Модель Нерона
В алгебраической геометрии модель Нерона (или минимальная модель Нерона , или минимальная модель ) для абелева многообразия AK , определенного над полем частных K дедекиндовой области R, «продвижением» AK является от Spec( K ) к Spec( R ), другими словами, «наилучшая возможная» групповая схема A R определен над R соответствующим AK , .
Они были введены Андре Нероном ( 1961 , 1964 ) для абелевых многообразий над полем факторов дедекиндовой области R с совершенными полями вычетов, а Рейно (1966) распространил эту конструкцию на полуабелевы многообразия над всеми дедекиндовыми областями.
Определение
[ редактировать ]Предположим, что — гладкая отделимая схема над K ( R — дедекиндова область с полем частных K, и предположим, что AK например , абелево многообразие). Тогда модель Нерона AK универсальная смысле определяется как гладкая отделимая схема AR . над R со слоем , AK в следующем
- Если X гладкая отделимая схема над R , то любой K -морфизм из X K в AK ) может быть расширен до единственного R -морфизма из X в AR — (свойство отображения Нерона .
В частности, каноническое отображение является изоморфизмом. Если модель Нерона существует, то она уникальна с точностью до единственного изоморфизма.
В терминах пучков любая схема A над Spec( K ) представляет собой пучок в категории схем, гладких над Spec( K ) с гладкой топологией Гротендика, и это имеет переход вперед посредством карты вложения от Spec( K ) к Spec( R ), который является пучком над Spec( R ). Если это продвижение можно представить схемой, то эта схема является моделью Нерона A .
В общем случае схема AK не обязательно должна иметь какую-либо модель Нерона. Для абелевых многообразий A K модели Нерона существуют и единственны (с точностью до единственного изоморфизма) и являются коммутативными квазипроективными групповыми схемами над R . Слой модели Нерона над замкнутой точкой Spec( R ) является гладкой коммутативной алгебраической группой , но не обязательно должен быть абелевым многообразием: например, он может быть несвязным или тором. Модели Нерона существуют также для некоторых коммутативных групп, отличных от абелевых многообразий, таких как торы, но они имеют только локальный конечный тип. Для аддитивной группы моделей Нерона не существует.
Характеристики
[ редактировать ]- Формирование моделей Нерона связано с продуктами.
- Формирование моделей Нерона коммутирует с приравненными изменениями базы.
- Абелева схема A R — это модель Нерона своего общего слоя.
Модель Нерона эллиптической кривой
[ редактировать ]Модель Нерона эллиптической кривой AK K над . можно построить следующим образом Сначала сформируйте минимальную модель над R в смысле алгебраических (или арифметических) поверхностей. Это правильная собственная поверхность над R , но, вообще говоря, она не является гладкой над R или групповой схемой над R . Его подсхемой гладких точек над R является модель Нерона, которая является гладкой групповой схемой над R, но не обязательно собственной над R . Обычно слои могут иметь несколько неприводимых компонентов, и для формирования модели Нерона отбрасываются все кратные компоненты, все точки пересечения двух компонентов и все особые точки компонентов.
Алгоритм Тейта вычисляет специальный слой модели Нерона эллиптической кривой или, точнее, слои минимальной поверхности, содержащей модель Нерона.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Артин, Майкл (1986), «Модели Нерона», Корнелл, Джорджия; Сильверман, Джозеф Х. (ред.), Арифметическая геометрия (Сторрс, Коннектикут, 1984) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 213–230, MR 0861977.
- Босх, Зигфрид; Люткебомерт, Вернер; Рейно, Мишель (1990), Модели Нерона , Результаты математики и ее пограничные области (3), том. 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-51438-8 , ISBN. 978-3-540-50587-7 , МР 1045822
- И. В. Долгачев (2001) [1994], «Модель Нерона» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Нерон, Андре (1961), p-минимальные модели абелевых многообразий. , Семинар Бурбаки, вып. 7, МР 1611194 , Збл 0132.41402
- Нерон, Андре (1964), «Минимальные модели абелевых многообразий на локальных и глобальных телах» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 21 : 5–128, doi : 10.1007/BF02684271 , MR 0179172
- Рейно, Мишель (1966), «Модели Нерона», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB , 262 : A345–A347, MR 0194421
- В. Стейн. Что такое модели Нерона? (2003)