Arakelov theory

В математике ( теория Аракелова или геометрия Аракелова ) — подход к диофантовой геометрии , названный по имени Сурена Аракелова . Он используется для изучения диофантовых уравнений в более высоких измерениях.

Предыстория

Основной мотивацией геометрии Аракелова является тот факт, что существует соответствие между простыми идеалами. ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ и конечные места $v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R}$, но существует и место в бесконечности $v_{\infty }$, заданное архимедовой оценкой , которая не имеет соответствующего простого идеала. Геометрия Аракелова дает способ компактификации. ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ в полное пространство

$${\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}$$

у которого простое число лежит в бесконечности. Оригинальная конструкция Аракелова изучает одну из таких теорий, где определение дивизоров является конструктором схемы . ${\mathfrak {X}}$ относительного размера 1 более ${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ такая, что она продолжается до римановой поверхности $X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )$ для каждой оценки на бесконечности. Кроме того, он снабжает эти римановы поверхности эрмитовыми метриками на голоморфных векторных расслоениях над X ( C ), комплексных точках $X$. Эта дополнительная эрмитова структура применяется вместо неспособности схемы Spec( Z ) быть полным многообразием .

Обратите внимание, что существуют и другие методы построения полного пространства, расширяющего ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$, что является основой F ₁ геометрии .

Исходное определение делителей

Позволять $K$ быть полем, ${\mathcal {O}}_{K}$ его кольцо целых чисел, и $X$ вид $g$ изгибаться $K$ с несингулярной моделью ${\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$, называемая арифметической поверхностью . Также мы позволяем

$$\infty :K\to \mathbb {C}$$

быть включением полей (которое должно представлять место в бесконечности). Также мы позволим $X_{\infty }$ — соответствующая риманова поверхность от замены базы до $\mathbb {C}$. Используя эти данные, мы можем определить c-дивизор как формальную линейную комбинацию

$$D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }$$

где $C_{i}$ является неприводимым замкнутым подмножеством ${\mathfrak {X}}$ коразмерности 1, $k_{i}\in \mathbb {Z}$, и $\lambda _{\infty }\in \mathbb {R}$, и сумма

$$\sum _{\infty }$$

представляет собой сумму по каждому реальному вложению $K\to \mathbb {R}$ и более одного вложения для каждой пары комплексных вложений $K\to \mathbb {C}$. Набор c-делителей образует группу ${\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})$.

Результаты

Аракелов ( 1974 , 1975 ) определил теорию пересечений на арифметических поверхностях , присоединенных к гладким проективным кривым над числовыми полями, с целью доказать некоторые результаты, известные в случае функциональных полей:в случае числовых полей. Герд Фалтингс ( 1984 ) расширил работу Аракелова, установив такие результаты, как теорема Римана-Роха, формула Нётер , теорема об индексе Ходжа и неотрицательность самопересечения дуализирующего пучка в этом контексте.

Теория Аракелова использовалась Полом Войтой (1991) для нового доказательства гипотезы Морделла , а также Гердом Фалтингсом ( 1991 ) в доказательстве Сержем Лангом обобщения гипотезы Морделла .

Пьер Делинь ( 1987 ) разработал более общую структуру для определения пары пересечений, определенной на арифметической поверхности над спектром кольца целых чисел Аракеловым. Шоу-Ву Чжан ( 1992 ) разработал теорию положительных линейных расслоений и доказал теорему типа Накаи-Мойшезона для арифметических поверхностей. Дальнейшее развитие теории положительных линейных расслоений Чжана ( 1993 , 1995a , 1995b ) и Люсьена Шпиро , Эммануэля Ульмо и Чжана ( 1997 ) завершилось доказательством гипотезы Богомолова Ульмо ( 1998 ) и Чжана ( 1998 ).

Теория Аракелова была обобщена Анри Жилле и Кристофом Суле на более высокие измерения. То есть Жилле и Суле определили пару пересечений на арифметическом многообразии. Одним из основных результатов Жилле и Суле является арифметическая теорема Римана-Роха Жилле и Суле (1992) , расширение теоремы Гротендика-Римана-Роха на арифметические многообразия. Для этого определяются арифметические группы Чжоу CH ^п ( X ) арифметического многообразия X и определяет классы Чженя для эрмитовых векторных расслоений над X, принимающих значения в арифметических группах Чоу. Затем арифметическая теорема Римана–Роха описывает, как ведет себя класс Черна при продвижении векторных расслоений при правильном отображении арифметических многообразий. Полное доказательство этой теоремы было опубликовано лишь недавно Жилле, Рёсслером и Суле.

Теория пересечения Аракелова для арифметических поверхностей была развита Жаном-Бенуа Бостом ( 1999 ). Теория Боста основана на использовании функций Грина , которые с точностью до логарифмических особенностей принадлежат пространству Соболева. $L_{1}^{2}$. В этом контексте Бост получает арифметическую теорему об индексе Ходжа и использует ее для получения теорем Лефшеца для арифметических поверхностей.

Арифметические группы Чоу

Арифметический цикл коразмерности p — это пара ( Z , g ), где Z ∈ Z ^п ( X ) — p -цикл на X , а g — ток Грина для Z , многомерное обобщение функции Грина. Арифметическая группа Чоу ${\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)$ коразмерности p есть фактор этой группы по подгруппе, порожденной некоторыми «тривиальными» циклами.

