Простой многогранник

В геометрии d $-$ мерный простой многогранник — это $d$ -мерный многогранник, которого каждая вершина примыкает ровно к $d$ ребрам (а также к $d$ граням ). Вершинной фигурой простого $d$ является $(d - 1)$ -симплекс - многогранника . ^[1]

Простые многогранники топологически двойственны симплициальным многогранникам . Семейство многогранников, которые являются одновременно простыми и симплициальными, представляют собой симплексы или двумерные многоугольники . Простой многогранник — это трехмерный многогранник , вершины которого примыкают к трем ребрам и трем граням. Двойственным к простому многограннику является симплициальный многогранник , у которого все грани являются треугольниками. ^[2]

Примеры

Трехмерные простые многогранники включают призмы (включая куб ), правильный тетраэдр и додекаэдр , а среди архимедовых тел — усеченный тетраэдр , усеченный куб , усеченный октаэдр , усеченный усеченный кубооктаэдр , усеченный икосаэдр додекаэдр , и усеченный икосододекаэдр . Они также включают многогранники Гольдберга и фуллерены , в том числе тетраэдр с фаской , куб с фаской и додекаэдр с фаской . В общем, любой многогранник можно превратить в простой, обрезав его вершины с валентностью четыре или выше. Например, усеченные трапецоэдры образуются путем усечения только вершин трапецоэдра высокой степени; они также просты.

Четырехмерные простые многогранники включают в себя обычный 120-ячеечный и тессеракт . Простые однородные 4-клеточные многогранники включают усеченный 5-клеточный , усеченный тессеракт , усеченный 24-клеточный , усеченный 120-клеточный и дуопризмы . Все битусеченные, кантиусеченные или всеусеченные четырехгранники являются простыми.

Простые многогранники в более высоких измерениях включают d - симплекс , гиперкуб , ассоциаэдр , пермутоэдр и все всеусеченные многогранники.

Уникальная реконструкция

Миша Перлес предположил, что простой многогранник полностью определяется своим 1-скелетом; его гипотеза была доказана в 1987 году Розвитой Блинд и Питером Мани-Левитской. ^[3] Вскоре после этого Гил Калаи представил более простое доказательство этого результата, основанное на теории уникальных ориентаций стоков . ^[4]

Ссылки

^ Циглер, Гюнтер М. (2012), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Спрингер, с. 8, ISBN 9780387943657
^ Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , издательство Кембриджского университета, стр. 341, ISBN 0-521-66405-5
^ Слепой, Розвита ; Мани-Левитска, Питер (1987), «Загадки и изоморфизмы многогранников», Mathematical Equations , 34 (2–3): 287–297, doi : 10.1007/BF01830678 , MR 0921106
^ Калаи, Гил (1988), «Простой способ отличить простой многогранник по его графику», Журнал комбинаторной теории , серия A, 49 (2): 381–383, doi : 10.1016/0097-3165(88)90064- 7 , МР 0964396

[z-1] Циглер, Гюнтер М. (2012), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Спрингер, с. 8, ISBN 9780387943657

[c-2] Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , издательство Кембриджского университета, стр. 341, ISBN 0-521-66405-5

[bm-3] Слепой, Розвита ; Мани-Левитска, Питер (1987), «Загадки и изоморфизмы многогранников», Mathematical Equations , 34 (2–3): 287–297, doi : 10.1007/BF01830678 , MR 0921106

[k-4] Калаи, Гил (1988), «Простой способ отличить простой многогранник по его графику», Журнал комбинаторной теории , серия A, 49 (2): 381–383, doi : 10.1016/0097-3165(88)90064- 7 , МР 0964396

[1]

[2]

[3]

[4]