Фаска (геометрия)

Куб без фаски, слегка скошенный и куб со скошенной фаской.

Исторические кристаллические модели со слегка скошенными краями. платоновых тел

В геометрии снятие фаски или усечение ребер — это топологический оператор, который превращает один многогранник в другой. Это похоже на расширение : оно раздвигает грани (наружу) и добавляет новую грань между каждыми двумя соседними гранями; но в отличие от расширения он сохраняет исходные вершины . (Эквивалентно: она разделяет грани, уменьшая их, и добавляет новую грань между каждыми двумя соседними гранями; но перемещает только вершины внутрь.) Для многогранника эта операция добавляет новую шестиугольную грань вместо каждого исходного ребра .

В обозначениях многогранников Конвея снятие фаски обозначается буквой «c». Многогранник с $e$ ребрами будет иметь скошенную форму, содержащую $2 e$ новых вершин, $3 e$ новых ребер и $e$ новых шестиугольных граней.

Платоновые тела с фасками

фаски пяти Платоновых тел В последующих главах подробно описаны . Каждый показан в равносторонней версии, где все ребра имеют одинаковую длину, и в канонической версии, где все ребра касаются одной и той же средней сферы . (Они выглядят заметно иначе только для тел, содержащих треугольники.) Показанные двойственные многогранники двойственны каноническим вариантам.

Семя Платонический твердый	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
с фаской Платонический твердый (равносторонний форма)

Тетраэдр со скошенной кромкой

Тетраэдр со скошенной кромкой
(равносторонняя форма)
Обозначение Конвея	КТ
Многогранник Гольдберга	ГП _III (2,0) = {3+,3} _2,0
Лица	4 равных равносторонних треугольника 6 равных равносторонних* шестиугольников
Края	24 (2 типа: треугольник-шестиугольник, шестиугольник-шестиугольник)
Вершины	16 (2 типа)
Конфигурация вершин	(12) 3.6.6 (4) 6.6.6
Группа симметрии	Тетраэдрический (Т _д )
Двойной многогранник	Альтернативно-триакис тетратетраэдр
Характеристики	выпуклый , равносторонний*
Сеть
* для определенной глубины снятия фаски/усечения

Тетраэдр со скошенной кромкой или альтернативный усеченный куб представляет собой выпуклый многогранник, построенный:

путем снятия фаски с правильного тетраэдра : замена его 6 ребер на конгруэнтные сплющенные шестиугольники;
или путем поочередного усечения (правильного) куба : замена 4 из 8 его вершин на конгруэнтные грани равностороннего треугольника.

При определенной глубине снятия фаски/усечения все (конечные) кромки КТ имеют одинаковую длину; тогда шестиугольники равносторонние , но не правильные .

Двойником тетраэдра со скошенной кромкой является тетраэдр чередующегося триаки.

cT — это многогранник Гольдберга GP _III (2,0) или {3+,3} _2,0 , содержащий треугольные и шестиугольные грани.

Четырехгранные фаски и их двойники.
тетраэдр со скошенной кромкой (каноническая форма)	двойник тетратетраэдра	тетраэдр со скошенной кромкой (каноническая форма)
альтернативно-триакис тетратетраэдр	тетратетраэдр	альтернативно-триакис тетратетраэдр

Куб с фаской

Куб с фаской
(равносторонняя форма)
Обозначение Конвея	сС = t4daC
Многогранник Гольдберга	ГП _IV (2,0) = {4+,3} _2,0
Лица	6 одинаковых квадратов 12 равных равносторонних* шестиугольников
Края	48 (2 типа: квадрат-шестиугольник, шестиугольник-шестиугольник)
Вершины	32 (2 типа)
Конфигурация вершин	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Симметрия	О _ч , [4,3], (432) Т _ч , [4,3 ⁺], (32)
Двойной многогранник	Тетракис кубооктаэдр
Характеристики	выпуклый , равносторонний*
Сетка (3 зоны показаны 3 цветами для своих шестиугольников — каждый квадрат находится в 2 зонах —.)
* для определенной глубины снятия фаски

