Jump to content

Хиральность (математика)

(Перенаправлено с Энантиоморфа )
След здесь демонстрирует хиральность. Отдельные левый и правый следы представляют собой хиральные энантиоморфы на плоскости, поскольку они являются зеркальными изображениями, но по отдельности не содержат зеркальной симметрии.

В геометрии фигура является хиральной (и говорят, что она обладает киральностью ), если она не идентична своему зеркальному изображению или, точнее, если ее нельзя отобразить в свое зеркальное изображение только с помощью вращений и перемещений . Объект, который не является хиральным, называется ахиральным .

Хиральный объект и его зеркальное отражение называются энантиоморфами . Слово хиральность происходит от греческого χείρ (хеир), рука, наиболее известный хиральный объект; Слово энантиоморф происходит от греческого ἐναντίος (энантиос) «противоположный» + μορφή (морфе) «форма».

Правила левой и правой руки в трех измерениях
Тетромино . S и Z являются энантиоморфами в 2-мерном измерении

С

С

Некоторым киральным трехмерным объектам, таким как спираль , можно приписать праворукость или леворукость , согласно правилу правой руки .

Многие другие знакомые объекты демонстрируют ту же киральную симметрию человеческого тела, например перчатки и туфли. Правые туфли отличаются от левых только тем, что являются зеркальным отражением друг друга. Напротив, тонкие перчатки не могут считаться хиральными, если их можно носить наизнанку . [1]

J-, L-, S- и Z-образной формы Тетромино из популярной видеоигры «Тетрис» также проявляют хиральность, но только в двумерном пространстве. По отдельности они не содержат зеркальной симметрии на плоскости.

Хиральность и группа симметрии

[ редактировать ]

Фигура является ахиральной тогда и только тогда, когда ее группа симметрии содержит хотя бы одну изометрию , меняющую ориентацию . (В евклидовой геометрии любую изометрию можно записать как с ортогональной матрицей и вектор . Определитель тогда либо 1, либо −1. Если это -1, изометрия меняет ориентацию, в противном случае она сохраняет ориентацию.

Существует общее определение киральности, основанное на теории групп. [2] Это не относится ни к какой концепции ориентации: изометрия является прямой тогда и только тогда, когда она является произведением квадратов изометрий, а если нет, то это косвенная изометрия. Полученное в результате определение киральности работает в пространстве-времени. [3] [4]

Хиральность в двух измерениях

[ редактировать ]
Цветное ожерелье посередине хирально в двух измерениях; два других ахиральны .
Это означает, что как физические ожерелья на столе, левое и правое можно повернуть в зеркальное отображение, оставаясь при этом на столе. Однако тот, что посередине, придется взять и повернуть в трех измерениях.
Разносторонний треугольник не имеет зеркальной симметрии и, следовательно, является киральным многогранником в двух измерениях.

В двух измерениях каждая фигура, имеющая ось симметрии, является ахиральной, и можно показать, что каждая ограниченная ахиральная фигура должна иметь ось симметрии. ( Ось симметрии фигуры это линия , такой, что инвариантен относительно отображения , когда выбран в качестве -ось системы координат.) По этой причине треугольник является ахиральным, если он равносторонний или равнобедренный , и киральным, если он разносторонний .

Рассмотрим следующий шаблон:

Эта фигура является хиральной, поскольку не идентична своему зеркальному изображению:

Но если продлить узор в обоих направлениях до бесконечности, получится (неограниченная) ахиральная фигура, не имеющая оси симметрии. Его группа симметрии представляет собой группу фриза, созданную одним скользящим отражением .

Хиральность в трех измерениях

[ редактировать ]
Пара хиральных игральных костей (энантиоморфы)

В трех измерениях каждая фигура, обладающая зеркальной плоскостью симметрии S 1 , центром инверсии симметрии S 2 или более высокой неправильного вращения (роторного отражения) Sn осью симметрии [5] является ахиральным. ( Плоскость симметрии фигуры это самолет , такой, что инвариантен относительно отображения , когда выбран в качестве - -плоскость системы координат. Центр симметрии фигуры это точка , такой, что инвариантен относительно отображения , когда выбран в качестве начала системы координат.) Однако обратите внимание, что существуют ахиральные фигуры, у которых нет ни плоскости, ни центра симметрии. Примером может служить рисунок

который инвариантен относительно изометрии, изменяющей ориентацию и, следовательно, ахирален, но не имеет ни плоскости, ни центра симметрии. Фигура

также является ахиральным, поскольку начало координат является центром симметрии, но у него нет плоскости симметрии.

Ахиральные фигуры могут иметь центральную ось .

Теория узлов

[ редактировать ]

Узел если называется ахиральным, его можно непрерывно деформировать до зеркального отображения, в противном случае его называют киральным узлом . Например, узел и узел «восьмерка» ахиральны, тогда как узел «трилистник» является хиральным.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Тунг, Йок Чай; Ван, Ши Юнг (апрель 1997 г.). «Пример действия топологических резиновых перчаток человека». Журнал химического образования . 74 (4): 403. doi : 10.1021/ed074p403 .
  2. ^ Петижан, М. (2020). «Киральность в метрических пространствах. Памяти Мишеля Деза» . Письма об оптимизации . 14 (2): 329–338. дои : 10.1007/s11590-017-1189-7 .
  3. ^ Петижан, М. (2021). «Киральность в геометрической алгебре» . Математика . 9 (13). 1521. дои : 10.3390/math9131521 .
  4. ^ Петижан, М. (2022). «Хиральность в аффинных пространствах и пространстве-времени». arXiv : 2203.04066 [ math-ph ].
  5. ^ «2. Операции симметрии и элементы симметрии» . chemwiki.ucdavis.edu . 3 марта 2014 года . Проверено 25 марта 2016 г.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: fbac18acd73a9e0c4ba806547e702c6c__1711752600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/fb/6c/fbac18acd73a9e0c4ba806547e702c6c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Chirality (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)