Хиральность (математика)
В геометрии фигура является хиральной (и говорят, что она обладает киральностью ), если она не идентична своему зеркальному изображению или, точнее, если ее нельзя отобразить в свое зеркальное изображение только с помощью вращений и перемещений . Объект, который не является хиральным, называется ахиральным .
Хиральный объект и его зеркальное отражение называются энантиоморфами . Слово хиральность происходит от греческого χείρ (хеир), рука, наиболее известный хиральный объект; Слово энантиоморф происходит от греческого ἐναντίος (энантиос) «противоположный» + μορφή (морфе) «форма».
Примеры
[ редактировать ]С | С |
---|
Некоторым киральным трехмерным объектам, таким как спираль , можно приписать праворукость или леворукость , согласно правилу правой руки .
Многие другие знакомые объекты демонстрируют ту же киральную симметрию человеческого тела, например перчатки и туфли. Правые туфли отличаются от левых только тем, что являются зеркальным отражением друг друга. Напротив, тонкие перчатки не могут считаться хиральными, если их можно носить наизнанку . [1]
J-, L-, S- и Z-образной формы Тетромино из популярной видеоигры «Тетрис» также проявляют хиральность, но только в двумерном пространстве. По отдельности они не содержат зеркальной симметрии на плоскости.
Хиральность и группа симметрии
[ редактировать ]Фигура является ахиральной тогда и только тогда, когда ее группа симметрии содержит хотя бы одну изометрию , меняющую ориентацию . (В евклидовой геометрии любую изометрию можно записать как с ортогональной матрицей и вектор . Определитель тогда либо 1, либо −1. Если это -1, изометрия меняет ориентацию, в противном случае она сохраняет ориентацию.
Существует общее определение киральности, основанное на теории групп. [2] Это не относится ни к какой концепции ориентации: изометрия является прямой тогда и только тогда, когда она является произведением квадратов изометрий, а если нет, то это косвенная изометрия. Полученное в результате определение киральности работает в пространстве-времени. [3] [4]
Хиральность в двух измерениях
[ редактировать ]В двух измерениях каждая фигура, имеющая ось симметрии, является ахиральной, и можно показать, что каждая ограниченная ахиральная фигура должна иметь ось симметрии. ( Ось симметрии фигуры это линия , такой, что инвариантен относительно отображения , когда выбран в качестве -ось системы координат.) По этой причине треугольник является ахиральным, если он равносторонний или равнобедренный , и киральным, если он разносторонний .
Рассмотрим следующий шаблон:
Эта фигура является хиральной, поскольку не идентична своему зеркальному изображению:
Но если продлить узор в обоих направлениях до бесконечности, получится (неограниченная) ахиральная фигура, не имеющая оси симметрии. Его группа симметрии представляет собой группу фриза, созданную одним скользящим отражением .
Хиральность в трех измерениях
[ редактировать ]В трех измерениях каждая фигура, обладающая зеркальной плоскостью симметрии S 1 , центром инверсии симметрии S 2 или более высокой неправильного вращения (роторного отражения) Sn осью симметрии [5] является ахиральным. ( Плоскость симметрии фигуры это самолет , такой, что инвариантен относительно отображения , когда выбран в качестве - -плоскость системы координат. Центр симметрии фигуры это точка , такой, что инвариантен относительно отображения , когда выбран в качестве начала системы координат.) Однако обратите внимание, что существуют ахиральные фигуры, у которых нет ни плоскости, ни центра симметрии. Примером может служить рисунок
который инвариантен относительно изометрии, изменяющей ориентацию и, следовательно, ахирален, но не имеет ни плоскости, ни центра симметрии. Фигура
также является ахиральным, поскольку начало координат является центром симметрии, но у него нет плоскости симметрии.
Ахиральные фигуры могут иметь центральную ось .
Теория узлов
[ редактировать ]Узел если называется ахиральным, его можно непрерывно деформировать до зеркального отображения, в противном случае его называют киральным узлом . Например, узел и узел «восьмерка» ахиральны, тогда как узел «трилистник» является хиральным.
См. также
[ редактировать ]- Киральный многогранник
- Хиральность (физика)
- Хиральность (химия)
- Асимметрия
- асимметрия
- Вертексная алгебра
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Тунг, Йок Чай; Ван, Ши Юнг (апрель 1997 г.). «Пример действия топологических резиновых перчаток человека». Журнал химического образования . 74 (4): 403. doi : 10.1021/ed074p403 .
- ^ Петижан, М. (2020). «Киральность в метрических пространствах. Памяти Мишеля Деза» . Письма об оптимизации . 14 (2): 329–338. дои : 10.1007/s11590-017-1189-7 .
- ^ Петижан, М. (2021). «Киральность в геометрической алгебре» . Математика . 9 (13). 1521. дои : 10.3390/math9131521 .
- ^ Петижан, М. (2022). «Хиральность в аффинных пространствах и пространстве-времени». arXiv : 2203.04066 [ math-ph ].
- ^ «2. Операции симметрии и элементы симметрии» . chemwiki.ucdavis.edu . 3 марта 2014 года . Проверено 25 марта 2016 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Флапан, Эрика (2000). Когда топология встречается с химией . Перспективы. Издательство Кембриджского университета и Американская математическая ассоциация. ISBN 0-521-66254-0 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Симметрия, киральность, меры симметрии и меры киральности: общие определения
- Киральные многогранники Эрика В. Вайсштейна , Демонстрационный проект Вольфрама .
- Киральное многообразие в Атласе многообразий.