Арифметическая теорема Римана–Роха

Обычная теорема Гротендика-Римана-Роха описывает, как характер Черна ch ведет себя при продвижении пучков, и утверждает, что ch( f _* ( E )) = f _* (ch(E)Td _{X / Y} ), где f - собственный морфизм из X в Y и E является векторным расслоением над f . Арифметическая теорема Римана-Роха аналогична, за исключением того, что класс Тодда умножается на определенный степенной ряд . Арифметическая теорема Римана – Роха утверждает:

$${\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))$$

где

• X и Y — регулярные проективные арифметические схемы.
• f — гладкое собственное отображение X в Y
• E арифметическое векторное расслоение над X. —
• ${\hat {\mathrm {ch} }}$ — арифметический символ Черна.
• T _X/Y — относительное касательное расслоение
• ${\hat {\mathrm {Td} }}$ это арифметический класс Тодда
• ${\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)$ является ${\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))$
• R ( X ) — аддитивный характеристический класс, связанный с формальным степенным рядом
  $$\sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].$$

См. также

• Hodge–Arakelov theory
• Теория Ходжа
• P-адическая теория Ходжа
• Группа Аделик

Ссылки

• Аракелов, Сурен Дж. (1974), "Теория пересечения дивизоров на арифметической поверхности", Матем. СССР Изв. , 8 (6): 1167–1180, doi : 10.1070/IM1974v008n06ABEH002141 , Zbl   0355.14002
• Аракелов Сурен Дж. (1975), "Теория пересечений на арифметической поверхности", Учеб. Интерн. Конгресс Математики Ванкувера , вып. 1, амер. Математика. Соц., стр. 405–408, Збл   0351.14003
• Бост, Жан-Бенуа (1999), «Теория потенциала и теоремы Лефшеца для арифметических поверхностей» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 32 (2): 241–312, doi : 10.1016/s0012- 9593(99)80015-9 , ISSN   0012-9593 , Збл   0931.14014
• Делинь, П. (1987), «Определитель когомологий», Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Арката, Калифорния, 1985) [ Определитель когомологий ], Современная математика, том. 67, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 93–177, doi : 10.1090/conm/067/902592 , MR   0902592.
• Фальтингс, Герд (1984), «Исчисление на арифметических поверхностях», Annals of Mathematics , Second Series, 119 (2): 387–424, doi : 10.2307/2007043 , JSTOR   2007043
• Фальтингс, Герд (1991), «Диофантова аппроксимация абелевых многообразий», Annals of Mathematics , Second Series, 133 (3): 549–576, doi : 10.2307/2944319 , JSTOR   2944319
• Фальтингс, Герд (1992), Лекции по арифметической теореме Римана – Роха , Анналы математических исследований, том. 127, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, номер номера : 10.1515/9781400882472 , ISBN.  0-691-08771-7 , МР   1158661
• Жилле, Анри ; Суле, Кристоф (1992), «Арифметическая теорема Римана – Роха», Mathematical Inventions , 110 : 473–543, doi : 10.1007/BF01231343
• Кавагути, Шу; Мориваки, Ацуши; Ямаки, Казухико (2002), «Введение в геометрию Аракелова», Алгебраическая геометрия в Восточной Азии (Киото, 2001) , River Edge, Нью-Джерси: World Sci. Публикация, стр. 1–74, номер документа : 10.1142/9789812705105_0001 , ISBN.  978-981-238-265-8 , МР   2030448
• Ланг, Серж (1988), Введение в теорию Аракелова , Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-1031-3 , ISBN  0-387-96793-1 , МР   0969124 , Збл   0667.14001
• Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). ISBN  978-3-540-20364-3 . ISSN   0938-0396 . Збл   1079.11002 .
• Суле, Кристоф (2001) [1994], «Теория Аракелова» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Суле, К. ; при сотрудничестве Д. Абрамовича, Ж.-Ф. Бурнол и Дж. Крамер (1992), Лекции по геометрии Аракелова , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 33, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. viii+177, doi : 10.1017/CBO9780511623950 , ISBN  0-521-41669-8 , МР   1208731
• Шпиро, Люсьен ; Ульмо, Эммануэль ; Чжан, Шоу-Ву (1997), «Equirépartition des petits point», Inventiones Mathematicae , 127 (2): 337–347, Bibcode : 1997InMat.127..337S , doi : 10.1007/s002220050123 , S2CID   119668209 .
• Ульмо, Эммануэль (1998), «Позитивность и дискретность алгебраических точек кривых», Annals of Mathematics , 147 (1): 167–179, arXiv : alg-geom/9606017 , doi : 10.2307/120987 , Zbl   0934.14013
• Войта, Пол (1991), «Теорема Сигела в компактном случае», Annals of Mathematics , 133 (3), Annals of Mathematics, Vol. 133, № 3: 509–548, doi : 10.2307/2944318 , JSTOR   2944318.
• Чжан, Шоу-Ву (1992), «Положительные расслоения прямых на арифметических поверхностях», Annals of Mathematics , 136 (3): 569–587, doi : 10.2307/2946601 .
• Чжан, Шоу-Ву (1993), «Допустимое спаривание на кривой», Inventiones Mathematicae , 112 (1): 421–432, Bibcode : 1993InMat.112..171Z , doi : 10.1007/BF01232429 , S2CID   120229374 .
• Чжан, Шоу-Ву (1995a), «Маленькие точки и адельные метрики», Журнал алгебраической геометрии , 8 (1): 281–300 .
• Чжан, Шоу-Ву (1995b), «Положительные расслоения прямых на арифметических многообразиях», Журнал Американского математического общества , 136 (3): 187–221, doi : 10.1090/S0894-0347-1995-1254133-7 .
• Чжан, Шоу-Ву (1996), «Высоты и редукции полустабильных разновидностей», Compositio Mathematica , 104 (1): 77–105 .
• Чжан, Шоу-Ву (1998), «Равнораспределение малых точек на абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , 147 (1): 159–165, doi : 10.2307/120986 , JSTOR   120986 .

Внешние ссылки

• Оригинальная бумага
• Arakelov geometry preprint archive