Куб со скошенной кромкой строится как фаска куба : квадраты уменьшаются в размерах и вместо всех исходных ребер добавляются новые грани — шестиугольники. cC — выпуклый многогранник с 32 вершинами, 48 ребрами и 18 гранями: 6 конгруэнтных (и правильных) квадратов и 12 конгруэнтных сплющенных шестиугольников.
Для определенной глубины снятия фаски все (конечные) ребра куба со скошенной фаской имеют одинаковую длину; тогда шестиугольники равносторонние , но не правильные . Они представляют собой конгруэнтные поочередно усеченные ромбы , имеют 2 внутренних угла . $\cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})\approx 109.47^{\circ }$ и 4 внутренних угла $\pi -{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})\approx 125.26^{\circ },$ в то время как обычный шестиугольник имел бы все $120^{\circ }$ внутренние углы.

cC также неточно называют усеченным ромбдодекаэдром , хотя это название скорее предполагает ромбокубооктаэдр . cC точнее можно назвать тетраусеченным ромбдодекаэдром только (6) вершины четвертого порядка ромбододекаэдра . , потому что усечены

Двойником куба со скошенной кромкой является тетракис кубооктаэдр .

Поскольку все грани cC имеют четное число сторон и центрально симметричны , это зоноэдр :

Куб с фаской также является многогранником Гольдберга GP _IV (2,0) или {4+,3} _2,0 , содержащим квадратные и шестиугольные грани.

cC — это сумма Минковского ромбододекаэдра и куба с длиной ребра 1, когда восемь вершин ромбододекаэдра третьего порядка находятся в точках $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ и его шесть вершин порядка 4 находятся в перестановках $(\pm {\sqrt {3}},0,0).$

Топологический пиритоэдрической эквивалент куба со скошенной кромкой , но с симметрией и прямоугольными гранями, может быть построен путем снятия фаски с осевых ребер пиритоэдра . Это происходит в пирита кристаллах .

Пиритоэдр и усечение его оси

Исторические кристаллографические модели более мелкого и более глубокого усечения оси пиритоэдра

Октаэдрические фаски и их двойники.
куб с фаской (каноническая форма)	ромбический додекаэдр	октаэдр со скошенной кромкой (каноническая форма)
тетракис кубооктаэдр	кубооктаэдр	триакис кубооктаэдр

Октаэдр со скошенной кромкой

Октаэдр со скошенной кромкой
(равносторонняя форма)
Обозначение Конвея	сО = t3daO
Лица	8 равных равносторонних треугольников 12 равных равносторонних* шестиугольников
Края	48 (2 типа: треугольник-шестиугольник, шестиугольник-шестиугольник)
Вершины	30 (2 типа)
Конфигурация вершин	(24) 3.6.6 (6) 6.6.6.6
Симметрия	О _ч , [4,3], (*432)
Двойной многогранник	Кубооктаэдр Триакиса
Характеристики	выпуклый , равносторонний*
* для определенной глубины усечения

В геометрии октаэдр со скошенной кромкой представляет собой выпуклый многогранник, построенный путем усечения третьего порядка 8 вершин ромбододекаэдра . Эти усеченные вершины превращаются в конгруэнтные равносторонние треугольники, а исходные 12 ромбических граней становятся конгруэнтными сплюснутыми шестиугольниками.
При определенной глубине усечения все (конечные) ребра cO имеют одинаковую длину; тогда шестиугольники равносторонние , но не правильные .

Октаэдр со скошенной кромкой также можно назвать триусеченным ромбдодекаэдром .

Двойником cO является триакис-кубооктаэдр.

Исторические модели триакиса кубооктаэдра и октаэдра со слегка скошенной фаской.

