Arakelov theory

В математике ( теория Аракелова или геометрия Аракелова ) — подход к диофантовой геометрии , названный по имени Сурена Аракелова . Он используется для изучения диофантовых уравнений в более высоких измерениях.

Предыстория [ править ]

Основной мотивацией геометрии Аракелова является тот факт, что существует соответствие между простыми идеалами. ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ и конечные места $v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R}$ , но существует и место в бесконечности $v_{\infty }$ , заданное архимедовой оценкой , которая не имеет соответствующего простого идеала. Геометрия Аракелова дает способ компактификации. ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ в полное пространство

{\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}

у которого простое число лежит в бесконечности. Оригинальная конструкция Аракелова изучает одну из таких теорий, где определение дивизоров является конструктором схемы .

{\mathfrak {X}}

относительного размера 1 более

{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})

такая, что она продолжается до римановой поверхности

X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )

для каждой оценки на бесконечности. Кроме того, он снабжает эти римановы поверхности эрмитовыми метриками на голоморфных векторных расслоениях над X ( C ), комплексных точках

X

. Эта дополнительная эрмитова структура применяется вместо неспособности схемы Spec( Z ) быть полным многообразием .

Обратите внимание, что существуют и другие методы построения полного пространства, расширяющего ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ , что является основой F ₁ геометрии .

Исходное определение делителей [ править ]

Позволять $K$ быть полем, ${\mathcal {O}}_{K}$ его кольцо целых чисел, и $X$ к роду $g$ изгибаться $K$ с несингулярной моделью ${\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ , называемая арифметической поверхностью . Также мы позволяем

\infty :K\to \mathbb {C}

быть включением полей (которое должно представлять место в бесконечности). Также мы позволим

X_{\infty }

— соответствующая риманова поверхность от замены базы до

\mathbb {C}

. Используя эти данные, мы можем определить c-дивизор как формальную линейную комбинацию

D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }

где

C_{i}

является неприводимым замкнутым подмножеством

{\mathfrak {X}}

коразмерности 1,

k_{i}\in \mathbb {Z}

, и

\lambda _{\infty }\in \mathbb {R}

, и сумма

\sum _{\infty }

представляет собой сумму по каждому реальному вложению

K\to \mathbb {R}

и более одного вложения для каждой пары комплексных вложений

K\to \mathbb {C}

. Набор c-делителей образует группу

{\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})

.

Результаты [ править ]

Аракелов ( 1974 , 1975 ) определил теорию пересечений на арифметических поверхностях , присоединенных к гладким проективным кривым над числовыми полями, с целью доказать некоторые результаты, известные в случае функциональных полей: в случае числовых полей. Герд Фалтингс ( 1984 ) расширил работу Аракелова, установив такие результаты, как теорема Римана-Роха, формула Нётер , теорема об индексе Ходжа и неотрицательность самопересечения дуализирующего пучка в этом контексте.

Теория Аракелова использовалась Полом Войтой (1991) для нового доказательства гипотезы Морделла , а также Гердом Фалтингсом ( 1991 ) в доказательстве Сержем Лангом обобщения гипотезы Морделла .

Пьер Делинь ( 1987 ) разработал более общую структуру для определения пары пересечений, определенной на арифметической поверхности над спектром кольца целых чисел Аракеловым. Шоу-Ву Чжан ( 1992 ) разработал теорию положительных линейных расслоений и доказал теорему типа Накаи-Мойшезона для арифметических поверхностей. Дальнейшее развитие теории положительных линейных расслоений Чжана ( 1993 , 1995a , 1995b ) и Люсьена Шпиро , Эммануэля Ульмо и Чжана ( 1997 ) завершилось доказательством гипотезы Богомолова Уллмо ( 1998 ) и Чжана ( 1998 ). ^[1]

Теория Аракелова была обобщена Анри Жилле и Кристофом Суле на более высокие измерения. То есть Жилле и Суле определили пару пересечений на арифметическом многообразии. Одним из основных результатов Жилле и Суле является арифметическая теорема Римана–Роха Жилле и Суле (1992) , расширение теоремы Гротендика–Римана–Роха на арифметические многообразия. Для этого определяются арифметические группы Чжоу CH ^п( X ) арифметического многообразия X и определяет классы Чженя для эрмитовых векторных расслоений над X, принимающих значения в арифметических группах Чоу. Арифметическая теорема Римана-Роха затем описывает, как класс Черна ведет себя при продвижении векторных расслоений при правильном отображении арифметических многообразий. Полное доказательство этой теоремы было опубликовано лишь недавно Жилле, Рёсслером и Суле.

