	2	4
36	1	2	3		74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4		75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4		78	26	53	−55

Популярный интерес

Задача о суммах трех кубов была популяризирована в последние годы Брейди Хараном , создателем YouTube -канала Numberphile , начиная с видео 2015 года «The Uncracked Issue with 33» с интервью с Тимоти Браунингом . Шесть месяцев спустя за этим последовало видео «74 is Cracked» с Браунингом, в котором обсуждалось открытие Хьюсманом в 2016 году решения для 74. В 2019 году Numberphile опубликовал три похожих видеоролика: «42 — это новые 33», «Тайна 42 разгадана» и «3 как сумма трёх кубов», чтобы отметить открытие решений для 33, 42 и новое решение для 3.

Решение Букера для 33 было описано в статьях, опубликованных в журнале Quanta Magazine. и новый учёный , а также статья в Newsweek , в которой было объявлено о сотрудничестве Букера с Сазерлендом: «...математик сейчас работает с Эндрю Сазерлендом из Массачусетского технологического института в попытке найти решение для окончательного неразгаданного числа ниже сотни: 42». Число 42 вызывает дополнительный общественный интерес благодаря его появлению в Дугласа Адамса научно-фантастическом романе 1979 года «Автостопом по Галактике» в качестве ответа на главный вопрос жизни, Вселенной и всего остального .

Заявления Букера и Сазерленда решения для 42 случаев получило освещение в международной прессе, включая статьи в New Scientist , Научный американец , Популярная механика , Регистр , Время , Дейли Миррор , Хельсингин Саномат , Зеркало , Новозеландский Вестник , Индийский экспресс , Стандарт , Провинции , Интернет-газета , Диги24 , и Всемирная служба BBC . Журнал Popular Mechanics назвал решение для 42 одним из «10 крупнейших математических прорывов 2019 года».

Решение вопроса Морделла Букером и Сазерлендом несколько недель спустя вызвало новый раунд освещения в новостях.

В приглашенном докладе Букера на четырнадцатом симпозиуме по алгоритмической теории чисел он обсуждает некоторый общественный интерес к этой проблеме и общественную реакцию на объявление о решениях для 33 и 42.

Разрешимость и разрешимость

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что каждый $n$ не равное 4 или 5 по модулю 9, имеет бесконечное число представлений в виде суммы трёх кубов. Дело $n=33$ Эта проблема была использована Бьорном Пуненом в качестве первого примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел , из которых десятая проблема Гильберта является самым известным примером. Хотя этот конкретный случай с тех пор был решен, неизвестно, разрешимо ли представление чисел в виде суммы кубов. То есть неизвестно, может ли алгоритм для каждого входного сигнала проверить за конечное время, имеет ли данное число такое представление.Если гипотеза Хита-Брауна верна, проблема разрешима. В этом случае алгоритм может правильно решить задачу, вычислив $n$ по модулю 9, возвращая false, если это 4 или 5, и в противном случае возвращая true. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придется искать, чтобы найти явное представление, а не просто определять, существует ли оно.

Вариации

Вариант этой проблемы, связанный с проблемой Уоринга, требует представления в виде суммы трех кубов неотрицательных целых чисел. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой проблемы. Предполагается, что представимые числа имеют положительную естественную плотность . Это остается неизвестным, но Тревор Вули показал, что $\Omega (n^{0.917})$ чисел из $1$ к $n$ есть такие представления. Плотность не более $\Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0.119$.

Каждое целое число можно представить как сумму трёх кубов рациональных чисел (а не как сумму кубов целых чисел).

См. также

• Задача о сумме четырех кубов : каждое целое число является суммой четырех кубов
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней § k = 3 , относящаяся к кубам, которые можно записать в виде суммы трех положительных кубов.
• Число Платона , древний текст, возможно, обсуждающий уравнение 3. ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³
• Номер такси — наименьшее целое число, которое можно выразить как сумму двух кубов натуральных чисел n различными способами.

Внешние ссылки

• Решения n = x ³ + и ³ + я ³ для 0 ≤ n ≤ 99 , Хисанори Мисима
• «Три куба» , Дэниел Дж. Бернстайн
• Суммы трех кубов , Mathpages