Додекаэдр со скошенной кромкой

Додекаэдр со скошенной кромкой
(равносторонняя форма)
Обозначение Конвея	cD = t5daD = dk5aD
Многогранник Гольдберга	ГП _V (2,0) = {5+,3} _2,0
Фуллеры	С ₈₀^[2]
Лица	12 равных правильных пятиугольников 30 равных равносторонних* шестиугольников
Края	120 (2 типа: пятиугольник-шестиугольник, шестиугольник-шестиугольник)
Вершины	80 (2 типа)
Конфигурация вершин	(60) 5.6.6 (20) 6.6.6
Группа симметрии	Икосаэдрический (I _h )
Двойной многогранник	Пентакис икосододекаэдр
Характеристики	выпуклый , равносторонний*
* для определенной глубины снятия фаски

Додекаэдр со скошенной кромкой — это выпуклый многогранник с 80 вершинами, 120 ребрами и 42 гранями: 12 конгруэнтных правильных пятиугольников и 30 конгруэнтных сплюснутых шестиугольников.
Он построен как фаска правильного додекаэдра . Пятиугольники уменьшаются в размерах, а вместо всех исходных ребер добавляются новые грани — сплющенные шестиугольники. При определенной глубине снятия фаски все (конечные) края CD имеют одинаковую длину; тогда шестиугольники равносторонние , но не правильные.

CD также неточно называют усеченным ромбическим триаконтаэдром , хотя это название скорее предполагает ромбикосидодекаэдр . CD можно точнее назвать пятиусеченным ромбическим триаконтаэдром , потому что усечены только (12) вершины 5-го порядка ромбического триаконтаэдра.

Двойником додекаэдра со скошенной кромкой является икосододекаэдр пентакиса .

cD — это многогранник Гольдберга GP _V (2,0) или {5+,3} _2,0 , содержащий пятиугольные и шестиугольные грани.

Икосаэдрические фаски и их двойники
додекаэдр со скошенной кромкой (каноническая форма)	ромбический триаконтаэдр	икосаэдр со скошенной кромкой (каноническая форма)
пентакис икосододекаэдр	икосододекаэдр	триакис икосододекаэдр

Икосаэдр с фаской

Икосаэдр с фаской
(равносторонняя форма)
Обозначение Конвея	cI = t3daI
Лица	20 равных равносторонних треугольников 30 равных равносторонних* шестиугольников
Края	120 (2 типа: треугольник-шестиугольник, шестиугольник-шестиугольник)
Вершины	72 (2 типа)
Конфигурация вершин	(24) 3.6.6 (12) 6.6.6.6.6
Симметрия	I _h, [5,3], (*532)
Двойной многогранник	Триакис икосододекаэдр
Характеристики	выпуклый , равносторонний*
* для определенной глубины усечения

В геометрии икосаэдр со скошенными краями представляет собой выпуклый многогранник, построенный путем усечения 20 вершин третьего порядка ромбического триаконтаэдра . Шестиугольные грани CI можно сделать равносторонними , но не правильными , с определенной глубиной усечения.

Икосаэдр со скошенной кромкой также можно назвать триусеченным ромбическим триаконтаэдром .

Двойником cI является триакисикосидодекаэдр.

Регулярные плитки со скошенными краями

Регулярные и квазирегулярные мозаики со скошенными кромками.
Квадратная плитка , Q {4,4}	Треугольная мозаика , Δ {3,6}	Шестиугольная плитка , H {6,3}	Ромбилл , даХ др{6,3}

cQ	сΔ	СН	cdaH

Связь с многогранниками Гольдберга

Примененная последовательно операция фаски создает многогранники все большего размера с новыми гранями, шестиугольными, заменяющими ребра текущего. Оператор фаски преобразует GP(m,n) в GP(2m,2n).

Правильный многогранник GP(1,0) создает последовательность многогранников Гольдберга : GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0 )...

	ГП(1,0)	ГП(2,0)	ГП(4,0)	ГП(8,0)	ГП(16,0)	...
ГП _IV {4+,3}	С	СС	CCC	cccC	cccc	...
ГП _V {5+,3}	Д	компакт-диск	ccd	cccD	ccccD	...
ГП _VI {6+,3}	ЧАС	СН	ccH	cccH	ccccH	...