Теория пересечения Аракелова для арифметических поверхностей была развита Жаном-Бенуа Бостом ( 1999 ). Теория Боста основана на использовании функций Грина , которые с точностью до логарифмических особенностей принадлежат пространству Соболева. $L_{1}^{2}$ . В этом контексте Бост получает арифметическую теорему об индексе Ходжа и использует ее для получения теорем Лефшеца для арифметических поверхностей.

Арифметические группы Чоу [ править ]

Арифметический цикл коразмерности p — это пара ( Z , g ), где Z ∈ Z ^п( X ) — p -цикл на X , а g — ток Грина для Z , многомерное обобщение функции Грина. Арифметическая группа Чоу ${\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)$ коразмерности p есть фактор этой группы по подгруппе, порожденной некоторыми «тривиальными» циклами. ^[2]

Арифметическая теорема Римана–Роха [ править ]

Обычная теорема Гротендика-Римана-Роха описывает, как характер Черна ch ведет себя при продвижении пучков, и утверждает, что ch( f _* ( E )) = f _* (ch(E)Td _{X / Y} ), где f - собственный морфизм из X в Y и E является векторным расслоением над f . Арифметическая теорема Римана-Роха аналогична, за исключением того, что класс Тодда умножается на определенный степенной ряд . Арифметическая теорема Римана – Роха утверждает:

{\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))

где

X и Y — регулярные проективные арифметические схемы.
f — гладкое собственное отображение X в Y
E — арифметическое векторное расслоение X. над
${\hat {\mathrm {ch} }}$ — арифметический символ Черна.
T _X/Y — относительное касательное расслоение
${\hat {\mathrm {Td} }}$ это арифметический класс Тодда
${\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)$ является ${\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))$
R ( X ) — аддитивный характеристический класс, связанный с формальным степенным рядом $\sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].$

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Леонг, Ю.К. (июль – декабрь 2018 г.). «Шоу-У Чжан: Теория чисел и арифметико-алгебраическая геометрия» (PDF) . Отпечатки . № 32. Институт математических наук Национального университета Сингапура. стр. 32–36 . Проверено 5 мая 2019 г.
^ Манин и Панчискин (2008), стр. 400–401.

Ссылки [ править ]

