Расширение (геометрия)

Не путать с увеличением (геометрией) .

Пример расширения пятиугольника в десятиугольник путем перемещения ребер от центра и вставки новых ребер в промежутки. Расширение если является равномерным, все ребра имеют одинаковую длину.

Анимация, показывающая расширенный куб (и октаэдр )

В геометрии , расширение — это операция над многогранником при которой грани и т. д.) образуются новые грани разделяются и раздвигаются радиально, а на отдельных элементах ( вершинах , ребрах . Эквивалентно эту операцию можно представить, сохранив грани в том же положении, но уменьшив их размер.

Расширение правильного выпуклого многогранника создает однородный выпуклый многогранник.

Для многогранников расширенный многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани двойственного многогранника и новые квадратные грани вместо исходных ребер.

Разложение правильных многогранников

По словам Коксетера , этот многомерный термин был определен Алисией Буль Стотт. для создания новых многогранников, в частности, начиная с обычных многогранников и заканчивая созданием новых однородных многогранников .

Операция разложения симметрична относительно правильного многогранника и двойственного ему многогранника . Полученная фигура содержит грани как обычного, так и двойного, а также различные призматические грани, заполняющие промежутки, созданные между элементами промежуточных измерений.

Он имеет несколько разные значения в зависимости от размера . В конструкции Витхоффа расширение создается за счет отражений от первого и последнего зеркал. В более высоких измерениях разложения более низких измерений могут быть записаны с индексом, поэтому e ₂ совпадает с t _0,2 в любом измерении.

По размеру:

• Правильный многоугольник {p} превращается в правильный 2n-угольник.
  • Эта операция идентична усечению многоугольников: e{p} = e ₁ {p} = t _0,1 {p} = t{p} и имеет диаграмму Коксетера-Дынкина . .
• Правильный многогранник {p,q} (3-многогранник) расширяется в многогранник с фигурой вершины p.4.q.4 .
  • Эта операция для многогранников также называется кантелляцией , e{p,q} = e ₂ {p,q} = t _0,2 {p,q} = rr{p,q}, и имеет диаграмму Коксетера. .

    

    Например, ромбокубооктаэдр можно назвать расширенным кубом , расширенным октаэдром , а также согнутым кубом или согнутым октаэдром .

• Правильный 4-многогранник {p,q,r} (4-многогранник) расширяется в новый 4-многогранник с исходными ячейками {p,q}, новыми ячейками {r,q} вместо старых вершин, p- гональные призмы вместо старых граней и r-угольные призмы вместо старых ребер.
  • Эта операция для 4-многогранников также называется пробеганием , e{p,q,r} = e ₃ {p,q,r} = t _0,3 {p,q,r}, и имеет диаграмму Кокстера. .
• {p,q,r,s} Аналогично правильный 5-многогранник расширяется в новый 5-многогранник с гранями {p,q,r}, {s,r,q}, {p,q}×{ } призм , {s,r}×{ } призмы и {p} × {s} дуопризмы .
  • Эта операция называется стерилизацией , e{p,q,r,s} = e ₄ {p,q,r,s} = t _0,4 {p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r ,s} и имеет диаграмму Кокстера .

Общий оператор разложения правильного n-многогранника — это t _0,n-1 {p,q,r,...}. Новые правильные грани добавляются в каждую вершину, а новые призматические многогранники добавляются в каждое разделенное ребро, грань,... гребень и т. д.

См. также

• Обозначение многогранника Конвея

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Расширение» . Математический мир .
• Коксетер, HSM , Правильные многогранники . 3-е издание, Дувр (1973 г.) ISBN   0-486-61480-8 .
• Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.

Операторы многогранника

Семя	Усечение	Исправление	Биусечение	Двойной	Расширение	Всеобрезание	Чередования
т 0 { п , q } { п , q }	т 01 { п , q } т { п , q }	т 1 { п , q } р { п , q }	т 12 { п , q } 2t{ п , q }	т 2 { п , q } 2r{ п , q }	т 02 { п , q } рр { п , q }	т 012 { п , q } тр { п , q }	чт 0 { п , q } ч { q , п }	чт 12 { п , q } с { q , п }	чт 012 { п , q } ср { п , q }