Усеченный октаэдр или усеченный икосаэдр , GP(1,1), создает последовательность Гольдберга: GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)...

	ГП(1,1)	ГП(2,2)	ГП(4,4)	...
ГП _IV {4+,3}	к	CTO	cctO	...
ГП _V {5+,3}	из	ctI	cctI	...
ГП _VI {6+,3}	tΔ	ctΔ	cctΔ	...

тетракис Усеченный -шестигранник или пентакис-додекаэдр , GP(3,0), образует последовательность Гольдберга: GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

	ГП(3,0)	ГП(6,0)	ГП(12,0)	...
ГП _IV {4+,3}	ткС	ctkC	cctkC	...
ГП _V {5+,3}	ТКД	ctkD	cctkD	...
ГП _VI {6+,3}	Спасибо	ctkH	cctkH	...

Многогранники со скошенными краями и соты

Как и операция расширения, фаску можно применить к любому размеру.

Для многоугольников количество вершин увеличивается втрое. Пример:

При полихоре вокруг исходных краев создаются новые клетки. Ячейки представляют собой призмы, содержащие две копии исходной грани с добавленными на стороны призмы пирамидами. ^{[возможно, что-то в этом отрывке не так]}

См. также

Ссылки

^ Спенсер 1911 , с. 575 или с. 597 в Wikisource, КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 1. КУБИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, ТЕТРАЭДРИЧЕСКИЙ КЛАСС, ФИГ. 30 и 31.
^ «Изомеры С80» . Архивировано из оригинала 12 августа 2014 г. Проверено 9 августа 2014 г.

Источники

Гольдберг, Майкл (1937). «Класс мультисимметричных многогранников» . Математический журнал Тохоку . 43 : 104–108.
Джозеф Д. Клинтон, Гипотеза Клинтона о равном центральном угле [1]
Харт, Джордж (2012). «Многогранники Гольдберга». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства (2-е изд.). Спрингер. стр. 125–138 . дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_9 . ISBN 978-0-387-92713-8 .
Харт, Джордж (18 июня 2013 г.). «Математические впечатления: многогранники Гольдберга» . Новости науки Саймонса.
Антуан Деза, Мишель Деза, Вячеслав Гришухин, Фуллерены и координационные многогранники против вложений полукуба , 1998 PDF [2] (стр. 72 Рис. 26. Тетраэдр с фаской)
Деза, А.; Деза, М .; Гришухин, В. (1998), «Фуллерены и координационные многогранники в сравнении с вложениями в полукубы», Discrete Mathematics , 192 (1): 41–80, doi : 10.1016/S0012-365X(98)00065-X .
Спенсер, Леонард Джеймс (1911). «Кристаллография» . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 07 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 569–591.

Внешние ссылки

Тетраэдр со скошенной кромкой
Скошенные тела
Усечение вершин и ребер платоновых и архимедовых тел, приводящее к вершинно-транзитивным многогранникам Ливио Зефиро
Генератор многогранников VRML ( обозначение многогранников Конвея )
- VRML Модель Куб со скошенной кромкой
3.2.7. Систематическая нумерация фуллерена (C80-Ih)[5,6]
Фуллерен C80
1. [3] (номер 7-Ih)
2. [4]
Как сделать куб со скошенной кромкой

[FOOTNOTESpencer1911575,_or_p._597_on_Wikisource,_CRYSTALLOGRAPHY,_1._CUBIC_SYSTEM,_TETRAHEDRAL_CLASS,_FIGS._30_&_31-1] Спенсер 1911 , с. 575 или с. 597 в Wikisource, КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 1. КУБИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, ТЕТРАЭДРИЧЕСКИЙ КЛАСС, ФИГ. 30 и 31.

[2] «Изомеры С80» . Архивировано из оригинала 12 августа 2014 г. Проверено 9 августа 2014 г.

[1]

[2]