Пара Рут-Аарон

В математике пара Рут–Аарон состоит из двух последовательных целых чисел (например, 714 и 715), для которых суммы простых множителей каждого целого числа равны:

714 = 2 × 3 × 7 × 17,

715 = 5 × 11 × 13,

и

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29.

Существуют разные варианты определения в зависимости от того, сколько раз считать простые числа, которые встречаются несколько раз при факторизации.

Имя было дано Карлом Померансом Бэйбу Рут и Хэнку Аарону Рут в регулярном сезоне за карьеру , поскольку общее количество хоумранов составило 714, рекорд, который Аарон побил 8 апреля 1974 года, когда он совершил свой 715-й хоумран в карьере. Померанс работал математиком в Университете Джорджии в то время, когда Аарон (член соседней команды «Атланта Брэйвс ») побил рекорд Рут, а студент одного из коллег Померанса заметил, что суммы простых делителей 714 и 715 были равны. ^[1]

Примеры

Если учитывать только различные простые множители , первые несколько пар Рут – Аарон будут следующими:

( 5 , 6 ), ( 24 , 25 ), ( 49 , 50 ), ( 77 , 78 ), ( 104 , 105 ), ( 153 , 154 ), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108)

(Меньшая из каждой пары указана в OEIS : A006145 ).

Подсчитав повторяющиеся простые множители (например, 8 = 2×2×2 и 9 = 3×3 с 2+2+2 = 3+3), первые несколько пар Рут–Аарон будут следующими:

( 5 , 6 ), ( 8 , 9 ), ( 15 , 16 ), (77, 78), ( 125 , 126 ), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)

(Меньшая из каждой пары указана в OEIS : A039752 ).

Пересечение двух списков начинается:

(5, 6), (77, 78), (714, 715), (5405, 5406).

(Меньшая из каждой пары указана в OEIS : A039753 ).

Рут – Аарон Любая пара целых чисел без квадратов принадлежит обоим спискам с одинаковой суммой простых множителей. Пересечение также содержит пары, не свободные от квадратов, например (7129199, 7129200) = (7×11 ²×19×443, 2 ⁴×3×5 ²×13×457). Здесь 7+11+19+443 = 2+3+5+13+457 = 480, а также 7+11+11+19+443 = 2+2+2+2+3+5+5+13+457. = 491.

Плотность

Пары Рут-Аарон разрежены (то есть имеют плотность 0). Это было предположено Нельсоном и др. в 1974 году ^[2] и доказано в 1978 году Полом Эрдешем и Померансом. ^[3]

Тройня Рут-Аарон

Также существуют тройки Руфь-Аарон (перекрывающиеся пары Руфь-Аарон). Первое и, возможно, второе при подсчете различных простых множителей:

89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419,

89460295 = 5 × 4201 × 4259,

89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389,

и 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465.

151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411,

151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089,

151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021,

и 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589.

Первые две тройки Рут – Аарон при подсчете повторяющихся простых множителей:

417162 = 2 × 3 × 251 × 277,

417163 = 17 × 53 × 463,

417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499,

и 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533.

6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197,

6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881,

6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707,

и 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428.

По состоянию на 2006 год ^[update] известны только 4 вышеуказанные тройки. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Пара Марис – МакГвайр – Соса

Ссылки

^ Числа Аарона - Числофил
^ Нельсон, К.; Пенни, Делавэр; и Померанс, К. «714 и 715». Дж. Рекр. Математика. 7, 87–89, 1974.
^ Эрдеш, П. и Померанс, К. «О крупнейших простых множителях n и n + 1». Aequationes Mathematicae 17, 311–321, 1978.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Пара Рут-Аарон» . Математический мир .
«Тройняшки Рут-Аарон» и «Возвращение к парам Рут-Аарон» . Соединение главных загадок и проблем . Проверено 9 ноября 2006 г.

[1] Числа Аарона - Числофил

[2] Нельсон, К.; Пенни, Делавэр; и Померанс, К. «714 и 715». Дж. Рекр. Математика. 7, 87–89, 1974.

[3] Эрдеш, П. и Померанс, К. «О крупнейших простых множителях n и n + 1». Aequationes Mathematicae 17, 311–321, 1978.

[1]

[2]

[3]