Гипотеза Богомолова

В математике гипотеза Богомолова — гипотеза, названная в честь Федора Богомолова , в арифметической геометрии об алгебраических кривых , обобщающая гипотезу Манина-Мамфорда в арифметической геометрии . Гипотезу доказали Эммануэль Ульмо и Шоу-Ву Чжан в 1998 году с использованием теории Аракелова . Дальнейшее обобщение на общие абелевы многообразия было также доказано Чжаном в 1998 году.

Заявление

Пусть C — алгебраическая кривая рода числовым g не менее двух, определенная над полем K , пусть ${\overline {K}}$ обозначим алгебраическое замыкание K и , зафиксируем вложение C в его якобианское многообразие J пусть ${\hat {h}}$ Обозначим высоту Нерона-Тейта на J , связанную с обильным симметричным дивизором . Тогда существует $\epsilon >0$ такой, что набор

\{P\in C({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}

конечно.

С ${\hat {h}}(P)=0$ тогда и только тогда, когда P — точка кручения , гипотеза Богомолова обобщает гипотезу Манина-Мамфорда .

Доказательство

Оригинальная гипотеза Богомолова была доказана Эммануэлем Ульмо и Шоу-Ву Чжаном с использованием теории Аракелова в 1998 году. ^[1]^[2]

Обобщение

В 1998 году Чжан доказал следующее обобщение: ^[2]

Пусть A — абелевое многообразие, определенное над K , и пусть ${\hat {h}}$ — высота Нерона-Тейта на A, связанная с обильным симметричным дивизором. Подразновидность $X\subset A$ называется подмногообразием кручения, если оно является транслятом абелева подмногообразия в A через точку кручения. Если X не является периодическим подмногообразием, то существует $\epsilon >0$ такой, что набор

\{P\in X({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}

не является плотным по Зарисскому в X .

Ссылки

^ Ульмо, Эммануэль (1998), «Положительность и дискретность алгебраических точек кривых», Annals of Mathematics , 147 (1): 167–179, arXiv : alg-geom/9606017 , doi : 10.2307/120987 , Zbl 0934.14013 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Чжан, С.-В. (1998), «Равнораспределение малых точек на абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , 147 (1): 159–165, doi : 10.2307/120986

Другие источники

Шамбер-Луар, Антуан (2013). «Диофантова геометрия и аналитические пространства». В Амини — Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер (ред.). Тропическая и неархимедова геометрия. Семинар Беллэрса по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрии, Научно-исследовательский институт Беллэрса, Хоултаун, Барбадос, США, 6–13 мая 2011 г. Современная математика. Том. 605. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 161–179. ISBN 978-1-4704-1021-6 . Збл 1281.14002 .

Дальнейшее чтение

Гипотеза Манина-Мамфорда: краткий обзор Павлоса Цермиаса

Эта алгебраической геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Ульмо, Эммануэль (1998), «Положительность и дискретность алгебраических точек кривых», Annals of Mathematics , 147 (1): 167–179, arXiv : alg-geom/9606017 , doi : 10.2307/120987 , Zbl 0934.14013 .

[Zhang-1998-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Чжан, С.-В. (1998), «Равнораспределение малых точек на абелевых многообразиях», Annals of Mathematics , 147 (1): 159–165, doi : 10.2307/120986

[1]

[2]