Полный отчет премиум

В теории чисел , полное повторяющееся простое число полное повторяющееся простое число , правильное простое число. ^[1]^: 166 или длинное простое число по основанию b — это нечетное простое число p такое, что частное Ферма

q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}

(где p не делит b ) дает циклическое число . Следовательно, по основанию b разложение $1/p$ повторяет цифры соответствующего циклического числа бесконечно, как и $a/p$ с вращением цифр для любого a между 1 и p - 1. Циклическое число, соответствующее простому числу p, будет содержать p - 1 цифр тогда и только тогда, когда p является полным повторным простым числом. То есть мультипликативный порядок ord _p b = p − 1, что эквивалентно тому, что b является примитивным корнем по модулю p .

Термин «длинное простое число» использовали Джон Конвей и Ричард Гай в своей «Книге чисел » . Как ни странно, Слоана OEIS . называет эти простые числа «циклическими числами»

База 10

Можно предположить, что основание 10, если основание не указано, и в этом случае расширение числа называется повторяющейся десятичной дробью . В системе счисления 10, если полное повторенное простое число заканчивается цифрой 1, то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении такое же количество раз, как и каждая другая цифра. ^[1]^: 166 (О таких простых числах в базе 10 см. OEIS : A073761 .) Фактически, в базе b , если полное повторенное простое число заканчивается цифрой 1, то каждая цифра 0, 1, ..., b − 1 появляется в повторении. столько же раз, сколько и каждая другая цифра, но такого простого числа не существует, когда b = 12, поскольку каждое полное повторяющееся простое число в базе 12 заканчивается цифрой 5 или 7 в той же базе. Обычно такого простого числа не существует, если 0 или b конгруэнтно 1 по модулю 4.

Значения p, для которых эта формула выдает циклические числа в десятичном виде:

7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97 , 109 , 113 , 131 , 149 , 167 , 179 , 181 , 193 , 223 , 229 , 233 , 257 , 263 , 269 , 313 , 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 1, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, 1019, 1021, 1033, 1051... (последовательность A001913 в OEIS )

Эта последовательность представляет собой набор простых чисел p таких, что 10 является примитивным корнем по модулю p . Гипотеза Артина о примитивных корнях состоит в том, что эта последовательность содержит 37,395...% простых чисел.

Бинарные премии за полный возврат

В базе 2 полные повторяющиеся простые числа: (менее 1000)

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 1, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ... (последовательность A001122 в OEIS )

Для этих простых чисел 2 является примитивным корнем по модулю p , поэтому 2 ^н по модулю p может быть любое натуральное число от 1 до p - 1.

a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}.

Эти последовательности периода p - 1 имеют автокорреляционную функцию с отрицательным пиком -1 для сдвига $(p-1)/2$ . Случайность этих последовательностей была проверена с помощью жестких тестов . ^[2]

Двоичные полные повторяющиеся простые последовательности (также называемые десятичными последовательностями максимальной длины) нашли применение в криптографии и кодировании с коррекцией ошибок . ^[3] В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби по основанию 2, что приводит к образованию двоичных последовательностей. Максимальная длина двоичной последовательности для $1/p$ (когда 2 является примитивным корнем p ) задается Как. ^[4]

См. также

Повторяющаяся десятичная дробь

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Диксон, Леонард Э., 1952, История теории чисел, Том 1 , Chelsea Public. Ко.
^ Беллами, Дж. «Случайность последовательностей D посредством жесткого тестирования». 2013. arXiv : 1312.3618 .
^ Как, Субхаш, Чаттерджи, А. «О десятичных последовательностях». Транзакции IEEE по теории информации, том. IT-27, стр. 647–652, сентябрь 1981 г.
^ Как, Субхаш, «Шифрование и исправление ошибок с использованием d-последовательностей». IEEE Транс. О компьютерах, вып. C-34, стр. 803–809, 1985.

Вайсштейн, Эрик В. «Константа Артина» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Полный Рептенд Прайм» . Математический мир .
Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996.
Фрэнсис, Ричард Л.; «Математические стога сена: еще один взгляд на числа повторения»; в журнале College Mathematics Journal , Vol. 19, № 3. (май 1988 г.), стр. 240–246.

[Dickson-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Диксон, Леонард Э., 1952, История теории чисел, Том 1 , Chelsea Public. Ко.

[2] Беллами, Дж. «Случайность последовательностей D посредством жесткого тестирования». 2013. arXiv : 1312.3618 .

[3] Как, Субхаш, Чаттерджи, А. «О десятичных последовательностях». Транзакции IEEE по теории информации, том. IT-27, стр. 647–652, сентябрь 1981 г.

[4] Как, Субхаш, «Шифрование и исправление ошибок с использованием d-последовательностей». IEEE Транс. О компьютерах, вып. C-34, стр. 803–809, 1985.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Классы простых чисел
По формуле	Ферма ( $2 2 н + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Вагстафф $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 н + 1$ ) Факториал ( $n! \pm 1$ ) Первобытный ( $p n # \pm 1$ ) Евклид ( $p n # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 n + 1$ ) Пьерпон ( $2 м \cdot3 н + 1$ ) Квартан ( $х 4 + и 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 н \pm 1$ ) Каллен ( $n \cdot2 н + 1$ ) Вудалл ( $n \cdot2 н - 1$ ) Кубинский ( $х 3 - и 3)/(Икс - у$ ) Лейланд ( $x и + и х$ ) Сабит ( $3\cdot2 н - 1$ ) Уильямс ( $(b -1)\cdot b н - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 н ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман–Шэнкс–Уильямс Перрин
По свойству	Виферих ( пара ) Стена–Солнце–Солнце Вулстенхолм Уилсон Удачливый удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярная (эллиптическая кривая) Суперсингулярная (теория самогона) Хороший Супер Хиггс Высокий коэффициент Уникальный
Базово -зависимый	палиндромный Эмирп Репунит $(10 н - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Нежный Первобытный Полный отчет Уникальный Счастливый Себя Смарандаш-Веллин Стробограмматический двугранный тетрадный
Узоры	Твин ( $р, р + 2$ ) Двойная цепь ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Тройка ( $p, p +2 или p +4, p +6$ ) Четверка ( $р, р +2, р +6, р +8$ ) k -кортеж Двоюродный брат ( $п, р + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен/Сейф ( $п, 2п +1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательные p - n, p, p + n$ )
По размеру	Мега (1 000 000+ цифр) Самый крупный известный список
Комплексные числа	Айронстоун прайм Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопростой каталанский Эллиптический Эйлер Эйлер-Якоби Ферма Фробениус Лукас Перрин Сомер-Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупервоклассный Сфеническое число Интерпрайм Пагубный
Связанные темы	Вероятное простое число Промышленный класс Prime Незаконный премьер Формула простых чисел Премьер-разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел