Палиндромное число

( Палиндромное число также известное как числовой палиндром или числовой палиндром ) — это число (например, 16461), которое остается неизменным, когда его цифры переворачиваются. Другими словами, он обладает отражательной симметрией относительно вертикальной оси. Термин «палиндром» происходит от слова «палиндром» , которое относится к слову (например, «ротор» или «гоночный автомобиль» ), написание которого не меняется, когда его буквы перепутаны. Первые 30 палиндромных чисел (в десятичном формате ):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, ... (последовательность A002113 в OEIS ).

Палиндромные числа привлекают наибольшее внимание в сфере развлекательной математики . Типичная задача требует чисел, обладающих определенным свойством и являющихся палиндромами. Например:

Палиндромные простые числа : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, ... (последовательность A002385 в OEIS ).
Палиндромные квадратные числа : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, ... (последовательность A002779 в OEIS ).

Очевидно, что в любой базе имеется бесконечно много чисел-палиндромов, так как в любой базе бесконечная последовательность чисел, записанная (в этой базе) как 101, 1001, 10001, 100001 и т. д., состоит исключительно из чисел-палиндромов.

Формальное определение

Хотя палиндромные числа чаще всего рассматривают в десятичной системе счисления, понятие палиндромности можно применить к натуральным числам в любой системе счисления . Рассмотрим число n > 0 по основанию b ≥ 2, где оно записано в стандартной записи с k +1 цифрой a _i как:

n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}

где, как обычно, 0 ⩽ a _i < b для всех i и a _k ≠ 0. Тогда n является палиндромом тогда и только тогда, когда a _i = a _{k − i} для всех i . Ноль записывается как 0 в любой системе счисления и также является палиндромом по определению.

Десятичные палиндромные числа

Все числа с одной цифрой являются палиндромами, поэтому в базе 10 находится десять чисел-палиндромов с одной цифрой:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Всего существует 9 двузначных чисел-палиндромов:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Все палиндромные числа с четным числом цифр делятся на 11 . ^[1]

Существует 90 палиндромных чисел с тремя цифрами (используя правило произведения : 9 вариантов для первой цифры, что также определяет третью цифру, умноженное на 10 вариантов для второй цифры):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Также существует 90 палиндромных чисел с четырьмя цифрами (опять же, 9 вариантов для первой цифры, умноженные на десять вариантов для второй цифры. Остальные две цифры определяются выбором первых двух):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

Итак, существует 199 чисел-палиндромов, меньших 10. ⁴.

Всего 1099 палиндромных чисел меньше 10. ⁵ и для других показателей 10 ^н имеем: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... (последовательность A070199 в OEIS ). Ниже указано количество палиндромных чисел, обладающих каким-либо другим свойством:

	10 ¹	10 ²	10 ³	10 ⁴	10 ⁵	10 ⁶	10 ⁷	10 ⁸	10 ⁹	10 ¹⁰
п натуральный	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
даже	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
n странный	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
n квадрат	4		7		14	15	20		31
n куб	3		4	5			7			8
п прайм	4	5	20		113		781		5953
n Squarefree	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
n несвободный от квадратов ( µ( n ) =0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
n квадрат с простым корнем ^[2]	2	3		5
n с четным числом различных простых делителей (μ( n )=1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
n с нечетным числом различных простых делителей (μ( n )=-1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
n даже с нечетным числом простых делителей	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
n даже с нечетным числом различных простых делителей	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
n нечетное с нечетным числом простых делителей	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
n нечетное с нечетным числом различных простых делителей	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
n четный без квадратов с четным числом (различных) простых делителей	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
n нечетных квадратов, свободных от четного числа (различных) простых делителей	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
n нечетно с ровно двумя простыми множителями	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
n даже ровно с двумя простыми делителями	2	3	11		64		413		+	+
n даже ровно с тремя простыми делителями	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
n даже ровно с тремя различными простыми делителями	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
n нечетно с ровно 3 простыми делителями	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
n число Кармайкла	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
n, для которого σ( n ) является палиндромом	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Совершенные силы

Существует множество палиндромных совершенных степеней n ^к, где n — натуральное число, а k — 2, 3 или 4.

Палиндромные квадраты : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (последовательность A002779 в OEIS )
Палиндромные кубы : 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (последовательность A002781 в OEIS )
Палиндромные четвертые степени : 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (последовательность A186080 в OEIS )

Первые девять членов последовательности 1 ², 11 ², 111 ², 1111 ², ... образуют палиндромы 1, 121, 12321, 1234321, ... (последовательность A002477 в OEIS )

Единственное известное непалиндромное число, куб которого является палиндромом, - это 2201, и это предположение, что корень четвертой степени всех палиндромов четвертой степени представляет собой палиндром с 100000...000001 (10 ^н + 1).