Аракелов, Сурен Дж. (1974), "Теория пересечения дивизоров на арифметической поверхности", Матем. СССР Изв. , 8 (6): 1167–1180, doi : 10.1070/IM1974v008n06ABEH002141 , Zbl 0355.14002
Аракелов Сурен Дж. (1975), "Теория пересечений на арифметической поверхности", Учеб. Интерн. Конгресс Математики Ванкувера , вып. 1, амер. Математика. Соц., стр. 405–408, Збл 0351.14003
Бост, Жан-Бенуа (1999), «Теория потенциала и теоремы Лефшеца для арифметических поверхностей» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 32 (2): 241–312, doi : 10.1016/s0012- 9593(99)80015-9 , ISSN 0012-9593 , Збл 0931.14014
Делинь, П. (1987), «Определитель когомологий», Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Арката, Калифорния, 1985) [ Определитель когомологий ], Современная математика, том. 67, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 93–177, doi : 10.1090/conm/067/902592 , MR 0902592.
Фальтингс, Герд (1984), «Исчисление на арифметических поверхностях», Annals of Mathematics , Second Series, 119 (2): 387–424, doi : 10.2307/2007043 , JSTOR 2007043
Фальтингс, Герд (1991), «Диофантова аппроксимация абелевых многообразий», Annals of Mathematics , Second Series, 133 (3): 549–576, doi : 10.2307/2944319 , JSTOR 2944319
Фальтингс, Герд (1992), Лекции по арифметической теореме Римана – Роха , Анналы математических исследований, том. 127, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, номер номера : 10.1515/9781400882472 , ISBN. 0-691-08771-7 , МР 1158661
Жилле, Анри ; Суле, Кристоф (1992), «Арифметическая теорема Римана – Роха», Mathematical Inventions , 110 : 473–543, doi : 10.1007/BF01231343
Кавагути, Шу; Мориваки, Ямаки, Казухико (2002), «Введение в геометрию Аракелова», Алгебраическая геометрия в Восточной Азии (Киото, 2001) , River Edge, Нью-Джерси: World Sci., стр. 1–74, дои : 10.1142/9789812705105_0001 , ISBN 978-981-238-265-8 , МР 2030448
Ланг, Серж (1988), Введение в теорию Аракелова , Нью-Йорк: Springer-Publishers, doi : 10.1007/978-1-4612-1031-3 , ISBN 0-387-96793-1 , МР 0969124 , Збл 0667.14001
Манин, Ты. Я .; Пять, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). ISBN 978-3-540-20364-3 . ISSN 0938-0396 . Збл 1079.11002 .
Суле, Кристоф (2001) [1994], «Теория Аракелова» , Энциклопедия математики , EMS Press
Суле, К. ; при сотрудничестве Д. Абрамовича, Ж.-Ф. Бурнол и Дж. Крамер (1992), Лекции по геометрии Аракелова , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 33, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. viii+177, doi : 10.1017/CBO9780511623950 , ISBN 0-521-41669-8 , МР 1208731
Шпиро, Люсьен ; Ульмо, Эммануэль ; Шоу ( - 1997 ) , Ву Чжан , doi:10.1007/s002220050123, S2CID 119668209.
Ульмо, Эммануэль (1998), «Позитивность и дискретность алгебраических точек кривых», Annals of Mathematics , 147 (1): 167–179, arXiv : alg-geom/9606017 , doi : 10.2307/120987 , Zbl 0934.14013
Войта, Пол (1991), «Теорема Зигеля в компактном случае», Annals of Mathematics , 133 (3), Annals of Mathematics, Vol. 133, № 3: 509–548, номер документа : 10.2307/2944318 , JSTOR 2944318.
Чжан, Шоу-Ву (1992), «Положительные расслоения прямых на арифметических поверхностях», Annals of Mathematics , 136 (3): 569–587, doi : 10.2307/2946601 .
Чжан, Шоу-Ву (1993), «Допустимое спаривание на кривой», Inventiones Mathematicae , 112 (1): 421–432, Bibcode : 1993InMat.112..171Z , doi : 10.1007/BF01232429 , S2CID 120229374 .
Чжан, Шоу-Ву (1995a), «Маленькие точки и адельные метрики», Журнал алгебраической геометрии , 8 (1): 281–300 .
Чжан, Шоу-Ву (1995b), «Положительные расслоения прямых на арифметических многообразиях», Журнал Американского математического общества , 136 (3): 187–221, doi : 10.1090/S0894-0347-1995-1254133-7 .
Чжан, Шоу-Ву (1996), «Высоты и редукции полустабильных разновидностей», Compositio Mathematica , 104 (1): 77–105 .
Чжан, Шоу-Ву (1998), «Равнораспределение малых точек на абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , 147 (1): 159–165, doi : 10.2307/120986 , JSTOR 120986 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Леонг, Ю.К. (июль – декабрь 2018 г.). «Шоу-У Чжан: Теория чисел и арифметико-алгебраическая геометрия» (PDF) . Отпечатки . № 32. Институт математических наук Национального университета Сингапура. стр. 32–36 . Проверено 5 мая 2019 г.

[2] Манин и Панчискин (2008), стр. 400–401.

[1]

[2]