Правило продукта

Не путать с правилом продукта .

Элементы множества {A, B} могут сочетаться с элементами множества {1, 2, 3} шестью различными способами.

В комбинаторике правило произведения или принцип умножения является основным принципом счета (он же фундаментальный принцип счета ). Проще говоря, это интуитивная идея о том, что если существует способ сделать одно и b способов сделать другое, то существует a · b способов выполнить оба действия.

Примеры

${\begin{matrix}&\underbrace {\left\{A,B,C\right\}} &&\underbrace {\left\{X,Y\right\}} \\\mathrm {To} \ \mathrm {choose} \ \mathrm {one} \ \mathrm {of} &\mathrm {these} &\mathrm {AND} \ \mathrm {one} \ \mathrm {of} &\mathrm {these} \end{matrix}}$

${\begin{matrix}\mathrm {is} \ \mathrm {to} \ \mathrm {choose} \ \mathrm {one} \ \mathrm {of} &\mathrm {these} .\\&\overbrace {\left\{AX,AY,BX,BY,CX,CY\right\}} \end{matrix}}$

В этом примере правило гласит: умножьте 3 на 2, получите 6.

Множества { A , B , C } и { X , Y } в этом примере являются непересекающимися множествами , но это не обязательно. Число способов выбрать член { A , B , C }, а затем сделать это снова, по сути выбирая упорядоченную пару, каждый из компонентов которой находится в { A , B , C }, составляет 3 × 3 = 9. .

Другой пример: когда вы решите заказать пиццу, вам сначала необходимо выбрать тип корочки: тонкая или глубокая тарелка (2 варианта). Далее вы выбираете одну начинку: сыр, пепперони или колбасу (3 варианта).

Используя правило произведения, вы знаете, что существует 2 × 3 = 6 возможных комбинаций заказа пиццы.

Приложения

В теории множеств этот принцип умножения часто принимается за определение произведения кардинальных чисел . У нас есть

$|S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|$

где $\times$ является оператором декартова произведения . Эти множества не обязательно должны быть конечными, и не обязательно иметь лишь конечное число факторов в произведении.

Расширение правила продукта предполагает, что существует n различных типов объектов, например сладостей, которые могут быть связаны с k объектами, например людьми. Сколькими разными способами люди могут получить свои сладости?

Каждый человек может получить любую из n имеющихся сладостей, а людей k , значит, имеется $\overbrace {n\cdots \cdot n} ^{k}=n^{k}$ способы сделать это.

Связанные понятия

Правило суммы – еще один основной принцип подсчета . Проще говоря, это идея о том, что если у нас есть способы сделать что-то и b способов сделать другое, и мы не можем делать оба одновременно, то существует a + b способов выбрать одно из действий.

См. также

• Комбинаторные принципы