не существует . Г. Дж. Симмонс предположил, что палиндромов формы n ^к для k > 4 (и n > 1). ^[3]

Другие базы

Палиндромные числа можно рассматривать в системах счисления, отличных от десятичной . Например, двоичные палиндромные числа имеют двоичное представление:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (последовательность A057148 в OEIS )

или в десятичном формате:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (последовательность A006995 в OEIS )

Простые числа Ферма и простые числа Мерсенна образуют подмножество бинарных палиндромных простых чисел.

Любое число $n$ является палиндромом по всем основаниям $b$ с $b>n$ (тривиально, потому что $n$ тогда это однозначное число), а также в базе $n-1$ (потому что $n$ тогда $11_{n-1}$ ). Даже исключая случаи, когда число меньше основания, большинство чисел являются палиндромами более чем по одному основанию. Например, $1221_{4}=151_{8}=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}$ , $1991_{10}=7C7_{16}$ . Число $n$ никогда не является палиндромом по основанию $b$ если $n/2\leq b\leq n-2$ . Более того, простое число $p$ никогда не является палиндромом по основанию $b$ если ${\sqrt {p}}\leq b\leq p-2$ .

Число, не являющееся палиндромным по всем основаниям b в диапазоне 2 ≤ b ≤ n − 2, можно назвать строго непалиндромным числом . Например, число 6 записывается как «110» по основанию 2, «20» по основанию 3 и «12» по основанию 4, ни одно из которых не является палиндромом. Все строго непалиндромные числа больше 6 являются простыми. Действительно, если $n>6$ является составным, то либо $n=ab$ для некоторых $2\leq a<b$ , в этом случае n — это палиндром «аа» по основанию $b-1$ , иначе это идеальный квадрат $n=a^{2}$ , в этом случае n — это палиндром «121» по основанию $a-1$ (за исключением особого случая $n=9=1001_{2}$ ). ^[4]^[5]

Первые несколько строго непалиндромных чисел (последовательность A016038 в OEIS ):

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 11 , 19 , 47 , 53 , 79 , 103 , 137 , 139 , 149 , 163 , 167 , 179 , 223 , 263 , 269 , 283 , 293 , 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, ...

Антипалиндромные числа

Если цифры натурального числа нужно не только переставить в обратном порядке, но и вычесть из $b-1$ чтобы снова получить исходную последовательность, тогда число называется антипалиндромным . Формально при обычном разложении натурального числа на его цифры $a_{i}$ в базе $b$ , число антипалиндромно тогда и только тогда, когда $a_{i}=b-1-a_{k-i}$ . ^[6]

Лишреловый процесс

Непалиндромные числа можно соединить с палиндромными с помощью ряда операций. Сначала непалиндромное число переворачивается, и результат добавляется к исходному числу. Если результат не является палиндромным числом, это повторяется до тех пор, пока не будет получено палиндромное число. Такое число называется «запаздывающим палиндромом».

Неизвестно, можно ли таким образом соединить все непалиндромные числа с числами-палиндромами. Хотя ни одно число не оказалось непарным, многие из них, похоже, таковыми не являются. Например, число 196 не дает палиндрома даже после 700 000 000 итераций. Любое число, которое никогда не становится палиндромным таким образом, известно как число Лишрела .

24 января 2017 года число 1 999 291 987 030 606 810 было опубликовано в OEIS как A281509 и объявлено «Самым большим известным палиндромом с наибольшей задержкой». Последовательность из 125 наиболее задержанных палиндромов с 261 шагом, предшествующих 1 999 291 987 030 606 810 и ранее не сообщавшихся, была опубликована отдельно как A281508 .

Сумма обратных величин

Сумма обратных палиндромных чисел представляет собой сходящийся ряд, значение которого составляет примерно 3,37028... (последовательность A118031 в OEIS ).

Числа Шахерезады

Числа Шахерезады — это набор чисел, выявленный Бакминстером Фуллером в его книге «Синергетика» . ^[7] Фуллер не дает формального определения этого термина, но из приведенных им примеров под ним можно понимать те числа, которые содержат множитель простого числа n #, где n ≥13 и является наибольшим простым множителем числа. Фуллер назвал эти числа числами Шахерезады , потому что они должны иметь коэффициент 1001. Шахерезада — рассказчица « Тысячи и одной ночи» , рассказывающая каждую ночь новую историю, чтобы отсрочить казнь. Поскольку n должно быть не менее 13, исходное число должно быть не менее 1·2·3·5·7·11·13 и 7×11×13 = 1001. Фуллер также называет степени 1001 числами Шахерезады. Наименьший первоначальный код, содержащий число Шахерезады, равен 13# = 30 030.

