Арифметическая поверхность

В математике - арифметическая поверхность над дедекиндовой областью R с полем дробей. $K$ — это геометрический объект, имеющий одно условное измерение и еще одно измерение, определяемое бесконечностью простых чисел . Когда R — кольцо целых чисел Z , эта интуиция зависит от того, что спектр простых идеалов Spec( Z ) рассматривается как аналог линии. Арифметические поверхности естественным образом возникают в диофантовой геометрии , когда алгебраическая кривая, определенная над K, рассматривается как имеющая редукции над полями R / P , где P — простой идеал R , для почти всех P ; и помогают определить, что должно происходить в процессе сведения к R / P, когда самый наивный способ не имеет смысла.

Более формально такой объект можно определить как R-схему с неособой связной проективной кривой. $C/K$ для общего слоя и объединений кривых (возможно, приводимых , сингулярных , неприведенных ) над соответствующим полем вычетов для специальных слоев .

Формальное определение

Более подробно арифметическая поверхность $S$ (над доменом Дедекинда $R$) представляет собой схему с морфизмом $p:S\rightarrow \mathrm {Spec} (R)$ со следующими свойствами: $S$ является целым , нормальным , превосходным , плоским и имеет конечный тип над $R$ а общий слой представляет собой неособую связную проективную кривую над $\mathrm {Frac} (R)$ и для других $t$ в $\mathrm {Spec} (R)$,

$S{\underset {\mathrm {Spec} (R)}{\times }}\mathrm {Spec} (k_{t})$

представляет собой объединение кривых над $R/t$.

О схеме Дедекинда

В еще большей общности арифметические поверхности могут быть определены над схемами Дедекинда, типичным примером которых является спектр кольца целых чисел числового поля (как и в случае, описанном выше). В этом случае арифметическая поверхность является регулярной расслоенной поверхностью над схемой Дедекинда размерности один. Это обобщение полезно, например, оно допускает гладкие и проективные базовые кривые над конечными полями, что важно для положительной характеристики.

О кольцах Дедекинда

Арифметические поверхности над дедекиндовыми областями являются арифметическим аналогом расслоенных поверхностей над алгебраическими кривыми. Арифметические поверхности возникают прежде всего в контексте теории чисел. Действительно, учитывая кривую $X$ над числовым полем $S$, существует арифметическая поверхность над кольцом целых чисел $O_{K}$ общий слой которого изоморфен $X$. В более высоких размерностях можно также рассматривать арифметические схемы.

Свойства

Размер

Арифметические поверхности имеют размерность 2 и относительную размерность 1 относительно своего основания.

Делители

Мы можем разработать теорию дивизоров Вейля на арифметических поверхностях, поскольку каждое локальное кольцо размерности один регулярно. Кратко это формулируется как «арифметические поверхности регулярны в коразмерности один». Эта теория развита, например, в «Алгебраической геометрии» Хартсхорна.

Примеры

Проективная линия

Проективная линия над областью Дедекинда $R$ представляет собой арифметическую поверхность гладкую правильную над $R$. Слой над любым максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ - проективная линия над полем $R/{\mathfrak {m}}.$

Обычные минимальные модели

Модели Нерона для эллиптических кривых , первоначально определенные над глобальным полем , являются примерами этой конструкции и являются хорошо изученными примерами арифметических поверхностей. Имеются сильные аналогии с эллиптическими расслоениями .

Теория пересечений

Учитывая два различных неприводимых дивизора и замкнутую точку на специальном слое арифметической поверхности, мы можем определить локальный индекс пересечения дивизоров в этой точке так же, как и для любой алгебраической поверхности, а именно как размерность определенного фактора локальной поверхности. звонить в точку. Идея состоит в том, чтобы сложить эти локальные индексы, чтобы получить глобальный индекс пересечения. Теория начинает расходиться с теорией алгебраических поверхностей, когда мы пытаемся гарантировать, что линейные эквивалентные дивизоры дают один и тот же индекс пересечения. Это можно использовать, например, при вычислении индекса пересечения дивизоров с самим собой. Это не удается, если базовая схема арифметической поверхности не «компактна». Фактически, в этом случае линейная эквивалентность может сдвинуть точку пересечения в бесконечность. Частичным решением этой проблемы является ограничение набора дивизоров, которые мы хотим пересечь, в частности, если сделать хотя бы один дивизор «фибральным» (каждый компонент является компонентом специального слоя), это позволяет нам определить уникальную пару пересечений, имеющую это имущество, среди других желательных. Полное разрешение дает теория Аракелова.

Arakelov theory

Теория Аракелова предлагает решение представленной выше проблемы. Интуитивно понятно, что слои добавляются на бесконечности путем добавления слоя для каждого архимедова абсолютного значения K. Затем можно определить пару локальных пересечений, которая расширяется до полной группы дивизоров, с желаемой инвариантностью относительно линейной эквивалентности.

См. также

• Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии
• Arakelov theory
• Модель Нерона

Ссылки

• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 52. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90244-9 . Збл   0367.14001 .
• Цин Лю (2002). Алгебраическая геометрия и арифметические кривые . Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-850284-2 .
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000). Геометрия схем . Тексты для аспирантов по математике . Том. 197. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-98637-5 . Збл   0960.14002 .
• Ланг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова . Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  0-387-96793-1 . МР   0969124 . Збл   0667.14001 .
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике . Том. 151. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94328-5 . Збл   0911.14015 .
• Суле, К.; Абрамович, Дэн; Бурнол, Ж.-Ф.; Крамер, Юрг (1992). Лекции по геометрии Аракелова . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 33. Совместная работа с Х. Жилле. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-47709-3 . Збл   0812.14015 .