Многогранник Гольдберга

Икосаэдрические многогранники Гольдберга с пятиугольниками красного цвета
$ГП(1,4) = {5+,3} 1,4$	$ГП(4,4) = {5+,3} 4,4$
$ГП(7,0) = {5+,3} 7,0$	$ГП(3,5) = {5+,3} 3,5$
$ГП(10,0) = {5+,3} 10,0$ Равносторонние и сферические

В математике , и более конкретно в многогранной комбинаторике , многогранник Гольдберга — это выпуклый многогранник, составленный из шестиугольников и пятиугольников . Впервые они были описаны в 1937 году Майклом Голдбергом (1902–1990). Они определяются тремя свойствами: каждая грань является пятиугольником или шестиугольником, в каждой вершине встречаются ровно три грани и они обладают вращательной икосаэдрической симметрией . Они не обязательно зеркально-симметричны ; например, $GP(5,3)$ и $GP(3,5)$ являются энантиоморфами друг друга. Многогранник Гольдберга — это двойственный многогранник многограннику геодезическому .

Следствием формулы многогранника Эйлера является то, что многогранник Гольдберга всегда имеет ровно двенадцать пятиугольных граней. Икосаэдрическая симметрия гарантирует, что пятиугольники всегда правильные и их всегда 12. Если вершины не ограничены сферой, многогранник можно построить с плоскими равносторонними (но не вообще равноугольными) гранями.

Простые примеры многогранников Гольдберга включают додекаэдр и усеченный икосаэдр . Другие формы можно описать, выполняя ход шахматного коня от одного пятиугольника к другому: сначала сделайте $m$ шагов в одном направлении, затем поверните на 60 ° влево и сделайте $n$ шагов. Такой многогранник обозначается $GP(m, n).$ Додекаэдр — это $GP(1,0)$ , а усечённый икосаэдр — это $GP(1,1).$

Подобный метод можно применить для построения многогранников с тетраэдрической симметрией и октаэдрической симметрией . Эти многогранники будут иметь треугольники или квадраты, а не пятиугольники. Этим вариациям присвоены индексы римских цифр, обозначающие количество сторон на гранях, не отличных от шестиугольника: $GP III (n, m),$ $GP IV (n, m)$ и $GP V (n, m).$

Элементы [ править ]

Количество вершин, ребер и граней GP ( m , n ) можно вычислить из m и n , при этом T = m ² + мин + н ² = ( м + п ) ² − mn в зависимости от одной из трёх систем симметрии: ^[1] Количество нешестиугольных граней можно определить с помощью характеристики Эйлера, как показано здесь .

Симметрия	икосаэдрический	Октаэдрический	Тетраэдрический
База	Додекаэдр ГП _V (1,0) = {5+,3} _1,0	Куб ГП _IV (1,0) = {4+,3} _1,0	Тетраэдр ГП _III (1,0) = {3+,3} _1,0
Изображение
Символ	ГП _V ( м , п ) знак равно {5+,3} _{м , п}	ГП _IV ( м , п ) = {4+,3} _{м , п}	ГП _III ( м , п ) знак равно {3+,3} _{м , п}
Вершины	$20T$	$8T$	$4T$
Края	$30T$	$12T$	$6T$
Лица	$10T+2$	$4T+2$	$2T+2$
Лица по типам	12 {5} и 10( Т − 1) {6}	6 {4} и 4( Т − 1) {6}	4 {3} и 2( Т − 1) {6}

Строительство [ править ]

Большинство многогранников Гольдберга можно построить с использованием обозначения многогранников Конвея, начиная с затравок (T)этраэдра, (C)ube и (D)одекаэдра. Оператор фаски c ( заменяет все ребра шестиугольниками, преобразуя GP ( m , n ) в GP 2 m ,2 n ) с множителем T , равным 4. усеченного kis Оператор y = tk генерирует GP (3, 0), преобразуя GP ( m , n ) в GP (3 m ,3 n ) с множителем T , равным 9.

Для форм класса 2 kis двойственный оператор z = dk преобразует GP ( a ,0) в GP ( a , a ) с множителем T , равным 3. Для форм класса 3 вихря оператор w генерирует GP ( 2,1) с множителем T , равным 7. Генератор вихрей по часовой стрелке и против часовой стрелки, w w = wrw генерирует GP (7,0) в классе 1. В общем, вихрь может преобразовать GP( a , b ) в GP ( a + 3 b ,2 ab ) для a > b и того же кирального направления. Если киральные направления поменялись местами, GP( a , b ) становится GP(2 a + 3 b , a − 2 b ), если a ≥ 2 b , и GP(3 a + b ,2 b − a ), если a < 2 b .

Примеры [ править ]

Многогранники I класса
Частота	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	( м ,0)
Т	1	4	9	16	25	36	49	64	м ²
Икосаэдр (Гольдберг)	правильный додекаэдр	додекаэдр со скошенной кромкой							более
Октаэдрический	куб	куб с фаской							более
Тетраэдрический	тетраэдр	тетраэдр со скошенной кромкой							более

Многогранники II класса
Частота	(1,1)	(2,2)	(3,3)	(4,4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	( м , м )
Т	3	12	27	48	75	108	147	192	3 m ²
Икосаэдр (Гольдберг)	усеченный икосаэдр								более
Октаэдрический	усеченный октаэдр								более
Тетраэдрический	усеченный тетраэдр								более

Многогранники III класса
Частота	(1,2)	(1,3)	(2,3)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(5,1)	( м , н )
Т	7	13	19	21	28	37	31	м ²+ мин + н ²
Икосаэдр (Гольдберг)								более
Октаэдрический								более
Тетраэдрический								более