Фуллер отметил, что некоторые из этих чисел являются палиндромами по группам цифр. Например, 17# = 510 510 показывает симметрию групп из трех цифр. Фуллер назвал такие числа Шехерезадой, возвышенно запоминающимися комплексными дивидендами , или числами SSRCD. Фуллер отмечает, что возведение 1001 в степень не только дает прекрасно запоминающиеся числа, которые являются палиндромами в трехзначных группах, но также значения групп представляют собой биномиальные коэффициенты . Например,

(1001)^{6}=1,006,015,020,015,006,001

Эта последовательность терпит неудачу в (1001) ¹³ потому что цифра переноса в некоторых группах слева в группу попадает . Фуллер предлагает писать эти побочные эффекты на отдельной строке. Если это сделать, используя при необходимости больше дополнительных линий, симметрия будет сохраняться бесконечно в любой степени. ^[8] Многие другие числа Шахерезады демонстрируют аналогичную симметрию, если выражать их таким образом. ^[9]

Суммы палиндромов

В 2018 году была опубликована статья, демонстрирующая, что каждое положительное целое число можно записать как сумму трех палиндромных чисел в любой системе счисления с основанием 5 или больше. ^[10]

Примечания

^ «Глоссарий простых чисел: палиндромное простое число» . ПраймПейджс . Проверено 11 июля 2023 г.
^ (последовательность A065379 в OEIS ) Следующий пример — 19 цифр — 900075181570009.
^ Мюррей С. Кламкин (1990), Проблемы прикладной математики: отрывки из обзора SIAM , стр. 520 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016038 (Строго непалиндромные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Гай, Ричард К. (1989). «Крысы Конвея и другие развороты». Американский математический ежемесячник . 96 (5): 425–428. дои : 10.2307/2325149 . JSTOR 2325149 .
^ Дворакова, Любомира; Крумль, Станислав; Рызак, Дэвид (16 августа 2020 г.). «Антипалиндромные числа». arXiv : 2008.06864 [ math.CO ].
^ Р. Бакминстер Фуллер, с Э. Дж. Эпплуайтом, Синергетика: исследования геометрии мышления. Архивировано 27 февраля 2016 г. в Wayback Machine , Macmillan, 1982. ISBN 0-02-065320-4 .
^ Фуллер, стр. 773-774. Архивировано 5 марта 2016 г. в Wayback Machine.
^ Фуллер, стр. 777-780.
^ Силлеруэло, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (19 февраля 2016 г.). «Каждое положительное целое число является суммой трёх палиндромов» . Математика вычислений . arXiv : 1602.06208 . Архивировано из оригинала 12 февраля 2021 г. Проверено 28 апреля 2021 г. ( Препринт arXiv. Архивировано 8 февраля 2019 г. на Wayback Machine )

Ссылки

Малкольм Э. Лайнс: Число для ваших мыслей: факты и предположения о числах от Евклида до новейших компьютеров : CRC Press 1986, ISBN 0-85274-495-1 , S. 61 ( ограниченная онлайн-версия (Google Книги) )

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Палиндромное число» . Математический мир .
Джейсон Дусетт - 196 Квест-палиндром / Самое задерживаемое палиндромное число
196 и другие числа Лишрела
Об общих палиндромных числах на MathPages
Палиндромные числа до 100 000 от Ask Dr. Math
П. Де Гест, Палиндромные кубы
Ютака Нисияма , Числовые палиндромы и проблема 196 , IJPAM, Том 80, № 3, 375–384, 2012.

[1] «Глоссарий простых чисел: палиндромное простое число» . ПраймПейджс . Проверено 11 июля 2023 г.

[2] (последовательность A065379 в OEIS ) Следующий пример — 19 цифр — 900075181570009.

[3] Мюррей С. Кламкин (1990), Проблемы прикладной математики: отрывки из обзора SIAM , стр. 520 .

[4] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016038 (Строго непалиндромные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[5] Гай, Ричард К. (1989). «Крысы Конвея и другие развороты». Американский математический ежемесячник . 96 (5): 425–428. дои : 10.2307/2325149 . JSTOR 2325149 .

[6] Дворакова, Любомира; Крумль, Станислав; Рызак, Дэвид (16 августа 2020 г.). «Антипалиндромные числа». arXiv : 2008.06864 [ math.CO ].

[7] Р. Бакминстер Фуллер, с Э. Дж. Эпплуайтом, Синергетика: исследования геометрии мышления. Архивировано 27 февраля 2016 г. в Wayback Machine , Macmillan, 1982. ISBN 0-02-065320-4 .

[8] Фуллер, стр. 773-774. Архивировано 5 марта 2016 г. в Wayback Machine.

[9] Фуллер, стр. 777-780.

[10] Силлеруэло, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (19 февраля 2016 г.). «Каждое положительное целое число является суммой трёх палиндромов» . Математика вычислений . arXiv : 1602.06208 . Архивировано из оригинала 12 февраля 2021 г. Проверено 28 апреля 2021 г. ( Препринт arXiv. Архивировано 8 февраля 2019 г. на Wayback Machine )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]